新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性教師用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解變量間的相關(guān)關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系．(直觀想象)3．了解相關(guān)系數(shù)的概念及公式，會(huì)判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)在校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問題．”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著某種關(guān)系．我們把數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)看成是兩個(gè)變量，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？知識(shí)點(diǎn)1變量間的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系的定義：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．兩個(gè)變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．1．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么異同點(diǎn)？[提示]相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系．不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如圓的面積S與半徑r的關(guān)系，它可以用函數(shù)關(guān)系式S＝πr2來表示；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如人的體重y與身高x有關(guān)，一般來說，身高越高，體重越重，但不能用一個(gè)函數(shù)關(guān)系式來嚴(yán)格地表示它們之間的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)2散點(diǎn)圖、線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖：為直觀地描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩個(gè)變量間的關(guān)系，用橫軸表示其中的一個(gè)變量，縱軸表示另一個(gè)變量，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．(2)散點(diǎn)圖的作用如果散點(diǎn)圖中變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在某條曲線的周圍，我們就可以得出結(jié)論：這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，如圖(1)(2)．如果變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布沒有規(guī)律，我們就可以得出結(jié)論：這兩個(gè)變量不具有相關(guān)性，如圖(3)．(3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(4)線性相關(guān)與曲線相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．2．相關(guān)性可以如何分類？[提示](1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．知識(shí)點(diǎn)3樣本相關(guān)系數(shù)(1)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的特點(diǎn)一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第一象限、第三象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)的居多；如果變量x和y負(fù)相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二象限、第四象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)異號(hào)的居多．(2)樣本相關(guān)系數(shù)，我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)．①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)．這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大．②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變?。?3)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度|r|的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，|r|≤1．當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．當(dāng)|r|＝1時(shí)，表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都落在一條直線上；當(dāng)r＝0時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．3．能否說“r越大，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越強(qiáng)；r越小，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越弱”？[提示]不能．|r|越大，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越小，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越弱．1．下列圖中的兩個(gè)變量是相關(guān)關(guān)系的是________．②③[散點(diǎn)圖①中，所有的散點(diǎn)都在曲線上，所以①具有函數(shù)關(guān)系；散點(diǎn)圖②中，所有的散點(diǎn)都分布在一條直線的附近，所以②具有相關(guān)關(guān)系；散點(diǎn)圖③中，所有的散點(diǎn)都分布在一條曲線的附近，所以③具有相關(guān)關(guān)系；散點(diǎn)圖④中，所有的散點(diǎn)雜亂無章，沒有分布在一條曲線的附近，所以④沒有相關(guān)關(guān)系．]2．若對(duì)甲、乙、丙3組不同的成對(duì)數(shù)據(jù)作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，得到這3組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)依次為0.83，0.72，－0.90，則線性相關(guān)程度最強(qiáng)的組是________(填“甲”“乙”或“丙”)．丙[樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度就越強(qiáng)，結(jié)合題中所給的3組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)知，－0.90的絕對(duì)值最接近1，所以丙組成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度最強(qiáng)．]3．某公司欲知詩(shī)詞日歷費(fèi)用x(十萬元)與詩(shī)詞日歷銷售量y(千本)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的詩(shī)詞日歷中隨機(jī)抽取了10張，得到如下的資料：

i則y與x的相關(guān)系數(shù)r為________．0.3[由題中數(shù)據(jù)可知r＝237-10×2.8類型1相關(guān)關(guān)系【例1】(1)(2023·蘭州高二檢測(cè))有下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是()A．①②③ B．①②C．②③ D．①③④(2)(多選)某中學(xué)的興趣小組將在某座山測(cè)得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．沸點(diǎn)與海拔高度呈正相關(guān)B．沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)C．沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)D．氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)(1)D(2)BCD[(1)因?yàn)橄嚓P(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，②是一種函數(shù)關(guān)系，所以具有相關(guān)關(guān)系的有①③④．(2)由圖1知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，D正確；沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，B正確；沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，A錯(cuò)誤，C正確．](1)根據(jù)直觀感覺判斷，這時(shí)要用到已有的知識(shí)或生活、學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)等．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，這時(shí)要由兩個(gè)變量相應(yīng)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，作出散點(diǎn)圖，通過觀察散點(diǎn)圖中各點(diǎn)是否分布在某條曲線的周圍，從而判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．5位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462則數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間()A．是函數(shù)關(guān)系B．是相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性很弱C．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)D．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)C[數(shù)學(xué)成績(jī)x和物理成績(jī)y的散點(diǎn)圖如圖所示．從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有較好的相關(guān)關(guān)系，且成正相關(guān)．]類型2散點(diǎn)圖及其應(yīng)用【例2】下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)：施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似呈什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加嗎？[解](1)散點(diǎn)圖如圖．(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的散點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似呈線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增加，不會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加．(1)畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．(2)在這里利用散點(diǎn)圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某種樹木體積與樹木的樹齡之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：樹齡2345678體積30344060556270(1)請(qǐng)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)你能由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹木體積與樹木的樹齡近似呈什么關(guān)系嗎？[解](1)以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹木體積隨著樹齡的增加呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，且散點(diǎn)大致落在一條直線附近，所以樹木的體積與樹齡近似呈線性相關(guān)關(guān)系．類型3樣本相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱【例3】某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070(1)畫出(x，y)的散點(diǎn)圖；(2)計(jì)算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它們的相關(guān)程度．[解](1)畫出(x，y)的散點(diǎn)圖如圖所示，(2)x＝5，i故樣本相關(guān)系數(shù)＝1080-4×由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827，可以推斷出生產(chǎn)原料耗費(fèi)與銷售額這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確地判斷相關(guān)的程度，其絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．現(xiàn)隨機(jī)抽取某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)x與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)y如表所示．學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請(qǐng)問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系？附：若|r|>0.75，則我們可以認(rèn)為y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．[解]由題意知，x＝110×(120＋108＋117＋104＋103＋110＋104＋105＋99＋108)＝107.8y＝110×(84＋64＋84＋68＋69＋68＋69＋46＋57＋71)＝68i所以樣本相關(guān)系數(shù)r＝73796-10×|r|>0.75，故我們可以認(rèn)為y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．即這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用【例4】以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y(單位：萬元)和房屋的大小x(單位：m2)的數(shù)據(jù)．房屋大小x/m211511080135105銷售價(jià)格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求樣本相關(guān)系數(shù)r，并作出評(píng)價(jià)．(精確到0.01，已知i[解](1)畫出散點(diǎn)圖如圖所示．(2)x＝5455＝109＝12952-5×109×由此可知，新房屋的銷售價(jià)格和房屋的大小這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．(1)當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越弱．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，|r|刻畫了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度．當(dāng)r＝0時(shí)，只表明成對(duì)數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．我國(guó)北方廣大農(nóng)村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中型城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣．推進(jìn)北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關(guān)系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過冬，關(guān)系霧霾天能不能減少，是能源生產(chǎn)和消費(fèi)革命、農(nóng)村生活方式革命的重要內(nèi)容．國(guó)家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價(jià)格扶持新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加，下面條形圖反映了某省連續(xù)7個(gè)月的煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．在給定坐標(biāo)系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份t變化的散點(diǎn)圖，并用散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)說明y與t之間具有線性相關(guān)性．參考數(shù)據(jù)：參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)[解]作出散點(diǎn)圖如圖所示，由散點(diǎn)圖可得y與t有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．由條形圖數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，t又∴r≈2.790.53×2∵y與t的樣本相關(guān)系數(shù)近似為0.99，∴y與t的線性相關(guān)性相當(dāng)高．1．下列選項(xiàng)中，兩變量間具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的體積與棱長(zhǎng)B．勻速行駛的汽車的行駛距離與時(shí)間C．人的身高與視力D．某人每日吸煙量與其身體健康情況D[對(duì)于A，正方體的體積與棱長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，不滿足題意；對(duì)于B，勻速行駛的汽車的行駛距離與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，不滿足題意；對(duì)于C，人的身高與視力沒有明顯的關(guān)系，不滿足題意；對(duì)于D，某人每日吸煙量與其身體健康情況有相關(guān)關(guān)系，滿足題意．]2．如圖所示的散點(diǎn)圖分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)B．負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，正相關(guān)C．負(fù)相關(guān)，正相關(guān)，不相關(guān)D．正相關(guān)，不相關(guān)，負(fù)相關(guān)D[對(duì)于圖(1)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左下角到右上角上升，兩個(gè)變量正相關(guān)；對(duì)于圖(2)，圖中的點(diǎn)雜亂無章，沒有明顯的規(guī)律，兩個(gè)變量不相關(guān)；對(duì)于圖(3)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左上角到右下角下降，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．故選D．]3．兩個(gè)變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，兩個(gè)變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)C[由樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859>0知x與y正相關(guān)，由樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568<0知u，v負(fù)相關(guān)．又|r1|<|r2|，∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng)．]4ir約為________．(精確到0.001)0.849[，設(shè)故r＝1.2a2a·a＝回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．怎樣畫散點(diǎn)圖？[提示](1)建立平面直角坐標(biāo)系，兩軸的單位長(zhǎng)度可以不一致；(2)將n個(gè)樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中．2．怎樣判斷兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系？[提示](1)根據(jù)直觀感覺或生活經(jīng)驗(yàn)等判斷；(2)根據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)判斷；(3)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：若散點(diǎn)圖中各點(diǎn)分布在一條直線或曲線附近，則變量具有相關(guān)關(guān)系．3．樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與兩個(gè)變量的相關(guān)程度有何關(guān)系？[提示]|r|越接近1，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越大；|r|越接近0，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越?。嚓P(guān)系數(shù)與向量夾角的余弦當(dāng)n＝2時(shí)，相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可改寫為r＝x1此時(shí)，如果令a＝(x1－x，x2－x)，b＝(y1－y，y2－y)，則相關(guān)系數(shù)r等于向量a與b的夾角的余弦，即r＝cos〈a，b〉＝a·類似地，當(dāng)n＝3時(shí)，相關(guān)系數(shù)r仍等于兩個(gè)向量夾角的余弦，只不過此時(shí)兩個(gè)向量分別為a＝(x1－x，x2－x，x3－x)，b＝(y1－y，y2－y，y3－y)．一般地，a＝(x1－x，x2－x，…，xn－x)，b＝(y1－y，y2－y，…，yn－y)都稱為n維向量，如果按照類似2維與3維的情況定義向量的內(nèi)積和模，則相關(guān)系數(shù)r總是等于兩個(gè)向量夾角的余弦．課時(shí)分層作業(yè)(十九)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性一、選擇題1．若“名師出高徒”成立，則名師與高徒之間存在的關(guān)系是()A．相關(guān)關(guān)系 B．函數(shù)關(guān)系C．無任何關(guān)系 D．不能確定A[這句話比喻學(xué)識(shí)豐富的人對(duì)于培養(yǎng)人才的重要，但是“名師”不是“出高徒”的唯一因素，所以名師與高徒之間存在相關(guān)關(guān)系．]2．下列四個(gè)圖象中，兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是()ABCDD[A中兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；在兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中，若樣本點(diǎn)成直線型帶狀分布，則兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系，對(duì)照?qǐng)D形：BD樣本點(diǎn)成直線型帶狀分布，B是負(fù)相關(guān)，D是正相關(guān)，C樣本點(diǎn)不成直線型帶狀分布．所以兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的圖象是D．]3．對(duì)四組不同數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，對(duì)它們的樣本相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3A[由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，圖①和圖③中的成對(duì)數(shù)據(jù)是正相關(guān)的，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，圖②和圖④中的成對(duì)數(shù)據(jù)是負(fù)相關(guān)的，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，圖①和圖②中的點(diǎn)相對(duì)更加集中于一條直線附近，所以相關(guān)性更強(qiáng)，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2<r4<0<r3<r1．]4．某公司2017～2022年的年利潤(rùn)x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示：年份201720182019202020212022利潤(rùn)x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則利潤(rùn)的中位數(shù)()A．是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B．是17，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系C．是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系D．是18，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系B[利潤(rùn)的中位數(shù)是16+182＝17，而且隨著利潤(rùn)的增加，支出也在增加，故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系．5．(多選)(2023·臨沂高二檢測(cè))對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到的散點(diǎn)圖如圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是()A．r1<0 B．r2>1C．r1＋r2>0 D．|r1|>|r2|AC[由題中散點(diǎn)圖可知，線性相關(guān)系數(shù)r1的圖象表示y與x成負(fù)相關(guān)，故－1<r1<0，故A正確；線性相關(guān)系數(shù)r2的圖象表示y與x成正相關(guān)，故0<r2<1，故B錯(cuò)誤；線性相關(guān)系數(shù)r2的點(diǎn)較線性相關(guān)系數(shù)r1的點(diǎn)密集，故|r2|>|r1|，故r1＋r2>0，故C正確，D錯(cuò)誤．]二、填空題6．對(duì)于任意給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是________．(填序號(hào))①都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系；②都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系；③都可以作出散點(diǎn)圖；④都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系．③[給出兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，總可以作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，但不一定能分析出兩個(gè)變量的關(guān)系，更不一定符合線性相關(guān)，不一定能用一條直線近似地表示，故①②不正確，③正確．兩個(gè)變量不一定有函數(shù)關(guān)系，即不一定可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系，故④不正確．]7．某商店經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為每件4元的商品，在市場(chǎng)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x與日銷售量y之間有如下關(guān)系：x5678y10873x，y之間的相關(guān)系數(shù)為________．(結(jié)果保留四位小數(shù))參考數(shù)據(jù)：－0.9648[根據(jù)參考數(shù)據(jù)，得相關(guān)系數(shù)＝-115×26≈－8．某部門所屬的10個(gè)工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價(jià)值x與工業(yè)增加值y的資料如表(單位：百萬元)：x33566789910y15172528303637424045根據(jù)上表資料計(jì)算的相關(guān)系數(shù)約為______．(結(jié)果保留四位小數(shù))0.9918[因?yàn)閤＝110×(3＋3＋…＋10)y＝110×(15＋17＋…＋45)iii所以樣本相關(guān)系數(shù)為＝2305-10×6.6三、解答題9．某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)x與銷售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)：x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中判斷銷售金額與廣告支出費(fèi)成什么樣的關(guān)系？[解](1)以x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，y對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如圖所示．(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告支出費(fèi)與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告支出費(fèi)由小變大時(shí)，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正線性相關(guān)關(guān)系．10．北極冰融是近年來最引人注目的氣候變化現(xiàn)象之一．白色冰面融化變成顏色相對(duì)較暗的海冰，被稱為“北極變暗”現(xiàn)象，21世紀(jì)以來，北極的氣溫變化是全球平均水平的2倍，被稱為“北極放大”現(xiàn)象．如圖為北極年平均海冰面積(單位：106km2)與年平均CO2濃度(單位：ppm)統(tǒng)計(jì)圖．則下列說法正確的是()A．北極年海冰面積逐年減少B．北極年海冰面積減少速度不斷加快C．北極年海冰面積與年平均CO2濃度大體成負(fù)相關(guān)D．北極年海冰面積與年平均CO2濃度大體成正相關(guān)C[對(duì)于A，B，由統(tǒng)計(jì)圖可知北極年海冰面積既有增加又有減少，故A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，由統(tǒng)計(jì)圖可知隨著年平均CO2濃度增加，北極年海冰面積總體呈下降趨勢(shì)，所以北極年海冰面積與年平均CO2濃度大體成負(fù)相關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤．]11．(多選)下表是某城市2022年1月至10月各月最低氣溫與最高氣溫(℃)的數(shù)據(jù)表，已知該城市的各月最低氣溫與最高氣溫具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)該表，則下列結(jié)論正確的是()月份12345678910最高氣溫/℃59911172427303121最低氣溫/℃－12－31－271719232510A．最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B．每月最低氣溫與最高氣溫的平均值在前8個(gè)月逐月增加C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月D．2022年1月至4月溫差(最高氣溫減最低氣溫)相對(duì)于7月至10月，波動(dòng)性更大ACD[對(duì)于A，由題意可知該城市的各月最低氣溫與最高氣溫具有相關(guān)關(guān)系，由數(shù)據(jù)分析可得最低氣溫與最高氣溫正相關(guān)，故A正確；對(duì)于B，由題表數(shù)據(jù)可得，每月最高氣溫與最低氣溫的平均值依次為－3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8個(gè)月不是逐月增加，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題表數(shù)據(jù)可得，月溫差依次為17，12，8，13，10，7，8，7，6，11，所以月溫差的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；對(duì)于D，由C的結(jié)論，分析可得2022年1月至4月的月溫差相對(duì)于7月至10月