山東省青島市萊西第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

山東省青島市萊西第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于()A.

B.

C.

D.參考答案：D2.若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則的值為（

）A.

B．

C．

D．無(wú)解參考答案：A略3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在圖中拋物線及橢圓的實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，若∥軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0），則三角形ABN的周長(zhǎng)的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓．在正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落到圓內(nèi)的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由題意得圓的半徑為1，故圓的面積為。根據(jù)幾何概型概率公式可得該點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為。選A。

6.從不同號(hào)碼的五雙鞋中任取4只，其中恰好有一雙的取法種數(shù)為（

）A.120

B.240

C.360

D.72參考答案：A略7.已知,則等于A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，己知棱長(zhǎng)為a，M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為（

）

A、﹣

B、

C、﹣

D、參考答案：D

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角

【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B1（a，a，a），M（），D1（0，0，a），N（），

=（﹣，﹣，﹣），=（，0，﹣a），

設(shè)B1M與D1N所成角為θ，

則cosθ===．

∴B1M與D1N所成角的余弦值為．

故選：D．

【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出B1M與D1N所成角的余弦值．

9.雙曲線=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A．1 B． C．2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】直接利用雙曲線方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解漸近線方程，然后求解即可．【解答】解：雙曲線=1的焦點(diǎn)（，0），漸近線，雙曲線=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為：=．故選：B．10.若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________;參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，若，則A=

▲

．參考答案：由余弦定理，即答案為．

12.若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則_____,______.

參考答案：略13.對(duì)于函數(shù)，使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值叫做函數(shù)的上確界，則函數(shù)的上確界是

。參考答案：514.不等式(2+)x+(2–)x>8的解集是

。參考答案：(–∞，log(4–))∪(log(4+)，+∞)15.橢圓7x2+3y2=21上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為．參考答案：2【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】將橢圓方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b的值，由橢圓的定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和2a=2．【解答】解：由題意可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)在y軸上，a2=7，b2=3，由c2=a2﹣b2=4，c=2，∴由橢圓的定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和2a=2，故答案為：2．16.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服種選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為______

參考答案：17.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+t，則t+a3的值為

．參考答案：17【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由題意易得數(shù)列的前3項(xiàng)，可得t的方程，解t值可得答案．【解答】解：由題意可得a1=S1=3+t，a2=S2﹣S1=6，a3=S3﹣S2=18，由等比數(shù)列可得36=（3+t）?18，解得t=﹣1，∴t+a3=﹣1+18=17．故答案為17．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知線段是橢圓的長(zhǎng)為的動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.參考答案：解：解法一∵線段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，，，．……6分又點(diǎn)到直線的距離，

……8分，

……10分，．

……12分解法二：∵線段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，由，消去，并整理，得設(shè)，，則，

……3分，．……12分19.如圖，在直角梯形中，，，.直角梯形通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使平面平面.M為線段BC的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值；（3）是否存在點(diǎn)P，使得直線平面AMP？請(qǐng)說明理由.參考答案：解：（1）由已知，平面平面平面，平面平面所以平面又平面所以（2）由（1）可知，，兩兩垂直.分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.由已知所以，，，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).所以，易知平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的一個(gè)法向量為由得取，得由圖可知，二面角的大小為銳角，所以所以二面角的余弦值為（3）存在點(diǎn)，使得直線平面設(shè)，且，，則所以，，.所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得取，得（不符合題意）又若平面，則所以，所以所以存在點(diǎn)，使得直線平面

20.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．

（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．參考答案：（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過取中點(diǎn)，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)

為的中位線且又為中點(diǎn)，且

且

四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形

則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且

為等邊三角形

又平面，平面

平面，即平面為平面的一個(gè)法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，

二面角的正弦值為：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來(lái)得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.

21.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若實(shí)數(shù)使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，是否存在過點(diǎn)的直線與(Ⅰ)中點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)（在之間），且[.若存在,求出該直線的斜率的取值范圍,若不存在,說明理由.參考答案：解：(Ⅰ)化簡(jiǎn)得：

…

4分

(Ⅱ)點(diǎn)軌跡方程為.

設(shè)，，則

由已知得,則,.……………

6分

設(shè)直線直線方程為，聯(lián)立方程可得：

,

同號(hào)，

……

8分

設(shè)，則，

，解得．

……………

12分22.（本題滿分12分）已知函數(shù)在是增函數(shù)，在為減函數(shù)．（Ⅰ）求的表達(dá)式；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ），在上恒成立，∴，∴．………2分又，在上恒成立，∴，∴．…4分∴∴

…5