第十章 機(jī)械振動

第十章機(jī)械振動第1頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

1、什么是振動：物體在一固定位置附近作來回的往復(fù)運(yùn)動，稱為機(jī)械振動。廣義地，凡是描述物質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)的物理量，在某一固定值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動。振動的概念任何一個具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生突變時,都會發(fā)生振動。物體在發(fā)生搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動。

前言2、振動的特征(在時間上）具有某種重復(fù)性。第2頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義地，凡是描述物質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)的物理量，在某一固定值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動。2、振動的特征(在時間上）具有某種重復(fù)性。廣義地說，只要某一物理量在時間上做周期性變化，就存在一種振動；如果某一物理量不僅在時間上做周期性變化，而且在空間上也做周期性變化，那么就存在一種波動在力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、原子物理學(xué)中都普遍存在振動和波動現(xiàn)象，雖然本質(zhì)不同，但對它們的數(shù)學(xué)描述是完全相同的第3頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月以幾個例子導(dǎo)出系統(tǒng)簡諧振動的動力學(xué)方程，分析其動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)的共同特征，給出簡諧振動的幾何描述，介紹簡諧振動的合成，用以解決系統(tǒng)的簡諧振動問題。給出阻尼振動的微分方程以及運(yùn)動學(xué)解，進(jìn)一步分析弱阻尼時的系統(tǒng)的能量問題。給出受迫振動的微分方程及其運(yùn)動學(xué)解，重點(diǎn)討論穩(wěn)態(tài)振動時的共振特征。第4頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月§10-1簡諧振動的動力學(xué)特征任何一個振動都可看成若干不同頻率的簡諧振動的合成。振動中最簡單最基本的是簡諧振動。第5頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1）定義：構(gòu)成：輕質(zhì)彈簧一端固定其另一端 與剛體聯(lián)結(jié)。條件：位移限定在彈性限度內(nèi)，不 計彈簧內(nèi)部摩擦。2）無阻尼時的自由振動阻尼：干摩擦、濕摩擦（介質(zhì)阻力）、輻射自由振動：指系統(tǒng)只受外界一次性擾動，而后的運(yùn)動 只在系統(tǒng)內(nèi)部恢復(fù)力作用下運(yùn)動。（1）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)：平衡位置：是系統(tǒng)處于穩(wěn)定平穩(wěn)的位置，并選該點(diǎn)為 坐標(biāo)原點(diǎn)（對水平面上的彈簧振子，則是其自由伸長處）。X0xFK一、簡諧振動的幾個例子1.

彈簧振子第6頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）慣性的作用整個系統(tǒng)是在內(nèi)部線性恢復(fù)力和慣性的交互作用下來實現(xiàn)振動的?；謴?fù)力與位移成正比而反向（線性回復(fù)力），即（2）彈性恢復(fù)力的特點(diǎn)：此處位移特指系統(tǒng)偏離平衡位置的位移。F=-kx

X0xFK第7頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3）彈簧振子的運(yùn)動微分方程由牛頓定律：以振子為對象解微分方程得：第8頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月4）.簡諧振動的定義—胡克定律—諧振動的微分方程—諧振動的運(yùn)動方程

若物體的運(yùn)動規(guī)律滿足上述方程中的任一個，則其運(yùn)動為簡諧振動。第9頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2）無阻尼時的自由振動（1）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)：鉛直位置為角平衡位置，o為角坐標(biāo)原點(diǎn)。（2）恢復(fù)力矩的特點(diǎn)：重力對過懸點(diǎn)0/的水平軸的力矩為：負(fù)號表示力矩方向始終與角位移方向相反。1）定義2、單擺對于較小幅度的擺動，

第10頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3）單擺的運(yùn)動微分方程由定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：方程的解為對于較小幅度的擺動，

第11頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.復(fù)擺

對于較小幅度的擺動，

令

整理得：1)定義2）同單擺一樣分析可得復(fù)擺運(yùn)動微分方程方程的解為第12頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月4.扭擺實驗表明：

轉(zhuǎn)動定律得：

令

整理得：

結(jié)論：在回復(fù)力或回復(fù)力矩作用下，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)微分方程為：第13頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月二.簡諧振動的速度和加速度圖圖圖第14頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月§10.2簡諧振動的運(yùn)動學(xué)

本節(jié)主要講解：根據(jù)簡諧振動的動力學(xué)方程求其運(yùn)動學(xué)方程，并討論簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)特征。一、簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程方程的解為：（1）上式就是簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程，該式又是周期函數(shù)，故簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動。式中A和

0為由初始條件所決定的兩個積分常數(shù)。第15頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用的時間：對彈簧振子：2.

頻率（）單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)：的含義：個單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)，即圓頻率。第16頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月固有角頻率固有振動周期第17頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.振幅定義：物體離開平衡位置的最大位移。振幅可以由初始條件決定。如：t=0時刻，第18頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

4、位相和初位相位相是描述系統(tǒng)機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)的物理量。（相又指月相之相─取其具有周期性）(i)用分析法確定特殊情況下的位相

t=0時，x0=A,v0=0.(位——位置；相——變化的態(tài)勢）X0X0=+A（2）

0

是t=0時刻的位相，即初位相（0—2之間取值）第19頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月X0

t=0時,x0=0,v0<0vX0

t=0時,x0=-A,v0=0-AX0v

t=0時,x0=0,v0>0第20頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月即由初始條件所決定的兩個積分常數(shù)(ii)用由初始條件決定的積分常數(shù)求初位相φ0取使x0、v0均滿足的值X0A／2

t=0時,x0=A/2,v0<0v第21頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月相位:⑴

相位決定了振動物體任時刻相對平衡位置的位移和速度，是反映振動物體的運(yùn)動狀態(tài)的物理量。⑵為初相位，描述質(zhì)點(diǎn)初始時刻的運(yùn)動狀態(tài).⑶相位在內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動狀態(tài)；反映出簡諧運(yùn)動的周期性。相位相差為整數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)全同。討論：第22頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月討論質(zhì)點(diǎn)做諧振動，討論=0、

、

/2、-

/2時，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)。位于正最大位移處，速度為零位于負(fù)最大位移處，速度為零位于平衡位置，以速度

A沿x負(fù)方向運(yùn)動

位于平衡位置，以速度

A沿x正方向運(yùn)動

第23頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月相位差：兩振動相位之差。討論：（1）若是的整數(shù)倍，則振動同相位；（2）若是的奇數(shù)倍，則振動相位相反；（3）若，則稱超前；（4）若，則稱落后；相位差的不同，表明二振動有不同程度的參差錯落，振動步調(diào)不同。第24頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相。解：因此，在第一象限，第25頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)：⑴簡諧振動是周期性運(yùn)動；⑵簡諧振動各瞬時的運(yùn)動狀態(tài)由振幅A、頻率及初相位決定，或者說，由振幅和相位決定。⑶簡諧振動的頻率是由振動系統(tǒng)本身固有性質(zhì)決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質(zhì)，而且取決于初始條件。三、簡諧振動的圖象：x-t圖線

描述：質(zhì)點(diǎn)在各個時刻的偏離平衡位置的位移。中學(xué)里經(jīng)常作正弦、余弦函數(shù)的圖象，故不再多講，請看書。第26頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1、旋轉(zhuǎn)矢量的規(guī)定法則

(1)旋轉(zhuǎn)矢量的制作(2)旋轉(zhuǎn)矢量的作用：(3)旋轉(zhuǎn)矢量本身不是諧振動若已知一個諧振動

x=Acos(t+0)相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示。習(xí)慣上用

A的位置x

t+t時刻t=0

時刻A的位置x0X

O四、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法第27頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度不變的矢量，的始點(diǎn)在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)處，記時起點(diǎn)t=0時，矢量與坐標(biāo)軸的夾角為，矢量以角速度逆時針勻速轉(zhuǎn)動。第28頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見：⑴勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程。⑵矢端的速度大小為，在x軸上的投影為：⑶矢端沿圓周運(yùn)動的加速度即向心加速度的大小為：，在x軸上的投影：第29頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)：旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)沿圓周運(yùn)動的速度和加速度在坐標(biāo)軸上的投影等于特定的簡諧振動的位移、速度和加速度。因此，用旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影描述簡諧振動的方法叫簡諧振動的矢量表示法。第30頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知如圖示的諧振動曲線，試寫出振動方程.t(s)x(cm)p420-4-21解：方法一設(shè)諧振動方程為

從圖中得：A＝4cmt＝0時，x0＝-2cm，且

0＜0，得得再分析，t＝1s時，x＝2cm，

>0，第31頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月得即＝所以振動方程為方法二：用旋轉(zhuǎn)矢量法求解t(s)x(cm)p420-4-21t=0x第32頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月一、動能二、勢能三、總能四、動能和勢能在一個周期內(nèi)的平均值設(shè)x(t)=Acos(ωt+

0)v(t)=-Aωsin(ωt+

0)§10-3簡諧振動的能量第33頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間作周期性變化，Ｅｋ最大，Ｅｐ=0；Ｅｐ最大，Ｅｋ=0，但任一時刻總機(jī)械能保持不變。即：動能和勢能互相轉(zhuǎn)化（3）動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。

（2）諧振動的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）結(jié)論：討論：第34頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月簡諧運(yùn)動勢能曲線在任意位置，動能與勢能之和為．在一周期內(nèi)平均動能和平均勢能是相等的，都等于總能量的一半．第35頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例題當(dāng)簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？解第36頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月§10—4簡諧振動的合成一、同方向同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)點(diǎn)參與同方向同頻率的兩個簡諧振動：合位移：令：第37頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月則：因此，（1）⑴式表明：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率和分振動頻率相同?；蛘撸河珊喼C振動的旋轉(zhuǎn)矢量法表示：、以頻率旋轉(zhuǎn)，、之間的夾角不變，也以旋轉(zhuǎn)，平行四邊形的形狀不變。

第38頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月討論：（1）若相位差，即同相位，則：，振幅最大；（2）若相位差，即反相位，則：，振幅最??；（3）一般情況下，振幅A介于與之間。同方向同頻率簡諧振動的原理，在光波、聲波等的干涉和衍射中很有用。第39頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月二、同方向不同頻率簡諧振動的合成若：兩振動的周期之比：，n，m有最小公倍數(shù)，則：二振動合成后仍有周期，但不是簡諧振動，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知。若：周期之比不是整數(shù)比（如：無理數(shù)之比)，則合振動沒有周期性。為了簡單方便，設(shè)：則：（2）第40頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月假如：則：的周期遠(yuǎn)大于的周期。令：則⑵式就成為：（3）第41頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）⑶式可以看作：振幅按照緩慢變化的，而圓頻率等于的準(zhǔn)簡諧振動。即：振幅有周期變化的簡諧振動。平均圓頻率

令：調(diào)制圓頻率

⑶式就成為：（3）’第42頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）’（3）’式即：合振動為圓頻率等于平均圓頻率的“簡諧振動”，其振幅作緩慢的周