2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)真題精練第十章概率與統(tǒng)計第42練概率與統(tǒng)計與其他知識的綜合課件

第42練

概率與統(tǒng)計與其他知識的綜合1[2018全國Ⅰ卷·20,12分,難度★★★★☆]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?

2[2021新高考Ⅱ卷·21,12分,難度★★★★☆]一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,設(shè)一個這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,求證:當(dāng)E(X)≤1時,p=1,當(dāng)E(X)>1時,p<1;(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.【解析】

2.【參考答案】

(1)由題意,P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.1,∴X的分布列為E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.X0123P0.40.30.20.1(2)解法一(先提取公因式、再構(gòu)造函數(shù)法)

記f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由題知,p為f(x)=0的實根,由p0=1-p1-p2-p3,得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].記g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1,則g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1,g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.當(dāng)E(X)≤1時,g(1)≤0,易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)=0無實根.∴f(x)=0在(0,1]上有且僅有一個實根,即p=1,∴當(dāng)E(X)≤1時,p=1.當(dāng)E(X)>1時,g(1)>0,又g(0)<0,g(x)的圖象開口向上,∴g(x)=0在(0,1)上有唯一實根p'∈(0,1),∴f(x)=0的最小正實根p=p'∈(0,1),∴當(dāng)E(X)>1時,p<1.解法二(直接求導(dǎo)法)

設(shè)f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,∵p3+p2+p1+p0=1,∴f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0.若E(x)≤1,則p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0.f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),∴f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0≤0,故f'(x)有兩個不同零點x1,x2,且x1<0<1≤x2.當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈(x1,x2)時,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減.若x2=1,∵f(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增且f(1)=0,f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,故當(dāng)x∈(0,x2)時,f(x)>f(x2)=f(1)=0,故1為p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根.若x2>1,∵f(1)=0且f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,故1為p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根.綜上,若E(X)≤1,則p=1若E(x)>1,則p1+2p2+3p3>1,故p2+2p3>p0.此時f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有兩個不同零點x3,x4,且x3<0<x4<1.當(dāng)x∈(-∞,x3)∪(x4,+∞)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈(x3,x4)時,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上單調(diào)遞增,在(x3,x4)上單調(diào)遞減.而f(1)=0,故f(x4)<0,又f(0)=p0>0,故f(x)在(0,x4)上存在一個零點x0,且x0<1.∴x0為p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根p,此時p<1,故當(dāng)E(x)>1時,p<