第八章根軌跡法

第八章根軌跡法第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點(diǎn)（閉環(huán)特征方程的根）在s平面上的位置密切相關(guān)，分析系統(tǒng)時(shí)須求解特征方程的根，這對于高階系統(tǒng)是異常困難的。根軌跡法：直接由求

（閉環(huán)極點(diǎn)）的方法開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征根第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-1根軌跡與根軌跡方程§8-2繪制根軌跡的基本法則§8-4系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布與性能指標(biāo)例題分析課后習(xí)題第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-1根軌跡與根軌跡方程一、根軌跡概念所謂根軌跡，是指當(dāng)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益K）由零到無窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征根在復(fù)平面上移動的軌跡。由已知的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡圖，即可直觀的表示出某參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)特征根發(fā)生的變化，從而分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。根軌跡圖全面地描述參數(shù)對閉環(huán)特征根分布的影響。第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，令K*=2K，稱K*為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益，它不等于開環(huán)增益K。閉環(huán)特征方程為可求得閉環(huán)特征根閉環(huán)傳遞函數(shù)為如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求根軌跡。

例8-1第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月K由0

∞變化時(shí)，可以用解析的方法求出閉環(huán)極點(diǎn)的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標(biāo)注在[S]平面上，即閉環(huán)特征根在[S]平面上移動的軌跡，稱為系統(tǒng)的根軌跡，如下圖如示下面尋找系統(tǒng)開環(huán)增益K和系統(tǒng)閉環(huán)特征根的關(guān)系。當(dāng)K=0時(shí)K=0.5時(shí)K=1時(shí)K=∞時(shí)ImRe-20K=0.5K=1K=1第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月由根軌跡圖，可對系統(tǒng)的動態(tài)性能進(jìn)行如下分析：開環(huán)增益K由0變化到無窮大時(shí)，根軌跡均在[S]平面的左半部，因此，系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。當(dāng)0<K<0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。當(dāng)K=0.5時(shí)，系統(tǒng)阻尼比為1，出現(xiàn)重根，呈臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K>0.5時(shí)，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)。且由坐標(biāo)原點(diǎn)做與負(fù)實(shí)軸夾角為±45°的直線，與根軌跡交于根-1+j和-1-j。顯然，這時(shí)有最佳阻尼比0.707，此時(shí)K=1。因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess=0，而靜態(tài)誤差系數(shù)可從根軌跡對應(yīng)的K值求得。第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二、根軌跡方程及幅角、幅值條件設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其特征方程為1+G(s)H(s)=0，即G(s)H(s)=-1該式稱為根軌跡方程，滿足該式的點(diǎn)必定是根軌跡上的點(diǎn)。由于G(s)H(s)是復(fù)數(shù)向量，兩個(gè)向量相等則幅角、幅值分別相等。因此，根軌跡方程可寫成兩個(gè)方程，即幅值條件：幅角條件：第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成z1、z2、…、zm為系統(tǒng)的m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)；p1、p2、…、pn為系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)。該傳遞函數(shù)的向量表達(dá)式為其中，第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月因此幅角條件、幅值條件可表示為：由上兩式可知，幅角條件與增益K*值無關(guān)，而幅值條件中含因子K*，但K*為零至無窮大。因此，復(fù)平面[S]上所有滿足幅角條件的點(diǎn)都是特征方程的根，這些點(diǎn)構(gòu)成的曲線即根軌跡曲線。各個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)的增益K*值則可由幅值條件確定。這就是求取根軌跡的原則。第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月利用以上原則求例8-1的根軌跡圖：已知開環(huán)極點(diǎn)為0，-2。首先應(yīng)用幅角條件，即用試探的方法可找出滿足上述條件的s點(diǎn)。由幅角條件分析可知，實(shí)軸上根軌跡位于（-2，0）區(qū)間，實(shí)軸之外根軌跡為0，-2兩點(diǎn)的中垂線。如對(-1+j)點(diǎn)，有得K*=2用幅值條件可算出根軌跡上各點(diǎn)對應(yīng)的K*值。第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-2繪制根軌跡的基本法則根軌跡法是依據(jù)反饋系統(tǒng)中開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定關(guān)系（幅角條件），直接由開環(huán)函數(shù)尋找閉環(huán)根軌跡。掌握根軌跡的規(guī)律性可以極大的方便繪制。本節(jié)討論開環(huán)增益K變化時(shí)繪制根軌跡的法則，這些法則經(jīng)適當(dāng)變換后可用于其它參數(shù)的變化。第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一、根軌跡的分支數(shù)

根軌跡[S]平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n，即分支數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目相同。這是因?yàn)樘卣鞣匠屉A數(shù)為n表明有n個(gè)特征根，這n個(gè)特征根隨K變化必然會出現(xiàn)n條根軌跡。二、根軌跡的對稱性

因開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)都是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，分布對稱于實(shí)軸，故根軌跡對稱于實(shí)軸。第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月三、根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)

根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有(n–m)條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。K=0時(shí)，根軌跡方程為(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0得根軌跡起點(diǎn)為p1，p2，…，pn由根軌跡方程知，時(shí)，s–zi=0所以，根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。又，若n>m，則時(shí)，上式可寫成即有(n-m)條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月四、實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。即若實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，則該點(diǎn)在根軌跡上；為偶數(shù)則不在根軌跡上。該結(jié)論可由幅角條件證明。第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月五、根軌跡的漸近線

如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則時(shí)，趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有(n-m)條，這些根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處的方向角可由漸近線決定。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)公式該式的分子是開環(huán)極點(diǎn)之和減零點(diǎn)之和，分母是開環(huán)極點(diǎn)數(shù)減零點(diǎn)數(shù)。漸近線與實(shí)軸下方向夾角公式式中k依次取0，±1，±2，…一直到獲得(n-m)個(gè)傾角為止。第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月p3p2p1-2-10j60°-60°漸近線與實(shí)軸正方向的夾角解：開環(huán)傳遞函數(shù)有3個(gè)極點(diǎn)，沒有零點(diǎn)。即故三條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為取三條漸近線如圖所示。例8-2某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡漸近線第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月六、根軌跡的起始角與終止角根軌跡的起始角是指起于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平線正方向的夾角。根據(jù)幅角條件可得其中：由此得出起始角公式同理可得復(fù)數(shù)零點(diǎn)zb處的終止角（入射角）公式第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月七、分離點(diǎn)的坐標(biāo)

幾條根軌跡在[S]平面上相遇后又分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)(會合點(diǎn))分離點(diǎn)的坐標(biāo)方程其中，pj為開環(huán)極點(diǎn)，zi為開環(huán)零點(diǎn)，d為分離點(diǎn)坐標(biāo)。若開環(huán)零極點(diǎn)全部在實(shí)軸上交錯(cuò)排列，則根軌跡無分離點(diǎn)。第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)。解：由分離點(diǎn)坐標(biāo)公式得：解此方程得d1在根軌跡上，是所求的分離點(diǎn)。d2不在根軌跡上，舍去。根軌跡如圖所示。-1.5-1dp1K=0p2jj-j02.12第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月八、實(shí)軸上分離點(diǎn)的分離角恒為±90o

根軌跡離開分離點(diǎn)時(shí)，軌跡切線的傾角稱分離角。實(shí)軸上分離點(diǎn)的分離角恒為±90o。

實(shí)軸上會合點(diǎn)的會合角也恒為±90o。九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

若根軌跡與虛軸相交，表明閉環(huán)極點(diǎn)中有一部分位于虛軸上，即閉環(huán)特征方程有純虛根±jω，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。將代入特征方程中得或，令下兩式成立則可解出ω值及對應(yīng)的臨界開環(huán)增益K*及K。第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令，代入上式得即聯(lián)立得：其中，K為系統(tǒng)開環(huán)增益，K*為根軌跡增益。第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月十、系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母展開，得若系統(tǒng)滿足n-m≥2，則特征方程為由代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系知，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和結(jié)論：當(dāng)n-m≥2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。通常把稱作極點(diǎn)的重心?？芍?dāng)K*變化時(shí)，極點(diǎn)重心保持不變。這個(gè)性質(zhì)可用來確定極點(diǎn)位置及相應(yīng)的K*值第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月十一、系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之積閉環(huán)極點(diǎn)之積即閉環(huán)極點(diǎn)積等于開環(huán)極點(diǎn)積+K*×開環(huán)零點(diǎn)積易知，若系統(tǒng)有開環(huán)零極點(diǎn)，則閉環(huán)極點(diǎn)積第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月參量根軌跡的繪制可繪制以Ks為參數(shù)的根軌跡圖，稱參量根軌跡圖。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：以特征方程中不含Ks的各項(xiàng)(s2+2s+10)除特征方程，得可以看作是以Ks為根軌跡增益的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。由此，繪制G’(s)H’(s)的根軌跡圖，即Ks的參量根軌跡圖。第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月求會合點(diǎn)會合點(diǎn)是特征方程的重根，可利用求重根的方法確定其位置。由該微分方程解出重根s’的值，舍去不合理的根，則可由獲得的s’反求會合點(diǎn)處的K。第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§8-4系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布與性能指標(biāo)閉環(huán)零極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)極點(diǎn)必須全部在復(fù)平面的左半平面上。要求快速性好的系統(tǒng)，其階躍響應(yīng)衰減較快。為此，應(yīng)使閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；要求平穩(wěn)性好的系統(tǒng)，其復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在復(fù)平面中與負(fù)實(shí)軸成±45°夾角的直線附近。由第三章內(nèi)容，若二階系統(tǒng)共軛極點(diǎn)位于±45°線上，則對應(yīng)最佳阻尼比0.707，其穩(wěn)定性、快速性較好。第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，其對瞬態(tài)響應(yīng)影響減小。若某一極點(diǎn)比其它極點(diǎn)距虛軸遠(yuǎn)4—6倍，則可忽略其對瞬態(tài)響應(yīng)的影響。若要求動態(tài)過程盡快消失，應(yīng)增大閉環(huán)極點(diǎn)間距，并使零點(diǎn)zj靠近極點(diǎn)Pj。因零點(diǎn)總少于極點(diǎn)，應(yīng)使零點(diǎn)靠近距虛軸較近，影響較大的極點(diǎn)，以削弱其影響，提高快速性。一對靠得很近的零極點(diǎn)稱為偶極子。在系統(tǒng)中適當(dāng)設(shè)計(jì)偶極子，可以使系統(tǒng)的動態(tài)過程獲得改善。第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)根軌跡的概念根軌跡方程，幅角條件，幅值條件繪制根軌跡的法則、過程零極點(diǎn)分布與動態(tài)性能，偶極子第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第八章習(xí)題1．系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，畫出根軌跡圖（寫出詳細(xì)步驟），求出系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。，繪制以Ks為參量的根軌跡圖（必須列出詳細(xì)步驟）。2.第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第1題答案系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：由此可畫出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)極點(diǎn)：－1，－1＋j，－1－j;無零點(diǎn)；（1）實(shí)軸上根軌跡（－

，－1］（2）趨向無窮遠(yuǎn)處根軌跡數(shù)為：3－0＝3，漸近線角度：±60°；-180°（3）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為：w=－2j,+2j；K=5（4）從根軌跡圖可見，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為：K＞0。根軌跡圖如右圖所示。第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第2題答案