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文檔簡介
北師版七年級下第5招應(yīng)用思想方法解相交線與平行線問題的八種技巧數(shù)學思想與方法是解決數(shù)學問題的核心.只有掌握相關(guān)的數(shù)學
思想與方法,才能正確思考數(shù)學問題,找到正確解法.解相交
線與平行線問題時,常用的方法有基本圖形(添加輔助線)
法、分離圖形法,常用的數(shù)學思想有方程思想、轉(zhuǎn)化思想、
數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、建模思想、從特殊到一般的
思想.
如圖,若∠BCD=∠B+∠D,試說明AB與DE的位置關(guān)系.
欲得出AB與DE的位置關(guān)系,從已知條件中無法直
接得出結(jié)論,需用基本圖形法作輔助線將原圖演變成“三線八角”或“三線平行”等涉及平行的基本圖形,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進行說明.解:在∠BCD的內(nèi)部作∠DCF=∠D,如圖所示,則
DE∥FC.因為∠BCD=∠B+∠D,∠BCD=∠DCF+∠FCB,所以∠FCB=∠B.所以FC∥AB.所以AB∥DE.
基本圖形(添加輔助線)法1.如圖,請?zhí)剿鳎阂氲玫紸B∥CD,∠1,∠2,∠3之間應(yīng)
滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?【解】應(yīng)滿足∠1=∠2+∠3.理由:如圖,過點E作EF∥AB,則∠1+∠AEF=180°.而若有AB∥CD,則必有EF∥CD.所以∠3+∠2+∠AEF=180°.所以∠1=∠2+∠3.所以要想得到AB∥CD,∠1,∠2,∠3之間應(yīng)滿足∠1=∠2+∠3.
分離圖形法2.若平行線EF,MN與相交線AB,CD相交成如圖所示的圖
形,則共得出同旁內(nèi)角多少對?【解】如答圖,將給出的圖形分離為8個“三線八角”的基本圖形,由每個基本圖形都有2對同旁內(nèi)角,知共有16對同旁內(nèi)角.
方程思想3.如圖,由點O引出六條射線OA,OB,OC,OD,OE,
OF,且AO⊥OB,OF平分∠BOC,OE平分∠AOD.若
∠EOF=170°,求∠COD的度數(shù).【解】因為AO⊥OB,所以∠AOB=90°.設(shè)∠COD=x.因為OF平分∠BOC,OE平分∠AOD,所以2∠COF=∠BOC,2∠EOD=∠AOD.因為∠EOF=x+∠COF+∠EOD=170°,所以∠COF+∠EOD=170°-x.又因為x+2∠COF+2∠EOD+90°=360°,所以x+2(170°-x)+90°=360°.所以x=70°,即∠COD=70°.
轉(zhuǎn)化思想4.如圖,A,B,C三點在同一條直線上,∠1=∠2,∠3=
∠D.試說明:BD∥CE.【解】因為∠1=∠2,所以AD∥BE.所以∠D=∠DBE.因為∠3=∠D,所以∠DBE=∠3.所以BD∥CE.
數(shù)形結(jié)合思想5.[2023·江蘇天一中學期中]如圖,在三角形ABC中,點D,E
分別在AB,BC上,且DE∥AC,∠1=∠2.(1)試說明:AF∥BC;【解】因為DE∥AC,所以∠1=∠C.因為∠1=∠2,所以∠2=∠C.所以AF∥BC.(2)若AC平分∠BAF,∠B=36°,求∠1的度數(shù).
分類討論思想6.如圖,直線l1∥l2,直線l3交l1于點C,交l2于點D,P是線段
CD上的一個動點.當點P在線段CD上運動時,探究∠1,
∠2,∠3之間的關(guān)系.【解】當點P在點C,D之間時,過點P向左作PE∥AC,如
答圖①所示,則PE∥BD.因為PE∥AC,
所以∠APE=∠1.因為PE∥BD,所以∠BPE=∠3.因為∠2=∠APE+∠BPE,所以∠2=∠1+∠3.當點P與點C重合時,∠1=0°,如答圖②所示.因為l1∥l2,所以∠2=∠3.因為∠1=0°,
所以∠2=∠1+∠3.當點P與點D重合時,∠3=0°,如答圖③所示.因為l1∥l2,所以∠2=∠1.因為∠3=0°,所以∠2=∠1+∠3.綜上所述,當點P在線段CD上運動時,∠1,∠2,∠3之間
的關(guān)系為∠2=∠1+∠3.
建模思想7.生活中常見的一種折疊攔道閘如圖①所示,其某一時刻的
示意圖如圖②所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面
AE,則∠ABC+∠BCD=
?°.270
從特殊到一般的思想8.如圖,直線AB∥CD,直線EF分別交AB,CD于E,F(xiàn)兩
點,∠BEF,∠DFE的平分線相交于點K.(1)求∠K的度數(shù).因為AB∥CD,所以∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=
180°,即2(∠BEK+∠DFK)=180°.所以∠BEK+∠DFK=90°.所以∠EKF=∠EKG+∠GKF
=∠BEK+∠DFK=90°.【解】(1)如圖,過點K作KG∥AB,交EF于點G.因為AB∥CD,所以KG∥AB∥CD.所以∠BEK=∠EKG,∠GKF=∠DFK.因為EK,F(xiàn)K分別為∠BEF,∠EFD的平分線,所以∠BEK=∠FEK,∠EFK=∠DFK.(2)作∠BEK,∠DFK的平分線相交于點K1,∠K1與∠K的度數(shù)是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論并說明理由.【解】存在,∠EKF=2∠K1.理由如下:因為EK1,F(xiàn)K1分別為∠BEK,∠DFK的平分線,所以∠BEK1=∠KEK1,∠KFK1=∠DFK1.因為∠BEK+∠DFK=90°,所以∠BEK1+∠KEK1+∠KFK1+∠DFK1=90°,即
2(∠KEK1+∠KFK1)=90°.所以∠KEK1+∠KFK1=45°.所以∠K1=180°-(∠KEK1+∠KFK1)-(∠FEK
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