2022-2023學年浙江省金華市金東實驗中學高二數學理上學期期末試卷含解析

2022-2023學年浙江省金華市金東實驗中學高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設g（x）為R上不恒等于0的奇函數，（a＞0且a≠1）為偶函數，則常數b的值為（）A．2B．1C．D．與a有關的值參考答案：A【考點】函數奇偶性的判斷．【分析】由g（x）是奇函數，f（x）是偶函數，則根據函數奇偶性的性質可得出函數為奇函數，然后利用f（﹣x）=﹣f（x），建立方程求出常數b的值．【解答】解：因為g（x）是奇函數，f（x）是偶函數，則根據函數奇偶性的性質可得出函數為奇函數，所以m（﹣x）=﹣m（x），即即，解得b=2．故選A．2.設x∈R，則“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用充要條件的判斷方法判斷選項即可．【解答】解：因為x∈R，“x＞1“?“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要條件．故選：C．3.拋物線y2＝8x的焦點到雙曲線的漸近線的距離為()A．1

B.

C.

D.參考答案：A4.平面內一動點M到兩定點F1、F2距離之和為常數2a，則點M的軌跡為(

)A.橢圓

B.圓

C.橢圓或線段或不存在

D.不存在參考答案：C略5.過點（3，﹣6）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是（）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0參考答案：D【考點】直線的截距式方程．【分析】當直線過原點時，用點斜式求得直線方程．當直線不過原點時，設直線的方程為x+y=k，把點（3，﹣6）代入直線的方程可得k值，從而求得所求的直線方程，綜合可得結論．【解答】解：當直線過原點時，方程為y=﹣2x，即2x+y=0．當直線不過原點時，設直線的方程為x+y=k，把點（3，﹣6）代入直線的方程可得k=﹣3，故直線方程是x+y+3=0．綜上，所求的直線方程為x+y+3=0或2x+y=0，故選：D．【點評】本題考查用待定系數法求直線方程，體現了分類討論的數學思想，注意當直線過原點時的情況，這是解題的易錯點，屬于基礎題．6.在△ABC中，若，則△ABC是（）A．有一內角為30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一內角為30°的等腰三角形D．等邊三角形參考答案：B【考點】GZ：三角形的形狀判斷；HP：正弦定理．【分析】由題中等式結合正弦定理，算出A=B=，由此可得△ABC是以C為直角的等腰直角三角形．【解答】解：∵，∴結合正弦定理，可得sinA=cosA，因此tanA=1，可得A=．同理得到B=∴△ABC是以C為直角的等腰直角三角形故選：B7.已知全集，，，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F2為右焦點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【分析】把x=﹣c代入橢圓方程求得P的坐標，進而根據∠F1PF2=60°推斷出=整理得e2+2e﹣=0，進而求得橢圓的離心率e．【解答】解：由題意知點P的坐標為（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故選B．9.已知函數f（x）=（a＞0且a≠1）的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，則實數a的取值范圍是（）A．[，]∪{3} B．[3，5）∪{} C．[，]∪{5} D．[3，7）∪{}參考答案：D【考點】5B：分段函數的應用；3O：函數的圖象．【分析】若函數f（x）=（a＞0且a≠1）的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，則函數y=logax，與y=|x﹣5|﹣1上有且只有一個交點，解得：實數a的取值范圍．【解答】解：∵函數f（x）=（a＞0且a≠1）的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，∴函數y=logax，與y=|x﹣5|﹣1上有且只有一個交點，當對數函數的圖象過（5，﹣1）點時，a=，當對數函數的圖象過（3，1）點時，a=3，當對數函數的圖象過（7，1）點時，a=7，故a[3，7）∪{}，故選：D【點評】本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的圖象，數形結合思想，難度中檔．10.在極坐標系中，已知圓C經過點，圓心為直線與極軸的交點，則圓C的極坐標方程為A. B.C. D.參考答案：A【分析】求出圓C的圓心坐標為（2，0），由圓C經過點得到圓C過極點，由此能求出圓C的極坐標方程．【詳解】在中，令，得，所以圓C的圓心坐標為（2，0）.因為圓C經過點，所以圓C的半徑，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為.故選：A【點睛】本題考查圓的極坐標方程的求法，考查直角坐標方程、參數方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點處的切線方程為

．（化成“直線的一般式方程”）

參考答案：12.在△ABC中，，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O，，則的值________．參考答案：【分析】由角平分線定理可得，，則有，將代入化簡即可求得結果.【詳解】如圖，在中，，角的平分線與邊上的中線交于點，由角平分線定理可得，，則，即有，，解得.所以本題答案為.【點睛】本題主要考查平面向量的數量積應用，利用基底向量表示目標向量是求解關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).13.已知數列的前項的和為，則數列的通項公式為

參考答案：14.(文)設A是整數集的一個非空子集，對于，如果且，那么是A的一個“孤立元”，給定，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有

個.參考答案：6略15.數列數列﹣3，5，﹣7，9，﹣11，……的一個通項公式為．參考答案：an=（﹣1）n（2n+1）考點;數列的函數特性．專題;等差數列與等比數列．分析;設此數列為{an}，其符號為（﹣1）n，其絕對值為2n+1，即可得出．解答;解：設此數列為{an}，其符號為（﹣1）n，其絕對值為2n+1，可得通項公式an=（﹣1）n（2n+1）．故答案為：an=（﹣1）n（2n+1）．點評;本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題16.設中的變量滿足條件，則的最大值是

參考答案：1417.命題p“?x∈R，sinx≤1”的否定是．參考答案：?x∈R，sinx＞1【考點】命題的否定．【專題】綜合題．【分析】直接把語句進行否定即可，注意否定時?對應?，≤對應＞．【解答】解：根據題意我們直接對語句進行否定命題p“?x∈R，sinx≤1”的否定是：?x∈R，sinx＞1．故答案為：?x∈R，sinx＞1．【點評】本題考查了命題的否定，注意一些否定符號和詞語的對應．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值﹣．（1）試求動點P的軌跡方程C；（2）設直線l：y=kx+1與曲線C交于M．N兩點，當|MN|=時，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題．【分析】（Ⅰ）設出P的坐標，利用動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值，建立方程，化簡可求動點P的軌跡方程C．（Ⅱ）直線l：y=kx+1與曲線C方程聯(lián)立，利用韋達定理計算弦長，即可求得結論．【解答】解：（Ⅰ）設動點P的坐標是（x，y），由題意得：kPAkPB=∴，化簡，整理得故P點的軌跡方程是，（x≠±）（Ⅱ）設直線l與曲線C的交點M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0∴x1+x2=，x1x2=0，|MN|=，整理得，k4+k2﹣2=0，解得k2=1，或k2=﹣2（舍）∴k=±1，經檢驗符合題意．∴直線l的方程是y=±x+1，即：x﹣y+1=0或x+y﹣1=019.設函數.（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）分析：（1）求導，構建等量關系，解方程可得參數的值；（2）對分及兩種情況進行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進而可求參數的取值范圍.詳解：解：（Ⅰ）因為，所以.，由題設知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當時，；當時，.所以在x=1處取得極小值.若，則當時，，所以所以1不是的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當a=0時，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘

∴x=1處取得極大值，不合題意.（2）當a>0時，令得.①當，即a=1時，，∴在上單調遞增，∴無極值，不合題意.②當，即0<a<1時，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗

∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當，即a>1時，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗

∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當a<0時，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘

∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.點睛：導數類問題是高考數學中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式有以下四個：①考查導數的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；②利用導數證明函數單調性或求單調區(qū)間問題；③利用導數求函數的極值最值問題；④關于不等式的恒成立問題.解題時需要注意的有以下兩個方面：①在求切線方程問題時，注意區(qū)別在某一點和過某一點解題步驟的不同；②在研究單調性及極值最值問題時常常會涉及到分類討論的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立問題屬于高考中的難點，要注意問題轉換的等價性.20.已知函數，，其中為自然對數的底數．（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值．（Ⅱ）設函數，若在區(qū)間內存在唯一的極值點，求的值．（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數．函數在上恰有個零點，求實數的取值范圍．參考答案：【考點】6D：利用導數研究函數的極值；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算，求出的值即可；（Ⅱ）求出函數的導數，根據函數的單調性求出函數的極值點，求出對應的的值即可；（Ⅲ）通過討論的范圍求出函數的單調區(qū)間，結合函數的單調性以及函數的零點個數確定的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）易得，，所以，依題意，，解得；（Ⅱ）因為，則．設，則．令，得．則由，得，為增函數；由，得，為減函數；而，．則在上有且只有一個零點，且在上，為減函數；在上，為增函數．所以為極值點，此時．又，，則在上有且只有一個零點，且在上，為增函數；在上，為減函數．所以為極值點，此時．綜上或．（Ⅲ）（）當時，，依題意，，不滿足條件；（）當時，，，①若，即，則是的一個零點；②若，即，則不是的零點；（）當時，，所以此時只需考慮函數在上零點的情況．因為，所以①當時，，在上單調遞增．又，所以（i）當時，，在上無零點；（ii）當時，，又，所以此時在上恰有一個零點；②當時，令，得．由，得；由，得；所以在上單調遞減，在上單調遞增．因為，，所以此時在上恰有一個零點；綜上，．21.已知函數．(Ⅰ)討論函數的單調性；(Ⅱ)證明：(e為自然對數的底)恒成立．參考答案：(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.【分析】(Ⅰ)求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；(Ⅱ)取，有，即，求出(當且僅當時等號成立)，問題轉化為證明在上恒成立即可，設，根據函數的單調性證明即可．【詳解】(Ⅰ)解：函數的定義域為，當時，恒成立，所以在內單調遞增；當時，令，得，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減，綜上所述，當時，在內單調遞增；當時，在內單調遞增，在內單調遞減(Ⅱ)證明：由(1)可知，當時，特別地，取，有，即，所以(當且僅當時等號成立)，因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增．故當時，，即在上恒成立因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，所以有恒成立或：令，則，再令，則，由知，存在，使得，得，由可證，進而得證．【點睛】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想。22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點．（1）求證：平面PAB∥平面EFG；（2）在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明；（3）證明平面EFG⊥平面PAD，并求點D到平面EFG的距離．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定；點、線、面間的距離計算．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（1）由已知可得EG∥PB，從而可證EG∥平面PAB，則只要再證明EF∥平面PAB，即證EF∥AB，結合已知容易證，根據平面與平面平行的判定定理可得．（2）若使得PC⊥平面ADQ，即證明PC⊥平面ADE，當Q為PB的中點時，PC⊥AE，AD⊥PC即可．（3）欲證平面EFG⊥平面PAD，根據面面垂直的判定定理可知在平面EFG內一直線與平面PAD垂直，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，滿足線面垂直的判定定理，則CD⊥平面PAD，再根據EF∥CD，則EF⊥平面PAD，滿足定理條件，取AD中點H，連接FH，GH，在平面PAD內，作DO⊥FH，垂足為O，則DO⊥平面EFGH，DO即為D到平面EFG的距離，在三角形PAD中，求出DO即可．【解答】解：（1）證明：E，G分別是PC，BC的中點得EG∥PB，∵EG?平面PAB，PB∥平面PAB∴EG∥平面PAB又E，F分別是PC，PD的中點，∴EF∥CD，又AB∥CD∴EF∥AB∵EF?平面PAB，AB?平面PAB∴EF∥平面PAB，又∵EG，EF