2023-2024學(xué)年挑戰(zhàn)中考壓軸題重難點(diǎn)題型分類專題06 圓與射影定理結(jié)合型壓軸題專題（原卷版）

專題06圓與射影定理結(jié)合型壓軸題專題（原卷版）射影定理模型：射影定理，又稱“\t"/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"歐幾里德定理”：在\t"/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"直角三角形中，斜邊上的高是兩條\t"/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條\t"/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的\t"/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"比例中項。射影定理是\t"/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理，在初三各名校的數(shù)學(xué)和各地中考試題中都多次考查了這一模型的應(yīng)用。圖形推導(dǎo)過程結(jié)論因為∽①;②;③1.（長沙中考）如圖，點(diǎn)P在以MN為直徑的半圓上運(yùn)動（點(diǎn)P不與M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于點(diǎn)E，交PQ于點(diǎn)F．（1）+＝．（2）若PN2＝PM?MN，則＝．

2．（北雅）如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動（不與、重合），于點(diǎn)，過點(diǎn)作與平行交的延長線于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）求證：與相切；（3）若，求的值．3．（長沙中考）如圖，點(diǎn)，，在上運(yùn)動，滿足，延長至點(diǎn)，使得，點(diǎn)是弦上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作弦的垂線，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)（點(diǎn)在劣弧上）．（1）是的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；（2）記，，的面積分別為，，，若，求的值；（3）若的半徑為1，設(shè)，，試求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．4.（長沙中考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：DF是⊙O的切線；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．5.（青竹湖三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，CB的延長線交⊙O于點(diǎn)E．求證：AE＝CE；（2）EF與⊙O相切于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直徑；（3）在（2）的條件下，若CF:CD=n（n＞0），求sin∠CAB．

6.（長郡）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于E，DE＝EC，過點(diǎn)B的切線與AD的延長線交于F，過E作EG⊥BC于G，延長GE交AD于H．（1）求證：AH＝HD；（2）若＝，DF＝9，求⊙O的半徑．10.如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與過點(diǎn)的切線垂直，垂足為，直線與的延長線交于點(diǎn)，弦平分，交于點(diǎn)，連接，.（1）求證：平分；（2）若，求陰影部分的面積；（3）若，求的長度（射影定理）.

7.（雅禮）如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)D是MB與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AD延長線與BC的交點(diǎn)，且AD?AO＝AM?AP．（1）連接OP，證明：△ADM∽△APO；（2）證明：PD是⊙O的切線；（3）若AD＝24，AM＝MC，求的值．

8.（廣益）如圖，已知PB與⊙O相切于點(diǎn)B，A是⊙O上的一點(diǎn)，滿足PA=PB，連接PO，交AB于E，交⊙O于C，D兩點(diǎn)，E在線段OD上，連接AD，OB。（1）求證：直線PA是⊙O的切線；（2）①求證：點(diǎn)D是△PAB的內(nèi)心②若PA=13，sin∠APE=，求DE的長；（3）已知，求tanC.9.(長郡)如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與AC、BC交于點(diǎn)F、D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝FE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連OE．若，AB＝10，求CE的長．

10．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點(diǎn)M，將弧CD沿著CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長OA至P，使AP＝OA，連接PC．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）點(diǎn)G為弧ADB的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E，交弧BC于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．11．如圖，已知AB是半圓O直徑，點(diǎn)C為半圓上一動點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，將△ACD沿AC翻折，得到△ACE，AE交半⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：直線CE與⊙O相切；（2）若∠OCA＝∠ECF，AD＝8，EC＝6，求CF的長．

12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C（0，2），過