福建省泉州市永春縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

永春縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)科試卷（2023.06）

考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分試卷共4頁(yè)

一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

2

L設(shè)集合A={T,0,1,2},B={x∣x-4<θ},則AB=()

A.{-1,0,1,2}B.{0,l,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,2)

2.己知復(fù)數(shù)z=?4+a21,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

J-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.設(shè)非零向量m,〃滿(mǎn)足同=2,忖=3,W+W=2√Σ,則”,在"上的投影向量為（）

A.&B.與r5

C.---nD.—n

881818

4.若曲線/(x)=e'+sinx+”?在X=O處的切線方程為2x-ny+l=0,則()

A.7n=1,7?=—1B.m=-1,n=l

C.m=0,∕ι=-lD./%=0,n=1

5.若等比數(shù)列｛q｝的公比為4,其前〃項(xiàng)和為S“，前”項(xiàng)積為q,并且0</<l<小,則下列正確的是（）

A.q>?B.0<(2l<1

CS〃的最大值為反D.7；的最大值為n

6.中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)

示意圖如圖2所示,在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形A8C。為矩形，EF//AB,AB=2EF=2,YADE與LBCF

都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,若點(diǎn)A,B,C,D,E,F都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

圖1

Aw1lπCWr1iπ

B.-----D.—

8642

In31In2-ln7b>；C>J則(

7.若a=一Cl>一,t>=,(2c?f=2^*)

6In2a67ln2?

?.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

8.已知函數(shù)/（x）=αln（x+1）+l（α∈R）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,圓O:fy=4上的兩點(diǎn)Pa,yj,Q（Λ?,力）滿(mǎn)

足PA=/IAQ（XeR）,則∣2χ+y+7∣+∣2Λ2+為+7∣的最小值為（）

A.2√5B.7+√5

C.15-√5D.30-2√5

二.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩個(gè)

或兩個(gè)以上選項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，有錯(cuò)選的得0分。

9.以下說(shuō)法正確的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位數(shù)為95

B.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量X,y的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（看,乙），（々，外），，（當(dāng)，％），由此得到的線性回歸

方程為5>=加+2,回歸直線ggχ+G至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（FyJ,（x2,y2）,,（乙,%）中的一個(gè)點(diǎn)

C.相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于I,兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

D.已知隨機(jī)事件AB滿(mǎn)足P（A）>OP（B）>0,且P（BlA）=P（5）,則事件A與B不互斥

10.正方體ABC。-ABc。的棱長(zhǎng)為2,N為底面ABCZ）的中心，P為線段AA上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端

點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，則（）

A.CM與PN是異面直線B.平面RvVJ_平面3D"3∣

C.存在P點(diǎn)使得PNJ.4V

9

D.當(dāng)P為線段AA中點(diǎn)時(shí)，過(guò)A、N三點(diǎn)的平面截此正方體所得截面的面積為5

?2

11.已知雙曲線C:二-馬=1（α>O,b>O）的左、右焦點(diǎn)分別為月,尺，直線y=H交雙曲線C于4,8兩點(diǎn),

a^b^

點(diǎn)?為C上一動(dòng)點(diǎn)記直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,若a，且F1到C的漸近線的距離為√2,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.雙曲線C的離心率為√5

B.過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C相交M,N兩點(diǎn)，線段MN長(zhǎng)度的最小值為4

C.若4尸鳥(niǎo)的角平分線與X軸交點(diǎn)為(g,0),則S=2后

D.若雙曲線C在P處的切線與兩漸近線交于R兩點(diǎn)，則S0βR=也

12.已知函數(shù)/(x)和g(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)和g'(x)的定義域均為R,若/(x+3)=g(τ)+4,

/'(x)+g'(l+x)=0,且g(2x+l)為偶函數(shù),則()

A.g'(l)=0B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)

I(P3

C.函數(shù)尸(6的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱(chēng)D.?f,W(k)=1

A:=1

三.填空題(每空5分，共20分)

13.設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再?gòu)?/p>

乙袋中任取2球，則取出的全是紅球的概率為.

14.已知函數(shù)"x)=∣2SinWX+s)+l|(0>O,闞圉的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),若"x)在區(qū)間(-與,引上單調(diào)

遞增，則。的取值范圍是.

15.已知A,B,C,。為拋物線Ef2=2px(p>0)上不同的四點(diǎn)，直線48,CQ交于點(diǎn)Q(4,θ),直線AO

經(jīng)過(guò)E的焦點(diǎn)尸，若直線4。的斜率為直線BC斜率的4倍，則P=.

16.已知函數(shù)/(x)=x(α-lnx)-α,若存在唯一整數(shù)為,使得/[)>l-2InXO成立，則實(shí)數(shù)”的取值

范圍為.

四.解答題(70分，解答應(yīng)寫(xiě)出演算步驟，證明過(guò)程)

17.(10分)已知銳角他。的內(nèi)角4,8,<7的對(duì)邊分別為4肌,回邊上的高|8|為1,且c?=欣os。

(1)求證：--—+---=---；

tanAtan^tanC

(2)求IABl的最小值.

b=Lb=L

18.(12分)已知數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為S",%=1,且〃4+∣=2S,,,數(shù)列也)滿(mǎn)足'-5,~W,V∕j∈N*,

都有*=6也+2.

(1)求數(shù)列｛4｝、論,｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)l,=E?e,?n∈N?,即（+為6,>2（力1+32）恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

/=1

19.（12分）如圖1,在直角梯形ABC。中，ZADC=90o,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,M為線段48

的中點(diǎn).將aAQC沿AC折起，使平面AOCj_平面ABC,得到幾何體。-ABC,如圖2所示.

20.（12分）猜燈謎是我國(guó)一種民俗娛樂(lè)活動(dòng).某社區(qū)在元宵節(jié)當(dāng)天舉行了猜燈謎活動(dòng)，工作人員給每位

答題人提供了10道燈謎題目，答題人從中隨機(jī)選取4道燈謎題目作答，若答對(duì)3道及以上燈謎題目，答題

人便可獲得獎(jiǎng)品.已知甲能答對(duì)工作人員所提供的10道題中的6道.

（1）求甲能獲得獎(jiǎng)品的概率；（2）記甲答對(duì)燈謎題目的數(shù)量為X,求X的分布列與期望.

22

C―Z-+?-=l（fl>/?>0）

21.（12分）已知橢圓b-的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,A,B是其左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A,

（1）求橢圓C的方程；

（2）若尸為直線x=4上一點(diǎn)，PA,PB分別與橢圓交于C,。兩點(diǎn).

①證明：直線CZ）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)用；

②橢圓的左焦點(diǎn)為耳，求.<6。的內(nèi)切圓的最大面積.

22.（12分）已知函數(shù)"x）=e'+3sinrT,xe[0,用）.

（1）當(dāng)4=0時(shí)，求/（X）的單調(diào)區(qū)間；（2）若/（x）對(duì)恒成立，求。的取值范圍.

永春縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)科參考答案（2023.06）

一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.C2.A3.C4.D5.D6.D7.A8.C

二.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩個(gè)或兩

個(gè)以上選項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，有錯(cuò)選的得0分。

9.ACD10.BD11.ACD12.ABC

三.填空題（每空5分，共20分）

5（4（?ln3+l

13.—14.n0,-15.216.---

1419」（23」

四.解答題（70分，解答應(yīng)寫(xiě)出演算步驟，證明過(guò)程）

vi?Iz`ɑe∣,

17.(1)證明：c2=4∕?Ce)Sc/.sin2C=SirLASinBCOSC=-:-------=---

SinAsinBsinC

sin(A+B)_cosC=sinAcosB+CosAsinB_cosC

SinAsinBSinCSinAsinBSinC

111

-------1-------=-------

tanAtanBtanC

(2)由題意知Sabc=?e?=^absinC=>abs?nC=c,

c2=abcosC,1

由V,可知C=----且---/+∕/-IabcosC=abcosC,

absinC=ctanC

.,.cosC=°+°>=—,僅當(dāng)α=〃時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)0<tanC≤—,

3ab3ab32

.c>2__245—逆

??c≥百-陰)”5

18.(1)因?yàn)椤ǎ?2S,,所以當(dāng)〃≥2時(shí)，(/T)q=2S,τ,兩式相減得〃％一("-l)a,,=2?,,,

所以w?,+l=(n+l)α,,,即芻言=—,

又因?yàn)間=2S∣=2,則々=4,滿(mǎn)足%=組，

2n+1n

所以，數(shù)列為常數(shù)列，故r=4=1,則α,,="("eN*),

因?yàn)閿?shù)歹∣J{4}滿(mǎn)足4=g,8=(,VnwN*,都有Y+∣=2AJ+2,

所以，數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為9公比為%=;的等比數(shù)列,

=D("cN)

(2)因?yàn)?:叫+44+…+α也=；+2x(；)+3x(；)++"xg)①，

所以m+2x(9++(1)x(3+〃x(￡T②，

由①-②得K出+0++?)-n×(i)f?步［寫(xiě)，

2

所以］,=2-*?

又S,=當(dāng)W,所以不等式加q+2?S,>2(助+3包)，

即為力(2—詈［+^∣^<2］∕l"+∣r］,即(1一彳)/+(1一2幾)〃一6<0恒成立,

構(gòu)造函數(shù)/(")=(1-a),2+(i-2∕)”-6("∈N*),

當(dāng)4=1時(shí)，/(〃)=一〃一6<0恒成立，則4=1滿(mǎn)足條件；

當(dāng)/<1時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知/(〃)<0不恒成立；

當(dāng)久?1時(shí)，由于-9<0,則/(〃)在［l,÷w)上單調(diào)遞減，

L-A

則/5)≤/(1)=_32_4<0恒成立，則4>1滿(mǎn)足條件，

綜上所述，實(shí)數(shù)/1的取值范圍是

19.(1),直角梯形ABCD中，因?yàn)镹ADC=90。，且4)=OC=2,則AC=2√∑,

所以/04。=/004=45。，則NC4B=45。，又因?yàn)锳3=4,由余弦定理可得,

AC2+AB2-BC2√28+16-BC2

cos45°=也即解得BC=2近，

IAC-AB2-2×2√2×4

所以AC=BC=2√∑,從而AC2+BC2=AJ32,故AClBC,

D

取AC中點(diǎn)。連接。0,則。。_LAC,又面A￡)C_L面ABC,

面AOCn面ABC=AC,DOc?ACD,從而。DJ_平面ABC,

.?.OO_LBC又AC_L8C,ACCiOD=O,AC,OOU平面AC￡),

平面ACD

(2)建立空間直角坐標(biāo)系。-町，Z如圖所示，

則M(O,√Σ,O),C(-√Σ,O,O),D(0,0,√2),所以CΛ∕=(0,√%O),

CD=(√2,0,√2),

設(shè)4=(x,y,z)為面CDM的法向量,

nCM=0V2x+λ∕2y=0y=-x

則〈v,即3-'解得

%CD=0Z=-X

令X=T,可得n1=(-1,1,1)

又叼=(0,1,0)為面ACD的一?個(gè)法向量,

_Π?n_1_?/?

Λ∞s(n,nΛ2

12∣?∣∣n2∣石3

，二面角A-CD-M的余弦值為立

3

或+C；C；15+8019

20.(1)由題可知，甲能獲得獎(jiǎng)品的概率尸=

21042

(2)由題可知，X的取值可能為0,1,2,3,4,

422

P1Cr∣ΛCCaC3父

則P(X=O)===一，P(X=D==P(X=2)=^7A=二，P(χ=3)=?^=±

CO210C；。35C：。7C：。21

P(X=4)=舁1

jo14

X的分布列為

X01234

14281

P

2W3572114

L∕v?C1I4C3C8/112

(X)=OX------F1×-----F2χ—F3×----F4X—=—

1721035721145

21.(1)由已知得：G=2,A(—2,0),B(2,0),

設(shè)M(%,為K?N±2),

因?yàn)镸在橢圓上，所以從%=4〃①

),0X>_X：=3

因?yàn)樯譓WMZJ

XQ+2,Xg—2XQ—44

將①式代入，得4b2-b2x^=n-34，

所以從=3,

.￡-0tt—0t

⑵①設(shè)∕W)(E),則L=E=i%=口Y

62

所以/%“=7卜_2,/相：彳=7>+2,

6.

χ=-y-2_I8r54-2產(chǎn)

t,

聯(lián)立方程得先=27+r2'XC=∑-

[3x2+4y2-12=027+fC27+/

54-2/⑻

則C

27+?'27+/

7

2C

χ=-y+2-βt2r2-6

聯(lián)立方程t，得知=七7,XD=

3X2+4∕-12=0I03+*

2/-6-6t

則。57F,W

橢圓的右焦點(diǎn)為8a,。）,

"27-3r18/]__f_9—6t

FC=

2、27+產(chǎn)2TTFJ,2

mx>27—3t~-Gt18f廠—9?

因?yàn)?-----×-----r---------r×-----7=0,

27+/53+/27+Z23+產(chǎn)

說(shuō)明C,D,鳥(niǎo)三點(diǎn)共線，即直線CQ恒過(guò)5點(diǎn).

②因?yàn)橹本€CO恒過(guò)入點(diǎn)，

所以CK。的周長(zhǎng)為IbII+1C閭+1Sl+∣*∣=4α,

設(shè).C"。內(nèi)切圓的半徑為，

所以CK。的面積SCTID=gx4αxr,

所以gx2cx∣yc-y0∣=2αxr,即4「=|比一%|,

若內(nèi)切圓的面積最大，即