新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.3組合6.2.4組合數(shù)第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解組合的概念，正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握組合數(shù)公式，并會(huì)應(yīng)用公式求值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)高考不分文理科后，思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6大科目是選考的，如果考生可以從中任選3科作為自己的高考科目，那么選考的組合方式一共有多少種可能的情況呢？如果用{思想政治，歷史，地理}表示其中一種選考的組合，你能用類似的方法表示出所有的組合方式嗎？你有更簡(jiǎn)單的表示方法嗎？知識(shí)點(diǎn)1組合的概念一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為________，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．1．怎樣理解組合，它與排列有何區(qū)別？知識(shí)點(diǎn)2組合數(shù)及組合數(shù)公式1．組合數(shù)的概念從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)________表示．2．組合數(shù)公式乘積式：Cnm＝_________階乘式：Cnm＝__________規(guī)定：Cn0＝2．“組合”與“組合數(shù)”是同一概念嗎？它們有什么區(qū)別？1．(多選)下列選項(xiàng)是組合問題的是()A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)去參加兩個(gè)社區(qū)的人口普查，有多少種不同的選法B．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)，有多少種不同的選法C．3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法D．4本相同的書分給4名同學(xué)，每人一本，有多少種分配方法2．1C62＝________；2A43．已知a，b，c，d這四個(gè)元素，則每次取出2個(gè)元素的所有組合為________．類型1組合的概念【例1】判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場(chǎng)？(2)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？[嘗試解答]判斷一個(gè)問題是不是組合問題的方法技巧區(qū)分排列與組合的關(guān)鍵是看結(jié)果是否與元素的順序有關(guān)，與順序有關(guān)即為排列問題，與順序無關(guān)為組合問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)設(shè)集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？(3)2023年元旦期間，某班10名同學(xué)互送賀年卡，表示新年的祝福，賀年卡共有多少?gòu)?？類?列舉具體問題的組合【例2】(源自湘教版教材)平面上有5個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，E，以其中兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？[嘗試解答]寫組合時(shí)，一般先將元素按一定的順序排好，然后按照“順序后移法”或“樹形圖法”逐個(gè)將各個(gè)組合表示出來．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知A，B，C，D，E五個(gè)元素，寫出每次取出3個(gè)元素的所有組合．類型3利用組合數(shù)公式化簡(jiǎn)、求值與證明利用組合數(shù)公式化簡(jiǎn)、求值【例3】計(jì)算：1C732C105(3)已知1C5n[嘗試解答]利用組合數(shù)公式證明【例4】求證：Cn[嘗試解答](1)兩個(gè)組合數(shù)公式在使用中的用途有所區(qū)別．(2)在解有關(guān)組合數(shù)的方程或不等式時(shí)，必須注意隱含條件，即Cnm中的n為正整數(shù)，m為自然數(shù)，且n≥[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．計(jì)算：C103·4．求證：mC類型4簡(jiǎn)單的組合問題【例5】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？[嘗試解答]解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出的元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)；其次要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用，在分類與分步時(shí)，一定要注意有無重復(fù)和遺漏．[跟進(jìn)訓(xùn)練]5．一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人．問：(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？(2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練有多少種方法做這件事情？1．以下四個(gè)選項(xiàng)，屬于組合問題的是()A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地2．計(jì)算：C42＋C43A．8B．10C．12D．163．把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有()A．A103種B．C103種C．C104．若A2n4＝120C回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．你能寫出本節(jié)課學(xué)習(xí)的公式嗎？2．區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵是什么？3．寫組合時(shí)可采取什么方法？把相同物品分給不同對(duì)象的分法種數(shù)把8個(gè)相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，共有多少種不同的分法？由于每個(gè)籃球都相同，因此只要指出每人所得籃球的個(gè)數(shù)即可，比如，甲得2個(gè)、乙得3個(gè)、丙得3個(gè)、丁得0個(gè)，就是一種滿足條件的分法．可能有人會(huì)想到通過列舉來求解上述問題，但是，經(jīng)過簡(jiǎn)單的嘗試之后，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題可能比想象中的難．注意到每一種滿足條件的分法本質(zhì)上就是把8個(gè)球分為了4堆，為此可借助3塊隔板來實(shí)現(xiàn)．例如，前述滿足條件的分法可以用圖1表示，其中第一塊隔板前的籃球是分給甲的，第一塊和第二塊隔板之間的籃球是分給乙的，第二塊和第三塊隔板之間的籃球是分給丙的，第三塊隔板后的籃球是分給丁的．容易知道，任何一種類似圖1的排列都對(duì)應(yīng)一種分法，例如，圖2對(duì)應(yīng)的分法為：甲得1個(gè)，乙得0個(gè)，丙得0個(gè)，丁得7個(gè)．這樣一來，問題就轉(zhuǎn)化為8個(gè)相同的籃球和3塊相同的隔板，可以有多少種不同的排列方法．因?yàn)榭偣灿?＋3＝11個(gè)位置，而且我們只需要從這11個(gè)位置中選出3個(gè)放置隔板(其余放置籃球)即可，因此不同的排列方法種數(shù)為C113＝也就是說，我們有165種不同的分法．有意思的是，如果設(shè)甲、乙、丙、丁4人所得籃球個(gè)數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，則不難看出，我們得到了方程x1＋x2＋x3＋x4＝8的非負(fù)整數(shù)解(x1，x2，x3，x4)個(gè)數(shù)為165．類似地，可以得到把n個(gè)相同的物品分給r個(gè)不同對(duì)象的方法數(shù)(其中r和n均為正整數(shù))，也就是方程x1＋x2＋…＋xr＝n的非負(fù)整數(shù)解(x1，x2，…，xr)的個(gè)數(shù)，請(qǐng)自己嘗試一下吧！6.2.3組合6.2.4組合數(shù)第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1一組思考1提示：(1)組合要求n個(gè)元素是不同的，被取的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出．(2)取出的m個(gè)元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求，無序性是組合的特點(diǎn)．(3)辨別一個(gè)問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某一問題中某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，否則就是組合問題．知識(shí)點(diǎn)21．所有不同組合C2．AnmAmmn(n-1)(n-2)…(n-m＋1)m！(n，m∈N*思考2提示：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，組合是指“從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一組對(duì)象；組合數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．課前自主體驗(yàn)1．BD[AC與順序有關(guān)，是排列問題，BD與順序無關(guān)，是組合問題．]2．(1)15(2)9[(1)C62＝(2)A42－C32＝4×3－3×23．a(chǎn)b，ac，ad，bc，bd，cd[可按a→b→c→d順序?qū)懗?，即所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd．][關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場(chǎng)比賽，沒有順序，是組合問題．(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題．(3)3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問題．(4)3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，沒有順序，是組合問題．跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：(1)因?yàn)楸締栴}與元素順序無關(guān)，故是組合問題．(2)因?yàn)榧渍镜揭艺?，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題；但票價(jià)與順序無關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問題．(3)甲寫給乙賀卡，與乙寫給甲賀卡是不同的，所以與順序有關(guān)，是排列問題．例2解：如圖所示，以A為端點(diǎn)，到其余四點(diǎn)的線段有4條：AB，AC，AD，AE．A不是端點(diǎn)，以B為端點(diǎn)之一，到其余三點(diǎn)的線段有3條：BC，BD，BE；A，B都不是端點(diǎn)，C為端點(diǎn)之一，到其余兩點(diǎn)的線段有2條：CD，CE；A，B，C都不是端點(diǎn)，剩下兩點(diǎn)D，E為端點(diǎn)的線段只有1條：DE．共有4＋3＋2＋1＝10(條)不同的線段．跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序?qū)懗觯此运薪M合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．例3解：(1)C73＋C74＝(2)C105C100－C1010＝(3)由1C得n！∴1－6-即n2－23n＋42＝0，解得n＝2或n＝21，又0≤n≤5，∴n＝2，∴C8n＝例4證明：因?yàn)橛疫叄絥n-mC所以原