第五講 列聯(lián)表分析

第五講列聯(lián)表分析導(dǎo)言

在數(shù)據(jù)分析中，我們不僅需要了解單一變量的數(shù)值分布特征，還需要了解一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的關(guān)系。

例如，我們不僅想了解一個(gè)班級(jí)中同學(xué)們的性別結(jié)構(gòu)，同時(shí)還想知道不同性別的同學(xué)在某一問(wèn)題上的態(tài)度是否不同。當(dāng)不同性別的同學(xué)在該問(wèn)題上的態(tài)度有明顯差異時(shí)，我們可以說(shuō)，性別與態(tài)度這兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系。所謂相關(guān)，是指一個(gè)變量的值與兩一個(gè)變量的值有連帶性，即一個(gè)變量的取值發(fā)生變化，另一個(gè)變量的取值也跟著發(fā)生變化。

相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，但是因果關(guān)系必定存在相關(guān)關(guān)系。啤酒與尿布

在一家超市中，人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)特別有趣的現(xiàn)象：尿布與啤酒這兩種風(fēng)馬牛不相及的商品居然擺在一起。但這一奇怪的舉措居然使尿布和啤酒的稍量大幅增加了。這可不是一個(gè)笑話，而是一直被商家所津津樂(lè)道的發(fā)生在美國(guó)沃爾瑪連鎖超市的真實(shí)案例。原來(lái)，美國(guó)的婦女通常在家照顧孩子，所以她們經(jīng)常會(huì)囑咐丈夫在下班回家的路上為孩子買尿布，而丈夫在買尿布的同時(shí)又會(huì)順手購(gòu)買自己愛喝的啤酒。

啤酒銷量尿布銷量消費(fèi)者的喜好導(dǎo)言

為了了解一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)的強(qiáng)度大小，在統(tǒng)計(jì)上常用的方法是做列聯(lián)表或者是計(jì)算兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)。讀者通過(guò)列聯(lián)表可以直觀地感受到兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系及其關(guān)系的強(qiáng)弱和方向，而相關(guān)系數(shù)則更精確地反映了兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系強(qiáng)度的大小和方向。導(dǎo)言

贊成不贊成男020女300贊成不贊成男200女030全相關(guān)贊成不贊成男1010女1515贊成不贊成男218女255零相關(guān)強(qiáng)相關(guān)一、列聯(lián)表（contingencytable）

列聯(lián)表也稱交互分類表，就是同時(shí)根據(jù)兩個(gè)變量的值，將所研究的觀測(cè)個(gè)案進(jìn)行分類。一、列聯(lián)表（contingencytable）1.由兩個(gè)以上的變量交叉分類的頻數(shù)分布表2.行變量的類別用r表示，ri

表示第i個(gè)類別3.列變量的類別用c表示，cj

表示第j個(gè)類別4.每種組合的觀察頻數(shù)用fij

表示5.表中列出了行變量和列變量的所有可能的組合6.一個(gè)r行c列的列聯(lián)表稱為r×c列聯(lián)表一、列聯(lián)表（contingencytable）最大志愿頻數(shù)快樂(lè)家庭40理想工作60增廣見聞10合計(jì)100條件頻數(shù)（conditionalfrequencies）最大志愿教育水平合計(jì)高中低快樂(lè)家庭530540理想工作0302050增廣見聞50510合計(jì)106030100邊緣頻數(shù)（marginalfrequencies）總數(shù)一、列聯(lián)表（contingencytable）最大志愿教育水平高（%）中（%）低（%）快樂(lè)家庭50.050.016.7理想工作0.050.066.7增廣見聞50.00.016.7總數(shù)（10）（60）（30）

低教育水平的青年多以“理想工作”為志愿，中、高教育水平的青年則多選擇“快樂(lè)家庭”，但前者同時(shí)較注重“理想工作”，后者較注重“增廣見聞”。表2.2青年人教育水平對(duì)其志愿的影響一、列聯(lián)表（contingencytable）編制條件百分比表時(shí)應(yīng)該注意：1.頂端有表號(hào)和標(biāo)題。2.舍去不必要線條，盡可能簡(jiǎn)潔，上下粗線條，左右不封口。3.自變量取值下標(biāo)明%，條件百分比不必再一一標(biāo)%。4.表地段（）的數(shù)值，表示在計(jì)算百分比時(shí)所依據(jù)的個(gè)案數(shù)目。5.表內(nèi)各百分比數(shù)值的小數(shù)位數(shù)應(yīng)該保持一致。6.根據(jù)自變量的方向計(jì)算百分比，但當(dāng)因變量在樣本中的分布不能代表其在總體中的分布時(shí)則要根據(jù)因變量的方向計(jì)算百分比。一、列聯(lián)表（contingencytable）

一般而言，將因變量放在表的左邊，自變量放在表的上邊，r×c表，r表示的因變量的取值個(gè)數(shù)，c表示的是自變量的取值個(gè)數(shù)。按照根據(jù)自變量方向計(jì)算百分比，即根據(jù)列來(lái)計(jì)算百分比。一、列聯(lián)表（contingencytable）是否贊成期中考核班級(jí)1班（%）2班（%）3班（%）贊成64.153.839.5不贊成35.946.260.5總數(shù)（78）（80）（76）是否贊成期中考核班級(jí)總數(shù)1班（%）2班（%）3班（%）贊成40.7

35.0

24.3（123）不贊成25.233.341.4（111）怎么解釋？1班同學(xué)贊成期中考核的學(xué)生比重最大，3班最小。班級(jí)影響考試態(tài)度。一、列聯(lián)表（contingencytable）根據(jù)因變量方向計(jì)算百分比舉例研究某城市破裂家庭（自變量）對(duì)青少年犯罪行為（因變量）的影響。如何抽樣？假定該城市的全部青少年中，未犯罪的青少年有54400名，有越軌行為的青少年960名?，F(xiàn)在我們決定從未犯罪青少年中抽取1%，即544名，但如果按照相同的比例從犯罪的青少年中抽取樣本的話，則只能抽取10個(gè)人，這樣的樣本太小，難以進(jìn)行準(zhǔn)確的比較。因此，按照50%的比例從犯罪青少年中抽取480名作為樣本。一、列聯(lián)表（contingencytable）犯罪青少年

未犯罪青少年合計(jì)破裂家庭14645191和好家庭334499833合計(jì)4805441024犯罪青少年

未犯罪青少年合計(jì)破裂家庭（%）76.423.6（191）和好家庭（%）

40.060.0（833）犯罪青少年（%）未犯罪青少年（%）破裂家庭

30.48.3和好家庭

69.691.7總數(shù)（480）（544）和好家庭的中有40%的青少年有犯罪行為？犯罪青少年中破裂家庭占了30.4%的比重，為未犯罪青少年中破裂家庭只占8.3%。一、列聯(lián)表（contingencytable）列聯(lián)表的SPSS實(shí)現(xiàn)。（略）條件百分比表的優(yōu)點(diǎn)：資料豐富，一個(gè)3×3列聯(lián)表就有9個(gè)百分比可供比較。條件百分比表的缺點(diǎn)：當(dāng)r×c很大時(shí)，百分比會(huì)很多，不容易看出兩個(gè)變量之間的關(guān)系。比如一個(gè)5×6表就會(huì)30個(gè)百分比，就很難看出兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系。此時(shí)，我們就希望有一個(gè)數(shù)值來(lái)表示兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度和方向，以使資料更加簡(jiǎn)化和明白易懂，這就是相關(guān)系數(shù)。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）相關(guān)系數(shù)即用來(lái)表示兩個(gè)變量間相關(guān)強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計(jì)值。相關(guān)系數(shù)非常多，當(dāng)我們選擇相關(guān)系數(shù)時(shí)，首先，根據(jù)變量的測(cè)量層次，不同層次的變量需要選擇不同的相關(guān)系數(shù)。其次，兩個(gè)變量之間關(guān)系是對(duì)稱的還是不對(duì)稱的，對(duì)稱關(guān)系即不區(qū)分自變量和因變量，而不對(duì)稱關(guān)系則要區(qū)分自變量和因變量。再次，盡量選擇具有消減誤差比例意義的相關(guān)系數(shù)。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）相關(guān)系數(shù)即用來(lái)表示兩個(gè)變量間相關(guān)強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計(jì)值。相關(guān)系數(shù)非常多，當(dāng)我們選擇相關(guān)系數(shù)時(shí)，首先，根據(jù)變量的測(cè)量層次，不同層次的變量需要選擇不同的相關(guān)系數(shù)。其次，兩個(gè)變量之間關(guān)系是對(duì)稱的還是不對(duì)稱的，對(duì)稱關(guān)系即不區(qū)分自變量和因變量，而不對(duì)稱關(guān)系則要區(qū)分自變量和因變量。再次，盡量選擇具有消減誤差比例意義的相關(guān)系數(shù)。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

消減誤差比例（proportionatereductioninerror),簡(jiǎn)稱為PRE測(cè)量法。相關(guān)分析的目的之一在于用一個(gè)變量去預(yù)測(cè)或解釋另一個(gè)變量。為什么我們班同學(xué)的身高會(huì)有那么大的差異？當(dāng)我們對(duì)這一現(xiàn)象毫無(wú)所知的時(shí)候，隨便說(shuō)出一個(gè)同學(xué)的名字，讓你猜他的身高，這個(gè)時(shí)候難免會(huì)有誤差。但是，當(dāng)我們知道性別與身高有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系之后，在說(shuō)出這個(gè)同學(xué)名字的同時(shí)又告訴你了該同學(xué)的性別，那么，這個(gè)時(shí)候你再去猜他的身高，應(yīng)該就可以減少若干誤差。而且，性別與身高的相關(guān)度越高，所能減少的誤差也越大。

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

假設(shè)在不知道X（如性別）的條件下去預(yù)測(cè)Y（如身高）所產(chǎn)生的誤差是E1，在知道X的條件下去利用X的取值去預(yù)測(cè)Y所產(chǎn)生的誤差為E2，則消減誤差比例

PRE=(E1-E2)/E1

由以上公式可知，當(dāng)通過(guò)X預(yù)測(cè)Y產(chǎn)生的誤差E2越小，PRE數(shù)值越大，標(biāo)明X與Y的關(guān)系越。當(dāng)E2=0時(shí)，X與Y的關(guān)系最強(qiáng)，PRE=1,當(dāng)E2=E1時(shí)，關(guān)系最弱，PRE=0.當(dāng)PRE=06時(shí)，就表明用X預(yù)測(cè)Y可以減少60%的誤差。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

PRE數(shù)值的意義就在于它能夠直觀地表示用一個(gè)變量（X）去解釋或預(yù)測(cè)另一個(gè)變量（Y）時(shí)能夠減少百分之幾的誤差。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

1.兩個(gè)定類變量之間的相關(guān)系數(shù)：λ和tau-yLambda相關(guān)測(cè)量法的基本邏輯：以一個(gè)定類變量的值來(lái)預(yù)測(cè)另一個(gè)定類變量的值時(shí)，以眾數(shù)作為預(yù)測(cè)的準(zhǔn)則，可以消減多少誤差，消減的誤差越多，變量之間的相關(guān)愈強(qiáng)，反之，越少則相關(guān)愈弱。

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

1.兩個(gè)定類變量之間的相關(guān)系數(shù)：λ和tau-yLambda相關(guān)測(cè)量法有2種形式：一是對(duì)稱形式，簡(jiǎn)寫為λ系數(shù)，即兩個(gè)變量之間是相關(guān)影響的，區(qū)分不出明顯的自變量和因變量。二是不對(duì)稱形式，簡(jiǎn)寫為λy系數(shù)，要求兩個(gè)定類變量中，一個(gè)是自變量，另一個(gè)是因變量，自變量影響因變量。

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

1.兩個(gè)定類變量之間的相關(guān)系數(shù)：λ和tau-y

Mx:X變量的眾數(shù)My:Y變量的眾數(shù)mx:X變量各類別下Y變量的眾數(shù)my:Y變量各類別下X變量的眾數(shù)N:全部個(gè)案數(shù)二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

1.兩個(gè)定類變量之間的相關(guān)系數(shù)：λ和tau-y

最大志愿性別合計(jì)男女快樂(lè)家庭103040理想工作401050增廣見聞10010合計(jì)6040100二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

1.兩個(gè)定類變量之間的相關(guān)系數(shù)：λ和tau-y

λy具有消減誤差比例的意義，性別與志愿之間的相關(guān)系數(shù)為0.4，表明用性別與預(yù)測(cè)志愿可以減少40%的誤差。

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

1.兩個(gè)定類變量之間的相關(guān)系數(shù)：λ和tau-y

最大志愿知心朋友的志愿合計(jì)快樂(lè)家庭理想工作增廣見聞快樂(lè)家庭289340理想工作241750增廣見聞24410合計(jì)325414100二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

1.兩個(gè)定類變量之間的相關(guān)系數(shù)：

tau-y相關(guān)測(cè)量屬于不對(duì)稱測(cè)量，要求兩個(gè)定類變量中，一個(gè)是自變量（X），一個(gè)是因變量（Y)，其值也是介于0-1之間，具有消減誤差比例的意義。計(jì)算公式如下：

n:個(gè)案數(shù)目f:條件次數(shù)Fy:Y變量的邊緣次數(shù)Fx:X變量的邊緣次數(shù)二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）最大志愿性別合計(jì)男女快樂(lè)家庭103040理想工作401050增廣見聞10010合計(jì)6040100性別與志愿之間的相關(guān)系數(shù)為0.224，也可以說(shuō)用性別來(lái)預(yù)測(cè)志愿可以減少22.4%的誤差。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

Tau-y系數(shù)在計(jì)算相關(guān)程度時(shí)運(yùn)用了所有的邊緣次數(shù)和條件次數(shù)。因此，其敏感度要高于Lambda系數(shù)。如果是不對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)定類變量，最好選擇tau-y系數(shù)。

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

2.兩個(gè)定序變量之間的相關(guān)：

Gamma系數(shù)適用于分析對(duì)稱關(guān)系dy適用于分析不對(duì)稱關(guān)系Tau系列系數(shù)斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

2.兩個(gè)定序變量之間的相關(guān)：Gamma系數(shù)dy

Ns：同序?qū)?shù)Nd:異序?qū)?shù)

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）工廠積極性等級(jí)產(chǎn)量等級(jí)A55B33C41D1.53E1.53表2.15所工廠工人生產(chǎn)積極性與產(chǎn)量

5所工廠一共可以兩兩相配為10對(duì)：AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE.其中，同序配對(duì)有：AB,AC,AD,AE，數(shù)目為4對(duì)，異序配對(duì)有：BC,CD,CE.數(shù)目為3對(duì)。所以

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

可見，工人的生產(chǎn)積極性與產(chǎn)量之間呈正相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)強(qiáng)程度比較弱，相關(guān)系數(shù)為0.14，即以其中的一個(gè)變量預(yù)測(cè)或解釋另一個(gè)變量時(shí)，能夠減少14%的誤差。

Gamma系數(shù)屬于不對(duì)稱相關(guān)測(cè)量法，如果我們要分析的兩個(gè)定序變量之間存在明顯不對(duì)稱關(guān)系，即一個(gè)為自變量，另一個(gè)為因變量，因變量受自變量影響，而自變量并不受因變量的影響，那么，最好使用dy系數(shù)。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

2.兩個(gè)定序變量之間的相關(guān)：

Ns：同序?qū)?shù)Nd:異序?qū)?shù)

Ty:只在因變量上同分的對(duì)數(shù)

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）工廠積極性等級(jí)產(chǎn)量等級(jí)A55B33C41D1.53E1.53表2.15所工廠工人生產(chǎn)積極性與產(chǎn)量

5所工廠一共可以兩兩相配為10對(duì)：AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE.其中，同序配對(duì)有：AB,AC,AD,AE，數(shù)目為4對(duì)，異序配對(duì)有：BC,CD,CE.數(shù)目為3對(duì)，在因變量上同分的配對(duì)：BD,BE,數(shù)目為2對(duì)，所以

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

可見，dy系數(shù)總要小于Gamma系數(shù)，因?yàn)閐y系數(shù)的分母多了一個(gè)在因變量上同分的對(duì)數(shù)。上述計(jì)算方法只是對(duì)于小樣本原始資料進(jìn)行的，如果是分類匯總資料，該如何求G和dy系數(shù)呢？二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）YX121

f11f122f21f22二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）婆媳沖突住戶密度總數(shù)高中低高2320447中11552894低8272459總數(shù)4210256200表2.2住戶人口密度與婆媳沖突二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）m:min(r,c)tau-a:在兩個(gè)自變量上都沒有同分對(duì)，其取值才為【-1，+1】tau-b:用同分對(duì)，但在r=c時(shí)，其取值才為【-1，+1】tau-c:沒有要求，其值為【-1，+1】，所以tau-c較為常用，但其沒有消減誤差比例的意義，所以其應(yīng)用不及G和dy廣泛。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)rho:計(jì)算每個(gè)個(gè)案在兩個(gè)變量上的等級(jí)時(shí)，不僅區(qū)別二者的高低差異，而且還要計(jì)算兩者差異的確切數(shù)值。

D表示每個(gè)個(gè)案在兩列等級(jí)上的差異值。其基本邏輯是：在最大可能的等級(jí)差異值中，實(shí)際的等級(jí)差異所占的比例。

屬于對(duì)稱測(cè)量，要求同分的情況不能太多，取值范圍[-1,1],平方具有消減誤差比例的意義。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）鄉(xiāng)名經(jīng)濟(jì)衛(wèi)生A11B23C34D45E58F66.5G79.5H8.56.5I8.59.5J102表3.110個(gè)鄉(xiāng)的經(jīng)濟(jì)水平與衛(wèi)生水平二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

可見，經(jīng)濟(jì)水平與衛(wèi)生水平成正相關(guān)關(guān)系，而且關(guān)系強(qiáng)度呈中等，其平方為0.2209，表明以一個(gè)變量預(yù)測(cè)兩一個(gè)變量的等級(jí)時(shí)可以減少22.09%的誤差。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）3.兩個(gè)定距變量之間的相關(guān)：

皮爾森相關(guān)系數(shù)主要用來(lái)測(cè)量?jī)蓚€(gè)定距變量之間的相關(guān)程度。二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）編號(hào)教育年限（X）勞動(dòng)小時(shí)（Y）A25B24C34D33E41F41G40H60I80總數(shù)3618表2.39名婦女教育年限與家務(wù)勞動(dòng)二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

皮爾森相關(guān)系數(shù)：對(duì)稱測(cè)量，假定X與Y互相影響（很多時(shí)候，不對(duì)稱也使用此系數(shù)）范圍：[-1，+1]平方具有消減誤差比例的意義假定X與Y之間是一種直線相關(guān)關(guān)系二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）3.定類變量與定距變量：相關(guān)比率又稱eta平方系數(shù)（簡(jiǎn)寫為E2），定類變量是自變量，定距變量是因變量，根據(jù)自變量的取值預(yù)測(cè)因變量的均值。范圍：【0，1】

具有消減誤差比例的意義

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）3.定類變量與定距變量：相關(guān)比率

Y：因變量的值Y撇：因變量的均值Y撇i:每個(gè)自變量取值上的因變量的均值二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）

職業(yè)種類干部工人農(nóng)民英語(yǔ)成績(jī)7852838259759173829061788580808151836454總數(shù)785表2.420名學(xué)生家庭職業(yè)背景對(duì)英語(yǔ)成績(jī)的影響二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）3.定類變量與定距變量：相關(guān)比率皮爾森相關(guān)系數(shù)假定兩個(gè)定距變量之間具有直線關(guān)系，如果兩個(gè)變量之間不成直線關(guān)系，而是曲線關(guān)系，則r系數(shù)會(huì)誤解事實(shí)。

因此，在計(jì)算r系數(shù)之前先做一個(gè)散點(diǎn)圖，看看是否成直線關(guān)系，如果不是直線關(guān)系，要么通過(guò)變量轉(zhuǎn)換使其成線性相關(guān)，要么使用相關(guān)比率（E）來(lái)替代r。

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）4.定類變量與定序變量：Lambdatau-y

由于定序變量具有定類變量的數(shù)學(xué)特質(zhì)，所以，對(duì)于一個(gè)定類變量和一個(gè)定序變量的相關(guān)，大多采用Lambda和tau-y.

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）5.定序變量與定距離量：相關(guān)比率同理，由于定序變量具有定類變量的數(shù)學(xué)特質(zhì)，所以，對(duì)于一個(gè)定序變量和一個(gè)定距變量的相關(guān)，大多采用相關(guān)比率測(cè)量。

二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）6.總結(jié)

測(cè)量方法變量層次要求取值范圍是否對(duì)稱測(cè)量

有無(wú)PRE意義Lambda定類-定類定類-定序[01]對(duì)稱和不對(duì)稱有Tau-y定類-定類定類-定序[01]不對(duì)稱有Gamma定序-定序[-11]對(duì)稱有Dy定序-定序[-11]不對(duì)稱有相關(guān)比率定類-定距定序-定距[01]不對(duì)稱E2有皮爾森系數(shù)定距-定距[-11]對(duì)稱

r2有二、相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）7.應(yīng)用舉例（略）

作業(yè)1.下列數(shù)值是12個(gè)企業(yè)女職工的比例，