2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納（全國通用）專題27 最值模型之胡不歸模型（解析版）

資料整理資料整理資料整理專題27最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即?！灸Ｐ徒庾x】一動點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動速度為V1，在直線MN上運(yùn)動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，則的最小值是．【答案】【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，由題意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法．例2．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，對角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)M在線段上，且．點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動點(diǎn)．

（1）°；（2）的最小值為．【答案】2【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到，又由得到是等邊三角形，則，即可得到答案；（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，證明，進(jìn)一求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，

在中，由（1）知：，∴，∴，在矩形中，，∵，∴，在中，，∴，∴的最小值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，對角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】過作，由菱形，，得到為平分線，求出，在中，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到，故，求出的最小值即為所求最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，求出即可．【詳解】解：過作，菱形，，，，即為等邊三角形，，在中，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，，，，在中，，則的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┰谶呴L為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是對角線上的動點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】0【分析】作于，可得出，從而得的最小值，將變形為，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作于，∵四邊形是正方形，，，的最小值為0，∵，∴的最小值為0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化線段．例5．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

【答案】6【分析】過點(diǎn)P作，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到，，然后利用含角直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后利用代入求解即可．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作，連接并延長交于點(diǎn)F，連接

∵是等邊三角形，∴∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值為的長度∵是等邊三角形，，∴∴的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．例6．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)在y軸上，連接，則的最小值是．

【答案】【分析】過作，過作．再由得，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，求出即可．【詳解】解：連接，過作，過作，

令，即，解得或1，，，，，，．，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，，，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查胡不歸問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是將求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值．屬于中考選擇題中的壓軸題．例7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)C作，垂足為D，取，即可說明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)一步求出，繼而將轉(zhuǎn)化為，推出點(diǎn)D在以為直徑的圓上，從而可知當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，最大，再求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作，垂足為D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，最大，∵，∴點(diǎn)D在以為直徑的圓上，∴當(dāng)D平分時(shí)，點(diǎn)D到的距離最大，即高最大，則面積最大，此時(shí)，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．

．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為的長．例8．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)H是直線上的一動點(diǎn)，動點(diǎn)，連接．當(dāng)取最小值時(shí)，的最小值是．

【答案】【分析】作出點(diǎn)，作于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，此時(shí)的最小值為的長，利用解直角三角形求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，此時(shí)的最小值是的長，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴，，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，把點(diǎn)向右平移3個(gè)單位得到，作于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)作交x軸于點(diǎn)E，則四邊形是平行四邊形，此時(shí)，，∴有最小值，作軸于點(diǎn)P，

則，，∵，∴，∴，∴，即，∴，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，，解得，即；過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，直線與x軸的交點(diǎn)為，則，∴，∴，∴，即的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．例9．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動點(diǎn)，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時(shí)，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；【答案】（1）y＝x+1；（2）點(diǎn)G（，），最小值為；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，令x=0，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D時(shí)AC的中點(diǎn)，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．（2）求三角形的面積最值可以轉(zhuǎn)化為求線段長度的最大值，利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可將不共線的線段轉(zhuǎn)換為共線的線段長度．【詳解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D為AC的中點(diǎn)，∴D（2，2），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入點(diǎn)B和點(diǎn)D，，解得，∴直線BD的解析式為y＝x+1．（2）如圖所示，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交BE交于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+t+4），則點(diǎn)H為（t，t+1），∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，PH最大，此時(shí)點(diǎn)P為（，），當(dāng)PH最大時(shí)，△PDF的面積也最大．∵直線BD的解析式為y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴點(diǎn)F（0，1），在Rt△BFO中，根據(jù)勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝過點(diǎn)E作x軸的平行線與過點(diǎn)G作y軸的平行線交于點(diǎn)M，∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG?sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，PG﹣MG＝PM，否則都大于PM，∴當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，PG﹣MG最小，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴點(diǎn)E（3，），∴PM＝﹣＝，∴點(diǎn)G（，），∴點(diǎn)G（，），PG﹣GE的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)求最值問題，線段的和差求最值問題，找等腰三角形的分類討論，綜合性較強(qiáng)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值為4，故選：．2．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于E，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后證明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，則點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，證明此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)G，連接PG，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，先求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后證明∠HCO=30°，從而得到，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點(diǎn)G在x軸上，則OG即為所求．【詳解】解：如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于E，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；∵△ABP是等邊三角形，△AOD是等邊三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∵△ABP是等邊三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線PD的解析式為，∴，∴，∴直線PD的解析式為；如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)G，連接PG，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，連接CG，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，∴，∴∠OCH=30°，∴，由軸對稱的性質(zhì)可知AP=GP，∴，∴當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，∵A、G兩點(diǎn)關(guān)于直線PD對稱，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等邊三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即點(diǎn)G在x軸上，∴由勾股定理得，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到H點(diǎn)時(shí)，有最小值，即有最小值，最小值即為OG的長，∴的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．3．（2023.重慶九年級期中）如圖，在中，，，，若是邊上一動點(diǎn)，則的最小值為A． B．6 C． D．3解：過點(diǎn)作射線，使，再過動點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，如圖所示：在中，，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時(shí)，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，的最小值為3，故選：．4．（2022·河北·九年級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．2【解答】解：如圖，在△ABC內(nèi)作∠MBA＝30°過點(diǎn)A作AE⊥BM于點(diǎn)E，BM交AC于點(diǎn)P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP當(dāng)BP⊥AE時(shí)，則AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的長，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB?cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故選：B．5．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由FB聯(lián)想到給FB構(gòu)造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC補(bǔ)成等邊△ABP，過F作BP的垂線FH，故GF+FB＝GF+FH，易得當(dāng)G、F、H成一直線時(shí)，GF+FB最短．又由于點(diǎn)G為動點(diǎn)，易證點(diǎn)G在以AC為直徑的圓上，求點(diǎn)G到PB的最短距離即當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)O到BP的垂線段上時(shí)，GQ的長度．【詳解】延長AC到點(diǎn)P，使CP＝AC，連接BP，過點(diǎn)F作FH⊥BP于點(diǎn)H，取AC中點(diǎn)O，連接OG，過點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等邊三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H＝FB∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時(shí)，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于點(diǎn)G∴∠AGC＝90°∵O為AC中點(diǎn)∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O，即點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動∴當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到OQ上時(shí)，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝

∴OQ＝∴GH最小值為故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°直角三角形性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離，圓上點(diǎn)與直線距離，最短路徑．解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)G運(yùn)動到什么位置時(shí)，GH最小，進(jìn)而聯(lián)想到找出點(diǎn)G運(yùn)動路徑再計(jì)算．6．（2023上·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，在中，，，.，分別是邊，上的動點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【分析】作，連接，過B點(diǎn)作的延長線與G點(diǎn)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，因此，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)的值最小，為BF．再證四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)可知，，在中根據(jù)勾股定理可求出的長，即可知的最小值．【詳解】如圖，作，連接，過B點(diǎn)作的延長線與G點(diǎn)，，且，，，．，∴當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)的值最小，為．，．又，，∴四邊形是矩形，，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┮阎诘妊校?，．，連接，在的右側(cè)做等腰，其中，，連接E，則的最小值為(用含的代數(shù)式表示)．

【答案】【分析】過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作于，作的垂直平分線交于，連接，利用證明，可得，進(jìn)而可得，則由含度角的直角三角形的性質(zhì)得到，，故當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，為最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，即，可得，再運(yùn)用解直角三角形即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作于，作的垂直平分線交于，連接，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，為最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，，，與重合，，，，，，是等腰三角形，，的垂直平分線交于，，，，在中，，即的最小值故答案為：．【點(diǎn)睛】本題字要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角用的推質(zhì)，勾服定理，三角形內(nèi)角和定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．8．（2023·黑龍江綏化·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對角線、相交于點(diǎn)O，．點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是對角線上一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，證明為等邊三角形，推出，則，，進(jìn)而得出，當(dāng)點(diǎn)E、F、G在同一條直線上時(shí)，取最小值，證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖，∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，．∵，∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)E、F、G在同一條直線上時(shí)，取最小值，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，則，∵，∴，∴，∴，解得：，綜上：的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，找出．9．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，沿直線翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在對角線上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)M為線段上一動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的長，再根據(jù)，求出的長，再利用，得，則當(dāng)E、M、L三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長，進(jìn)而解決問題．【詳解】解：如圖，作于H，作于L，在矩形中，，，，，，∵沿直線翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在對角線上，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)E、M、L三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，垂線段最短等知識，熟練掌握最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2023·新疆·九年級期中）如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則ODCD的最小值為_____．【答案】【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，易證四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對稱性可得DF=DO．過點(diǎn)D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，從而有CD+OD=DH+FD．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小，后在Rt△OHF中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題．【詳解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖所示，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，則∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等邊三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四邊形AOCF是菱形，∴根據(jù)對稱性可得DF=DO．過點(diǎn)D作DH⊥OC于H，則DH=DC，∴CD+OD=DH+FD．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小，∵OF=OA=5，∴，∴即CD+OD的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓半徑相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，把CD+OD轉(zhuǎn)化為DH+FD是解題的關(guān)鍵．11．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1）在y軸上，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則PC＋PB的最小值為___．【答案】4【詳解】思路引領(lǐng)：過P作PD⊥AB于D，依據(jù)△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，進(jìn)而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，當(dāng)C，P，D在同一直線上時(shí)，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂線段CD的長，求得CD的長，即可得出結(jié)論．答案詳解：如圖所示，過P作PD⊥AB于D，∵直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，令x＝0，則y＝﹣3；令y＝0，則x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），當(dāng)C，P，D在同一直線上，即CD⊥AB時(shí)，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長，此時(shí)，△ACD是等腰直角三角形，又∵點(diǎn)C（0，1）在y軸上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值為，∴PC+PB的最小值為4，故答案為：4．12．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是對角線上的動點(diǎn)，連接，則的最小值為______．【答案】【分析】直接利用已知得出，再將原式變形，進(jìn)而得出最小值，進(jìn)而得出答案．【詳解】過點(diǎn)A作，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)，∵在矩形中，，∴，∴，則，∵，此時(shí)最小，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．13．（2023·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，點(diǎn)是對角線AC上的一動點(diǎn)，且∠ABC=120°，則()的最小值是____________．【答案】【分析】作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即PA+PB+PD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接BD∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°∴∠DAB=60°，則△ABD為等邊三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即PA+PB+PD最小∵菱形的邊長為4∴AB=4，AE=2∴DE=∴2DE=∴PA+PB+PD最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，將多條線段轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．14．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點(diǎn)，則的最小值等于________．【答案】【分析】過點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，然后利用解直角三角形的知識進(jìn)行求解即可.【詳解】過點(diǎn)P作PQ⊥AD，垂足為Q，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，∴PQ=PD?sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，∴的最小值為，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，線段之和最短問題，正確添加輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.15．（2023·成都市·九年級課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)E為正方形ABCD的AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)，AB=3，如圖1，將正方形ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為MN．思考探索(1)如圖2，將正方形ABCD展平后沿過點(diǎn)C的直線CE折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在MN上，折痕為EC．①點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，的長為半徑的圓上；②B'M=______；拓展延伸(2)當(dāng)AB=3AE時(shí)，正方形ABCD沿過點(diǎn)E的直線l（不過點(diǎn)B）折疊后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在正方形ABCD內(nèi)部或邊上，連接AB'．①△ABB'面積的最大值為______；②點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在AB'上，連接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．【答案】(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值為．【分析】（1）①由折疊的性質(zhì)知，點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上，②由折疊的性質(zhì)得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，進(jìn)而求解；（2）①△ABB'面積的最大時(shí)，只要AB邊上的高最大即可，故當(dāng)B′E⊥AB時(shí)，△ABB'面積的最大，進(jìn)而求解；②證明PQ是△AEB′的中位線，故E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值為CE，即可求解．（1）解：由折疊的性質(zhì)知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，①由題意得，點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上；②MB′=MN-NB′=MN-；故答案為：①BE；②；（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，∵點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上，如圖1，∴△ABB'面積的最大時(shí)，只要AB邊上的高最大即可，∴當(dāng)B′E⊥AB時(shí)，△ABB'面積的最大，∴△ABB'面積=×AB×B′E=×3×2=3，故答案為：3；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中點(diǎn)，∴PQ是△AEB′的中位線，如圖2，∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值為CE，則CE=，即B'C+2PQ的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023上·重慶沙坪壩·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)C為中點(diǎn)，反比例函數(shù)剛好經(jīng)過點(diǎn)C．將直線繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得直線，直線與x軸交于點(diǎn)D．

(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)如圖2，點(diǎn)Q為射線以上一動點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積；(3)將沿射線方向進(jìn)行平移，得到且剛好落在y軸上，已知點(diǎn)M為反比例函數(shù)上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，若以M，N，B，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為(2)的面積為(3)N點(diǎn)坐標(biāo)為，或，過程見解析【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)平行線分線段定理可得，從而求得，再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）由銳角三角函數(shù)求得，再由三角形內(nèi)角和求得，從而求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而求得，作直線，可得，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，則，可得當(dāng)D，Q，H三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)Q與A重合，再利用求解即可；（3）由平移的性質(zhì)可知，設(shè)，，分類討論：當(dāng)為對角線、為對角線或?yàn)閷蔷€時(shí)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，∵，∴，點(diǎn)C為中點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；

（2）解：∵，，∴，∵將直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，∴，∴，∴，∴，∴，作直線，∴，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，∴，∴當(dāng)D，Q，H三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)Q與A重合，∴，∴的面積為；（3）解：N點(diǎn)坐標(biāo)為，或，理由如下：由題可知，，設(shè)，，當(dāng)為對角線時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)為對角線時(shí)，如圖，∵，解得，∴，

當(dāng)為對角線時(shí)，如圖，，解得，∴，綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為，或．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段定理、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平移的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇·中考模擬）如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動中用時(shí)最少？解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．拋物線的解析式為聯(lián)立，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為．如圖1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．過點(diǎn)作軸于，則．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由在軸右側(cè)可得，則．，，．若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，①如圖2①，當(dāng)時(shí)，則．，，，．．則．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如圖2②，當(dāng)時(shí)，則．同理可得：，則，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，①當(dāng)時(shí)，則，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)時(shí)，則．同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為、，、，；方法二：作的“外接矩形”，易證，，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，或，設(shè)，，，①，，，，②，，，（舍，滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為、，、，；（2）方法一：過點(diǎn)作軸于，如圖3．在中，，即，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動中所用的時(shí)間為．作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則有，，，，．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最?。藭r(shí)，，四邊形是矩形，，．對于，當(dāng)時(shí)，有，解得：，．，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．方法二：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，顯然，作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)，如圖4，在中，，即，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，，，，，，，，，，，，為的中點(diǎn)，，，．方法三：如圖，5，過作射線軸，過作射線軸，與交于點(diǎn)．，，．，，，，．．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動中用時(shí)最少為：，拋物線的解析式為，且，可求得點(diǎn)坐標(biāo)為則點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，將代入，得．所以．18．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)①四邊形ABEF的面積為；②最小值為12【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=，即可求解；（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=，設(shè)BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由，可得當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．【詳解】（1）解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，A