人教A版高中數(shù)學必修2學案2-2-4平面與平面平行的性質

2.學習目標核心素養(yǎng)1.通過直觀感知、操作確認，歸納出平面與平面平行的性質定理并加以證明．(重點)2．能用文字語言、符號語言和圖形語言準確描述平面與平面平行的性質定理，并知道其地位和作用．(重點)3．能運用平面與平面平行的性質定理，證明一些與空間面面平行關系有關的簡單問題．(難點)通過學習平面與平面平行的性質，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)．平面與平面平行的性質定理文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言思考：如果兩個平面平行，那么兩個平面內的所有直線都相互平行嗎？[提示]不一定．它們可能異面．1．平面α與圓臺的上、下底面分別相交于直線m，n，則m，n的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面A[因為圓臺的上、下底面互相平行，所以由平面與平面平行的性質定理可知m∥n.]2．已知平面α∥平面β，直線l∥α，則()A.l∥β B.l?βC.l∥β或l?β D.l,β相交C[假設l與β相交，又α∥β，則l與α相交，與l∥α矛盾，則假設不成立，則l∥β或l?β.]3．已知平面α∥β，直線a?α，有下列命題：①a與β內的所有直線平行；②a與β內無數(shù)條直線平行；③a與β內的任意一條直線都不垂直．其中真命題的序號是________．②[由面面平行的性質可知，過a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯誤；②正確；平面β內的直線與直線a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故③錯誤．]平面與平面平行性質定理的應用[探究問題]1．平面與平面平行性質定理的條件有哪些？[提示]必須具備三個條件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三個條件缺一不可．2．線線、線面、面面平行之間有什么聯(lián)系？[提示]聯(lián)系如下：【例1】如圖，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點P的直線m與α、β分別交于A、C，過點P的直線n與α、β分別交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．[解]因為AC∩BD＝P，所以經過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).1．將本例改為：若點P在平面α，β之間(如圖所示)，其他條件不變，試求BD的長．[解]與本例同理，可證AB∥CD.所以eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.2.將本例改為：已知平面α∥β∥γ，兩條直線l、m分別與平面α、β、γ相交于點A、B、C與D、E、F.已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，則AC＝________．15[由題可知eq\f(DE,DF)＝eq\f(AB,AC)?AC＝eq\f(DF,DE)·AB＝eq\f(5,2)×6＝15.]3．將本例改為：已知三個平面α、β、γ滿足α∥β∥γ，直線a與這三個平面依次交于點A、B、C，直線b與這三個平面依次交于點E、F、G.求證：eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG).[證明]連接AG交β于H，連BH、FH、AE、CG.因為β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(AH,HG)＝eq\f(EF,FG).應用平面與平面平行性質定理的基本步驟：平行關系的綜合應用【例2】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：GH∥平面PAD.[證明]如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO.∵ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥平面PAD.1．證明直線與直線平行的方法(1)平面幾何中證明直線平行的方法．如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質；平面內垂直于同一直線的兩條直線互相平行等．(2)公理4.(3)線面平行的性質定理．(4)面面平行的性質定理．2.證明直線與平面平行的方法：(1)線面平行的判定定理．(2)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．eq\a\vs4\al([跟進訓練])如圖，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD∥平面EFGH.[證明]由于四邊形EFGH是平行四邊形，∴EF∥GH.∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．常用的面面平行的其他幾個性質(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(5)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．2．證明線與線、線與面的平行關系的一般規(guī)律是：“見了已知想性質，見了求證想判定”，也就是說“發(fā)現(xiàn)已知，轉化結論，溝通已知與未知的關系”．這是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段．1．a∥α，b∥β，α∥β，則a與b位置關系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交D[如圖①②③所示，a與b的關系分別是平行、異面或相交．]①②③2．若平面α∥平面β，直線a?α，點M∈β，過點M的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D．有且只有一條與a平行的直線D[由于α∥β，a?α，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項正確．]3．用一個平面去截三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分別于點E，F(xiàn)，G，H.若A1A>A①一般的平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤[當FG∥B1B時，四邊形EFGH為矩形；當FG不與B1B平行時，四邊形EFGH為梯形．]4．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，M，N分別是AE，CD1求證：MN∥平面ADD