高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點總結(jié)

一、數(shù)列

1.數(shù)列的定義:按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)稱為該數(shù)列的項.

⑴數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強調(diào)有“次序”，而不強調(diào)有“規(guī)

律因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列.

⑵在數(shù)列中同一個數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn).

⑶項a"與項數(shù)n是兩個根本不同的概念.

⑷數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當自變量從小到大依

次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列

2.通項公式：如果數(shù)列｛。，｝的第〃項與序號之間可以用一個式子表示,那么這個公式叫

做這個數(shù)列的通項公式，即％=/（〃）.

3.遞推公式：如果已知數(shù)列｛?！埃牡谝豁棧ɑ蚯皫醉棧胰魏我豁棧ヅc它的前一項

（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即/或

那么這個式子叫做數(shù)列｛4“｝的遞推公式.如數(shù)列｛““｝中，卬=1,。“=2a“+1,其中

=24+1是數(shù)列｛%｝的遞推公式.

4.數(shù)列的前"項和與通項的公式

?SH=a.+?2+-??+??；②.

-―—=-----------"lSn-Sn_Sn>2）

5.數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.

6.數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列,擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；

有界數(shù)列，無界數(shù)列.

①遞增數(shù)列：對于任何neN+,均有an+｝>an.

②遞減數(shù)列:對于任何〃wN+,均有?n+l<an.

③擺動數(shù)列:例如：-1,1-1,1-1,-7-

④常數(shù)數(shù)列:例如例,6,6,6,…….

⑤有界數(shù)列:存在正數(shù)M使同《"eM.

⑥無界數(shù)列:對于任何正數(shù)M，總有項%使得|%|>M.

1、已知—（〃wN*）,則在數(shù)列｛4｝的最大項為_（答：—）；

nr+15625

2、數(shù)列｛”“｝的通項為凡=一竺一，其中。力均為正數(shù)，則明與。,用的大小關(guān)系為一（答:

bn+\

a

n<%+i）；

3、已知數(shù)列｛q｝中，4="2+2”,且｛《,｝是遞增數(shù)列，求實數(shù)4的取值范圍（答：2>-3）；

4、一給定函數(shù)y=/（x）的圖象在下列圖中，并且對任意6e（0,1）,由關(guān)系式％”=/（??）

得到的數(shù)列｛%｝滿足%>%（〃wN*）,則該函數(shù)的圖象是（）（答：A）

二、等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列｛aJ從第二項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，

那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即

=

Cln-Cln-\d(〃eN*,且"22).(或Cln+\~dn=d(neN")).

2、(1)等差數(shù)列的判斷方法：

①定義法：即+|-以="常數(shù))o為等差數(shù)列。

②中項法：2?！?1=。"+。”+2。｛a,J為等差數(shù)列。

③通項公式法：a?=an+b(a,b為常數(shù))o匕/為等差數(shù)列。

④前n項和公式法：S/AM+W(A,B為常數(shù))o[aJ為等差數(shù)列。

Z7-4—//-4—???—I—Z7

如設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，求證：以卜=」一Z-------“cN*為通項公式的數(shù)列｛4｝為

n

等差數(shù)列。

(2)等差數(shù)列的通項：an=at+(n-\)d^a?=am+(n-ni)d?公式變形為：a“=a”+b.

其中a=d,b=a\-d.

如1、等差數(shù)列｛4｝中，%=30,%)=50,則通項?！?(答：2/1+10)；

2、首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是一

O

(答：一<dW3)

3

(3)等差數(shù)列的前〃和：s“=〃(q+“"),5”=叩+%紇Dd。公式變形為：

22

2￡,

S“=A〃+叫其中A=E,B=0-2.注意：已知n,d,ai,a”,s"中的三者可以求

2

另兩者，即所謂的“知三求二”。

1*315

如數(shù)列｛?！埃?，??=??_,+-(/?>2,?e?/*),a?=-,前n項和S“=--—,則

%=_,n—_(答：q=-3,〃=10)；(2)已知數(shù)列｛《,｝的前n項和S“=12〃一〃？，

12〃一〃2(〃<6,neN*)

求數(shù)列的前”項和I,(答：,*).

〃2-12〃+72(〃>6,〃wN)

(4)等差中項：若a,4,6成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且4=

2

提醒：(1)等差數(shù)列的通項公式及前“和公式中，涉及到5個元素：6、d、〃、。“及

S?,其中《、△稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個,

即知3求2。(2)為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d-(公差為d)；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，

a-3d,a—d,a+d,a+3d,---(公差為2d)

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)當公差時，等差數(shù)列的通項公式％=勾+(〃-1)”=辦+4々是關(guān)于〃的一

次函數(shù)，且斜率為公差d；前”和S“=〃4+迎二Dd=[〃2+(4—是關(guān)于〃的二次

QQf

函數(shù)且常數(shù)項為0.等差數(shù)列｛a“｝中，」是n的一次函數(shù)，且點(n,—&)均在直線y=^x

nn2

(2)若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列，若公差

d=。,則為常數(shù)列。

(3)對稱性：若｛aa｝是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都等于首末兩項之

和.當機+〃=p+q時，則有+a“=%,+4，特別地，當，〃+”=2〃時，則有

。,“+凡=2%,.

如1、等差數(shù)列｛4｝中，S“=18,a,,+a,T+a,L2=3,03=1,則〃=—(答：27)；

2、在等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，aw<0,??>0,且%>|q°l，S“是其前〃項和，則A、

S?S2品,都小于0,SH,S,2都大于0B、St,S2S”都小于o,s20,s2]都大于

0C、岳,$2…$5都小于0,56,57.都大于0D、S｝,S2S20都小于0,S2I,S?

都大于0(答：B)

(4)項數(shù)成等差，則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列.即即以+“做+2,",...上，a€*)成等差.若

以｝、依｝是等差數(shù)列，則｛0｝、｛她+P2｝（k、p是非零常數(shù)）、他…/他””）、

S”,S2”-S”,S3“-S2“（公差為〃24）.,…也成等差數(shù)列，而｛*｝成等比數(shù)列；若｛2｝是

等比數(shù)列，且4〉0,則｛1g4｝是等差數(shù)列.

如等差數(shù)列的前n項和為25,前2n項和為100,則它的前3〃和為。

（答:225）

（5）在等差數(shù)列｛&“｝中，當項數(shù)為偶數(shù)2"時，S?=n（an+an+i）：S偶-5奇=〃"；

S偶—?！?1

S奇Un

項數(shù)為奇數(shù)2〃一I時，Ly2?_|=（2n-l）fl?;S偶-s奇=-a1;°

S奇

如1、在等差數(shù)列中，Su=22,則4=（答：2）；

2、項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列｛q｝中，奇數(shù)項和為80,偶數(shù)項和為75,求此數(shù)列的

中間項與項數(shù)（答：5；31）.

（6）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列｛?！保墓?，則

d>0o｛qj是遞增數(shù)列；d<0o｛a.｝是遞減數(shù)列：d=0o｛即｝是常數(shù)數(shù)列

A

⑺若等差數(shù)列｛4｝、依｝的前〃和分別為4、B,,,且寸=/（"），則

乙;（2〃T）4_

=/(2n-l).

勿一（2〃-購一小

如設(shè)｛七｝與｛2｝是兩個等差數(shù)列，它們的前w項和分別為S”和7；,若

工=4〃-3

8n-7

I—m

（8）設(shè)力通〃a”為等差數(shù)列中的三項，且a,與a,“，a,“與"的項距差之比-----=2

m-n

（3—］）,則a/書紹

1+X

〃+772

（9）在等差數(shù)列｛a,J中，S“=a,S?,=b（n>m）,貝~-（a-b）.

n-m

8、已知｛a”｝成等差數(shù)列，求s“的最值問題：

①若a>0,d<0且滿足,則s”最大；

［即河

②若為<o,d>o且滿足!d-°，，則s“最小.

1加士。

“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等

差數(shù)列中，前〃項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組N°（或］

確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前”項是關(guān)于鹿的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)

化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性〃eN*。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)

思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？

如1、等差數(shù)列｛&｝中，4=25,Sg=S'i,問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。

（答：前13項和最大，最大值為169）；

2、若｛?！埃堑炔顢?shù)列，首項4>0,%）03+a20M>°，

4003,。2004<°，則使前?項和S,,>0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）

（10）如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，

且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的項，其項

數(shù)不一定相同，即研究為=〃”.

三、等比數(shù)列

1、等比數(shù)列的有關(guān)概念：如果數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的比等于同一個常

數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。即&=g（”wN*,“z2）（或

%-1

2=453）

an

2、等比數(shù)列的判斷方法：定義法—=為常數(shù)），其中或%比=區(qū)

ananan-\

2"+1項，奇數(shù)項之積為100,偶數(shù)項之積為120,則生川為一（答：-）；

6

2、數(shù)列｛%｝中，S〃=4%_[+1（九22）且4=1,若二見山一2?！?求證：數(shù)列｛6〃｝

是等比數(shù)列。

n,n

3、等比數(shù)列的通項：a“=%q"T或凡=amq-。

如設(shè)等比數(shù)列｛?！ǎ校琣y+an-66,a2an_｝=128,前〃項和S“=126,求〃和公比

q.（答：〃=6,q=5或2）

4、等比數(shù)列的前〃和：當4=1時，S,,=nat；當時，S,=色"二口=4一凡夕。

i-q\-q

如等比數(shù)列中，q=2,$99=77,求生+4-1----（答：44）

提醒：等比數(shù)列前〃項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前"項和時，首先要判斷

公比4是否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比4是否為1時，要對

4分q=1和q工1兩種情形討論求解。

5、等比中項：如果a、G、b三個數(shù)成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，即G=±，石.

提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個±丁茄。

如已知兩個正數(shù)a,僅的等差中項為A,等比中項為B,則A與B的大小關(guān)系為

（答：A>B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式中，涉及到5個元素：%、q、〃、a?

及S“，其中4、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2

個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為…，

…（公比為q）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為…工二,。/。/',…，

qqqq

因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為如有四個數(shù)，其中前三

個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三

個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。（答：15,,9,3,1或0,4,8,16）

6、等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）對稱性：若必”｝是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之積都等于首末兩項之積.

即當加+〃=p+q時，則有風(fēng)”.%=?！迸c，特別地，當〃2+〃=2〃時，則有a,“.a“=aj.

如1、在等比數(shù)列｛4｝中，%+4=124,4%=一512,公比q是整數(shù)，則qo=——（答:

512）；

2、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛七｝中,若%?%=9,則log?"+log34++log3aio=

（答：10）o

（2）若｛a“｝是公比為q的等比數(shù)列，則｛|a“|｝、｛a：｝、｛ka“｝、｛—L｝也是等比數(shù)

an

歹U,其公比分別為Iq|｝、｛q2｝、｛q｝、｛-｝?若｛4｝、｛b“｝成等比數(shù)列，則｛。,九｝、(合｝

qbn

成等比數(shù)列；若僅“｝是等比數(shù)列，且公比qw—1,則數(shù)列5“,52”一5”,53”一52”，一也

是等比數(shù)列。當4=—1,且〃為偶數(shù)時，數(shù)列S”,S2”—S,,,S3“—S2“，…是常數(shù)數(shù)列0,

它不是等比數(shù)列.若｛?,｝是等比數(shù)列，且各項均為正數(shù)，則｛log“aj成等差數(shù)列。若項數(shù)

為3n的等比數(shù)列(qf-l)前n項和與前n項積分別為S1與「，次n項和與次n項積分別

為S?與丁2,最后n項和與n項積分別為S3與丁3,則Si，S2,S3成等比數(shù)列，L，T,,

T3亦成等比數(shù)列

如1、已知a>0且,設(shè)數(shù)列區(qū)｝滿足log“x“+|=l+logax?(n&N*),且

玉+毛++x10G=100,則A01+X102++々00=.(答：100a'°°)；

2、在等比數(shù)列｛%｝中，S,為其前n項和，若530=13號0,510+530=140,則S2。

的值為(答：40)

(3)單調(diào)性：若q>0,q>l,或4<0,0<q<l則｛%｝為遞增數(shù)列；若q<0，q>l,

或q>0,0<4<l則｛a,｝為遞減數(shù)列；若4<0,則｛4｝為擺動數(shù)列；若q=l,則｛4｝為

常數(shù)列.

1

(4)當qwl時，Sn=——<7°+—^—=aq"+h,這里a+Z?=0,但“*0,。工0,

\-q\-q

這是等比數(shù)列前〃項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)S“，判斷數(shù)列｛4｝是否為等比數(shù)

列。如若｛%｝是等比數(shù)列，且S,=3"+r,則「=(答：一1)

mn

(5)Sm+n=Sm+qSn=S?+qSm.如設(shè)等比數(shù)列｛a“｝的公比為g,前〃項和為S“，

若S“+”S”,S“+2成等差數(shù)列，則4的值為(答：-2)

(6)在等比數(shù)列｛%｝中，當項數(shù)為偶數(shù)2〃時，S偶=qS奇；項數(shù)為奇數(shù)2〃一1時，

s奇=q+qS偶.

(7)如果數(shù)列｛/｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛4｝是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)

數(shù)列｛七｝僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。

如設(shè)數(shù)列｛/｝的前〃項和為S“（〃eN）,關(guān)于數(shù)列｛%｝有下列三個命題：①若

a?=an+l（neN）,則｛%｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若S“=a〃2+b〃（a、beR）,

則｛%｝是等差數(shù)列；③若S“=1-（-1）”,則｛%｝是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號

是（答：②③）