2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第07講 一元二次方程（講義）（原卷版）

第07講一元二次方程目錄一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)TOC\o"1-3"\n\h\z\u考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念題型01識(shí)別一元二次方程題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值題型03一元二次方程的一般式題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根考點(diǎn)二解一元二次方程題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方程題型02利用配方法解一元二次方程題型03利用因式分解法解一元二次方程題型04利用公式法解一元二次方程題型05利用換元法解一元二次方程題型06選用合適的方法解一元二次方程題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題題型08配方法的應(yīng)用題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍題型12應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況題型13應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問(wèn)題考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系題型01由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型02由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)代換求代數(shù)式的值題型03由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)降次求代數(shù)式的值題型04由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值題型05不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)題型06由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍題型07與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題題型08構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值題型09根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用題型01分裂（傳播）問(wèn)題題型02碰面（循環(huán)）問(wèn)題題型03增長(zhǎng)率問(wèn)題題型04營(yíng)銷問(wèn)題題型05工程問(wèn)題題型06行程問(wèn)題題型07與圖形有有關(guān)的問(wèn)題考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)一元二次方程的相關(guān)概念理解一元二次方程的相關(guān)概念.本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題，年年考查，分值為15分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過(guò)程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．一元二次方程的解法理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程的應(yīng)用能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性.考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念一元二次方程的相關(guān)概念概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.一般形式：ax其中：a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個(gè)一元二次方程的解.11.如果明確了ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隱含了a≠02.一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.3.在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí),要先化成一般形式，再判斷.4.二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),應(yīng)先將方程化為一般形式.5.一元二次方程的解，要么無(wú)解，有解必有兩個(gè)，所以最后方程的解一定要寫(xiě)明x1，x2．題型01識(shí)別一元二次方程【例1】（2023·江西撫州·金溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2-1=0 B．2x+y【變式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+xC．x2+2x題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值【例2】（2023南陽(yáng)市一模）關(guān)于x的方程m+1xm+1-A．-1 B．3 C．1 D．1或【變式2-1】（2022上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期中）方程(m-2)xm2題型03一元二次方程的一般式【例3】（2022上·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谥校⒁辉畏匠?x2=5A．3x2-C．3x2-【變式3-1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）將方程4x2+8x=25A．4，8，25 B．4，2，-25 C．4，8，-25 D．1，2【變式3-2】．（2021上·山西晉中·九年級(jí)階段練習(xí)）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個(gè)根為2，則該方程為．【變式3-3】（2023集賢縣·九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程a-1x2+x+A．1 B．-1 C．1或-1 D題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值【例4】（2022·廣東·中考真題）若x=1是方程x2-2【變式4-1】（2021·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）若關(guān)于x的方程x2-kx-12=0的一個(gè)根為3利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數(shù)的值，同時(shí)還要注意限制參數(shù)取值的其他隱含條件.題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值【例5】（2023·甘肅隴南·一模）關(guān)于x的一元二次方程2xa-2+m=4A．9 B．8 C．6 D．4【變式5-1】（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）如果x=-1是方程x2+mx+A．m>n B．m=n C【變式5-2】（2023渭南市月考）若關(guān)于x的方程ax2+bx-1=0【變式5-3】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮阎猘是方程2x2-5x-題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根【例6】（2022·廣西貴港·中考真題）若x=-2是一元二次方程x2+2x+A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．【變式6-1】（2023寧德市一模）關(guān)于x的一元二次方程x2-2kx-5=0的一個(gè)根是【變式6-2】（2023遵義市第十一中三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2-kx-2=0考點(diǎn)二解一元二次方程解一元二次方程的方法基本思路通過(guò)“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原方程的解.特征步驟解法直接開(kāi)平方法形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程1）方程兩邊同時(shí)除以a，得x2=b2）兩邊分別開(kāi)方得x1=ba=，x2=配方法可配成(mx+a)2=b形式的一元二次方程1）移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為(mx+a)2=b（b≥0）的形式；4）求解：判斷右邊等式符號(hào)，開(kāi)平方并求解.【注意】：①當(dāng)b<0時(shí)，方程無(wú)解②當(dāng)b≥0時(shí)，方程的根是x=-因式分解法可化成(ax+b)(cx+d)=0形式的一元二次方程1）將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；3）令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；4）求解.口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解.公式法適用所有一元二次方程1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算)；2）求出b2-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式：x=4）最后求出x1，x2。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法選擇：1）當(dāng)a=1，b為偶數(shù)，c≠0時(shí)，首選配方法；2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開(kāi)平方法；3）當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法；4）當(dāng)a=1，b≠0，c≠0時(shí)，可選配方法或因式分解法；5）當(dāng)a≠1，b≠0，c≠0時(shí)，可選公式法或因式分解法.根的判別式一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a根的情況與判別式的關(guān)系Δ＞0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等Δ=0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有Δ＜0方程ax1.1.用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.2.利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng),將方程右邊化為0.3.求根公式的使用條件：a≠0且b2-4ac≥0.4.使用一元二次方程根的判別式，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的值.5.利用判別式可以判斷方程的根的情況,反之,當(dāng)方程：1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),Δ>0;2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),Δ=0;3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí),Δ<0.6.一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方程【例1】（2023·天津西青·二模）方程x+62-A．x1=3，x2=9 B．C．x1=3，x2=-9 D【變式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程(x-2)2=3的兩根為a、b，且a>【變式1-2】（2023·齊齊哈爾市模擬）解關(guān)于x的方程：42題型02利用配方法解一元二次方程【例2】（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時(shí)，配方后正確的是（）A．x+12=3 B．x+12=6【變式2-1】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0時(shí)，將它化為A．103 B．73 C．2 D【變式2-2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將方程2x2-12xA．x+32=17 B．x+32=【變式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2-4x-3=0，配方得(題型03利用因式分解法解一元二次方程【例3】（2022·廣西梧州·中考真題）一元二次方程x-2x【變式3-1】（2023惠陽(yáng)區(qū)模擬預(yù)測(cè)）三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為．【變式3-2】（2023·江蘇南京·二模）解方程：xx題型04利用公式法解一元二次方程【例4】（2023·甘肅隴南·一模）用公式法解方程x2-4A．-43 B．-28 C．45 D【變式4-1】（2023·江蘇無(wú)錫·一模）方程x2-3x=1【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·?？家荒＃┓匠蘹2+2x【變式4-3】（2023長(zhǎng)嶺縣模擬）一元二次方程x2-3題型05利用換元法解一元二次方程【例5】（2023·浙江寧波·?？家荒＃┮阎猘2+b22【變式5-1】（2023羅湖區(qū)模擬預(yù)測(cè)）若x2+y2+3x【變式5-2】我們知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1A．x1=1，xC．x1=-1，x【變式5-3】（2023·四川綿陽(yáng)·二模）二次函數(shù)y=ax2+bxx…-0135…y…7---7…題型06選用合適的方法解一元二次方程【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2【變式6-1】（2023·廣東廣州·一模）解方程(x【變式6-2】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程(1)9(2)x(3)2題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題【例7】（2022·浙江溫州·一模）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時(shí)除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝4±282＝整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項(xiàng)得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D【變式7-1】下面是小明同學(xué)的錯(cuò)題本的一部分，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，幫助他補(bǔ)充完整．解方程：x解：x-3=2x-2x=-3?(1)提示：第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)改正：【變式7-2】（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x小敏：兩邊同除以x-3=x則x=6小霞：移項(xiàng)，得3x提取公因式，得x-則x-3=0或解得x1=3，你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【變式7-3】（2023·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：sin45°+（2）下面是小明同學(xué)解方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：x2-x2-2x-1=±1x1=0任務(wù)一：①填空：上述材料中小明同學(xué)解一元二次方程的數(shù)學(xué)方法是，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是；第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；任務(wù)二：②請(qǐng)你直接寫(xiě)出該方程的正確解．【變式7-4】（2023上·北京東城·九年級(jí)期末）下面是小聰同學(xué)用配方法解方程：2x2-2解：移項(xiàng)，得：2x2二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2-配方，得x2-即(x∵p>0∴x-1=±∴x1=1+2p(1)第②步二次項(xiàng)系數(shù)化為1的依據(jù)是什么？(2)整個(gè)解答過(guò)程是否正確？若不正確，說(shuō)出從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并直接寫(xiě)出此方程的解．題型08配方法的應(yīng)用【例8】（2023上·江西九江·九年級(jí)階段練習(xí)）【課本再現(xiàn)】材料一：解方程：x2解：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得x2兩邊都加42，得x2+8兩邊開(kāi)方，得x+4=±5，即x+4=5或所以x1=1，在上例中，我們通過(guò)配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．材料二：對(duì)于某些二次三項(xiàng)式也可以通過(guò)配方，利用完全平方式的非負(fù)性解決其最值問(wèn)題．例如：x2∵x-∴x-32+1≥1，即【嘗試運(yùn)用】（1）解一元二次方程x2-4A．x-42=8

B．x-42=6（2）利用配方法求-x【拓展應(yīng)用】（3）已知方程x2+y【變式8-1】（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）配方法在代數(shù)式求值、解方程、求最值問(wèn)題……中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：若代數(shù)式M=利用配方法求M的最小值：M==∵(a-b∴當(dāng)a=b=1時(shí)，代數(shù)式M請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+6(2)若代數(shù)式M=a2(3)已知a2+2b題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況【例9】（2022·山東濱州·中考真題）一元二次方程2x2-A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．不能判定【變式9-1】（2022·遼寧撫順·中考真題）下列一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2+xC．x2+x【變式9-2】（2020·安徽·中考真題）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2+1=2xC．x2-2【變式9-3】（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)一個(gè)常數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2-2若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況【例10】（2022·湖北荊州·中考真題）關(guān)于x的方程x2-3A．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根【變式10-1】（2020·山東濰坊·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+(kA．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍【例11】（2022·北京·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+mA．-4 B．-14 C．1【變式11-1】（2022·四川宜賓·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x-A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)>-1且a≠0 C．a(chǎn)≥-1且【變式11-2】（2022·江蘇淮安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-A．-2 B．-1 C．0 D【變式11-3】（2023綿陽(yáng)市模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x-題型12應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況【例12】（2022上·福建福州·九年級(jí)福建省福州銅盤中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)如果方程有一個(gè)根為正數(shù)，求m的取值范圍．【變式12-1】（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β=5【變式12-2】（2022·北京朝陽(yáng)·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求a的值．【變式12-3】（2023·廣東江門·二模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形△ABC的一邊a=6，另兩邊長(zhǎng)b、題型13應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍【例13】（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃╆P(guān)于x的一元二次方程m-3x2-A．m<4且m≠3 B．m>4 C．m≥4 D【變式13-1】（2022株洲市二中二模）若關(guān)于x的方程kx2-3x-9A．k=0 B．k≥-1且k≠0 C．k≥-1【變式13-2】（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，滿足x1-1【變式13-3】（2023·湖北孝感·?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+2(1)求k的取值范圍；(2)若x12-【變式13-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)關(guān)于x的方程x2-x+m題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問(wèn)題【例14】（2020·湖北荊州·中考真題）定義新運(yùn)算a*b，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足a*b=a+ba-b-1A．有一個(gè)實(shí)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【變式14-1】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b=b2-ab，例如3?2=22A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【變式14-2】（2020·河南·中考真題）定義運(yùn)算：m☆n=mn2-A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0QUOTE≠0，Δ≥0）的兩個(gè)根是x1和x2，則x1，x2與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：x1+x2＝【擴(kuò)展】用根與系數(shù)的關(guān)系求值時(shí)的常見(jiàn)轉(zhuǎn)化：已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x21）平方和x12+2）倒數(shù)和1x1+1x3）差的絕對(duì)值|x1-x2|=(4)x1x511.如果方程x2+px+q＝0的兩個(gè)根為x1,x2，那么x1+x2＝-p，2.以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2-（x1+x3.運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.4.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△≥0.題型01由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值【例1】（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-a=0的兩根分別記為x1，A．7 B．-7 C．6 D．【變式1-1】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知m，n是一元二次方程x2+3x-2=0A．-3 B．-2 C．-1【變式1-2】（2023漢壽縣一模）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的兩個(gè)根，則A．-23 B．-32 C．【變式1-3】（2022·湖南婁底·中考真題）已知實(shí)數(shù)x1,x2是方程x【變式1-4】（2021·湖北黃岡·一模）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1＋x2﹣x1x2的值等于．【變式1-5】（2021·湖北孝感·一模）已知方程x2-4x-1=0求含有兩根的代數(shù)式的值：將所求代數(shù)式通過(guò)因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果.題型02由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)代換求代數(shù)式的值【例2】（2023潛江市模擬）若α、β為方程2x2-5A．-13 B．12 C．14 D．【變式2-1】（2021·江蘇南通·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則【變式2-2】（2021·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+2x-1=0題型03由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)降次求代數(shù)式的值【例3】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）已知x1，x2是方程x2-xA．4045 B．4044 C．2022 D．1【變式3-1】（2023連云港市檢測(cè)）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α3+8β+6的值為（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【變式3-2】（2021上·湖北武漢·九年級(jí)武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b是方程x2-x-1=0A．19 B．20 C．14 D．15【變式3-3】（2021·湖北武漢·中考真題）已知a，b是方程x2-3x-A．-25 B．-24 C．35 D．36【變式3-4】已知α、β是方程x2+x-1=0A．7 B．8 C．9 D．10【變式3-5】（2020·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β是方程x2+2x-1=0題型04由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值【例4】（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2-2m-1x+m2=0A．-3 B．-1 C．-3或3 D．【變式4-1】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的兩實(shí)數(shù)根為xA．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2【變式4-2】（2022·廣東佛山·二模）若a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-2kx＋4k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a2＋b2＝12，則k的值是（

A．-1 B．3 C．-1或3 D．-【變式4-3】（2019·廣東廣州·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【變式4-4】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且x2x1+x1x2＝x12+2x2【變式4-5】（2022·四川巴中·中考真題）α、β是關(guān)于x的方程x2-x+k-1=0題型05不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)【例5】（2020·江蘇南京·中考真題）關(guān)于x的方程(x-1)(x+2)=A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【變式5-1】（2023秦淮區(qū)9年紀(jì)月考）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2=0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【變式5-2】（2021·江蘇南京·一模）關(guān)于x的方程3x2-A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【變式5-3】關(guān)于x的方程x-2x+1=A．有兩個(gè)相異正根 B．有兩個(gè)相異負(fù)根 C．有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根題型06由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍【例6】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、A．m≥3 B．m≤-4 C．3≤m【變式6-1】（2023·四川綿陽(yáng)·三模）已知關(guān)于x的方程4x2-k+5x-k-9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1A．-18<k<-10C．-9<k<-5 D．【變式6-2】（2023·山東日照·二模）關(guān)于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根x【變式6-3】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程x2-2m+1x+m2題型07與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題【例7】（2023上·湖南婁底·九年級(jí)校聯(lián)考期末）定義運(yùn)算：a*b=a1-b，若a，b是方程A．-1 B．0 C．1 D．【變式7-1】．（2022上·貴州銅仁·九年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a*b=a2+2ab-b2，例如：A．107 B．-3 C．17 D【變式7-2】（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中?？茧A段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義運(yùn)算“※”：m※n=mnm+n．例如，4※2=4×2×4+2=48．若x1【變式7-3】（2023上·遼寧阜新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義：a◆b=a2+3ab+2b2題型08構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值【例8】（2023·湖北武漢·一模）如果m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2+m=3，n2A．16 B．15 C．12 D．9【變式8-1】（2023武昌區(qū)聯(lián)考）若a≠b，且a2-4a+1=0,b2-4b+1=0則11+a2+【變式8-2】（2022·湖北鄂州·中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則1a+1b【變式8-3】（2021上·重慶黔江·九年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)m，n?(m≠n)滿足等式m2題型09根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用【例9】（2023重慶市9年紀(jì)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范圍；(2)如果x1，x2是方程的兩個(gè)解，令w=【變式9-1】（2023·四川南充·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x2【變式9-2】（2022上·四川遂寧·九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-2x(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)x12+考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問(wèn)題的答案.與一元二次方程有關(guān)應(yīng)用題的常見(jiàn)類型：1）變化率問(wèn)題解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解“增長(zhǎng)了”與“增長(zhǎng)到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎(chǔ)上發(fā)生的.解決此類問(wèn)題時(shí)，務(wù)必要記住公式a(1±x)n=b，其中a為增長(zhǎng)(或降低)的基礎(chǔ)數(shù)，x為增長(zhǎng)(或降低)的變化率，n為增長(zhǎng)(或降低)的次數(shù)，b為增長(zhǎng)(或降低)后的數(shù)量.即：2）利潤(rùn)和利潤(rùn)率問(wèn)題在日常生活中，經(jīng)常遇到有關(guān)商品利潤(rùn)的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用其中已知量與未量之間的等量關(guān)系建立方程模型，并通過(guò)解方程來(lái)解決問(wèn)題.要正確解答利潤(rùn)或利潤(rùn)率問(wèn)題，首先要理解進(jìn)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)及利潤(rùn)率之間的關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)×100%.3)面積問(wèn)題幾何圖形的面積問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，通常涉及三角形、長(zhǎng)方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面積公式，從中找到等量關(guān)系解決問(wèn)題.有關(guān)面積的應(yīng)用題，均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.常見(jiàn)類型1：如圖1，矩形ABCD長(zhǎng)為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為x，則陰影部分的面積為(a?2x)(b?2x)．常見(jiàn)類型2：如圖2，矩形ABCD長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則空白部分的面積為(a?x)(b?x)．常見(jiàn)類型3：如圖3，矩形ABCD長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則4塊空白部分的面積之和能轉(zhuǎn)化為(a?x)(b?x)．4)分裂（傳播）問(wèn)題解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是原細(xì)胞或傳染源在不在總數(shù)中.其一般思路是先分析問(wèn)題情境，明確是分裂問(wèn)題還是傳播問(wèn)題，然后找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，再建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.①傳播問(wèn)題：傳染源在傳播過(guò)程中，原傳染源的數(shù)量計(jì)入傳染結(jié)果，若傳染源數(shù)量為1，每一個(gè)傳染源傳染x個(gè)個(gè)體，則第一輪傳染后，感染個(gè)體的總數(shù)為1+x，第二輪傳染后感染個(gè)體的總數(shù)為(1+x)2.②分裂問(wèn)題：細(xì)胞在分裂過(guò)程中，原細(xì)胞數(shù)目不計(jì)入分裂總數(shù)中，若原細(xì)胞數(shù)目為1，每一個(gè)細(xì)胞分裂為x個(gè)細(xì)胞，則第一次分裂后的細(xì)胞總數(shù)為x，第二次分裂后的細(xì)胞總數(shù)為x2.5）碰面問(wèn)題（循環(huán)）問(wèn)題①重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m．∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分．∴m=12n（n－②不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m．∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)．∵A與B比賽在A的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無(wú)重疊．∴m=n（n－1）題型01分裂（傳播）問(wèn)題【例1】（2021·黑龍江·中考真題）有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)是（

）A．14 B．11 C．10 D．9【變式1-1】（2022·天津和平·一模）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則下列方程正確的是（）A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91【變式1-2】（2023·廣東陽(yáng)江·一模）自2023年1月以來(lái)，甲流便肆虐橫行，成為當(dāng)前主流流行疾?。骋恍^(qū)有1位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非常快，小區(qū)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個(gè)人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后累計(jì)是否超過(guò)1500人患了甲流？【變式1-3】（2022上·云南紅河·九年級(jí)期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國(guó)已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，這是對(duì)人類的考驗(yàn)，將對(duì)全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？題型02碰面（循環(huán)）問(wèn)題【例2】（2021·貴州畢節(jié)·中考真題）某校八年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)砂嘀g都賽一場(chǎng)），共需安排15場(chǎng)比賽，則八年級(jí)班級(jí)的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-1】（2023上·云南昆明·九年級(jí)期末）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡(jiǎn)稱：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個(gè)階段進(jìn)行，采用主客場(chǎng)賽制（也就是參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場(chǎng)，則參加比賽的隊(duì)共有（）A．80個(gè) B．120個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【變式2-2】（2023上·廣東惠州·九年級(jí)期末）參加一次活動(dòng)的每個(gè)人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動(dòng)？設(shè)有x人參加活動(dòng)，可列方程為（）A．12xx-1=10 B．x【變式2-3】某學(xué)習(xí)小組的成員互贈(zèng)新年賀卡，共用去90張賀卡，則該學(xué)習(xí)小組成員的人數(shù)是．題型03增長(zhǎng)率問(wèn)題【例3】（2022·重慶·中考真題）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A．2001+x2=242C．2001+2x=242【變式3-1】（2022·安徽·校聯(lián)考一模）在“雙減政策”的推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為a分鐘，經(jīng)過(guò)去年下半年和今年上半年兩次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了70%，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x，則可列方程為（

）A．a(chǎn)1-x2C．a(chǎn)1-x2【變式3-2】（2022·上?！ぶ锌颊骖}）某公司5月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)，7月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)，已知6、7月的增長(zhǎng)率相同，則增長(zhǎng)率為．題型04營(yíng)銷問(wèn)題【例4】（2022·河北保定·一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為6元．當(dāng)每瓶售價(jià)為10元時(shí)，日均銷售量為160瓶，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，每瓶售價(jià)每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計(jì)劃該飲料日均總利潤(rùn)為700元，且盡快減少庫(kù)存，則每瓶該飲料售價(jià)為（）A．11 B．12 C．13 D．14【變式4-1】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)?？计谀┠成唐返倪M(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每星期可賣出200件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每星期可多賣出8件，店里每周利潤(rùn)要達(dá)到8450元．若設(shè)店主把該商品每件售價(jià)降低x元，則可列方程為（

）A．60-x200+8xC．20-x200+40x【變式4-2】（2022上·重慶·九年級(jí)重慶一中?？计谥校┒宋绻?jié)又稱端陽(yáng)節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國(guó)各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以10元每袋的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批粽子，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出80袋，問(wèn)此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)可達(dá)到1440元？若設(shè)每袋粽子售價(jià)降低x元，則可列方程為（）A．(16-x-10)(200+80xC．(16-x-10)(200-80x【變式4-3】（2022·四川眉山·中考真題）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【變式4-4】（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考三模）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達(dá)到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長(zhǎng)率相同．(1)求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長(zhǎng)率；(2)若A產(chǎn)品每套盈利2萬(wàn)元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫(kù)存，該公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬(wàn)元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬(wàn)元，則每套A產(chǎn)品需降價(jià)多少？題型05工程問(wèn)題【例5】（2023·重慶開(kāi)州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；(2)通過(guò)勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了m+25小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m【變式5-1】（2022·重慶·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃岸宋缗R中夏，時(shí)清日復(fù)長(zhǎng)”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時(shí)開(kāi)工，甲組原計(jì)劃加工10天、乙組原計(jì)劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時(shí)開(kāi)工2天后，臨時(shí)又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計(jì)，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【變式5-2】（2022·重慶·?？家荒＃┠彻局鳡I(yíng)鐵路建設(shè)施工．(1)原計(jì)劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計(jì)劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計(jì)劃完成，且橋梁施工的里程數(shù)正好是原計(jì)劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預(yù)計(jì)二季度平地施工里程會(huì)減少7a千米，隧道施工里程會(huì)減少2a千米，橋梁施工里程會(huì)增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會(huì)增加12a億元，若二季度總成本與一季度相同，求a題型06行程問(wèn)題【例6】（2021·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙各