湖南省邵陽市莨山鎮(zhèn)中心學校高二數(shù)學理摸底試卷含解析

湖南省邵陽市莨山鎮(zhèn)中心學校高二數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項和，公差為d，若﹣=100，則d的值為（）A． B． C．10 D．20參考答案：B【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】由等差數(shù)列{an}可得：=d=n+為等差數(shù)列，即可得出．【解答】解：由等差數(shù)列{an}可得：=d=n+為等差數(shù)列，∵﹣=100，∴+﹣=100，∴10d=1，解得d=．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.設函數(shù)在處存在導數(shù)，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用在某點處的導數(shù)的定義來求解.【詳解】，故選A.【點睛】本題主要考查在某點處導數(shù)的定義，一般是通過構造定義形式來解決，側(cè)重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3.如圖長方體中，AB=AD=2，CC1=，則二面角

C1—BD—C的大小為（

）A、300

B、450

C、600

D、900參考答案：A略4.過原點的直線l與雙曲線﹣=﹣1有兩個交點，則直線l的斜率的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）參考答案：B【考點】直線與圓錐曲線的關系．【分析】設過原點的直線方程為y=kx，與雙曲方程聯(lián)立，得：x2（4k2﹣3）﹣12=0，因為直線與雙曲有兩個交點，所以△=48（4k2﹣3）＞0，由此能求出k的范圍．【解答】解：∵雙曲方程為﹣=﹣1，∴，設過原點的直線方程為y=kx，與雙曲方程聯(lián)立，得：x2（4k2﹣3）﹣12=0因為直線與雙曲有兩個交點，所以△=48（4k2﹣3）＞0∴k2＞=，解得，或k＜﹣．故選B．【點評】本題考查直線和雙曲線的位置關系，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．5.已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，應用秦九韶算法計算x=3時的值時，v3的值為（）A．27 B．11 C．109 D．36參考答案：D【考點】中國古代數(shù)學瑰寶．【分析】秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，進而得出．【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，∴v0=1，v1=1×3+0=3，v2=3×3+2=11，v3=11×3+3=36．故選：D．6.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使，則|PF1|?|PF2|=（）A．b2 B．2b2 C．2b D．b參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由F1、F2是橢圓的兩個焦點，橢圓上存在點P，使，PF1⊥PF2，知=|PF1|?|PF2|=b2，由此能求出結果．【解答】解：∵F1、F2是橢圓的兩個焦點，橢圓上存在點P，使，∴PF1⊥PF2，∴=|PF1|?|PF2|=b2tan=b2，∴|PF1|?|PF2|=2b2．故選B．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的簡單應用，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．7.雙曲線方程為則它的右焦點坐標為（

）A.

B．

C．

D．參考答案：D8.給出定義：若函數(shù)在上可導，即存在，且導函數(shù)在上也可導，則稱

在上存在二階導函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)。以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（

）A

B

C

D參考答案：D略9.已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足xf'（x）+f（x）≤0，對任意的0＜a＜b，則必有（）A．a(chǎn)f（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b） C．a(chǎn)f（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)的運算．【分析】先構造函數(shù)，再由導數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關系解決．【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0?[xf（x）]′≤0?函數(shù)F（x）=xf（x）在（0，+∞）上為常函數(shù)或遞減，又0＜a＜b且f（x）非負，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①＞＞0②，①②兩式相乘得：≥≥0?af（b）≤bf（a），故選：A．10.下列四個命題中，正確的有（）①兩個變量間的相關系數(shù)r越小，說明兩變量間的線性相關程度越低；②命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對?x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件；④若函數(shù)f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有極值0，則a=2，b=9或a=1，b=3．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個參考答案：A【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】根據(jù)相關系數(shù)的定義可知①錯誤；根據(jù)特稱命題（又叫存在性命題）的否定可知②錯誤；根據(jù)真值表即可判斷“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分不必要條件，故③錯誤；由條件可得，f（﹣1）=0，f'（﹣1）=0，解得a=2，b=9或a=1，b=3，經(jīng)檢驗，當a=1，b=3時，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此時f（x）沒有極值點，故④錯誤．【解答】解：對于①：相關系數(shù)r的絕對值越趨近于1，相關性越強；越趨近于0，相關性越弱，故①錯誤；對于②：命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故②錯誤；對于③：若p∧q為真，則p、q均為真命題，此時p∨q為真，故命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分條件，故③錯誤；對于④：f'（x）=3x2+6ax+b，因為f（x）在x=﹣1有極值0，故，解得經(jīng)檢驗，當a=2，b=9時，f'（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），此時f（x）在x=﹣1處取得極小值，符合條件；當a=1，b=3時，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此時f（x）沒有極值點，故不符合條件；所以a=2，b=9．故④錯誤．故選：A．【點評】考查了相關系數(shù)的概念，特稱命題的否定，復合命題的真值表以及導數(shù)的應用，對第四個命題中利用導數(shù)求出a，b的值后需進行檢驗．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點為雙曲線的右支上一點,、為雙曲線的左、右焦點，使(為坐標原點),且,則雙曲線離心率為

。參考答案：12.在平面直角坐標系中，“”是“方程的曲線為橢圓”的______條件。（填寫“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”和“既不充分也不必要”之一）參考答案：略13.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=nsin+1，前n項和為Sn，則S2015=．參考答案：-2014考點;數(shù)列的求和．專題;等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析;an=nsin+1，可得a1=2，a2=1，a3=﹣3+1=﹣2，a4=1，a5=5+1=6，…，于是a2k=2ksinkπ+1=1，a2k﹣1=（2k﹣1）+1=（﹣1）k+1（2k﹣1）+1．即可得出．解答;解：∵an=nsin+1，∴a1=2，a2=1，a3=﹣3+1=﹣2，a4=1，a5=5+1=6，…，可得a2k=2ksinkπ+1=1，a2k﹣1=（2k﹣1）+1=（﹣1）k+1（2k﹣1）+1．∴S2015=（a1+a3+…+a2015）+（a2+a4+…+a2014）=[（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2011﹣2013）﹣2015+1008]+1007=（﹣2×1007﹣2015+1008）+1007=﹣2014．故答案為：﹣2014．點評;本題考查了遞推關系的應用、分組求和問題、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他罰球2次（每次罰球結果互不影響）的得分的數(shù)學期望是

．參考答案：1.415.將兩枚質(zhì)地均勻透明且各面分別標有1，2，3，4的正四面體玩具各擲一次，設事件A＝{兩個玩具底面點數(shù)不相同}，B＝{兩個玩具底面點數(shù)至少出現(xiàn)一個2點}，則P（）＝

。參考答案：16.如圖3，四邊形內(nèi)接于⊙，是直徑，與⊙相切,切點為，,

則

.

參考答案：略17.閱讀如圖的程序框圖，輸入的N=6，則輸出的結果為

參考答案：9考點：程序框圖．專題：算法和程序框圖．分析：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．解答： 解：∵輸入的N=6，當i=1時，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后：S=1，i=2；當i=2時，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后：S=9，i=3；當i=3時，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后：S=36，i=4；當i=4時，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后：S=100，i=5；當i=5時，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后：S=225，i=6；當i=6時，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后：S=441，i=7；當i=7時，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的==9，故答案為：9點評：本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e＝，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點，O為原點，且⊥。試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由。參考答案：解：(1)設橢圓方程為

(a>b>0)，因為e＝，所以…………1據(jù)題意在橢圓上，則，于是，解得b＝1，………………2因為a＝c，a2－c2＝b2＝1，則c＝1，a＝…………4故橢圓的方程為……………………5(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋m，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0……………………6所以x1＋x2＝－，x1x2＝………………7于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·－＋m2＝……………8因為⊥，所以x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，即3m2－2k2－2＝0，所以m2＝……………9設原點O到直線l的距離為d，則d＝＝＝……10當直線l的斜率不存在時，因為⊥，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設直線OP，OQ的方程分別為y＝x，y＝－x可得P，Q或者P，Q.此時，原點O到直線l的距離仍為………11綜上分析，點O到直線l的距離為定值…………1219.（12分）設的內(nèi)角所對的邊長分別為，且，．（Ⅰ）求邊長；（Ⅱ）若的面積，求的周長．參考答案：（1）由與兩式相除，有：又通過知：，則，，則．（2）由，得到．由，解得：，最后．20.若展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求：（1）展開式中含x的一次冪的項；（2）展開式中所有x的有理項；（3）展開式中系數(shù)最大的項。參考答案：（1）；（2）有理項分別為：；；；（3）系數(shù)最大項為第項和第項【分析】列出展開式的通項公式，利用前三項系數(shù)成等差數(shù)列求出；（1）根據(jù)通項公式，可知，代入求得結果；（2）根據(jù)，可求得，代入通項公式求得結果；（3）記第項系數(shù)為，設第項的系數(shù)最大，可得，解不等式求得的取值，代入通項公式得到結果.【詳解】展開式的通項公式為：由已知條件知，解得：或（舍去）（1）令，解得的一次冪的項為：（2）令則只有當時，對應的項才為有理項則有理項分別為：；；（3）記第項系數(shù)為，設第項的系數(shù)最大，則有：且又，于是有即

解得：系數(shù)最大項為第項和第項【點睛】本題考查二項式定理的綜合應用，涉及到展開式項的系數(shù)的應用、求解指定項的系數(shù)、系數(shù)最大項的求解問題，關鍵是能夠通過展開式通項公式得到符合題意的的取值.21.（本題10分）已知（），

（1）當時，求的值；

（2）設，試用數(shù)學歸納法證明：

當時，。參考答案：解：（1）記，

則（4分）

（2）設，則原展開式變?yōu)椋海?/p>

則

所以（6分）

當時，，結論成立

假設時成立，即

那么時，

，結論成立。（9分）

所以當時，。（10分）22.班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名男同學，15名女同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出計算式即可，不必計算出結果）（2）隨機抽取8位，他們的數(shù)學分數(shù)從小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分數(shù)從小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率；②若這8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)事實上對應如表：學生編號12345678數(shù)學分數(shù)x6065707580859095物理分數(shù)y7277808488909395根據(jù)上表數(shù)據(jù)，由變量