湖南省湘潭市嚴(yán)沖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

湖南省湘潭市嚴(yán)沖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=cos（2x﹣）在區(qū)間[0，]上的最小值為（）A．﹣1 B．﹣ C．0 D．參考答案：B【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值．【解答】解：由x∈[0，]，可得2x﹣∈[﹣，]，故當(dāng)2x﹣=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為﹣，故選：B．2.如圖，是直棱柱，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).若，則與所成角的余弦值為A.

B.

C.

D.參考答案：A略3.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度參考答案：B【考點(diǎn)】R9：反證法與放縮法．【分析】一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個(gè)”的否定：“至少有兩個(gè)”；“至少有一個(gè)”的否定：“一個(gè)也沒有”；“是至多有n個(gè)”的否定：“至少有n+1個(gè)”；“任意的”的否定：“某個(gè)”；“任意兩個(gè)”的否定：“某兩個(gè)”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，“至少有一個(gè)”的否定：“一個(gè)也沒有”；即“三內(nèi)角都大于60度”．故選B4.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(

) A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q參考答案：A考點(diǎn)：四種命題間的逆否關(guān)系．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：由命題P和命題q寫出對(duì)應(yīng)的￢p和￢q，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”即可得到表示．解答： 解：命題p是“甲降落在指定范圍”，則￢p是“甲沒降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則￢q是“乙沒降落在指定范圍”，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包括“甲降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”或“甲沒降落在指定范圍，乙降落在指定范圍”或“甲沒降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”三種情況．所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為（￢p）V（￢q）．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合命題的真假，解答的關(guān)鍵是熟記復(fù)合命題的真值表，是基礎(chǔ)題．5.已知直線l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，則l1與l2之間距離是（）A．2

B．C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離．【分析】直接利用兩條平行直線間的距離公式，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：∵已知平行直線l1：x﹣y+1=0與l2：x﹣y+3=0，∴l(xiāng)1與l2間的距離d==，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用，注意未知數(shù)的系數(shù)必需相同，屬于基礎(chǔ)題．6.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則()A．a(chǎn)>b>c

B．a(chǎn)>c>b

C．b>a>c

D．c>a>b參考答案：B7.已知：，求z=x2+y2最小值為（） A．13 B． C．1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃． 【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】作出可行域，則Z表示可行域內(nèi)得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方． 【解答】解：作出約束條件表示的可行域如圖： 由圖可知原點(diǎn)到可行域內(nèi)點(diǎn)的最小距離為原點(diǎn)到直線2x+y﹣2=0的距離d=． ∴z=x2+y2最小值為（）2=． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，根據(jù)z的幾何意義尋找最小距離是關(guān)鍵． 8.已知回歸直線斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為點(diǎn)(4,5)，則回歸直線的方程為()A.＝1.23x＋4

B.＝1.23x＋5C.＝1.23x＋0.08

D.＝0.08x＋1.23參考答案：C略9.現(xiàn)有A、B、C、D、E五位同學(xué)分別報(bào)名參加航模、機(jī)器人、網(wǎng)頁(yè)制作三個(gè)興趣小組競(jìng)賽，每人限報(bào)一組，那么不同的報(bào)名方法種數(shù)有(

)A.120種 B.5種 C.種 D.種參考答案：D【分析】先計(jì)算每個(gè)同學(xué)的報(bào)名方法種數(shù),利用乘法原理得到答案.【詳解】A同學(xué)可以參加航模、機(jī)器人、網(wǎng)頁(yè)制作三個(gè)興趣小組,共有3種選擇.同理BCDE四位同學(xué)也各有3種選擇,乘法原理得到答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法乘法計(jì)數(shù)原理,屬于簡(jiǎn)單題目.10.直線的傾斜角是

（

）A

B

C

D參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：

則第4個(gè)圖案中有白色地面磚____________塊，第n個(gè)圖案中有白色地面磚__________塊.參考答案：解：第(1)個(gè)圖中，黑：1白：6；

第(2)個(gè)圖中，黑：2白：10；第(3)個(gè)圖中，黑：3白：14；

第(4)個(gè)圖中，黑：4白：18；第(n)個(gè)圖中，黑：n白：6+(n－1)4=4n+2塊.

12.一副撲克牌中去掉大小王，還有方塊、紅桃、梅花、黑桃四種花色各13張共52張，當(dāng)隨機(jī)抽出3張撲克牌，則這三張牌同花色的概率為_____.參考答案：13.已知橢圓左右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)A是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，則橢圓C的離心率的最大值為

▲

.參考答案：【分析】利用直線與橢圓C有公共點(diǎn)，得到，從而得到了橢圓的離心率的最大值【詳解】由題意易知：直線與橢圓C有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程可得：∴∴，即∴橢圓C的離心率∴橢圓的離心率的最大值為

14.已知函數(shù)g（x）=x2﹣2ax，f（x）=﹣ln（x+1），若存在x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]使得f′（x1）≥g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a≥1【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用；3R：函數(shù)恒成立問題；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】先將問題等價(jià)為：f'（x）min≥g（x）min，再分別對(duì)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上求最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：根據(jù)任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f′（x1）＞g（x2）成立，只需滿足：f'（x）min≥g（x）min，而f'（x）=x2﹣，x∈[0，1]時(shí)為增函數(shù)，所以，f'（x）min=f（0）=﹣1，g（x）=x2﹣2ax的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線，①若a＜1，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，g（x）min=g（1）=1﹣2a，因此，﹣1≥1﹣2a，解得a≥1，故此時(shí)不存在滿足條件的a值；②若1≤a≤2，則x∈[1，a]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈[a，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，g（x）min=g（a）=﹣a2，因此，﹣1≥﹣a2，解得a≤﹣1，或a≥1，故此時(shí)1≤a≤2；③若a＞2，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，g（x）min=g（2）=4﹣4a，因此﹣1≥4﹣4a：，解得a≥，故此時(shí)a＞2；綜上可得：a≥1故答案為：a≥115.已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：16.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若27a3﹣a6=0，則=．參考答案：28【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由已知求出公比，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案為：28．17.過點(diǎn)P（1,2）引直線使A（2，3），B（4，5）到直線的距離相等，求這條直線方程_____________參考答案：或三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓C的方程為：（1）若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，求切線l的方程；（2）過原點(diǎn)的直線m與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2，求直線m的方程.參考答案：(1)①若切線l過原點(diǎn),設(shè)l方程為y=kx,即kx-y=0

則由C（-1,2）到l的距離：得：

∴此時(shí)切線l的方程為：y=

②若切線l不過原點(diǎn),設(shè)l方程為x+y-a=0,

則由C（-1,2）到l的距離：得：3或a=-1此時(shí)切線l的方程為：x+y-3=0或x+y+1=0

∴所求切線l的方程為：y=或x+y-3=0或x+y+1=0

(2)①當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，其方程為x=0,m與圓C的交點(diǎn)為A(0,1),B(0,3)

滿足|AB|=2，∴x=0符合題意。

②當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)m的方程為y=kx,即kx-y=0，

則圓心C到直線m的距離為：

解得：k=-

∴此時(shí)m的方程為：3x+4y=0

故所求m的方程為：x=0或3x+4y=0

19.已知函數(shù)=，.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域T；(2)是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意給定的集合T中的元素t，在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的，使得成立.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；參考答案：（1）

在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,且

的值域T為

（2）則由（1）可得，原問題等價(jià)于：對(duì)任意的在上總有兩個(gè)不同的實(shí)根，故在不可能是單調(diào)函數(shù)

當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意當(dāng)即時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單遞增，由上可得，此時(shí)必有的最小值小于等于0且的最大值大于等于1，而由可得，則綜上，滿足條件的不存在。而，故有即，令，則上式化為，令，則由可得在上單調(diào)遞增，故，即方程無解，所以不存在。20.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)在橢圓上，且(1)求橢圓的方程；(2)過(0,－2)作與x軸不垂直的直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求面積的最大值及l(fā)的方程．參考答案：（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓定義得到，將代入橢圓方程可求得，從而求得橢圓方程；（2）假設(shè)直線，代入橢圓方程，寫出韋達(dá)定理的形式；根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出，利用點(diǎn)到直線距離公式表示出點(diǎn)到直線的距離：，從而可表示出所求面積，利用基本不等式求出最值和取得最值時(shí)的值，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓的方程為（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為設(shè)，聯(lián)立，化為：由韋達(dá)定理可知：，點(diǎn)到直線的距離面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)此時(shí)直線方程為故面積的最大值為，直線的方程為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解、橢圓中與面積有關(guān)的最值和范圍的求解問題.涉及到橢圓中的多邊形面積問題，通常將所求面積利用韋達(dá)定理來表示為關(guān)于變量的函數(shù)關(guān)系式，再借用函數(shù)值域的求解方法或者基本不等式求解得到最值或范圍，屬于重點(diǎn)題型.

21.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．（1）求圓C的方程；（2）若?=﹣2，求實(shí)數(shù)k的值；（3）過點(diǎn)（0，4）作動(dòng)直線m交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．試問：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圓C的方程．（2）由?=2×2×cos＜，＞=﹣2，得∠POQ=120°，圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，由此能求出k=0．（3）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，圓C也是滿足題意的圓；當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，由，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出在以EF為直徑的所有圓中，存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）．【解答】解：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，即，解得a=0，r=2，所以圓C的方程是x2+y2=4．…（2）因?yàn)?=2×2×cos＜，＞=﹣2，且與的夾角為∠POQ，所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，所以圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，又d=，所以k=0．…（3）（ⅰ）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m經(jīng)過圓C的圓心C，此時(shí)直線m與圓C的交點(diǎn)為E（0，2），F(xiàn)（0，﹣2），EF即為圓C的直徑，而點(diǎn)M（2，0）在圓C上，即圓C也是滿足題意的圓．…（ⅱ）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則有①…由①得，②，③若存在以EF為直徑的圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0），則ME⊥MF，所以，因此（