人教A版《數(shù)學(xué)》必修一教案：函數(shù)的單調(diào)性

人教A版《數(shù)學(xué)》必修一教案：1.3.1函數(shù)的單調(diào)性

§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：

(1)建立增(減)函數(shù)的概念

通過觀察一些函數(shù)圖象的特征,形成增(減)函數(shù)的直觀認(rèn)識(shí).再通過具體函

數(shù)值的大小比較,認(rèn)識(shí)函數(shù)值隨自變量的增大(減小)的規(guī)律，由此得出增(減)函數(shù)單調(diào)性的定義.掌握用

定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟.

(2)函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識(shí)數(shù)的過程,在這個(gè)過程中，讓學(xué)生通過自主探究活動(dòng),體

驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦.

2、過程與方法

(1)通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；

(2)學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；

(3)能夠熟練應(yīng)用定義判斷與證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性.

3、情態(tài)與價(jià)值,使學(xué)生感到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性,增強(qiáng)學(xué)習(xí)

函數(shù)的緊迫感.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.

難點(diǎn)：利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性.

三、學(xué)法與教學(xué)用具

1、從觀察具體函數(shù)圖象引入，直觀認(rèn)識(shí)增減函數(shù)，利用這定義證明函數(shù)單調(diào)性.通過練習(xí)、交流反饋，

鞏固從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2、教學(xué)用具：投影儀、計(jì)算機(jī).

四、教學(xué)思路：

(一)創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

1.觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象,并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

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(2)f(x)=-x+2

①從左至右圖象上升還是下降？

②在區(qū)間上，隨著x的增y.

大,f(x)的值隨著.

(3)f(x)=x21-

①在區(qū)間上，一力-------1——>

f(x)的值隨著x的增大而

②在區(qū)間上,f(x)的值隨

著x的增大而.

3、從上面的觀察分析,能得出什么結(jié)論？

學(xué)生回答后教師歸納：從上面的觀察分析可以看出：不同的函數(shù)，其圖象的變

化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映,這就

是我們今天所要研究的函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)一一函數(shù)的單調(diào)性(引出課題).

(二)研探新知

1、y=x2的圖象在y軸右側(cè)是上升的，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來描述這種“上升”呢？

學(xué)生通過觀察、思考、討論，歸納得出：

函數(shù)y=x2在(0,+8)上圖象是上升的,用函數(shù)解析式來描述就是：對(duì)于(0,+8)上的任意的X],X2,

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當(dāng)X1<X2時(shí),都有X!<X2.即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大,具有這種性質(zhì)的函數(shù)叫增函數(shù).

2.增函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(X)的定義域?yàn)镮,

如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量X1,X2,當(dāng)X1<X2時(shí),都有f(Xi)<f(X2),那么就

說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasingfunction).

3、從函數(shù)圖象上可以看到,y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，類比增函數(shù)的定義，你能概括出減函數(shù)

的定義嗎？

注意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量X1,X2；當(dāng)X《X2時(shí)，總有f(X])<f(X2).

4.函數(shù)的單調(diào)性定義

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(X)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：

(三)質(zhì)疑答辯,發(fā)展思維.

根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.

例1如圖是定義在區(qū)間[—5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上,

它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

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解：略

例2物理學(xué)中的玻意耳定律P=-（k為正常數(shù)）告訴我們,對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí),壓強(qiáng)P

V

將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.

分析：按題意，只要證明函數(shù)P=&在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù)即可.

V

證明：略

3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

①任取xi,x.GD,且xi<x2;

②作差f（Xi）-f（X2）；

③變形（通常是因式分解和配方）;

④定號(hào)（即判斷差f（Xi）-f（X2）的正負(fù)）；

⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f（X）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.

鞏固練習(xí)：

①課本P38練習(xí)第1、2、3題；

②證明函數(shù)y=x+L在（1,+8）上為增函數(shù).

x

例3.借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=—x2+2|x|+3的圖象并指出它的的單調(diào)區(qū)間.

解：（略）

思考：畫出反比例函數(shù)歹=’的圖象.

X

①這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？

0它在定義域/上的單調(diào)性怎樣?證明你的結(jié)論.

（四）歸納小結(jié)

函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷,再利用定義證明.畫函數(shù)圖象通常借助計(jì)算機(jī),求函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間時(shí)必須要注意函數(shù)的定義域,單調(diào)性的證明一般分五步：

取值f作差一變形一定號(hào)f下結(jié)論

（五）設(shè)置問題，留下懸念

1、教師提出下列問題讓學(xué)生思考：

①通過增（減）函數(shù)概念的形成過程，你學(xué)習(xí)到了什么？

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②增（減）函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)?如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)