第二章矩陣教材

第二章矩陣1、矩陣的概念2、矩陣的運(yùn)算3、可逆矩陣4、矩陣的初等變換與矩陣的秩注：矩陣與行列式的區(qū)別

由m

n個數(shù)aij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成的一個m行n列的矩形數(shù)表，稱為一個m

n矩陣，a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnAm

n=記作只能用[]or(),不能用{}1.1矩陣的定義注：矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n可相同，也可不同。簡記為-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn-Am

n=稱對于矩陣負(fù)矩陣：為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A，即同型矩陣：兩個矩陣具有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)，稱為同型矩陣。例A=23456B=86253同型矩陣A=2394568B=86253不同型即對于有則稱矩陣A和B相等，記為。矩陣相等：設(shè)矩陣A和B為同型矩陣，且它們對應(yīng)的元素分別相等,1、零矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，1.2特殊矩陣記為。例注：不同型的零矩陣不相等

若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣，或稱為n階方陣。2、方陣?yán)?、行矩陣與列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣

or行向量or列向量例用逗號將各元素隔開b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=A=a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

n階上三角形矩陣4、上（下）三角矩陣

n階下三角形矩陣?yán)?、對角矩陣如下形式的n階矩陣稱為n階對角矩陣，記為數(shù)量矩陣是特殊的對角矩陣如下形式的n階矩陣稱為數(shù)量矩陣(or純量矩陣)6、數(shù)量矩陣?yán)绾営洖?/p>

如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為In或En

7、單位矩陣單位矩陣是特殊的數(shù)量矩陣?yán)?/p>

如果n階矩陣A滿足AT=A(即aij

=aji

),則稱A為對稱矩陣，即8、對稱矩陣?yán)?/p>

2358386

38674249762710

A=a11a12

a1na12

a22

a2n

a1n

a2n

ann

如果n階矩陣A滿足AT=-A(即aij

=-aji

),則稱A為反對稱矩陣，即9、反對稱矩陣

首非零元:每個非零行的第一個不為0的元素。10、階梯形矩陣階梯形矩陣:1）如果存在零行,則零行都在矩陣的最下方；2）首非零元的列標(biāo)隨行標(biāo)增加而嚴(yán)格增加。11、行簡化階梯形矩陣

滿足以下條件的階梯形矩陣（1）首非零元都為1；（2）首非零元所在列其余的元素全為0，稱為行簡化階梯形矩陣。

12、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣左上角為單位矩陣其余位置全為02、矩陣的運(yùn)算2.1矩陣的加法2.2矩陣的數(shù)乘2.3矩陣的乘法2.4矩陣的轉(zhuǎn)置2.5方陣的行列式同型矩陣才能相加定義:設(shè)A與B為兩個m

n階矩陣，A+B=2.1矩陣的加法則有

例：設(shè)求A+B=?解：1+52+63+74+8681012同型矩陣才能相減設(shè)A與B為兩個m

n階矩陣，A-B=則有矩陣的減法矩陣加法的運(yùn)算律（2）加法結(jié)合律：（1）加法交換律：（3）加法消去律：（4）（5）（零矩陣的作用）（負(fù)矩陣的作用）k遍乘A的所有元素（注意：與行列式數(shù)乘的區(qū)別）設(shè)矩陣kA=2.2矩陣的數(shù)乘定義：則且k為實數(shù)，特別地，-A=(-1)A矩陣數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律（3）分配律：（2）結(jié)合律：（1）交換律：例：設(shè)，求3A+2B。

注：矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。解：cij

=A的第i行與B的第j列的乘積設(shè)A是一個m

s矩陣，B是一個s

n矩陣，AB=b11

b12

b1j…

b1n

b21

b22

b2j

…

b2nbs1

bs2

bsj

…

bsna11

a12

a1s

a21

a22

a2sai1

ai2

ais

am1

am2

amsc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnm×n=cij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)ai1b1j

ai2b2j

aisbsj2.3矩陣的乘法B=

求ABA=，

例:設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-783×3231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-33×3231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-353×3練習(xí)：A×B==1×22×1+1×(-2)+7×22×3+1×1+7×6=[14,49]

關(guān)于矩陣乘法需要注意的是：（1）不是任意兩個矩陣的乘積AB都有意義；（2）兩個矩陣的乘積AB有意義的條件是：即且Am×s

Bs×n=Cm×nAm×s

Bt×n有意義的條件是:左邊的矩陣A的列數(shù)與右邊的矩陣B的行數(shù)相等，s=t左矩陣右矩陣讀作：A左乘B，orB右乘A例34572225A=B=(1)AB無意義，

585722952764C=D=(2)CD有意義，BA有意義，DC無意義注一：當(dāng)AB有意義時，BA未必有意義。456例：A=123B=維數(shù)相同注二：當(dāng)AB和BA都有意義時，AB和BA的階數(shù)未必相等。231-2311-2-32-10BA==4-983231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-352×2B=A=，

例：設(shè)231-2311-2-32-10解：3×3例：設(shè)A=

，4-2-21B=

，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注三:當(dāng)AB和BA都有意義，且AB和BA的階數(shù)也相等時，AB未必等于BA。矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB

BA1110例

設(shè)A=

，B=

，求AB及BA2110解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換的。AB=BA成立可交換矩陣的定義:解:可交換的一切矩陣。例

求與矩陣A=010001000B=abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=若AB=BA,則B定為3×3矩陣設(shè)Babc0ab00a=其中a，b，c為任意數(shù)。則有

a1=a2=b2=0，

b1=c2=a，c1=b，所以，例：設(shè)A=，4-2-21B=

，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注四:AB=OA=OorB=O例：設(shè)A=

，5000求A2解：0

000=2×2注五:A2=OA2=50005000A=O矩陣乘法一般不滿足消去律例:設(shè)

A=203,B=004,C=100求AC=?BC=?解:=2×21100=2×21100注六:AC=BCA=B

(1)

AB

BA

(3)

AB=OA=O或B=O

/

(2)

AC=BCA=B

/

A=O

/

乘法一般不滿足交換律乘法一般不滿足消去律,但如果C可逆,則A=B矩陣乘法小結(jié)(4)

A2=O矩陣乘法運(yùn)算的運(yùn)算律（3）左分配律：（2）數(shù)乘結(jié)合律：（1）結(jié)合律：（4）右分配律：a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=系數(shù)矩陣?yán)?2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=10

579-3713-111x1x2x3x4=5310線性方程組可用矩陣乘法表示:對于方陣A及自然數(shù)k

，

記Ak=A

A

A

(k個A相乘)只有方陣才能自乘規(guī)定:性質(zhì)：(1)

ArAs=Ar+s(2)

(Ar)s=Ars注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,則(AB)k=AkBk方陣的冪：特別地，同理，（只有當(dāng)A與B可交換時，等號才成立）若矩陣A、B為同階方陣，則練習(xí)：計算下列矩陣：解：(1)

2

0

1

1

1=

0

1

1

1

0

1

1

1=

0

1

1

2

3

0

1

1

1=

0

1

1

2

0

1

1

1=

0

1

1

3

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2

a

0

0

0

0

c

0

b

0

a

0

0

0

0

c

0

b

0=

a2

0

0

0

0

c2

0

b2

0=

3

0

1

1

1

(1)

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2，定義：設(shè)f(x)=ax2+bx

+c,A為n階矩陣，則矩陣A的多項式為f(A)=aA2+bA

+cE

，其中，E為與A同階的單位矩陣。矩陣的多項式例：已知f(x)=x2-x-1，A=

，求f(A)。

3

1

2

1-1

0

3

1

1=

解：

3

1

2

1-1

0

3

1

1

2

3

1

2

1-1

0

3

1

1-

0

1

0

0

0

1

1

0

0-

14

2

5

0

0-1

13

3

5=

3

1

2

1-1

0

3

1

1-

0

1

0

0

0

1

1

0

0-

11

0

3

-1

1-2

9

2

4=f(A)=A2-A-E將矩陣A的同號數(shù)的行換為同號數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A

。a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=第1行變?yōu)榈?列，第2行變?yōu)榈?列,…第n行變?yōu)榈趎列2.4矩陣的轉(zhuǎn)置(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An)T

=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)：(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

注意矩陣的次序推廣：例求：1）、對角矩陣的性質(zhì)(1)

kA=diag(ka11,ka22,

,kann

)

(2)

A+B=diag(a11+b11,a22+b22,

,ann+bnn

)設(shè)A=diag(a11,a22,

,ann),B=diag(b11,b22,

,bnn)(3)

AB=diag(a11b11,a22b22,

,annbnn

)對角矩陣的數(shù)乘,和,差,積仍為對角矩陣。(4)

A=AT對于特殊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)對角矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對稱矩陣2）、單位矩陣的性質(zhì)EmAm

n=Am

n=1

Am

nAm

nEn=Am

n

=Am

n

1注：

(1)單位矩陣與任意矩陣相乘(只要有意義)結(jié)果不變;

(2)單位矩陣En與任意同階方陣可交換。注意：矩陣相乘的條件3）、數(shù)量矩陣的性質(zhì)b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmna0

00a

0

00

aab11

ab12

ab1n

ab21

ab22

ab2nabm1

abm2

abmn=數(shù)量矩陣A左乘or右乘矩陣B，相當(dāng)于數(shù)a乘B。b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmna0

00a

0

00

aab11

ab12

ab1n

ab21

ab22

ab2nabm1

abm2

abmn=特別地，(kEn)An=kAn

；An(kEn)=kAn

注：數(shù)量矩陣與任意的同階方陣可交換。數(shù)量矩陣則4）、對稱矩陣的性質(zhì)(1)kA為對稱陣；設(shè)A,B為對稱陣,則(2)A+B與A-B為對稱陣；(3)AB未必是對稱陣。

例A=B=

是對稱陣，但-1

0

1-1

1

1

1

1-1-1

0

0=不是對稱矩陣AB=-1

0

1-1

1

1

1

1

例:設(shè)A與B是兩個n階對稱矩陣證明：AB對稱AB=BA證明:(1)充分性：即，AB為對稱矩陣。(2)必要性:且且

例:設(shè)列矩陣E為n階單位矩陣，且證明：H是對稱矩陣，且。

滿足且Proof:

由n階矩陣A的元素按原來的位置關(guān)系構(gòu)成的n階行列式稱為矩陣A的行列式,記為|A|或det(A)。a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=，

|A|=a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

det(A)

=例A=

234

|A|=det(A)=

234=-22.5方陣的行列式

定義：非奇異矩陣（or非退化矩陣）:如果行列式|A|

0,則稱A為非奇異矩陣。奇異矩陣（or退化矩陣）:如果行列式|A|=0,則稱A為奇異矩陣。方陣積的行列式=行列式的積方陣的行列式具有的運(yùn)算律：

(1)|AB|=|A|·|B||ABCD|=|A|·|B|·|C|·|D||Ak|=|AAA…A|k個A=|A|k|BA|=|AB|=|BA|

推廣：|B|·|A|n為方陣A的階數(shù)(2)|lA|

ln|A|例：有|lA|==l3

l3|A|則(3)

|AT|

|A|例:設(shè)A為三階矩陣，已知|A|=-2,求||A|A|。解：||A|A|==(-2)3|A|=(-2)3(-2)=16|-2A|例:設(shè)

A=254-4-53134B=C=求

(1)|ATB2C|(2)|(3BBT)2|解:(1)|ATB2C|=|AT||B2||C|=|A|

|B|2|C|254-4-53134××2=2×12×5=10(2)|(3BBT)2|

=(|3BBT

|)2=(32|

BBT

|)2=81=C稱為Ａ的逆矩陣3.1可逆矩陣的引入(1)、實數(shù)a的倒數(shù)實數(shù)的除法：(3)、實數(shù)的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法(2)、實數(shù)a的倒數(shù)性質(zhì)商=分子×分母的倒數(shù)給定矩陣

滿足：ＡＸ＝Ｂ，問Ｘ＝？分析：如果我們找到矩陣Ｃ，使得ＣＡ＝E，那么，ＣＡＸ＝ＣＢ，則Ｘ＝ＣＢ定理：如果矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的。對于n階方陣A，如果存在一個n階方陣B，AB

BA

E

，且稱B為A的逆矩陣，只有方陣才可能有逆矩陣記為A-1。3.2可逆矩陣的定義使得則稱A為可逆矩陣，Proof：設(shè)B1、B2均為矩陣A的逆矩陣，第1行的代數(shù)余子式作為第1列，….

第n行的代數(shù)余子式作為第n列伴隨矩陣：

矩陣A=(aij)的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，稱為矩陣A的伴隨矩陣，記為A*，即A11A12A1n

A21A22A2n

An1An2Ann

a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=A*=3.3矩陣可逆的充要條件所以,|A|

0由于A可逆,有|A|·|A

1|

|E|

1,則AA

1

E,證明：定理：

n階矩陣A為可逆

|A|

0,A為非奇異矩陣a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A11A21

An1A12A22

A2nA1nA2n

Ann

AA*==|A|E|A|

0

0

0|A|

0

0

0|A|

=所以,=—A*1|A|A-1且AA*=A*A=|A|E

A*的性質(zhì):(當(dāng)|A|≠0時)n為方陣A的階數(shù)例:設(shè)n階矩陣A可逆,證明：因為A可逆,又因為再因為證明A*也可逆,且所以|A|≠0,例：求矩陣A=的逆矩陣。

2-3

1

1

2

0

0-5

1

2-3

1

1

2

0

0-5

1解:=2

0A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*

=10

7-5-2-2

2

2

1-1==

—A*1|A|=

—12A-110

7-5-2-2

2

2

1-1

5

7/2-5/2-1-1

1

1

1/2-1/2=

|A|=A可逆

例:求A=

的逆矩陣(其中a11a22-a12a21≠0)a11a21a12a22解:A*=A11A12A21A22a22-a21-a12a11==a11a22-a12a21a11a21a12a22|A|==—A*1|A|A-1a22-a21-a12a11=—————

1a11a22-a12a21則例：a100

0a20

00an

已知A=

，驗證a1-100

0a2-10

00an-1

A-1=

。其中ai

0(i=1,2,

n)提示：a100

0a20

00an

a1-100

0a2-10

00an-1

100

010

001

=(2)若A可逆，數(shù)(1)若A可逆，證明:AA

1=E(3)若A可逆，則證明：AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，3.4可逆矩陣的性質(zhì)，則則(A

1)

1

A(AT

)

1

(A

1)T

(4)若A、B為同階可逆矩陣，則證明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E推論:注意逆矩陣順序(A1A2A3…An)

1(An)

1(An-1)

1….(A1)

1(ABC)

1

C

1B

1A

1(ABCD)

1

D-1C

1B

1A

1(AB

)

1

B

1A

1例:設(shè)n階矩陣A滿足aA2+bA+cE=O，證明A為可逆矩陣，并求A-1(a,b,c為常數(shù)，c

0)aA2+bA=-cEaA2+bA+cE=O-c-1aA2-c-1bA=E(-c-1aA-c-1bE)A=E所以，A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE解:例:設(shè)n階矩陣A滿足A2-A-2E=O，證明:(1)A可逆，求A-1；A2-A=2E(1)

A2-A-2E=O所以，A可逆，且證明：(2)A+2E可逆，求(A+2E)-1

。且(2)

A2-A-2E=O(A+2E-2E)2-(A+2E)=O所以,A+2E可逆,且且例:設(shè)3階矩陣A的伴隨陣為A*,且

求解：對于含有n個方程，n個未知量的線性方程組AX=B，其中A為n階方陣。若A可逆，3.5利用逆矩陣解矩陣方程則若A可逆，則對于XA=B，若A、B可逆，則對于AXB=C，轉(zhuǎn)例例:設(shè)(E-A)X=B所以，且AX+B=X，解:求X。由AX+B=X返回A-1=

，

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

2

4

2

3

3

1例：設(shè)A=，B=,C=

5

2

3

1

1

3

2

3

1

0求矩陣X

使AXB

C。-5

3

2-1B-1=，解:X

A-1CB-1

=

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

3

1

0-5

3

2-1-2-10

10

1

4-4=注意矩陣次序4、矩陣的初等變換4.1初等變換的定義4.2初等變換與初等矩陣的關(guān)系4.3矩陣的秩4.4用初等變換求逆矩陣4.5用初等變換求解矩陣方程初等行變換：(1)交換矩陣的兩行，ri

rj(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行，ri×k(3)把矩陣的某一行的k倍加到另一行上，ri

+krj初等列變換：(1)交換矩陣的兩列,ci

cj(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一列,ci×k(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上,ci

+kcj初等變換:初等行變換與初等列變換的統(tǒng)稱4.1矩陣的初等變換矩陣的等價矩陣A經(jīng)過初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記為A->B。注意與行列式中相關(guān)變換相區(qū)別

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1

1-2

1

3

1-9

3

7———

1

5-1-1

3

8-1

1r2

r4r1×2———-9378-111-213210-2-2———r1+r4×(-2)-9378-111-213014-4-8初等矩陣對單位矩陣E作一次初等變換后，得到的矩陣稱為初等矩陣。初等矩陣一定是方陣行：ri×k行：ri+krj初等矩陣有如下三種類型（對應(yīng)于三種變換），分別記作P(i,j

)，P(i[k])，P(i,j[k])。行：ri

rj列：ci

cj列：ci×k列：cj+kci例：（1）r1

r2：（2）kr3:（3）r2+kr1:4.2初等變換與初等矩陣的關(guān)系例：定理：（1）對Am×n進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣左乘矩陣A；例：定理：（2）對Am×n進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的n階初等矩陣右乘矩陣A；任意一個非零矩陣Am×n總可以經(jīng)過有限次的初等行變換化為行階梯形矩陣；同樣地，對這個行階梯形矩陣再進(jìn)行初等行變換，可化為行簡化階梯形矩陣。定理：初等行變換行簡化階梯形矩陣行階梯形矩陣初等行變換Step1:(1)在第一列中選一個非0元作為首元,

（一般選較小接近1的數(shù)）并將此元素交換到a11位置;(2)將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?;Step2:選定下一個首元，將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?將矩陣用初等行變換化為行簡化階梯形的步驟:Step3:重復(fù)第二步,直至得到行簡化階梯形。23454681000002A=23450000200000234500000000022

3400000000001例：用初等行變換化為行簡化階梯形r2+(-2)r10.5×r2r2

r3r1+(-5)r2對矩陣Am×n的行簡化階梯形矩陣施以有限次的初等列變換，可化為Am×n的標(biāo)準(zhǔn)形，即定理：例：4.3矩陣的秩例：子式：在矩陣Am×n中任取k行與k列，位于這些行與列交叉處的k2個元素按照原來的位置所構(gòu)成的一個k階行列式，稱為A的一個k階子式。r1,r2與c1,c3交叉處構(gòu)成的二階子式

注：若A中所有k階子式都等于0，則A中所有的k+1階子式（若存在的話）也都等于0。A中不為零的子式的最高階數(shù)r矩陣在作初等變換后其秩不改變。定義：設(shè)矩陣Am×n中有一個不等于0的r階子式，且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0，則r稱為矩陣A的秩，記為R(A)orr(A)orrA

。

注：矩陣A的行階梯形矩陣中非零行的數(shù)目，稱為A的秩r(A)。矩陣秩的性質(zhì)：例：求矩陣A的秩，其中解：在A中，二階子式A的三階子式只有一個，且|A|=0則R(A)=2即|A|，解：B是一個行階梯形矩陣，其非零行有3行，三階子式

則R(B)=3例：求矩陣B的秩,則B的四階子式全為零。例：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式。行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3

．