2023年高考押題必刷仿真模擬數(shù)學試卷2（解析版）

決勝2023年高考數(shù)學押題必刷仿真模擬卷2（新高考地區(qū)

專用）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)Z1=a+i,aeR,z2=1-2i,且牙？？為純虛數(shù)，則忖|=（）

A.GB.2C.6D.76

K答案1C

K解析』復數(shù)Z[=a+i,z2=1-2i,則4-z?=(a+i)(l+2i)=(a—2)+(2a+l)i,

a—2=0

依題意，〈八，解得a=2,即Z1=2+i,

2a+1^0

所以|Z||=42?+F=-\/5.

故選：C.

2.設。=R,已知兩個非空集合P,。滿足?？?加/)=1＜則()

A.PClQ=0B.P三Q

C.Q=PD.P;Q=R

K答案1B

故選：B.

3.兩個粒子A,B從同一發(fā)射源發(fā)射出來,在某一時刻，它們的位移分別為"=（4,3）,

%=（-2,6）,則與在“上的投影向量的長度為（）

B.巫「Vio

A.10D.2

210

K答案UD

K解析H設S"與S,；的夾角為巴

ioVio

則cosO=

卜B|，「5X2VHT記，

所以％在n上的投影向量為卜/cose&=2Vr5x1^(g,g)=(H),

所以.在力上的投影向量的長度為+=2,

故選:D.

4.科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一

號(如圖1)是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一

號“山型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪

峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力."極目一號”IH

型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，

正視圖如圖2所示，則''極目一號'TO型浮空艇的體積約為()

(參考數(shù)據(jù)：9.52x90，95^857，315x1()05?3166(X),兀之3.14)

圖1

A.9064m3

K答案UA

K解析』由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為R=—=9.5(m),而圓臺一

2

個底面的半徑為r=l(m),

rw14cl1714

則匕.=—X—X7ix9.5'?----71(m3),

5233

%柱=71x9.52x14h1260兀(m?),

7oar+7tk31.5w^^7t(nP),

%!臺=§X

73

171431663八

所以V=V半球+唳柱+唳臺x------兀+126071H--------7i?9064(m).

33

故選：A.

5.已知函數(shù)/(x)=sin0x-cos(G^+2（。＞0）在［0,兀］上有且僅有2個零點，則。的取值范

圍是（）

713

A.B.C.D.

吟6-6

K答案2B

1.

K解析H/(x)=sin(yx-cosa)x+-\=sincox-coss——sins

6)2

1

=—sin6yx-coscox=6——sin5——coscox

2222

71

=V3sinCOX——

6

因為/（?在［0,兀］上僅有2個零點,

7171

當工￡[0,兀|時，cox--e—.CDTI——(69>0),

666

],解得那

所以

a)7t-—<2n

6

故選：B.

6.設等比數(shù)列｛4｝的前"項和為S”.已知S”“=2S”+；,

〃WN",則§6=()

A.衛(wèi)r63

B.16C30D.—

22

K答案XD

K解析》由題得：S,M=2S“+g①，限2=25向+；②,

①-②得：*=2。川，q=2,

則S"="，［；）=（2"-1）《，代入①中，即（2"+-M=2（2"T）4+g,4=；,

.063

故§6=5

故選：D.

已知雙曲線二?-

7.1的右焦點為F,在右支上存在點P,Q,使得產。。尸為正方形

（O為坐標原點），設該雙曲線離心率為e,則e?=（）

A.B.3+V5C.D.9+病

22

K答案HB

K解析W由題意，當PO。尸為正方形時，點P的坐標為e,9，

22o2

代入「-馬T可得J-J=1，整理得從C?-a2c2=4//，

a2b24a24b2

BP(c2-a2)c2-a2c2=4a2(c2-a2),整理得c4-642c2+4/=0,

即04-6/+4=0,解得e?=3+6

故選：B.

8.若過點P（f,O）可以作曲線y=（l—x）e'的兩條切線，切點分別為

A（5,凹）,5（孫力），則另內的取值范圍是（）

A.（0,4e-3）B.（-oo,0）u（0,4e-3）

C（-00,4e-2）D.（-oo,0）u（0,4e-2）

R答案》D

K解析》設切點（Xo，（l-xo）e~）,y'=-e'+（l-x）ex二Z=_尢0已”,

則切線方程為＞一（1一Xo）e"=一毛e%（%一/），

又切線過G，o）,則一（1一旦）酋＞=一/■（”%））,

%—1=-JQ）（/一$）,；.X?！?=-txo+￥，片—（7+1）入0+1=0有兩個不相等實根X1,%2,

其中x,x2=1,須+*2=r+l,A=（f+1）2-4＞0,:.r＞1或f＜一3,

X%=。-刈（1-工2）爐3=[1-（％+%2）+卒2卜"2=（lT）e-i,

令g?)=(lT)e"1>l或f<—3,g'(r)=Te-i,

當f<—3時，g'(f)>0，當「>1時，g'(f)<。，

所以函數(shù)g(x)在(7,-3)上遞增，在(1,e)上遞減，

g(—3)=4e-2,g⑴=0,

當r―>—CO時，g(f)一^0,當t—>+OO時，g(f)―>+8,

所以g⑺e(-oo,())D(0,4e-2),

即,為e(-°o,0)u(0,4e-2).

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某校1000名學生在高三一模測試中數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).分數(shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學生有80人，則()

B.X=120

C.70分以下的人數(shù)約為6人

D.本次考試的平均分約為93.6

K答案UAD

K解析》對于A,(0.002x2+0.004+a+0.014+0.02)x20=l=a=0.008,A正確;

對于B,因為第六組有40人，第五組有160人，

所嘴秀40

今X=125,B錯誤;

160

對于C,70分以下的人數(shù)為(0.002+0.004)x2于1000=120人,C錯誤;

對于D,平均成績

X=40X0,04+60X0.08+80X0.28+100X0.4+120X0.16+140XQ.04=93..D正

確，

故選：AD.

10.甲箱中有4個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有3個紅球，3個白球和3個黑球,

先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以4，4和人3表示由甲箱取出的球是紅球，白

球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則

下列結論正確的是()

Q

A.事件B與事件4[=1,2,3)相互獨立B.P(A8)=靠

°P⑻JD.P(4⑻=(

K答案UBD

4231

K解析U尸(4)=3,P(4)=S'P(4)=3F

73777J

A2

先A發(fā)生，則乙袋中有4個紅球3白球3黑球，尸(B|A)=m=g

先4發(fā)生，則乙袋中有3個紅球4白球3黑球，P(B|A)=—,

先A3發(fā)生，則乙袋中有3個紅球3白球4黑球，尸(同4)=言.

24R

P(AB)=P(B聞P(A)=？§=方,B對.

Q71

P(4B)=P(B㈤P⑷=得3=百

a11

P(M)=P(B|A3)P(4)=-X-=-

311

P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|H)P(4)+P(B|4)P(A)=4H￡,c錯.

P(A)P(5)￥P(A5)，A錯.

32

X6

PBP9

(|4)(4)D對

10-一

p⑻31一31

90

故選:BD.

11.如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐。-P8C的側棱長均為應，BC=2,若將正三棱錐

A-PBC繞BC旋轉,使得點A,P分別旋轉至點A,P'處，且4,B,C,。四點共面，點

A,D分別位于BC兩側，則（）

A.A'DLCP

B.PP〃平面A8OC

C.多面體的外接球的表面積為6兀

D.點A,P旋轉運動的軌跡長相等

K答案1BC

K解析》正三棱錐A-PBC和正三棱錐Q-PBC的側棱長均為近，BC=2,則正三棱錐A-

PBC中側棱兩兩互相垂直，正三棱錐。-PBC中側棱兩兩互相垂直，則正三棱錐可以放到

正方體中，當點A,P分別旋轉至點4,P處，且A,B,C,。四點共面，點A,。分別

位于8C兩側時，如圖所示，

P'

正方體中DP/ZA'P1且DP=A'P,四邊形PDAP為平行四邊形，則有DA//PP1

△PCP為等邊三角形，則PP與PC夾角為60，DA//PP1,有D4'與PC夾角為60,選

項A錯誤；

DAH/PP',尸產0平面4BOC,ZM'u平面4BCC,PP〃平面4BOC,選項B正確；

多面體P尸A8DC的外接球即棱長為0的正方體的外接球，外接球的半徑為手，表面積

為6兀，選項C正確；

點A，P旋轉角度相同，但旋轉半徑不同，所以運動的軌跡長不相等，選項D錯誤.

故選：BC

12.對于定義在區(qū)間。上的函數(shù)/(x),若滿足：“，々€。且X＜龍2,都有

/(%)＜/(%),則稱函數(shù)“力為區(qū)間。上的啡減函數(shù)”,若“X)為區(qū)間［0,2］上的

3

“非減函數(shù)"，且/⑵=2,〃x)+〃2—x)=2,又當xe-.2時，/(x)<2(x-l)

恒成立，下列命題中正確的有()

'3'

A.41)=1B.3x0e-,2,/(x0)<l

/I1/251.f7>.wrn11

/(4廠⑴，(18廠⑷L2j

/(/?)<-/(x)+2

K答案】ACD

K解析2A.因為〃x)+/(2-x)=2,所以令％=1得/⑴+/(2-1)=2,所以/(1)=1,

故A正確；

B.由當xe-|,2,/(x)<2(x-l)恒成立，令x=|>,則?卜1,由/(x)為區(qū)間

［0,2］上的“非減函數(shù)”，則/仁＞"1)=1,所以/(g)=1,3

則Vxc-,2,

=故B錯誤；

。公層|嗎)"⑺"圖,而/出+佃=2,

所以嗎卜圖=1'/。)=1，

25r13'

18|_22.

陪信"0=4,故C正確;

當xe0,1時，/(O)=O,/^=l,/(X)G[0,1],

令t=〃x)?O,l],貝廳⑺e[O,l],T+2e[l，2],

則〃f)<T+2,即/(/(x))<—/(x)+2,故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(1+x)=%+4%++…+”“x",若的=%，則〃=

K答案15

K解析[(1+x)"展開式第r+l項(+1=C：x"

???。2="3，，C；=C：,

〃=2+3=5.

故K答案U為：5

14.已知產為拋物線C：V=4%上的一個動點，直線/：X=-1,。為圓

M:(x+3)2+(、-3)2=1上的動點，則點尸到直線/的距離與|PQ|之和的最小值為

工答案14

K解析』因為圓M:(x+3『+(y—3尸=1,所以M(—3,3),半徑廠=1,

拋物線C:y2=4x的焦點以1,0),準線為直線/:x=-1,

則點尸到直線/的距離d=|PE|,

所以點P到直線/的距離與IPQI之和為|PF|+|PQ|,

所以當M、Q、p、口四點共線時，|PF|+|PQ|取得最小值,

其最小值為—l=++(0—3)2-1=4.

故K答案》為：4

15.已知函數(shù)f(x)=or3+x2-ar(aGR,a0).如果存在實數(shù)ae(-oo,-l1使函數(shù)

g(x)=/(%)+f'(x),xe[T,句S>-1)在卡—1處取得最小值,則實數(shù)b的最大值為一

R答案》正二1

2

K解析Uf{x}=ax3+x2-ax,

f(x)-3ax2+2x-a,

g(x)=f(x)+f(x)=ax1+(3a+l)x2+(2-a)x-a,

當xw卜1,可時，g(x)在尤=一1處取得最小值，

則g(x)2g(-l),即：(x+l)^ax2+(2tz+l)x+(l-3a)]>0,

當％=—1時，不等式恒成立.

當一時，不等式可化為：ax2+(2a+l)x+(l-3a)>Q,

設+(2a+l)x+(l-3a),aG(—吟―"，

知其圖象是開口向下的拋物線，故々(X)在閉區(qū)間上的最小值必在端點處取得，且

A(-D=-4a>0,則不等式成立的充要條件是/i(b)>0,整理得:上2/7二3《一j_,，則該不

b+\a

等式在aG（-8,-"上有解，即"26-34\=1得一1＜匕《姮二［解,故實數(shù)

b+\a2

匕的最大值為近二L

2

故K答案U為：晅二1.

2

16.長方體—中，AB=BC=\,AA}=2,平面A4c與直線?！甑慕稽c

為M,現(xiàn)將.MC4繞eg旋轉一周，在旋轉過程中，動直線CM與底面4與G2內任一

直線所成最小角記為a,則sina的最大值是.

R答案】Lb叵

25

K解析11由題意，a為動直線CM與底面4月GA所成角，只需求旋轉過程中直線CM與

面4AG。所成角的最大角即可，

又面A4G。"/面ABCD,只需求直線CM與面ABCO最大夾角正弦值，

過C作CM//A用，交RG延長線于連接耳加，顯然△MS,

所以CM=A4，故為平行四邊形，則CM=石，B、M=五,B1C=非,

所以△CMBi為等腰三角形，過用作，C及于，，則，必在線段C$上，

綜上，MCg繞C4旋轉過程中，M點軌跡是以H為圓心，為半徑的圓上，

設則C”=石—X，故。用2_?！?=5也2一片“2,

所以5-（百一x）2=2—f,解得8“=x=@,則?！?延，MH二地,

1555

“C回繞C4旋轉過程中，CM是C4為軸，圓4為底面的圓錐的母線,

所以NMCq為圓錐軸截面頂角的一半，且恒定不變，又sin/MCg=也=』，

CM5

4

cosZ.MCB｝--,

而直線CB,與面ABCD夾角為NBCB],且sinNBCB小坐,cosZBCB,=與，

令￡=/加。弓+/8。弓，則311￡=9*拽+3*或=.，

555525

而豈立一，偵=一拽＜。,

555525

令/=|ZMCB|—NBC41,則sin/=[x矩一|x乎=趙，

,4亞32#>2后門

mlcosy=-x+—x----=---->0

55555

綜上，y<a<Tt-/3,故sine的最大值是小叵.

25

故K答案U為：口正

25

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等比數(shù)列｛如｝的各項均為正數(shù)，且。2+。3+〃4=39,〃5=2。4+3。3.

(1)求｛〃/?｝的通項公式；

(2)數(shù)列｛與｝滿足b求｛加｝的前〃項和T小

nA

a5=2a4+^a3

a,(q+q2+q3)=39

，q>0,

4_2乜

q-o2a〔q+3a1q

解得「I?

,q=3

?0-3，

(2)由題可知九二三彳，

3

?T-23a.n-1n

??T=14>----4>+2fc?,+--------I-----------

n3I^23n-23n-l

I-123,n-1n

—T=+4?~--十，?，-Lr---十二--,

3n332§33八一13n

2F?111,,1n3nn331

兩式相減可得：^T=l^+-y4^r-+-1■+——：--------------=-y-z(-y+n)x—.

o11o3*3J3111gngnZZ3n

96n+9

.*.Tn=-：--------.

18.在AABC中，。為邊8C上一點，乙%。=90°,ZB=ZZMC,\2BD=7AC.

（2）若Afi=7,求_718。內切圓的半徑.

解：（1）設4=Zn4C=a,

AZADC=9Q0+a,NC=90°-2cr,

在AADS,由正弦定理可得而函子=曬詢，

12

在Z\ABD中，AD=BDsina,又AC=一BD,

7

12..

所以BDsina_7，

cos2acosa

.12八

smacosa--cos2a,

7

—1si.n2ca=—12cos2ca,

27

tan2ca=—24.

7

2tana_24

(2)\*tanla

1-tan2a7

A(3tantz+4)(4tan?-3)=0,又易知a為銳角，

.3..34

..tanar=—,..sincif=—,cosa=—,

455

35

■:AB=1,：.BD=—，二△A3。中，AC=15,

4

,3

又cos/BAC=cos(90°+cr)=-sine=——，

在.ABC中，由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=400

BC=20.

設△ABD的內切圓半徑為r,則S^BC=gAB-ACsinABAC=^(AB+AC+BC)r,

則廠=2.

19.中學階段，數(shù)學中的"對稱性''不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、K解析U幾何和函數(shù)圖

象中，還體現(xiàn)在概率問題中.例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為且

每場比賽結果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為

y.現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復試驗，每人拋擲一枚質地均勻的硬幣.

(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；

(2)若甲拋擲(n+1)次，乙拋擲〃次，〃eN*，求拋擲結果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正

面朝上次數(shù)的概率.

解：(1)設甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率P1,

C；c+cc+cc+c；c.5

4=

23X23-16

由對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面

I_p11

朝上次數(shù)的概率相等，故「=—L=—;

232

(2)可以先考慮甲乙各拋賽〃次的情形，

①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設為P-則第〃+1次甲必

須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；

②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第〃+1次無論結果如何，甲正面朝上

次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設為P2；

③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第〃+1次無論結果如何，甲正面朝上

次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設為P3，由對稱性可知P2=P3,

故匕=；化+科，，2=〃3

而由

Pl+P2+A=1

可得尺='+〃3=三=妙"4?

20.如圖，在四棱錐P-4BCD中，E為棱AO上一點，PE±AD,PA±PC,四邊形

BCDE為矩形,且8。=3,尸石=8￡=6,/1戶=」產。,24//平面際.

(2)求二面角—。的大小.

(1)證明：連接AC交的于點G,連接FG,

因為PA//平面跳尸，平面P4c平面BEF=FG,PAu平面PAC，所以

PA//FG,

AFAFAGPF\

又所以

BE/ICD,~DE~~BC~~GC~~FC~3

又DE=3,所以AE=1,AD=4.

因為PELAD，所以PA=JPE?+AE?=2，PD=y]PE2+DE2=273

所以P/V+po?=AD?,所以P4_LPZ),

又PA_LPC,PDcPC=P,PD,PCu平面PCD,所以PAJ_平面PCD.

(2)解：因為BA，平面PC。，C￡>u平面PC。，所以P4_LC￡>,

又A￡>_LC￡>,R4cA￡>=A,PA,AZ)u平面外￡),所以CD_L平面PAD,

又PEu平面B4O，所以PELS,又PE上AD，

AD\8=OA。,COu平面ABCD

所以PEL平面ABC。.

如圖建系,

(363小、

則41,0,0),8((),G,()),r>(—3,(),()),F

AF=,AB(-1,6,0),

設平面ABF的一個法向量為加=(x,y,z),

763百

AF-m-0——xH------yd---------z-()z=2y

則.44-4=>取y=i,得

x-上y

AB-m=0—x+y/3y=0

"2=(6,1,2),

又平面4犯的一個法向量為"=(0,0,1),

所以cos〈〃?,〃〉=/"〃=T==—,且二面角產一A8-O為銳角,

|m||n|2V22

7[

故二面角廣一A6—￡)的大小為二.

4

21.已知橢圓。：乂+與=1(.>6>0)的左右頂點分別為48,上頂點為T，離

ah

心率為述，AT7B=8點M，N為橢圓C上異于的兩點，直線AM,BN相交于點

3

P.

(1)求橢圓C的方程；

9

(II)若點P在直線x=—上，求證：直線MN過定點.

2

解：(I)依題意,A(-a,O),B(?,O),T(O,/?),AT=(a,b),TB=(?,-/?),

c_2V2

a3a=3

<a2—b2—8解得<b=l

a2=b2+c2[c=2正

a>h>0

2

所以橢圓C的方程為三+>2=].

9-

(II)設M(X1,y),N(x2,y2),則x；+9y?=9,%?！?,y。0(?=1,2)

①當直線MN垂直于)’軸時，

由對稱性，直線交于y軸，不合題意，舍去.

②當直線MN不垂直于y軸時，設其方程為x="+〃z.

x-ty+m...

聯(lián)立〈2-2得(『+9);/+2切2>，+加2_9=0.

x+9y=9

/十日而生.2c八A八一2tmm”-9八

依戒息，廠+9w0，△>。,X+必=.+9，必必=,+9w0.

所以m?！?.

因為A(-3,0),8(3,0),

所以直線A"方程為y=(x+3),

國+3

直線BN方程為y=(X-3)

x2-3

9

依題意，設P(],P),因為尸為直線A",8N的交點，

所以弋弓+3)=八七4_3).

%+32X2-32

所以5yl=%='(/+3)=%(々+3)=(Z+3)

22

X+3X2-3X2-9