舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章數(shù)列第4講數(shù)列的求和

第4講數(shù)列的求和

履礎(chǔ)知識(shí)整合I

□知識(shí)梳理

1.倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，

那么求這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的.

2.錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)

數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.

3,裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

4.分組轉(zhuǎn)化法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可

用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減.

5.并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如為=(-1)%(〃)類(lèi)型,

可采用兩項(xiàng)合并求解.

知識(shí)拓展

(1)----------------=—-------.

n(∕7÷1)n∕2÷Γ

(2P-1)(2/7+1)~2?2n~l2/?+1

⑶g+*="f?

□雙基自測(cè)

1.(2022?吉林白山模擬)數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式是?=(-1)Λ(2∕7-1),則該數(shù)列的前100

項(xiàng)和為()

A.-200B.-100

C.200D.100

答案D

解析根據(jù)題意有SoO=-I+3—5+7—9+11--------197+199=2X50=100.故選D.

2.數(shù)列1,?.2,?,4,!,…的前2〃項(xiàng)和S=____.

Z4o

答案2」"

解析‰=(l+2+4+???+2,--')+?+?+???+?‰2,1-l+l-?=2-?,

?Zz±oZJZZ

3'5l=22-l+42-l^l卜⑵)「1=------------'

n

答案

2n~?~1

解析通項(xiàng)a“二%加=I=（2〃-1）（2〃+1）=5義（2〃一1—2〃+J'：'Sn=2

（1,11,,11、1A1An

×I1-3+3^5+-+2^T^^+Tj=2×l1^2^+Tj=^+T?

4.（2021?寧夏固原市模擬）等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,,公比不為L(zhǎng)若a∣=l,對(duì)任

意的∕7∈N",都有a+2+為+1—2a=0,則W=.

答案∏

解析設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為g,因?yàn)閷?duì)任意的∕7∈M,都有為+2+&+L2A=0,則令

式中〃=1,得a+4-2句=0,所以國(guó)（d+g—2）=0.顯然國(guó)≠0,所以由/+。-2=0,解

11

得g=-2或g=1（舍去），則關(guān)=切；［j）」一（3-2）=?

1

5.已知a=了，設(shè)4=—,記｛?J的前〃項(xiàng)和為S,則S=___.

3Qn

?（2/7-1）3"'+3

'/--'y-----------------------

解析b,,=n?3",

于是S=I?3+2?32+3?3斗…3”,①

3S,=1?32+2?3s+3?3'+???+∕7?3,,+',②

O_OΛ÷1

①一②，得-2S=3+32+3'+…+3"一刀?3"∣,即一2$=〔『一刀?3"∣,

1-?

n+1

Sn=g?3''-??3〃+13(2Λ-1)3+3

『4'

248

6.（2022?安徽淮北模擬）設(shè)數(shù)列｛8｝的前〃項(xiàng)和為S.若S=24—〃，則一+—+—

打/己2日3

16

&田5

答案Ir

解析因?yàn)镾r=2a〃一〃，所以時(shí)，a,i=S1-Sn-?=2atl-n-[_2an-?-(/?—1)],所以為

=2azz-ι÷l,則2+l=2(aπ7+l),〃=1時(shí)，&=2囪-1,解得國(guó)=1.所以數(shù)列｛&+1｝是首

項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.所以a,,+l=2",即&=2"—1,所以二一="，∣、

afian+ι(2—1)(2—1)

]],2l4l8,16(\1\(11

2π-12"1—1,aι32a?\2-122—1J?2~-12i—1J

Q'-1-2S-1J=1-25-l=

30

31.

核心考向突破I

考向一分組轉(zhuǎn)化法求和

aπ÷l,〃為奇數(shù)，

例1(2021?新高考I卷)己知數(shù)列｛&｝滿(mǎn)足團(tuán)=1,&+尸，θ一,M

(a,+2,〃為Π偶數(shù).

(1)記Z‰=a2”,寫(xiě)出小，bi,并求數(shù)列｛Z‰｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛&｝的前20項(xiàng)和.

解(1)由已知，a=1,?=aι+l=2,a5=a2+2=4,al=?+l=5,

因?yàn)?2"+l=a2"+2,—a?in-1^?^1+1—a?2n-λ^?^3,即32n+l—Stln-1—3,

所以數(shù)列｛a｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，az,=l+(q°-1)x3=當(dāng)」；

因?yàn)樯?+2=32ιι+1+1=&,)+2+1=a2〃+3,即&〃+2~~a?n=3,

所以數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a=2+停-1卜3=，；2,而6〃=期，所以61=∕=2,Z>2=a∣=5,

3X2L2C、…，C

=

bnQin-2=3n—],所以6〃=3〃-1.

⑵由⑴,知｛&｝的前20項(xiàng)和1Sθ=ai+a2÷???+520=(&+&+…+加)+(-+&+…+

、10×910×9

52o)=lO×l+-y~×3+10×2+^-×3=300.

所以｛&｝的前20項(xiàng)和為300.

觸類(lèi)旁通]

1.分組轉(zhuǎn)化求和通法

若一個(gè)數(shù)列能分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的新數(shù)列的和或差，可借助求和公式求得原數(shù)列的

和.求解時(shí)應(yīng)通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化.

2.分組轉(zhuǎn)化求和的常見(jiàn)類(lèi)型

(1)若a0=b“土c?,且｛4｝,｛c,,｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求｛a,,)的前n項(xiàng)和.

⑵若Mkbn,〃為奇偶數(shù)，且數(shù)列M,是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法

求和.

即時(shí)訓(xùn)練1.(2021?江西南昌模擬)在等比數(shù)列｛4｝中,公比q≠?,等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)

足61=Hl=3,b?—32fbl3=83.

⑴求數(shù)列｛&｝與｛bn｝的通項(xiàng)公式;

⑵記Cn=(-1)7〃+an,求數(shù)列｛c,]的前2/7項(xiàng)和Szn.

解(1)由題意，得6]=a=3,A=Z2=3g,613=我=3/又伉｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為江

Aι=bι+3d=3q,

化簡(jiǎn)得/-4q+3=0,

bi3=bι+12d=3/,

n

，g=1(舍去)或°=3,.?aπ=3.

b\—b?_

d=4-1-21?4=3+2(/7—1)=2/?+1.

⑵由題意得Cn=(-1)Π(2∕7÷1)+3Λ.

232Λ12

Λ1SΛ=-3+3+5+3-7+3+???-(4/7-1)+3^+(4Λ+1)+3"

=(3+32+???+32fl)+[—3+5—7+9—…一(4/7—1)+(4〃+1)]

O/I_I?")

=:--4—+{(5-3)+(9-7)+???+[(4Λ+1)-(4Λ-1)]}

32"+I~3

-2-T2n.

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向二裂項(xiàng)相消法求和

1

角度1形如劣=型

q∏+k+幣

例2已知等差數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為$,公差為d,若d,5為函數(shù)F(X)=(*—2)(矛一

99)的兩個(gè)零點(diǎn)且CKS).

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式;

1

⑵若ιS∈N*),求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和T...

""y∣a?+1+?[ar,

解(1)因?yàn)閐,S為函數(shù)f(x)=(x—2)(x—99)的兩個(gè)零點(diǎn)且火$,所以42,W=99,

「L.、t、n(4一1)

又因?yàn)镾=+—--",

9義8

所以9a∣+-^X2=99,解得a∣=3,

所以｛&｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列.

所以an=a?+(〃-1)d=2n+l.

⑵因?yàn)閎lt=I~~廣=I~~~I

Nan+?+y[any∣2n+3+y∣2n+1

=T川2〃+3-y∣2n+l),

所以A=Tx(yβ-yβ)+^×(y∣7-yβ)H------(y∣2n+l-y∣2n-l)+∣×(y∣2n+3-

衍)=巴他

角度2形如?=1型

n(〃十女)

19e

例3(2021?安徽懷寧二中高三4月月考)已知數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足團(tuán)=5,且a”+,=8.

/ZIQn

(1)求證：數(shù)歹“是等差數(shù)列；

(2)若bn=anan+1,求數(shù)列｛br]的前〃項(xiàng)和Sn.

9a

解(D證明：因?yàn)閍+=母，

2十&

1

所

所

以

以?

‰-2-

所以數(shù)列?]是首項(xiàng)為2,公差為〈的等差數(shù)列.

[ɑnjZ

八、,..11,.1〃+3

(2)由(z1知一=一+(z/7-1)

ana?22

24/11、

所以a^T+3,所以b"=(Λ+3)(Λ+4)=4X(j+3-^+4j,

S'=4x[(*,+(/(∣+???+(??-M卜x(*￡|=備

角度3形如~7；TTz~~1、(3〉0,

(a—1)(a—1)

d≠l）型例4（2021?江西九江二模）已知數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)a1>0,前〃項(xiàng)和為S”且滿(mǎn)足

a??=Si+Sn.

（1）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;

（2）若A=不合，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和T,,

?+1

解（1）由已知，得數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)包〉0,前〃項(xiàng)和為S”且滿(mǎn)足&a=S+S.

當(dāng)〃=1時(shí)，解得a=2.

當(dāng)?shù)丁?時(shí)，2a=2+W,①

23一1=2+Sfι-ιf②

①一②得，an=2an~?,

整理得旦=2(常數(shù))，所以數(shù)列｛a,,｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

Qn-\

所以a“=2?2"τ=2".

(2)由于S,=2(1手=2(2"-1),

(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；或

者前面剩幾項(xiàng)，后面也剩幾項(xiàng).

(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相

等.如：若｛&｝是等差數(shù)列，則，?=￥：一—),」一=H一十

3∏3n-k-1C?3n3n+｝J?C?3nHn+zJ

即時(shí)訓(xùn)練2.(2021?安徽黃山質(zhì)檢)己知數(shù)歹”號(hào)］的前〃項(xiàng)和S.=n,p∈N*.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)令一——r?,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和Tn.

(an-1)(當(dāng)+1-1)

解(1)因?yàn)镾=〃，①

所以當(dāng)〃22時(shí)，Sn-?=n-?,②

由①一②得'1=L故&=〃+1(〃22),又因?yàn)閍=2適合上式，所以&=〃+1(〃￡N*).

an-?

/C-/-2z?+l2zι+l11

(2)b=22=22=2,

由⑴知‘"(a,,-l)(a,+l-l)n(∕7÷1)7-(/7+1)

U…(?l?(?IA「1111

所以刀尸仁一刃+仁一利+…+匕一(〃+i)I=1一”"+D2

考向三錯(cuò)位相減法求和

例5(2021?天津市部分區(qū)聯(lián)考)已知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且

a∣=1,a3÷a∣=12,bι=a2,bi=a&.

⑴求｛a｝和伉｝的通項(xiàng)公式；

,

(2)設(shè)Ctl=(-1)?A(∕7∈N*),求數(shù)歹U｛c,l］的前n項(xiàng)和Sn.

解(1)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,

因?yàn)榫?1,次+國(guó)=12,所以2a+5d=12,

所以d=2,所以a=2〃-1.

設(shè)等比數(shù)列｛6j的公比為Q,因?yàn)槌?生，Z?=d5,所以A=4=3,Z>2=a=9,所以4=3,

所以bn=y.

(2)由(1)知,&=2〃_L4=3",

Π

所以CΛ=(-1)?A=(-1)×(2/7-1)X3〃=(2/7-1)X(—3)”，

所以Sn=1×(—3)+3×(—3)~+5X(—3)'+…+(2/7—1)×(—3)”,①

所以-3S=1X(-3∕+3X(-3)3+???+(2/7-3)X(一3廠+(2〃-1)X(一3嚴(yán),②

①一②得，4S=-3+2X(-3)2+2×(-3)3H------F2X(一3)"一(2〃-1)X(一3嚴(yán)=一3

+----------------??----------------—(2/7-1)X(-3)/,+1=--^—×(一3)"?

1I-O乙乙

所以￡=,一若iX(—3)E.

觸類(lèi)旁通J

(1)一般地，如果數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛a疝＞｝的前"項(xiàng)和時(shí)，

可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛4｝的公比，然后作差求解.

(2)在寫(xiě)出“S,”與“qSj的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步

準(zhǔn)確寫(xiě)出“S"-qS；’的表達(dá)式.

即時(shí)訓(xùn)練3.(2022?駐馬店模擬)設(shè)數(shù)列｛&｝的前"項(xiàng)和為$,且2S=3a-l.

(1)求數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=~,求數(shù)列｛?｝的前n項(xiàng)和T,,.

解⑴由2S=3a-l,①

得2Si=3a--l(〃22),②

①一②，得2a〃=3a?—34一1,

所以2=3(〃22),

3fl-↑

又2S=32-1,所以a=L

所以數(shù)列W是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，所以④=3'i(∕7∈N*).

(2)由(1)得，?=?(Λ∈N*),

O

所以^=∑o+?+?H------I-Sb③

eo?o

∣^=τr+?H------Fn—\,n

④

O?O

21I11〃一1c32Λ+3

③一④，得鼻。=m+3+F

?O??3〃T3"13n-22X3"'

1^3

ULiE96Λ+9

所以7"^4-4×3^,'

課時(shí)作業(yè)I

1.數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式為&=詬ZaP若｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為24,則〃=()

A.25B.576C.624D.625

答案C

-

解析an=y∣n+lΛ∕Λ,所以Sn=(y[2-y[l)+(r?∣3-y∣2)H------F(*^/?+1-y[ri)=?jn+l

-1,令S,=24得〃=624.故選C.

2.2(021?江西宜春萬(wàn)載縣期末)若數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是an=(-1)73/7-2),則a1+

a2∏-----1~a0等于()

A.60B.-60C.90D.-90

答案C

解析由all=(—1)"(3〃-2),可得&+&+…+則=(—1+4)+(—7+10)+(—13+16)

+???+(-175+178)=3+3+-+3=3X30=90.故選C.

為+2,〃是奇數(shù)，

3.(2021?資陽(yáng)診斷)已知數(shù)列｛a｝中，a1=a2=l,an+2=?曰/田2貝啜列｛a｝

124,〃是偶數(shù)，

的前20項(xiàng)和為()

A.1121B.1122

C.1123D.1124

答案C

解析由題意可知，數(shù)列｛石2〃｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列｛/?。鞘醉?xiàng)為1,

公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列ω的前20項(xiàng)和為一TLV—+10×l+?-2×2=1123.

故選c.

4.(2022?北京高三入學(xué)定位考試)己知數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且為+a用=2〃+3,

若----F‰=120,則4=()

A.9B.10C.11D.12

答案B

解析根據(jù)題意，不妨令a=刀+1,則&,+1=〃+2滿(mǎn)足題意，所以電+4+呆H-----F‰

=(2+1)+(4+1)+???+(2A+l)=3+5+???+2?+1=120,則1+3+5+…+2%+l=12L

即(4+1)2=121,解得F=Io.故選B.

5.(2021?河北衡水中學(xué)模擬)已知數(shù)列｛?1｝的通項(xiàng)公式為a?=ncos?,其前n項(xiàng)和

為S”,則$021=()

A.0B.1010C.504D.1008

答案B

解析由a,,=ncos-?-,得a∣=0,a?=-2,a3=0,a=4,a5=0,a,=—6,4=0,

?=8,,,,,由此可知a∣+a2+a3+a∣=a$+1?+a?+a?=…=2.因?yàn)?021=4X505+1,所以

So2∣=2X5O5+a?02I=IOIO+0=1010.故選B.

222

6.在數(shù)列｛a｝中，已知對(duì)任意∕7∈N?功+續(xù)+?+…+&=3—1,則&]+&+&+…+

丁等于()

Λ.(3"-1)2B.∣(9,,-1)

C.9n-lD.∣(3n-l)

答案B

解析因?yàn)?+/+&+…+4=3"—1,所以&+a+&+…+&-1=3'—1(〃22).則〃

22時(shí),4=2?3"T.當(dāng)/7=1時(shí),aι=3-l=2,適合上式，所以&=2?3'f(4∈N*).則數(shù)列

｛aj是首項(xiàng)為4,公比為9的等比數(shù)列，a；+a；+a；+…+a；=1).故選B.

7.(2021?山西長(zhǎng)治模擬)若數(shù)列｛&｝,｛—｝滿(mǎn)足aA=l,an=∕f+3n+2,則｛?1｝的前10

項(xiàng)和為()

1517

--C--

3B.2I).

1212

答案B

解析bπ=-=(∣1.―z∣9.=?-∣9,則｛4｝的前10項(xiàng)和Sio=bι+bz+bi-?—

aπ(77+1)(Λ÷2)Z7÷l〃+2

.?11.11.1I,II115

+編亍§+打內(nèi)飛+i…+行—適=—.

8.數(shù)列1,1+2,1+2+4,…，1+2+2?+…+2"-',…的前"項(xiàng)和S>1020,那么〃

的最小值是()

A.7B.8C.9D.10

答案D

解析a,=l+2+22+???+2,,^'=2,,-l,ΛS,=(2,-l)+(22-l)+???+(2π-l)=(2l+22

4------1-2B)-Λ=2^+I-Λ-2,.?.5)=1013<1020,So=2036>1020,二〃的最小值是10.

9.(2021?河南南陽(yáng)模擬)已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S“,a,=l,當(dāng)時(shí)，4+2S-

=n,則W陽(yáng)的值為()

A.1010B.1011C.2020D.2021

答案B

解析因?yàn)閍+2$-1=〃，所以a1+ι+2S,=〃+1,兩式相減得aa+i+a〃=l,

Λ≥2.又a∣=l,所以S>2∣=aι+(a+aOH----F(aw20+a2∞1)=IOII.故選B.

10.數(shù)列｛aj滿(mǎn)足a∣=l,且對(duì)任意的卬，則,+-H-

Q?&@20

等于()

40°20C1920

?,2AB-2?C'Tθd'W

答案A

解析因?yàn)閿?shù)列｛&｝滿(mǎn)足&=1,且對(duì)任意的如，nGN*都有&+.=a"+a,,+儂),所以令0

=1,得&+i-&=1+〃，所以a=(a-a-1)-|----?-(a2-aι)+a?=n+(/?-1)H------F2+l=

“"『)，所以工=29一系),所以工+工+…+工=2XU)+(2)+…+償一知

2an?n11-V?Ja↑a2a20Ll2)(2S)12021力

=2X0得?)=日故選A.

11.(2022?廣西柳州模擬)已知數(shù)列｛a｝,定義數(shù)列｛a5-2a>｝為數(shù)列｛4｝的“2倍差數(shù)

列”,若｛4｝的“2倍差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為4+1-2&=2/，且a=2,數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和

為S”則良3=()

A.238+lB.239+2C.238+2D.239

答案B

解析根據(jù)題意，得a,,+L2a,,=2"',a=2,，鼾一關(guān)=1,.?.數(shù)歹瞎｝是首項(xiàng)為1,公

l23

差為d=l的等差數(shù)列，Λ∣?=1+(Λ-1)=Λ,.?an=n×2",ΛS,=1×2+2×2+3×2+???

2323ln

+n×2",Λ2SJ=1×2+2×2+3×2'H-----?-n×2'"'',Λ-S,=2+2+2+2'H-----V2~n×2"

lU,,+n++

+=2U)--z7×2"+∣=-2+2"'—"X2'=-2+(l-z?)×2',ΛS,=(/?-1)X2"'+2,

1-Δ

33+39

&I=(33-1)×2,+2=2+2.

12.已知函數(shù)f(x)=a'+6(a>0,aWl)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,3),0(2,5).當(dāng)?∈N*時(shí)a,l

/(7?)—1

記數(shù)列回｝的前〃項(xiàng)和為$,當(dāng)時(shí)〃的值為（）

f(77)?f(∕7÷1)OO

?.4B.5C.6D.7

答案A

解析?.?f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(l,3),0(2,5),.?.a+6=3,a"=5,又a>0,.?a=2,

2"_________(2"+1÷l)-(2"+l)

b=?,.*.ΛX)=2Λ+1,Λ∕-(Λ)=2,,+1,：.a?

(2ft+l)(2,,+1+l)(2n+l)(2,,+'+l)

11.__1_____1__1______1__,1IIl.J

2,,+l-2,,+'+l,**Sn=2+i~2~+l+2'+l~21+l+'"+2,<+l^2*'+1=3-2,+',+l,"3

2--∣_|_?=ββ,?'?2"~'-?-1=33,解得n=4.故選A.

13.已知數(shù)列。滿(mǎn)足/=-1J-2÷3-÷-???÷∕?，則數(shù)歹《f荔1才1的前"項(xiàng)和為——

2/7

答案

〃+2

1+2+3+…+〃∕7÷1

解析因?yàn)?='

n~2~

1_4(11)

anan+ι(刀+1)(TJ+2)v?+ln+2)

故所求的前〃項(xiàng)和為4X（＞鴻+…+*一出）=4X（S?卜磊

14.(2021?保定模擬)設(shè)數(shù)列｛an］的前〃項(xiàng)和為S”且&=1,&+&+1=攝(/7=1,2,3,…),

則￡“+3=.

答案小一㈤

解析依題意得S"+3=a+(4+京)+(aι+a,+…+(42〃+2+或〃+3)=1+^y+τz+…+不由"

4164

1

一)

15.(2020?全國(guó)I卷)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足‰2+(-l)?=3∕7-l,前16項(xiàng)和為540,則a

答案7

解析a++(-1)"&=3〃一1,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，^+2=5/,+3/7-1;

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，aπ+2+aπ=3∕7-1.

設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Sn,則36=a+/+&3+初+~+劭6=&+&+慶+-+&5+(。2

+&)+…+EH+囪6)=國(guó)+(51+2)+(a+10)+(a+24)+(a+44)+(「+70)+++102)

+(al+140)+(5+17+29+41)=8a+392+92=8al+484=540,

??a1=7.

16.（2021?新高考I卷）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某

條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到IOdm×12dm,

20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和2=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dm×12

dm,IOdmX6dm,20dmX3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S=18Odm,，以此類(lèi)推.則

對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折n次，那么ΣW=

dm2.

(〃+3、

答案5240∣^3--J

53

解析對(duì)折3次可以得到5dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dmX,dm,共四

55

種規(guī)格的圖形，它們的面積之和為S=4X30=120dm：對(duì)折4次可以得到Zdm×12dm,-dm

33

×6dm,5dm×3dm,10dm×^dm,20dm×-dm,共五種規(guī)格的圖形，它們的面積之和為

乙6I

n

240

S=5X15=75d∏τ'.對(duì)折n次有/?+1種規(guī)格的圖形，且S=下~?(4+1),因此ΣS=

k=?

l7

240------^gθ.?ΣS1=240住+各----,兩式相減得JES=

?=lΛ=l

Xl-J）n+1…（3n+S?_______

1+?-2”+1=24012-2”+】J.所以ES=

1^2Jm

240∣3--^iJdm2.

17.已知等差數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為S“,且滿(mǎn)足關(guān)于X的不等式a，-Sx+2<0的解集

為（1,2）.

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足?=‰+2?-l,求數(shù)列｛?｝的前n項(xiàng)和T,,.

解（1）設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d,

c2

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式需一Sx+2<0的解集為（1,2）,所以堞=1+2=3,￡=2,

所以Hl=1,&=￡一鼻=2,則d=-&=1.

所以數(shù)列EJ的通項(xiàng)公式為a,,=n.

⑵由⑴可得，‰=2Λ,2an=2".

因?yàn)?,=a2,,+2?-1,

所以b,,-2n-1+2",

23,1

所以數(shù)列SJ的前〃項(xiàng)和Tn=(1+3+5+???+2∕7-1)+(2+2+2+???+2)=

n(1+2Λ-1)2

=Λ+2,,+'-2.

21-2

18.(2022-山東萊陽(yáng)模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S”?"∈N*,2S

2

=&?+3n?

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)令A(yù),=?,——-----尸，求數(shù)列｛4,｝的前n項(xiàng)和T.

a,!?j8?+1-1-a,H*ct/in

.2

解(1)當(dāng)〃=1時(shí)，2句=當(dāng)十向，

得<31=1或0(舍去).

因?yàn)棰?/p>

2

所以當(dāng)力22時(shí)，2$一I=/_]+&T,②

22

①一②得2a∏=alt+a—an-1—ao-1,整理得(劣一為-1-1)=0.

因?yàn)椋?｝各項(xiàng)為正數(shù)，所以為一a-=l(〃22),

所以數(shù)列｛a｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以&=〃，n∈K.

⑵由⑴得，

b_________1_______

3,ιι?^Sn+1-I-&?+1*^Qn

___________1_________

rτ?∣n+1+(〃+1)y∣~n

______________1____________

yjn(∕7÷1)(，〃+1+5)

________________5+1—3_______________

4〃(〃+1)<<y∣n+1÷Λ∕∏)川〃+1—5)

γ∣n+i-?∣~n__1_1

yjn(/?+1)幣y∣n+lt

4

19?（2021.江西八所重點(diǎn)高中4月聯(lián)考）設(shè)數(shù)歹U?｝滿(mǎn)足功=L&+尸ES?）?

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列;

az,-2

⑵設(shè)4=2，求數(shù)列｛?,）的前n項(xiàng)和T1,.

32n-?

4

解⑴證明：因?yàn)榱?尸=，

11]14—412—a為常數(shù).

所以?st?,

a+?—2a?12Qn—22Cln—4Cln—22Sn—4

π---------2

4-&

所以￡1是以一1為首項(xiàng)，一；為公差的等差數(shù)列.

因?yàn)?31=1,1,所以數(shù)列

al-2

1