新教材同步備課2024春高中數(shù)學第7章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.4.2超幾何分布學習任務1．理解超幾何分布的概念及特征，能夠判斷隨機變量是否服從超幾何分布．(數(shù)學抽象)2．會利用公式求服從超幾何分布的隨機變量的概率、均值．(數(shù)學運算)3．能用超幾何分布的概率模型解決實際問題．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)已知在8件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從8件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，用X表示取到的次品數(shù)，X可取哪些值？P(X＝2)的值呢？如何求P(X＝k)?知識點1超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，N——總體中的個體總數(shù)，M——總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))，n——樣本量，k——樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))．什么樣的概率問題適合超幾何分布？[提示]在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“陽性，陰性”等．知識點2服從超幾何分布的隨機變量的均值設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝MN，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而Xn是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，則E(X)＝nMN1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)超幾何分布是不放回抽樣． ()(2)超幾何分布的總體是只有兩類物品． ()(3)超幾何分布與二項分布沒有任何聯(lián)系． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數(shù)，則P(X＝3)＝________．521[P(X＝3)＝C53C3．已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學期望為______________________．0.3[因為次品數(shù)服從超幾何分布，所以E(X)＝3×10100＝0.3．類型1超幾何分布超幾何分布的判斷【例1】下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題？說明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗，把試驗中發(fā)芽的種子的顆數(shù)記為X，求X的分布列；(3)盒子中有紅球3個，黃球4個，藍球5個，任取3個球，把不是紅色的球的個數(shù)記為X，求X的分布列；(4)某班級有男生25人，女生20人．選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；(5)現(xiàn)有100臺平板電腦未經(jīng)檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結果為不合格的平板電腦的臺數(shù)記為X，求X的分布列．[解](1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復試驗問題．(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．(5)中沒有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無法計算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問題．判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的方法(1)總體是否可分為兩類明確的對象．(2)是否為不放回抽樣．(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù)．超幾何分布的概率【例2】從放有10個紅球與15個白球的暗箱中，隨機摸出5個球，規(guī)定取到一個白球得1分，一個紅球得2分，求某人摸出5個球，恰好得7分的概率．[解]設摸出的紅球個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5個球，得7分，僅有恰好摸出兩個紅球、三個白球一種可能情況，那么恰好得7分的概率為P(X＝2)＝C102C(1)解答此類問題的關鍵是先分析隨機變量是否滿足超幾何分布．(2)注意公式中M，N，n的含義．[跟進訓練]1．一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10．現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②Y表示取出的最小號碼；③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，ξ表示取出的4個球的總得分；④η表示取出的黑球個數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是______________．(填序號)④[依據(jù)超幾何分布的數(shù)學模型及計數(shù)公式，知①②③中的變量不服從超幾何分布，④中的變量服從超幾何分布．]2．袋中有大小、質地相同的4個紅球和3個黑球，一次性從袋中取出4個球，取到1個紅球得1分，取到1個黑球得3分．設得分為隨機變量X．則P(X≤7)＝________．1335[取出的4個球中紅球的個數(shù)可能為4，3，2，1個，黑球相應個數(shù)為0，1，2，3個，其分值為X＝4，6，8，10，P(X≤7)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝C44C類型2超幾何分布的分布列【例3】箱中裝有4個白球和m個黑球．規(guī)定取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，現(xiàn)從箱中任取3個球，假設每個球被取出的可能性都相等．記隨機變量X為取出的3個球的得分之和．(1)若P(X＝6)＝25，求m(2)當m＝3時，求X的分布列．[解](1)由題意得，只有當取出的3個球都是白球時，隨機變量X＝6，所以P(X＝6)＝C43Cm+43＝25，即Cm+4(2)由題意得，當m＝3時，X的可能取值為3，4，5，6．P(X＝3)＝C33CP(X＝4)＝C32CP(X＝5)＝C31CP(X＝6)＝C43C所以X的分布列為X3456P112184求超幾何分布的分布列的步驟[跟進訓練]3．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．(1)求所選3人中恰有1名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)X的分布列．[解](1)所選3人中恰有1名男生的概率P＝C52C(2)X的可能取值為0，1，2，3，且X服從超幾何分布，則P(X＝0)＝C53CP(X＝1)＝C52CP(X＝2)＝C51CP(X＝3)＝C43C∴X的分布列為X0123P51051類型3超幾何分布的均值【例4】某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每名同學被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及均值．[解](1)設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P(A)＝C31C72+C(2)依據(jù)條件，隨機變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．P(X＝k)＝C4kC63-kC103，所以X的分布列為X0123P1131所以隨機變量X的均值為E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2(或E(X)＝求超幾何分布均值的步驟(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值．(2)根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率．(3)利用均值公式求解．[跟進訓練]4．從5名女生和2名男生中任選3人參加英語演講比賽，設隨機變量ξ表示所選3人中男生的人數(shù)．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．[解](1)由題知ξ的可能取值為0，1，2，P(ξ＝0)＝C20C53C73＝27，PP(ξ＝2)＝C22C所以ξ的分布列為ξ012P241(2)由(1)可得E(ξ)＝0×27＋1×47＋2×171．(多選)下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是()A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)為XC．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)ACD[由超幾何分布的定義可知僅B項是超幾何分布，故選ACD．]2．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為()A．2845B．1645C．1145B[由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P(X＝1)＝C21C83．盒子里有5個球，其中3個白球，2個黑球，從中任取兩球，設取出白球的個數(shù)為ξ，則E(ξ)＝____________________．65[E(ξ)＝2×354．在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過了保質期飲料的概率為________．28145[從這30瓶飲料中任取2瓶，設至少取到1瓶已過了保質期飲料為事件A，則P(A)＝C271C回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．在產(chǎn)品抽樣檢驗中，若抽到的次品數(shù)服從超幾何分布，則抽樣有何特點？[提示]抽樣方法為不放回抽樣．2．超幾何分布的均值公式：E(X)＝np，與二項分布的均值公式一樣嗎？[提示]不一樣．在二項分布中，n為伯努利試驗重復的次數(shù)，p為成功概率；在超幾何分布中，n是抽取的產(chǎn)品件數(shù)，p是N件產(chǎn)品的次品率．課時分層作業(yè)(十七)超幾何分布一、選擇題1．一個盒子里裝有大小相同的10個黑球，12個紅球，4個白球，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于C221C4A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)B[本題相當于求至多取出1個白球的概率，即取到1個白球或沒有取到白球的概率．]2．一批產(chǎn)品共50件，其中5件次品，45件正品，從這批產(chǎn)品中任意抽取2件，則出現(xiàn)2件次品的概率為()A．2245B．949C．47245A[設抽到的次品數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2．于是出現(xiàn)2件次品的概率為P(X＝2)＝C52C453．已知某10件產(chǎn)品中含有次品，從這10件產(chǎn)品中抽取2件進行檢查，其次品數(shù)為ξ．若P(ξ＝1)＝1645，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為(A．10% B．20%C．30% D．40%B[設這10件產(chǎn)品中有n件次品，則P(ξ＝1)＝Cn1C10-n1C102＝1645，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8．又該產(chǎn)品的次品率不超過40%，所以n≤4，所以n＝2，所以這4．一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選3名學生代表班級參加學校開展的某項活動，假設選出的3名代表中女生的人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則P(X＝2)＋P(Y＝2)等于()A．CB．CC．CD．CC[由題意得，P(X＝2)＝C102C201C303，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝C10故選C．]5．(2023·陜西渭南咸林中學期中)一個袋中裝有4個紅球，3個黑球，小明從袋中隨機取4個球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，則小明得分大于6分的概率是()A．1335B．1435C．1835A[記小明的得分為X分，則X的可能取值為5，6，7，8，且P(X＝7)＝C43C31C74＝1235，P所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235+135二、填空題6．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取得次品的個數(shù)，則P(X<2)＝______，隨機變量X的均值E(X)＝______．141535[X表示取得次品的個數(shù)，則X服從超幾何分布，所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C30C72C102+C37．數(shù)學教師從6道習題中隨機抽3道讓同學解答，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是________．45[設X表示解答正確的題的個數(shù)，由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C42C8．生產(chǎn)方提供一批產(chǎn)品，共50箱，其中有2箱不合格產(chǎn)品．采購方接收該批產(chǎn)品的準則如下：從該批產(chǎn)品中任取5箱進行檢測，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品．則該批產(chǎn)品被接收的概率為_____________________．(結果用最簡分數(shù)表示)243245[設進行檢測的5箱產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品有X箱，則X∴該批產(chǎn)品被接收的概率為P(X≤1)＝C20C48三、解答題9．廠家在產(chǎn)品出廠前需對產(chǎn)品進行檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品進行檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品．(1)若廠家?guī)旆恐?視為數(shù)量足夠多)的每件產(chǎn)品合格的概率為0.7，從中任意取出3件進行檢驗，求至少有2件是合格品的概率；(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有4件不合格，按合同規(guī)定，商家從這20件產(chǎn)品中任取2件進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)X的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．[解](1)記“從中任意取出3件進行檢驗，至少有2件是合格品”為事件A，則事件A包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”兩個基本事件，∴P(A)＝C32×0.72×0.3＋0.73＝(2)X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝C162C202＝1219，P(X＝1)＝C161C41C20∴X的分布列為X012P12323∵只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，∴商家拒收這批產(chǎn)品的概率為3295+310．某班級有男生32人、女生20人，現(xiàn)選舉4名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育委員．男生當選的人數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為()A．16C[依條件知X服從超幾何分布，其中N＝52，M＝32，n＝4，故E(X)＝nMN＝4×325211．根據(jù)現(xiàn)行國家標準，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標．工作人員從某自然保護區(qū)2022年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)(25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]頻數(shù)311113從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)．記X表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，則X的均值是()A．9A[依據(jù)條件，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，故E(X)＝nMN＝3×31012．袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為ξ．若取出的兩個球都是紅球的概率為16，一紅一黃的概率為13，則m－n＝1[由題意得P(ξ＝2)＝C42Cm+n+42＝6Cm+n+42＝16，所以Cm+n+42＝36，所以m＋n＋4＝9．因為P(一紅一黃)＝C41·Cm1Cm+n+42＝4m13．某校為了解高三學生身體素質情況，從某項體育測試成績中隨機抽取n個學生成績進行分析，得到成績頻率分布直方圖(如圖所示)，已知成績在[90，100]的學生人數(shù)為8，且有4個女生的成績在[50，60)中，則n＝______；現(xiàn)從成績在[50，60)的樣本中隨機抽取2名學生，記所抽取學生中女生的人數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學期望是________．5043[依題意0.016×10n＝8，則n＝50成績在[50，60)的人數(shù)為0.012×10×50＝6，其中4個為女生，2個為男生．ξ的可能取值為0，1，2．P(ξ＝0)＝C22C62＝115，P(ξ＝1)＝C21C41C62＝故E(ξ)＝0×115+815×1＋2×214．(2023·北京八中期末)某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問．求：(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的期望．[解](1)設事件A為“選派的3人中恰有2人會法語”，則P(A)＝C52C(2)依題意知，X的可能取值為0，1，2，3，且X服從超幾何分布，則P(X＝0)＝C43C73＝435，P(X＝P(X＝2)＝C41C32C73＝1235，P∴X的分布列為X0123P418121∴E(X)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×115．某市在城市總體規(guī)劃中提出若干年后實現(xiàn)“15分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身4個方面構建“15分鐘社區(qū)生活圈”指標體系，并依據(jù)“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質小區(qū)(指數(shù)為0.6～1)、良好小區(qū)(指數(shù)為0.4～0.6)、中等小區(qū)(指數(shù)為0.2～0.4)以及待改進小區(qū)(指數(shù)為0～0.2)4個等級．下面是三個小區(qū)4個方面指標的調查數(shù)據(jù)：權重A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)教育與文化(0.20)