河北省唐山一中2024屆數(shù)學高二年級上冊期末調研模擬試題含解析

河北省唐山一中2024屆數(shù)學高二上期末調研模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的

位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小

星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，002,00.,OQ分別

是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結線，則第三顆小星的一條邊所在直線的傾斜角約為()

C.2D.3

2.用反證法證明命題"a,BGN,如果而可以被5整除，那么a,B至少有1個能被5整除.”假設內容是()

A.a,b都能被5整除B.a,分都不能被5整除

C.a不能被5整除D.a,?有1個不能被5整除

3.在平面直角坐標系中，已知一ABC的頂點4(—3,0),5(3,0),其內切圓圓心在直線x=2上，則頂點C的軌跡方

程為O

2222

A.土一二x>2)B±-二1(%>3)

4595

2222

c.^-+Z-=l(O<x<2)D.A-+^=1(O<X<3)

4.已知命題。：若直線/的方向向量與平面a的法向量垂直，貝“〃。；命題小等軸雙曲線的離心率為0,則下

列命題是真命題的是()

b.P八qB.(-、p)八(-q)

C.pv(->q)

5.已知圓弓：。—2)2+(,一3)2=1,圓C2：(x—3)2+(y—4)2=9,M,N分別是圓G，C2上的動點，尸為x軸上的

動點，則以|PM|+|PN|的最小值為()

A50-4B.V17-1

C.6-272D.V17

6.設圓a：(x-l)2+(y-l)2=9和圓。2：(x+iy+(y+2)2=4交于A,B兩點,則線段A8所在直線的方程為()

A.2x+3y+4=0B.3x—2y+1—0

C.2x+3y—3—0D.3x—2y=0

22

7.已知點R是雙曲線5-臺=1的左焦點，定點A(L4),P是雙曲線右支上動點，則|尸尸|+「山的最小值為().

A.7B.8

C.9D.10

8.三棱柱ABC—4耳G中，AB=a，AC=b，A,A=c9若B1M=2MC、,則AM=()

12,21

A.-ciH—bcB.一ciH—b7c

3333

127——2-1

C.—ciH—bcD?-a—br+c

3333

9.如圖，四面體0-A5C,G是底面△ABC的重心，OA=a,OB=b,OC=c,則OG=()

o

12,2111

A—a+—b+—cB.—aT—bzH—c

333333

22-22-21

C.—ci-\—bH—cD.—aH—bH—C

333333

x+y-l>0

10.已知實數(shù)，，y滿足＜%-y-1?。，則z=x+y的最大值為()

x+2y-2<0

54

A.-B.-

33

C.2D.l

333

11.已知X=log25,,=22，z=—,則下列判斷正確的是()

2

A.x<z<yB.x<y<z

C.z<x<yD.z<y<x

12.如圖，在正方體ABC。—中，AB+B?+DDi=()

A.*B.AQ

C.BXDD.BD[

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=sinx+2cos%—l在點處的切線方程為

22

14.已知點尸是雙曲線工-匕=1右支上的一點，且以點尸及焦點6,B為定點的三角形的面積為4,則點尸的坐標

124一

是_____________

15.寫出一個漸近線的傾斜角為60且焦點在y軸上的雙曲線標準方程_________.

16.中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨特的建筑結構而聞名，其外觀有五層而實際上內部有九層，隱喻“九五至尊”之

意，為迎接2022年春節(jié)的到來，有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內部掛燈籠進行裝飾，若在黃鶴樓內部九層塔樓共掛1533盞燈

籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則內部塔樓的頂層應掛______盞燈籠

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）阿基米德（公元前287年…公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數(shù)學家，

他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率乃等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓

22

C:=+多=1（?！?〉0）的面積等于2兀，且橢圓C的焦距為.

ab

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）點P（4,0）是％軸上的定點，直線/與橢圓C交于不同的兩點AB,已知A關于丁軸的對稱點為河，3點關于原

點的對稱點為N,已知P、M,N三點共線，試探究直線/是否過定點.若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說

明理由.

18.（12分）在ABC中內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,^.ccosB+bcosC=--—

2cosA

（1）求角A

（2）若0=26，b+c=6,求ABC的面積

19.（12分）在平面直角坐標系xOy中，。為坐標原點，已知直線/：mx—（2—機）y—4=0與直線“：x+y—2=0的交

點M在第一三象限的角平分線上.

（1）求實數(shù)m的值；

（2）若點P在直線/上且|PM|=日|PO|,求點尸的坐標.

22

20.（12分）已知橢圓C:j+==l（a〉6〉0）的左、右焦點分別為過右焦點工作直線/交C于

ab

4（.％）,5（々，%），其中X〉0,%<0，A幽的周長為4后，。的離心率為弓.

（1）求C的方程；

（2）已知△AKg的重心為G,設54G和的面積比為a，求實數(shù)X的取值范圍.

21.（12分）如圖，正方體ABCD-A4CQ的棱長為2,E、歹分別是CB、CD的中點，點M在棱CG

上，CM=tCC,(0<?<1).

(I)三棱錐c-EK0、的體積分別為X、％,當f為何值時，匕最大？最大值為多少？

(II)若4。//平面耳2M，證明：平面平面耳2M.

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是矩形，M是”1的中點，N是的中點，PZU平面A5C。,

且PD=CD=4,AD=2

(1)求證：肱V〃平面PC。；

(2)求平面M5C與平面A5CZ)夾角的余弦值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】由五角星的內角為36。，可知ZBAO,=18°,又。Q平分第三顆小星的一個角，過。3作x軸平行線O3E,

則/。。3'=["16,即可求出直線A3的傾斜角.

【題目詳解】Q。,。都為五角星的中心點，二。03平分第三顆小星的一個角，

又五角星的內角為36。，可知NB4Q=18°,

過Q作左軸平行線QE，則/。。3'=1"16,所以直線A3的傾斜角為18°—16°=2°,

故選：C

【題目點撥】關鍵點點睛：本題考查直線傾斜角，解題的關鍵是通過做輔助線找到直線AB的傾斜角，通過幾何關

系求出傾斜角，考查學生的數(shù)形結合思想，屬于基礎題.

2、B

【解題分析】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設其否定成立進行推證.命題“a,

bGN,如果ab可被5整除，那么a,b至少有1個能被5整除.”的否定是“a,b都不能被5整除”

考點：反證法

3、A

【解題分析】根據(jù)圖可得：IC4I-|CB|為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、3為焦點，實軸長為6的雙

曲線的右支，從而寫出其方程即得

【題目詳解】解：如圖設ABC與圓切點分別為。、E、F,

則有|A￡>|=|AE|=5,\BF\=\BE\=1,\CD\=\CF\,

所以|C4|-|CB|=5-1=4

根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、3為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），

即c=3、a=2,又02=儲+〃2,所以匕2=5，

22

所以方程為L—2L=I（X〉2）

45V7

故選：A

【解題分析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個選項的真假.

【題目詳解】因為“若直線/的方向向量與平面。的法向量垂直，貝！1/〃?；?ua"，所以〃為假命題;

對于等軸雙曲線，a=b,所以離心率為e=$='?+"=叵1=后,所以g為真命題.

aaa

所以夕八4假命題，故A錯誤；

(—>p)△(—>《)為假命題，故B錯誤;

為假命題，故C錯誤;

為真命題，故D正確.

故選:D

5、A

【解題分析】求出圓G關于x軸的對稱圓的圓心坐標A,以及半徑，然后求解圓A與圓G的圓心距減去兩個圓的半

徑和，即可求出|/>m|+|9|的最小值.

【題目詳解】圓G關于x軸對稱圓的圓心坐標42,-3),半徑為1,圓的圓心坐標為(3,4),半徑為3,

易知，當三點共線時，|PM|+|PN|取得最小值，

\PM\+\PN\的最小值為圓A與圓G的圓心距減去兩個圓的半徑和,

即：|叫1-3-1=J(3-2)2+(_3-q_4=5挺-4.

故選：A.

注意：9至12題為多選題

6、A

【解題分析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.

【題目詳解】設4(和弘),3(々,巴)，

因為圓G：(x-l)2+(y-l)2=9①和圓G：(x+iy+(y+2)2=4②交于A,3兩點

所以由①-②得：T龍—6y—8=0,

即2x+3y+4=0,

故A(Xj，必),Bg,上)坐標滿足方程2x+3y+4=。，

又過AB的直線唯一確定，

即直線AB的方程為2%+3y+4=0.

故選：A

7、C

【解題分析】設雙曲線的右焦點為作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得|PE|=|PM|+4,可得出

I尸盟+|?H=4+|尸M+利用A、尸、拉三點共線時|PP|+|P4|取得最小值即可得解.

22

【題目詳解】???廠是雙曲線上-匕=1的左焦點，

412

a=2,b=2^/^,c=4,尸(-4,0),

設雙曲線的右焦點為則M(4,0),

由雙曲線的定義可得忙可—|0叫=4,則忸同=忸閘+4,

22

所以歸月+|刑=4+忸M+|網(wǎng)>4+|AM|=4+7(4-1)+(0-4)=4+5=9,

當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，

因此，|尸耳+|可|的最小值為9.

故選：C.

【題目點撥】關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：

(1)求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題;

(2)圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.

8、A

【解題分析】利用空間向量線性運算及基本定理結合圖形即可得出答案.

【題目詳解】解：由A3=a，AC=b>AA=C，若4"=2MG，

得AM=想+AG+6"

=AAl+AC+^ClBi

=AAl+AC+^CB

=A41+AC+|(AB-AC

=M+|AC+|AB

33

故選：A.

9、B

【解題分析】根據(jù)空間向量的加減運算推出OG=；(OA+O3+OC),進而得出結果.

【題目詳解】因為OA=〃,OB=bOC=c，

1

所以OG=OA+AG=OA+§(A3+AC)

=OA+-(OB-OA+OC-OA)

1--1-1-1-

=-{OA+OB+OQ=-a+-b+-c,

3333

故選:B

10、A

【解題分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求出z的最大值.

【題目詳解】作出可行域如圖所示，

由2=工+y可知丁=一九+2,此直線可用由直線y=—%平移得到，求Z的最大值，即直線y=—X+2的截距最大,

卜x+-21y—二2=。0的交點4]_415

當直線y=—x+z過直線《時Z取最大值，即Zmax=——F—=—

333

故選：A

【解題分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，以及根式的運算，確定蒼％z的大小關系，則問題得解.

32l3

【題目詳解】因為x=log2w<log22=l，即x<l；又y=22=2后〉±=z〉l,故，>z>x.

22

故選：A.

12、B

【解題分析】根據(jù)正方體的性質，結合向量加減法的幾何意義有AB+34=A4，A4+4G=AG，即可知

AB+BC+DDt所表示的向量.

【題目詳解】?；DD[=BB、,而AB+34=AB],AB]+4G=A￡,

AB+4G+DDX=AC(,

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2x+y—%=0

【解題分析】求導，求出切線斜率，用點斜式寫出直線方程，化簡即可.

【題目詳解】y=cosx—2sinx,—2,曲線y=sinx+2cos%-1在點處的切線方程為

y=-2——,即2,x+y—7r=0

故答案為：2x+y-7r=0

14、（V15,±l）

22

【解題分析】由題可得P到X軸的距離為1,把y=±l代入土-匕=1,得X=可得P點坐標

124

【題目詳解】設P（x,y）,x>0

由題意知c2=/+/=12+4=16,所以c=4,

則耳（T,0）,耳（4,0）

由題意可得Sp*2=TGg||y|=4|y|=4ny=±l,

22

把,=±1代入土上=1,得“歷，

124

所以P點坐標為（、后±1）

故答案為：（而'，土1）

2

15、匕一爐=1（答案不唯一）

3

【解題分析】根據(jù)已知條件寫出一個符合條件的方程即可.

22_

【題目詳解】如（-龍2=1,焦點在y軸上，令3―#=0,得漸近線方程為'二士也》，

其中y=氐的傾斜角為60.

2

故答案為：乙―必=1（答案不唯一）.

3

16、3

【解題分析】根據(jù)給定條件，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前〃項和公式計算作答.

【題目詳解】依題意，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構成等比數(shù)列｛??｝（?eN*/<9）,公比q=2,前9項和為1533,

于是得S9="；—：）=1533,解得q=3,

所以內部塔樓的頂層應掛3盞燈籠.

故答案為：3

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）C:—+/=1;（2）直線恒過定點（一1,0）.

4-

22

【解題分析】（1）根據(jù)橢圓C的焦距可求出2c,由橢圓。：二+3=1（?！?〉0）的面積等于27得〃必=2?,求

a"b~

出a,b,即可求出橢圓C的標準方程；

（2）設直線/:%=陽+/,4>1，%）,3>2，%），進而寫出為N兩點坐標，將直線/：%=陽+。與橢圓。的方

程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求%+%，%,%，由尸、加、N三點共線可知號物=kpN,將為+%，%,%代入并化簡,

得到想方的關系式，分析可知/經(jīng)過的定點坐標.

22

【題目詳解】（1）橢圓C:j+2r=l（a〉6〉0）的面積等于2?,.ab=2?，

ab

:.ab=2,橢圓。的焦距為26，.,.ZCMZVL

ab=2

…2c=2^/^a=2,b=1,

?2+b2=c2

r2

二橢圓方程為C:土+y2=l

4-

（2）設直線/：%=陽+乙4>1，必）,3（孫力）,則〃（-再,％）,Nlf,—yJ,P、"、N三點共線，得

+4)+y2a+4)=0,

直線/:%=陽+/與橢圓。交于48兩點，石=myx+t,x2=my2+tyl(my2+t+4)+y2(myi+t+4)=0,

，2沖M+”+4)(%+%)=°，

2mt

%+%=―-T~7

m+4

x=my+t

〃—4

由＜X22J得(加+4)y2+2mty+4—4=0,<

—+y=1

I4-

A>0

2mt

X+%=―-T-T

m+4

/—4

代入2沖［%+。+4)(%+%)=。中，

加2+4〉產

產-4(2mt

—+(/+4)—=0,r.2根(產-4)+?+4)(—27加)=0,

m2+4'\m2+4

8m(/+l)=0

當機=0,直線/方程為x=/,則M、N重合，不符合題意;

當/=-1時，直線/：X=陽-1,所以直線/恒過定點（T0）.

18、(1)A=一

3

⑵26.

【解題分析】（1）根據(jù)正弦定理，結合三角形內角和定理、兩角和的正弦公式進行求解即可;

（2）根據(jù)余弦定理，結合三角形面積公式進行求解即可.

【小問1詳解】

cosA(ccosB+b-cosC)=-|-,

sinyl.

由正弦定理知,cosA-(sinC-cosB+sinBcosC)=——

即cosAsiMB+Cb^l^

又5+C=7i—A,且sinAwO.所以cosA=—,

2

由于Ae（O,乃）.所以A=q

【小問2詳解】

由余弦定理得：a2=除+（?-2bc-cosA，

12=/J2+—匕。=(人+_3bc

又Z>+c=6,所以A=8

所以5AM=—-sinA=—x8x-2^3.

△AABC222

19、(1)3(2)(2,-2)

【解題分析】(i)求出直線人與直線y=x的交點坐標，代入直線/的方程可得加值；

(2)設P(a,4-3a),代入已知等式可求得。值，得坐標

【小問1詳解】

x+y-2=0[x=l

由得〈,即M(LD

[y=xU=i

所以加一(2)-4=。，m=3

【小問2詳解】

由(1)直線/方程是3x+y—4=0,p在直線/上，設P(a,4—3a),

則7(?-l)2+(4-3a-l)2=與&2+(4—3a)2,解得a=2,

所以P點坐標為(2,-2)

r2

20、(1)—+y2=1

2

(6-726+0、

(2)112，12J

【解題分析】(1)已知焦點弦三角形的周長，以及離心率求橢圓方程，待定系數(shù)直接求解即可.

(2)第一步設點設直線，第二步聯(lián)立方程韋達定理，第三步條件轉化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋

達定理進行轉化，計算即可.

【小問1詳解】

因為A3片的周長為4夜，。的離心率為日，

所以4a=40，所以a=四，c=l,

a2

又Z?2="2—=1，

2

所以橢圓C的方程為r工+>2=1.

2

【小問2詳解】

方法一：(-1,0),居=(1,0),

+

〔的面積為B￡GBOF、GOBAOF+J.AOB

BFGS=S+SGOFi+S=SBOFiX

111/、1/c、

=-]%+7%+%(%―%)=§(%-2%)，

A5耳的面積為

SABFi=yl-y2,

i%—2y2y32—2

則幾=力一不，得=歹一T①

3(%—%)%32-1

設/:%=。+1,與橢圓C方程聯(lián)立，消去y得（5+2b2+2h一1=0,

由韋達定理得力+%=-1，/為=」式?

r+2r+2

令％=

my2,②

m<0

則,（加+1）%=，1^可得也匹=王

mr+2

2一1

當方=0時，(1+1)=0

m

(m+1)2-4/、

4

當two時，m=-fN-，。)

1+?

所以T<('"+1)?0,又加<0

m

解得-3-2后<m<-3+2V2@

由①②③得-3-2瓜，＜-3+2后，解得嗒＜幾＜喈.

所以實數(shù)彳的取值范圍是

方法二：同方法一可得

BF。的面積為SBFG=—（y；-2_y2）,

ABF1的面積為SABF1=%-%，

°A-2

則％=4尸得3幾=看一=1+」一,①

%y2

設/：X=O+1,與橢圓C方程聯(lián)立，消去y得，2+2）丁+2打—1=0,

由韋達定理得%+%

tI2tI2

所以2+匹=短+%、（乂+%）12=正-2

%%%%%%廠+2

因為feR,所以-6<2+&〈-2

%X

解得-3-2也<且<-3+2/②

%

由①②解得且正<2<絲旦.

1212

（6-拒6+0）

所以實數(shù)彳的取值范圍是V-，T-.

I1212J

21、（I）t=（II）見解析.

29

【解題分析】（I）由題可知，CM=2t,QM=2-2t,由K=；SMCF><CM和匕=；SAGB,4><GM，結合基本不

等式可求最值；

（II）連接4G交瓦R于點。，則。為4G的中點，可得M為CG中點，易證得ACLEZ"得平

面ABC。，所以A4］，ER,進而可證得