第八章根軌跡法

第八章根軌跡法第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點（閉環(huán)特征方程的根）在s平面上的位置密切相關(guān)，分析系統(tǒng)時須求解特征方程的根，這對于高階系統(tǒng)是異常困難的。根軌跡法：直接由求

（閉環(huán)極點）的方法開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征根第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-1根軌跡與根軌跡方程§8-2繪制根軌跡的基本法則§8-4系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與性能指標例題分析課后習(xí)題第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-1根軌跡與根軌跡方程一、根軌跡概念所謂根軌跡，是指當(dāng)系統(tǒng)某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）由零到無窮大變化時，閉環(huán)特征根在復(fù)平面上移動的軌跡。由已知的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡圖，即可直觀的表示出某參數(shù)變化時閉環(huán)特征根發(fā)生的變化，從而分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。根軌跡圖全面地描述參數(shù)對閉環(huán)特征根分布的影響。第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，令K*=2K，稱K*為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益，它不等于開環(huán)增益K。閉環(huán)特征方程為可求得閉環(huán)特征根閉環(huán)傳遞函數(shù)為如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求根軌跡。

例8-1第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月K由0

∞變化時，可以用解析的方法求出閉環(huán)極點的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標注在[S]平面上，即閉環(huán)特征根在[S]平面上移動的軌跡，稱為系統(tǒng)的根軌跡，如下圖如示下面尋找系統(tǒng)開環(huán)增益K和系統(tǒng)閉環(huán)特征根的關(guān)系。當(dāng)K=0時K=0.5時K=1時K=∞時ImRe-20K=0.5K=1K=1第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月由根軌跡圖，可對系統(tǒng)的動態(tài)性能進行如下分析：開環(huán)增益K由0變化到無窮大時，根軌跡均在[S]平面的左半部，因此，系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。當(dāng)0<K<0.5時，閉環(huán)極點為負實根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。當(dāng)K=0.5時，系統(tǒng)阻尼比為1，出現(xiàn)重根，呈臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K>0.5時，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)。且由坐標原點做與負實軸夾角為±45°的直線，與根軌跡交于根-1+j和-1-j。顯然，這時有最佳阻尼比0.707，此時K=1。因為開環(huán)傳遞函數(shù)有一個位于坐標原點的極點，所以系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess=0，而靜態(tài)誤差系數(shù)可從根軌跡對應(yīng)的K值求得。第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二、根軌跡方程及幅角、幅值條件設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其特征方程為1+G(s)H(s)=0，即G(s)H(s)=-1該式稱為根軌跡方程，滿足該式的點必定是根軌跡上的點。由于G(s)H(s)是復(fù)數(shù)向量，兩個向量相等則幅角、幅值分別相等。因此，根軌跡方程可寫成兩個方程，即幅值條件：幅角條件：第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成z1、z2、…、zm為系統(tǒng)的m個開環(huán)零點；p1、p2、…、pn為系統(tǒng)的n個開環(huán)極點。該傳遞函數(shù)的向量表達式為其中，第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月因此幅角條件、幅值條件可表示為：由上兩式可知，幅角條件與增益K*值無關(guān)，而幅值條件中含因子K*，但K*為零至無窮大。因此，復(fù)平面[S]上所有滿足幅角條件的點都是特征方程的根，這些點構(gòu)成的曲線即根軌跡曲線。各個點所對應(yīng)的增益K*值則可由幅值條件確定。這就是求取根軌跡的原則。第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月利用以上原則求例8-1的根軌跡圖：已知開環(huán)極點為0，-2。首先應(yīng)用幅角條件，即用試探的方法可找出滿足上述條件的s點。由幅角條件分析可知，實軸上根軌跡位于（-2，0）區(qū)間，實軸之外根軌跡為0，-2兩點的中垂線。如對(-1+j)點，有得K*=2用幅值條件可算出根軌跡上各點對應(yīng)的K*值。第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-2繪制根軌跡的基本法則根軌跡法是依據(jù)反饋系統(tǒng)中開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定關(guān)系（幅角條件），直接由開環(huán)函數(shù)尋找閉環(huán)根軌跡。掌握根軌跡的規(guī)律性可以極大的方便繪制。本節(jié)討論開環(huán)增益K變化時繪制根軌跡的法則，這些法則經(jīng)適當(dāng)變換后可用于其它參數(shù)的變化。第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一、根軌跡的分支數(shù)

根軌跡[S]平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n，即分支數(shù)與閉環(huán)極點的數(shù)目相同。這是因為特征方程階數(shù)為n表明有n個特征根，這n個特征根隨K變化必然會出現(xiàn)n條根軌跡。二、根軌跡的對稱性

因開環(huán)極點、零點與閉環(huán)極點都是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，分布對稱于實軸，故根軌跡對稱于實軸。第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月三、根軌跡的起點與終點

根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則有(n–m)條根軌跡終止于無窮遠處。K=0時，根軌跡方程為(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0得根軌跡起點為p1，p2，…，pn由根軌跡方程知，時，s–zi=0所以，根軌跡終止于開環(huán)零點。又，若n>m，則時，上式可寫成即有(n-m)條根軌跡趨向于無窮遠處。第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月四、實軸上的根軌跡實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。即若實軸上某點右側(cè)開環(huán)零、極點數(shù)和為奇數(shù)，則該點在根軌跡上；為偶數(shù)則不在根軌跡上。該結(jié)論可由幅角條件證明。第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月五、根軌跡的漸近線

如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則時，趨向無窮遠處的根軌跡共有(n-m)條，這些根軌跡趨向于無窮遠處的方向角可由漸近線決定。漸近線與實軸交點坐標公式該式的分子是開環(huán)極點之和減零點之和，分母是開環(huán)極點數(shù)減零點數(shù)。漸近線與實軸下方向夾角公式式中k依次取0，±1，±2，…一直到獲得(n-m)個傾角為止。第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月p3p2p1-2-10j60°-60°漸近線與實軸正方向的夾角解：開環(huán)傳遞函數(shù)有3個極點，沒有零點。即故三條根軌跡趨向無窮遠處，其漸近線與實軸交點的坐標為取三條漸近線如圖所示。例8-2某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡漸近線第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月六、根軌跡的起始角與終止角根軌跡的起始角是指起于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與水平線正方向的夾角。根據(jù)幅角條件可得其中：由此得出起始角公式同理可得復(fù)數(shù)零點zb處的終止角（入射角）公式第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月七、分離點的坐標

幾條根軌跡在[S]平面上相遇后又分開的點，稱為根軌跡的分離點(會合點)分離點的坐標方程其中，pj為開環(huán)極點，zi為開環(huán)零點，d為分離點坐標。若開環(huán)零極點全部在實軸上交錯排列，則根軌跡無分離點。第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的分離點坐標。解：由分離點坐標公式得：解此方程得d1在根軌跡上，是所求的分離點。d2不在根軌跡上，舍去。根軌跡如圖所示。-1.5-1dp1K=0p2jj-j02.12第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月八、實軸上分離點的分離角恒為±90o

根軌跡離開分離點時，軌跡切線的傾角稱分離角。實軸上分離點的分離角恒為±90o。

實軸上會合點的會合角也恒為±90o。九、根軌跡與虛軸的交點

若根軌跡與虛軸相交，表明閉環(huán)極點中有一部分位于虛軸上，即閉環(huán)特征方程有純虛根±jω，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。將代入特征方程中得或，令下兩式成立則可解出ω值及對應(yīng)的臨界開環(huán)增益K*及K。第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令，代入上式得即聯(lián)立得：其中，K為系統(tǒng)開環(huán)增益，K*為根軌跡增益。第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月十、系統(tǒng)閉環(huán)極點之和為常數(shù)將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母展開，得若系統(tǒng)滿足n-m≥2，則特征方程為由代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系知，系統(tǒng)閉環(huán)極點之和結(jié)論：當(dāng)n-m≥2時，系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。通常把稱作極點的重心。可知當(dāng)K*變化時，極點重心保持不變。這個性質(zhì)可用來確定極點位置及相應(yīng)的K*值第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月十一、系統(tǒng)閉環(huán)極點之積閉環(huán)極點之積即閉環(huán)極點積等于開環(huán)極點積+K*×開環(huán)零點積易知，若系統(tǒng)有開環(huán)零極點，則閉環(huán)極點積第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月參量根軌跡的繪制可繪制以Ks為參數(shù)的根軌跡圖，稱參量根軌跡圖。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：以特征方程中不含Ks的各項(s2+2s+10)除特征方程，得可以看作是以Ks為根軌跡增益的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。由此，繪制G’(s)H’(s)的根軌跡圖，即Ks的參量根軌跡圖。第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月求會合點會合點是特征方程的重根，可利用求重根的方法確定其位置。由該微分方程解出重根s’的值，舍去不合理的根，則可由獲得的s’反求會合點處的K。第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-4系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與性能指標閉環(huán)零極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)極點必須全部在復(fù)平面的左半平面上。要求快速性好的系統(tǒng)，其階躍響應(yīng)衰減較快。為此，應(yīng)使閉環(huán)極點遠離虛軸；要求平穩(wěn)性好的系統(tǒng)，其復(fù)數(shù)極點最好設(shè)置在復(fù)平面中與負實軸成±45°夾角的直線附近。由第三章內(nèi)容，若二階系統(tǒng)共軛極點位于±45°線上，則對應(yīng)最佳阻尼比0.707，其穩(wěn)定性、快速性較好。第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月閉環(huán)極點、零點遠離虛軸時，其對瞬態(tài)響應(yīng)影響減小。若某一極點比其它極點距虛軸遠4—6倍，則可忽略其對瞬態(tài)響應(yīng)的影響。若要求動態(tài)過程盡快消失，應(yīng)增大閉環(huán)極點間距，并使零點zj靠近極點Pj。因零點總少于極點，應(yīng)使零點靠近距虛軸較近，影響較大的極點，以削弱其影響，提高快速性。一對靠得很近的零極點稱為偶極子。在系統(tǒng)中適當(dāng)設(shè)計偶極子，可以使系統(tǒng)的動態(tài)過程獲得改善。第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)根軌跡的概念根軌跡方程，幅角條件，幅值條件繪制根軌跡的法則、過程零極點分布與動態(tài)性能，偶極子第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第八章習(xí)題1．系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，畫出根軌跡圖（寫出詳細步驟），求出系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。，繪制以Ks為參量的根軌跡圖（必須列出詳細步驟）。2.第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第1題答案系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：由此可畫出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)極點：－1，－1＋j，－1－j;無零點；（1）實軸上根軌跡（－

，－1］（2）趨向無窮遠處根軌跡數(shù)為：3－0＝3，漸近線角度：±60°；-180°（3）根軌跡與虛軸的交點為：w=－2j,+2j；K=5（4）從根軌跡圖可見，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為：K＞0。根軌跡圖如右圖所示。第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第2題答案