2023年高考數學總復習：立體幾何初步（附答案解析）

2023年高考數學總復習：立體幾何初步

一.選擇題（共8小題）

1.（2022春?欽州期末）如圖,長方體ABCQ-Aι8∣CIDi的12條棱中與AlB異面的共有（）

A.4條B.5條C.6條D.7條

2.（2022春?伊州區(qū)校級期末）如圖，在正方體ABC。-Al校CiDl中,己知M,N分別為棱

AB,ABl的中點，則異面直線4。與MN所成的角等于（）

A.90oB.60oC.45oD.30°

3.（2022?南京模擬）若相，”是兩條不同的直線，α,P是兩個不同的平面，則下列結論正

確的是（）

A.若mua,"uβ,a∕∕β,則團〃〃

B.若,〃〃a,則a>Lβ

C.若&_1_3，a∩β=∕n,m.Ln,貝U〃_Lp

D.若〃?_!_〃，m?a.∕n±β,則〃〃β

4.（2022春?許昌期末）如圖，在長方體A8CZ）-AiBiCiQi中，M,N分別為棱CIoi，CCi

的中點，下列判斷中正確的個數為（）

①直線B?M1BN;

②4￡>J_平面CDDICI;

③BN〃平面AOM.

D1M

5.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）小明同學用兩個全等的六邊形木板和六根長度相同的木棍搭

成一個直六棱柱ABCZ）E尸-AlBlClOiEiQ,由于木棍和木板之間沒有固定好，第二天他

發(fā)現這個直六棱柱變成了斜六棱柱ABCOEF-AIBCiDiEig,如圖所示.設直棱柱的體

積和側面積分別為■和Si,斜棱柱的體積和側面積分別為正和S2,則（）.

CViV2

sIs2

D.YL與b的大小關系無法確定

SlS2

6.（2022春?梅州期末）已知圓錐的側面展圖為一個半圓，則該圓錐內半徑最大的球的表面

積與圓錐外接球的表面積之比為（）

A.1：9B.1：8C.1：4D.1：3

7.（2022春?江岸區(qū)期末）已知正方體ABCO-AlBIC1。1，的棱長為2,點M為線段CCl

（含端點）上的動點，AML平面α.下列說法正確的是（）

A.若點N為￡>￡>i中點，當AM+MN最小時,CM=2√2

cq

B.當點M與Cl重合時.若平面a截正方體所得截面圖形的面積越大，則其截面周長就

越大

C.直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為

D.若點M為CCl的中點，平面a過點B,則平面a截正方體所得截面圖形的面積為9

2

8.（2022春?豐臺區(qū)校級期末）已知直三棱柱ABC-AIBICI的六個頂點都在球。的表面上,

若AB=I,BC=2,NABC=60°,Ap4=3,則球。的體積是（）

A25兀B25兀C.后冗D13兀

6'3-6'6

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2022春?長沙縣期末）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（)

A.與EO平行B.A尸與CN垂直

C.CN與BE是異面直線D.CV與成60°角

（多選）10.（2022春?湖北期末）已知三棱錐P-A3C,PA=PB=PC,ZvLBC是邊長為2

的正三角形，E為以中點，PBLCE,則下列結論正確的是（）

A.PBLAC

B.異面直線CE與AB所成的角的余弦值為逗

5

C.CE與平面ABC所成的角的正弦值為15

D.三棱錐P-ABC外接球的表面積為6π

（多選）11.（2022春?福州期末）如圖，設E,（分別是長方體ABCD-A出IClDi的棱CD

上的兩個動點，點E在點尸的左邊，且滿足2EF=DC=/BC，有下列結論（）

A.Bi￡>_L平面B?EF

B.三棱錐。-BIE尸體積為定值

C.AlA〃平面BIEF

D.平面AlADDl_L平面BIEF

（多選）12.（2022春?河南期末）壇子是我們日常生活中耳熟能詳的生活用品，一般指用

陶土做胚子燒成的用來腌制菜品或盛放物品的器物.如圖，某壇子的主體部分（壇身）

可以看作是由上、下兩個同底的圓臺燒制而成的，其中BE=2AF=2CD=2dm,BC=2AB,

且該壇子的容積為10.5π升，則（）

注：若圓臺的上、下底面半徑分別為r,R,高為h,母線為I,則圓臺的體積

A.下圓臺的體積為7π升

B.下圓臺的表面積（含上下圓臺同底的部分）為3√記兀dm2

C.直線EF與圓臺底面所在平面所成的角為60°

D.若在該壇子內封裝一個圓柱，則圓柱的側面積最大為9π"“（不考慮能否放入和容器

厚度）

Ξ.填空題（共4小題）

13.（2022春?泉州期末）在棱長為3的正方體ABCZ）-A向ClQI中，點E,F分別在棱AB,

BC±.,BE=BF=HCH為棱上的動點.若平面EFG〃平面AeH,而=入元,

貝!）入=.

14.（2022春?汕頭期末）佩香囊是端午節(jié)傳統習俗之一.香囊內通常填充一些中草藥，有

清香、驅蟲、開竅的.因地方習俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色

色，玲瓏奪目.圖1的平行四邊形ABC。由六個邊長為1的正三角形構成.將它沿虛線

折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊.那么在圖2這個六面體中內切球半徑

15.（2022春?豐臺區(qū)校級期末）如圖，等腰梯形ABCO沿對角線AC翻折，得到空間四邊

形D?ABC,若BC=CD=DA=AAB=1,則直線ADi與BC所成角的大小可能

2

為.（寫出一個值即可）

16.（2022春?瓊海校級期末）已知三棱錐A-BC。中，平面ABDJ_平面BCD,BCLCD,

BC=CD=2,AB=AD=√6＞則三棱錐A-BCD的外接球的體積為.

四.解答題（共6小題）

17.（2022春?雙流區(qū)期末）如圖，三棱錐P-ABC中，等邊三角形aPBC的重心為O,Z

BAC=90°,AB=AC=2,B4=2√3?E,F,M分別是棱BC,BP,AP的中點，。是線

段AM的中點.

（1）求證：MO〃平面DEFi

（II）求證：平面Z）EF_L平面PBC.

18.（2022春?珠海期末）如圖，在三棱柱ABC-AlBiCI中，BCVAC,8C_LCCl,點。是

AB的中點.

(1)求證：AeI〃平面CDBi;

(2)若側面AAIClC為菱形，求證：ACiL平面AIBe

19.(2022春?順義區(qū)期末)如圖，在四棱錐P-ABC。中附，平面ABC。，底面ABC。為

直角梯形，BC//AD,ADLAB,且∕?=AB=BC=1,AD=2.

(I)若平面PBC與平面∕?。相交于直線/,求證：BC//1-,

(II)求證：平面RluL平面PCD；

(III)棱尸。上是否存在點E,使得CE〃平面%B?若存在，求CE的長；若不存在，

請說明理由.

20.(2022春?南陽期末)如圖，在矩形ABC。中，AB=I,BC=2,E為邊AO上的動點，

將AQCE沿CE折起，記折起后力的位置為尸，且尸在平面ABS上的射影。恰好落在

折線CE上.

(1)設N3CE=a為何值時，i?P8C的面積最小？

(2)當APBC的面積最小時，在線段BC上是否存在一點F,使平面抬尸，平面POR

若存在求出BF的長，若不存在，請說明理由.

21.(2022春?大興區(qū)期末)如圖1,四邊形ABC。是矩形，將AAOC沿對角線AC折起成

ΔΛD'C,連接￡>'B,如圖2,構成三棱錐。-A8C.過動點。作平面ABC的垂線

垂足是0.

(1)當。落在何處時，平面A。CJ_平面A8C,并說明理由；

(2)在三棱錐Zj-ABC中，若AD'=BZ7,P為OA的中點，判斷直線OP與平面BzrC

的位置關系，并說明理由：

(3)設T是4ABC及其內部的點構成的集合，AB=2,BC=I,當OeT時，求三棱錐

D'-ABC的體積的取值范圍.

22.(2022春?金牛區(qū)期末)如圖，正方體ABC。-AIBICIOI,棱長為a,E,F分別為A8、

BC上的點，且AE=8F=x.

(1)當X=。時，求異面直線AlE與BlF所成的角的大?。?/p>

(2)當X為何值時，三棱錐A]-BE/的體積最大？

(3)當χN?a時，平面AlEF與棱Ci》，CIC分別相交于點M,N,求線段MN的長度.

3

2023年高考數學總復習：立體幾何初步

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.（2022春?欽州期末）如圖,長方體ABCBlCId的12條棱中與AlB異面的共有（）

A.4條B.5條C.6條D.7條

【考點】異面直線的判定.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理.

【分析】根據異面直線的定義判斷即可.

【解答】解：由題意，長方體ABCO-AIBCIDI的12條棱中與AlB異面的有A。，BiCi,

DC,DD?,DiCi,CIC共6條.

故選：C.

【點評】本題考查異面直線的定義，屬基礎題.

2.（2022春?伊州區(qū)校級期末）如圖，在正方體ABeZ）-AIBICI。中，己知M,N分別為棱

A.90°B.60oC.45oD.30°

【考點】異面直線及其所成的角.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間角；數學運算.

【分析】MN為三角形ABBi的中位線，將仞V平移至ABi,將4。平移至AC,則/BiAC

為所求，然后在正三角形ABlC中，求解即可.

【解答】解：連接ABi,?.,M,N分別為棱AB,ABI的中點，

：.MN//ABι,又AlC1〃AC,

即異面直線4G與MN所成的角等于60°,

故選：B.

【點評】本題考查異面直線所成的角，考查學生空間想象能力，屬基礎題.

3.（2022?南京模擬）若〃?，〃是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，則下列結論正

確的是（）

A.若，"ua,"U0,a//β,則，

B.若相〃a,則aJ_0

C.若a_Lβ,a∩β=m,mVn,則“J_p

D.若膽_L",，〃_La,則“〃B

【考點】空間中直線與平面之間的位置關系；空間中直線與直線之間的位置關系.

【專題】整體思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；直觀想象.

【分析】由兩平行平面內兩直線的位置關系判定A；由直線與平面平行的性質及直線與

平面、平面與平面垂直的判定判斷8；由平面與平面垂直的性質判斷C；由直線與直線、

直線與平面垂直分析線面關系判斷D.

【解答］解：若"?UCt,"uβ,a∕7β,則機〃〃或機與"異面，故4錯誤；

若機〃a,則a內存在直線“，滿足"〃機，又加_L0,.?.“?Lβ,可得a_L0,故B正確；

若a_L0,a∏β="3mVn,則"uβ或"〃p或"與β相交，相交也不一定垂直，故C錯

誤；

若/w_L”，，w_La,m_LB，則”U0或N〃0,故。錯誤.

故選:B.

【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判定，考查空間想象能力

與思維能力，是基礎題.

4.(2022春?許昌期末)如圖，在長方體ABa)-A向Clz)I中，M,N分別為棱CR,CCl

的中點，下列判斷中正確的個數為()

①直線BlM工BN；

②月。，平面CDD∣Ci;

③BN〃平面AOM.

A.0B.IC.2D.3

【考點】空間中直線與直線之間的位置關系；直線與平面平行；直線與平面垂直.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何；數學運算.

【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標，利用向量的運算結合數量積的含義

即可判斷①③，根據長方體的性質可判斷②.

【解答】解：設長方體棱長為A8=2α,AD=2b,AAI=2c,(a>0,fc>O,c>0),

以。為坐標原點，DA,DC,分別為X,y,z軸建立空間直角坐標系，

則B?(2b,2a,2c),M(O,a,2c),B(2b,2a,O),N(O,la,c)>

故B1N=(-2b,-a,O),BN=(-2b,O,c)

B1M-BN=(-2b,-a,O)?(-2b,O,l)=4b^≠O)

故直線BN不成立，①不正確;

在長方體ABCD-4BelZ)I中，A。_L平面CZ)Z)IC1，②正確;

因為Ui=(-2b,a,2c),DA=(2b,O,0)，

設平面A。M的法向量為W=(χ,

n*DA=2bx=0

令y=c,則Z=-I■，則n=(0，c,—1-)>

而而=(-2b,O,c),故BNF=(-2b,O,c)-(O,c,--∣-)=-?-≠o,

故BN〃平面ADM.不成立，故③錯誤，

故選:B.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題.

5.(2022春?楊浦區(qū)校級期末)小明同學用兩個全等的六邊形木板和六根長度相同的木棍搭

成一個直六棱柱ABCDEF-Aι8∣C∣OIEIFI,由于木棍和木板之間沒有固定好，第二天他

發(fā)現這個直六棱柱變成了斜六棱柱A8CE>EF-A山IClGElF1，如圖所示.設直棱柱的體

積和側面積分別為■和S],斜棱柱的體積和側面積分別為於和S2,則().

S1S2

S1S2

D.上Lijb的大小關系無法確定

Sls2

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；數學運算.

【分析】利用空間幾何體的體積與表面積的公式，以及空間幾何體的性質可求解.

【解答】解：設兩個全等的六邊形木板的邊長之和為“，直棱柱的高為〃，斜棱柱的高為

h',

則W=S底?〃，W=S底?〃，

當變?yōu)樾崩庵鶗r，h'<h,斜棱柱的側面全是平行四邊形，每個平行四邊形邊長都沒有

變，

但高都發(fā)生了變化，有的四邊形有原先的矩形，變?yōu)榱似叫兴倪呅危械目赡苓€是矩形,

是平行四邊形時，平行四邊形的高大于等于斜棱柱的高，

的％S底hs底V2S底h'S底?h'

Sja*haS?aihi+a2h2+B，，+a6^6（%+a?+…+%）h,

S底

??f

a

故2*

S2S1

故選：A.

【點評】本題考查空間幾何體的性質，考查空間幾何的體積公式與表面積的計算，屬中

檔題.

6.（2022春?梅州期末）已知圓錐的側面展圖為一個半圓，則該圓錐內半徑最大的球的表面

積與圓錐外接球的表面積之比為（）

A.1：9B.1：8C.1：4D.1：3

【考點】球的體積和表面積.

【專題】轉化思想；綜合法；立體幾何；球；邏輯推理；直觀想象；數學運算.

【分析】設圓錐的底面圓的半徑為〃高為人母線長為/,由圓錐的側面展圖為一個半

圓得∕=2r,又該圓錐內半徑最大的球即為圓錐的內切球，作出圓錐的軸截面SA8,根據

對稱性知圓錐的內切球與外接球的球心O即為等邊三角形SAB的中心，則O到等邊三角

形SAB的各邊中點的距離即為圓錐的內切球半徑r?,O到等邊三角形SAB的各頂點的距

離即為圓錐的外接球半徑從而可得兩球的半徑之比，最后得兩球的表面積之比.

【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r,高為〃，母線長為/,

???圓錐的側面展圖為一個半圓，

.二；二=兀,：.l=2r,Λ?=√3r-

.?.圓錐的軸截面為等邊三角形，

又該圓錐內半徑最大的球即為圓錐的內切球，

如圖，作出圓錐的軸截面SAB,設等邊三角形SAB的中心點為0,

則0到等邊三角形SAB的各邊中點的距離即為圓錐的內切球半徑r?,

0到等邊三角形SAB的各頂點的距離即為圓錐的外接球半徑n,

設SB的中點為￡則RtZ?S0E中NOSE=30°,OE=r?,OS=∏,

rlOE.O1

—=T^^=sιnQ3Λ0=-z

r2OS2

Sr

.?.兩球的表面積之比一L=（-L）2上1,

$2r24

故選：C.

【點評】本題考查圓錐的內切球與外接球問題，考查圓錐與球的對稱性，弧長公式，考

查空間想象力，屬中檔題.

7.（2022春?江岸區(qū)期末）已知正方體ABCBICIOi,的棱長為2,點M為線段CCl

（含端點）上的動點，AML平面α.下列說法正確的是（）

CM

A.若點、N為DDl中點，當AM+MN最小時,西=2√2

B.當點M與。重合時.若平面a截正方體所得截面圖形的面積越大，則其截面周長就

越大

C.直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為哈多

D.若點”為CCl的中點，平面α過點B,則平面α截正方體所得截面圖形的面積為9

2

【考點】棱柱的結構特征；平面的基本性質及推論.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；數學運算.

【分析】利用展開圖判斷A,M,N三點共線，進而利用相似三角形判定選項4通過兩

個截面的面積不相等且周長相等判定B；直線AB與平面a所成角的正弦值，即為直線

48與平面a的垂線AM所成角的余弦值，通過AM的取值范圍，判斷C：利用空間垂直

的轉化可以得到平面a與正方體的截面為BDEF,其中E為A∣D∣的中點，F為BiAi的

中點，判斷其為等腰梯形，進而計算其面積，從而判斷D

【解答】解：對于A,將矩形ACCl4與正方形CGUD展開到一個平面內，如圖，

若AM+MN最小,則A、M、N三點共線，

；CCi/∕DD?,；.螞=嘈=2-√2,

DNAD2√2+2

.?.MC=(2-√2)DN=2一&CCi,

2

.?.」￡_=21返_=1-Y?,故A錯誤；

CC122

對于B,當點M與點CI重合時，連接Al。、BD、AiB.AC,AC?,如圖,

在正方體ABCD-AiBiClQl中，CCI_L平面ABa),

BPc5FffiABCD,ΛBD±CC∣,

?'BD±AC,且ACnCCl=C,,BC平面ACCι,

VAC∣?5FffiACCi,.?.BD1AC?,

同理可證4DL4C∣,

,：AiDΓ?BD=D,.,.AC平面480,

由題意知AAiBD是邊長為2√］的等邊三角形，

其面積為SAARn=aX(2√2)2=2√3-周長為K歷*3=6收，

????IJV4

設E,F,Q,N,G,H分別是AID1,A?B?,BBi，BC,CD,的中點，

由題意知六邊形EFONGH是邊長為&的正六邊形，且平面EFQNGH〃平面AiBD,

正六邊形EF。NGH的周長為6&,面積為6X近X(√2)2=3ν3?

6

則44BO的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等，故B錯誤；

對于C,直線AB與平面α所成角的正弦值，

即為直線AB與平面a的垂線AM所成角的余弦值，即cosZBAM,

如圖，連接

在正方體中，AB±￥?BCCi,BMU平面8CG，J.ABLBM,

在RtZ?4BM中，CoSNBAM=-^-t

AM

點M為線段CCl（含端點）上的動點，故ACW4MWACι,B[J2√2<M<2√3>

.?.COS/BAM=地曰亞，—]>

AM23

.?.直線AB與平面a所成角的正弦的取值范圍為［Y2,α］,故C錯誤;

23

對于力，取OG中點M連接MN,AN,則MN〃C￡>,

設平面a與側面A。ClAI的交線為OE,E為平面a與DMi的交點,

：CCJ_平面AOO1A1,J.CDLDE,：.MNLDE,

平面α,OEU平面a,/.AMIDE,

YMNCAN=N,.?.OEJL平面AMMJ.DE±AN,

又在正方形ADDIAl中N為。5的中點，...E為AIG的中點，

設平面a與側面ABBiAi的交線為DF,F為平面a與BiAi的交點，

同理得尸為BNi的中點，連接EF,得到截面為BDEF,

22=

BA）=√4+4=2√2>EF=yJ1+1=√2-DE=BF=^ββ1+B1F√4+l=Vδ>

.?.截面8DE廣為等腰梯形，

CBD-B1D1

底邊上的局為〃=JDE2-(...1~-

...截面BDEF的面積為S=/×（√2+2√2）X考Z=故。正確.

故選：D.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎

知識，考查運算求解能力，是中檔題.

8.（2022春?豐臺區(qū)校級期末）已知直三棱柱ABC-4B∣Cι的六個頂點都在球。的表面上,

若AB=1,BC=2,NABC=60°,44=3,則球。的體積是（）

A25兀B25兀C13后冗DI?兀

6-3-6,6

【考點】球的體積和表面積.

【專題】計算題；對應思想；分析法；球；數學運算.

【分析】易得ACLA8,將三棱柱ABC-A4∣C∣補全為長方體，再根據長方體的體對角

線即為其外接球的直徑，求出外接球的半徑，再根據球的體積公式即可得解.

【解答】解：在aABC中，AB=?,BC=2,ZABC=GOo,

則AC=VAB2+BC2-2AB-BCcos60°=J1+4-2×1×2×y=√3，

則AC2+AB2=BC2,所以AClAB,

如圖將三棱柱ABC-AIBlCI,補全為長方體，其長，寬，高分別為我，1,3,

1+3+9

則外接球的半徑r=^=2?φ-,

3

所以球O的體積是匡πR=曲值冗.

36

【點評】本題考查球的體積，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2022春?長沙縣期末）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）

B.AF與CN垂直

C.CN與BE是異面直線D.CN與成60°角

【考點】異面直線及其所成的角；異面直線的判定：空間中直線與直線之間的位置關系;

表面展開圖.

【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理.

【分析】把平面展開圖還原原幾何體，再由棱柱的結構特征及異面直線定義、異面直線

所成角逐一核對四個命題得答案.

【解答】解：把平面展開圖還原原幾何體如圖:

由正方體的性質可知，BM與Ez）異面且垂直，故A錯誤；

易得EB〃CN,又EBLAF,所以AFLCN,故8正確.

CN與BE平行，故C錯誤；

連接BE,則8E〃CMNEBM為CN與BM所成角,連接EM,可知EM為正三角形,

則/EBM=60°,故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查異面直線，直線與平面的位置關系，幾何體的折疊與展開，屬基礎題.

（多選）10.（2022春?湖北期末）已知三棱錐尸-ABC,PA=PB=PC,zλABC是邊長為2

的正三角形，E為∕?中點，PBVCE,則下列結論正確的是（）

A.PBLAC

B.異面直線CE與A8所成的角的余弦值為叵

C.CE與平面48C所成的角的正弦值為15

D.三棱錐P-ABC外接球的表面積為6n

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何；數學運算.

［分析］對于A：取AC的中點F,連接PF,BF,證明出ACl面PBF,即可得到AC±

PB；對于8、C：先證明出尸PBLPC,PCYPA,可以以P為原點，p?,pβ,pɑ

為XyZ軸正方向建立空間直角坐標系利用向量法求解；對于。：把三棱錐P-ABC補形為

正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球，即可求解.

【解答】解：對于A：

在三棱錐P-A8C,PA=PB=PC,Z?A8C是邊長為2的正三角形，取AC的中點F,連

接P凡BF,則4C_LPF,AClBF,

又PFCBF=F,所以ACJ_面28尸，所以ACJ_PB,故A正確；

P

對于8：因為ACJPBLCE,AC∩CE=C,所以尸8，面∕?C,所以尸8L∕?,PB

LPC,

在三棱錐P-ABC,PA=PB=PC,Z?ABC是邊長為2的正三角形，所以三棱錐P-ABC

為正三棱錐，所以尸CL∕?,

所以PA=PB=PC=&，

可以以P為原點，直，7B,正為孫Z軸正方向建立空間直角坐標系，

P(0,0,0),A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(0,0,√2),E(竿，0,0)

所以標=(3,√2.0).≡=(2y-.0,-√2)^

設異面直線CE與AB所成的角為θ,θ∈(0,,則

I瓦?況I=∣-ι+o+?I=√Iδ

cosθ=Icos*CAB，CE)I=

IABlXICEl.2+2+0X祗+0+210

即異面直線CE與AB所成的角的余弦值為逗，故B錯誤;

10

對于C：AB=(-√2,√2,O),AC=(√2,O,√2),

AB?n=-V2x+V2y+0z=0-r.4..n,

設平面ABC的一個法向量為W=(χ,yjz＞則，,→',不妨設X

AC?n=-V2x+0y+V2Z=O

=1，則TI=(1,1,1)，

設CE與平面ABC所成的角為B,B∈(0,?］，則

況I∣-y-+0-√2I

SinB=ICosC，CE〉I=

ι∏ι×ι≡?！苔印莦τ×

即CE與平面ABC所成的角的正弦值為H,故C錯誤.

15

對于D：把三棱錐P-ABC補形為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球,

故選：AD.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題.

（多選）11.（2022春?福州期末）如圖，設E,F分別是長方體ABCQ-4B1C∣Q1的棱Cn

上的兩個動點，點E在點F的左邊，且滿足2EF=DC=1^B0有下列結論（）

A.BiOL平面B?EF

B.三棱錐。LBiEF體積為定值

C.AIA〃平面BIEF

D.平面AiAODiJL平面BlEF

【考點】平面與平面垂直.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；數學運算.

【分析】根據線面位置關系、面面位置關系判斷命題①③④，由棱錐體積公式判斷②.

【解答】解：由題意BiQ與￡>iG不垂直，而E尸〃ClO1，

.?.81Dl與E尸不垂直，；.BiOL平面BiEF是錯誤的，故A錯誤;

對于B,L禺EF=VB「D,EF,三棱錐限。聲中'平面。呼即平面血￡,

Bl到平面CDDiCl的距離為BiCi是定值，Z?O∣EF中，EF的長不變,

Q到EF的距離不變，面積為定值，.?.三棱錐體積是定值，故B正確；

對于C,平面BlEF就是平面Bι4OC,而AAI與平面BiAiOC相交，故C錯誤;

對于D,長方體中CD-L平面A?D?DA,C￡>u平面B?A?DC,

平面A∣OlD4"L平面BIAlDC,即平面4AOD∣J"平面BIE/，故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查命題真假判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知

識，考查運算求解能力，是中檔題.

（多選）12.（2022春?河南期末）壇子是我們日常生活中耳熟能詳的生活用品，一般指用

陶土做胚子燒成的用來腌制菜品或盛放物品的器物.如圖，某壇子的主體部分（壇身）

可以看作是由上、下兩個同底的圓臺燒制而成的，其中BE=IAF=ICD=Idm,BC=IAB,

且該壇子的容積為10.5π升-，則（）

注：若圓臺的上、下底面半徑分別為r,R,高為h,母線為I,則圓臺的體積

Kh(r2+R2+rR),側面積S=π∕(R+r)?

A.下圓臺的體積為7口升

B.下圓臺的表面積(含上下圓臺同底的部分)為出/五兀dm2

C.直線E尸與圓臺底面所在平面所成的角為60°

D.若在該壇子內封裝一個圓柱，則圓柱的側面積最大為9π而?(不考慮能否放入和容器

厚度)

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉體(圓柱、圓錐、圓臺).

【專題】數形結合；綜合法；立體幾何；數學運算.

【分析】由已知結合幾何體的體積求得AB,BC,再求出下圓臺的體積與表面積判斷A

與B；直接求出直線EF與圓臺底面所在平面所成的角的大小判斷&求出圓柱側面積的

最大值判斷D

【解答】解：由圓臺的體積公式可得,

22

該壇子的容積v]ττ?AB?(AF2+AF?BE+BE2)÷∣-π?BC?(CD<D?BE+BE)=

10.5πd∏P,

?/BE=IAF=2CD=2dm,BC=IAB,

.?AB=I.5dm,BC=3dm.

工下圓臺的體積為工兀?BC?(CD2-CDwBE+BE2)=7^^3,故A正確；

3

DE=√l2+32=√10dir

...下圓臺的表面積為Tr(CD2+CD?DE+BE?DE+BE1)=(5+3√Iθ)冗揄3,故B錯誤;

由圖可知，直線E尸與圓臺底面所在平面所成的角為NFEB,

則tanNFEB=AB上盤，故C錯誤；

BE-AF102

設該圓柱的底面半徑為，，則圓柱高∕ι=AC-Cr-CD)tanZBED-(∕?-ΛE)tanZFEB

3Q

=4.5-3(r-l)-?(r-l)=9^?r,

圓柱側面積S=2π√%=9π(2r-J)≤9π(2×1-1×1)=9π<?n2,故O正確.

故選：AD.

【點評】本題考查旋轉體的結構特征，考查圓臺體積與側面積的求法，考查運算求解能

力，是中檔題.

三.填空題（共4小題）

13.（2022春?泉州期末）在棱長為3的正方體ABCD-AlBleI5中，點E,F分別在棱AB,

BC上，BE=BF=X,點G,”為棱OG上的動點.若平面EFG〃平面AC”，而=海,

貝I］入=3.

-2-

【考點】平面與平面平行.

【專題】計算題；對應思想；分析法；空間位置關系與距離；數學運算.

【分析】建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，再利用W”：，求出入即可.

【解答】解：以A為原點，AB,AD,A4所在直線分別為X,y,z軸，建立坐標系，如

圖所示：

則A(0,0,0),E(2,0,0),F(3,1,0),C(3,3,0),D(0,3,0),

設G(0,3,f),由而=λ而可得H(0,3,，

1÷λt)

設平面ACH的一個法向量為

tII入

,

n=(x,y9z),AC=(3,3,O)9AH=(0,3、［十六t)

令y=7,則［=(1,-1,W￥”:)；

?t

設平面EFG的一個法向量為1=(a,b,c),EF=(1,1,0),而=(-2,3,t>

ta=-b

π,lfmAC=a+b=0

則_____,即《2a~3b,

mfcAH=-2a÷3b+tc=0C=~t-

令6=-1，則。(1,-1,5?

因為平面EFG〃平面ACH,

所以n"IT，

所以5=3(l+λ),即3(l+λ),解得人=旦，

tλt'λ2

故答案為：3.

2

【點評】本題考查面面平行，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

14.(2022春?汕頭期末)佩香囊是端午節(jié)傳統習俗之一.香囊內通常填充一些中草藥，有

清香、驅蟲、開竅的.因地方習俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色

色，玲瓏奪目.圖1的平行四邊形ABCn由六個邊長為1的正三角形構成.將它沿虛線

折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊.那么在圖2這個六面體中內切球半徑為

?,體積為宜出兀,

9——729—

【考點】球的體積和表面積.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；數學運算.

【分析】首先利用轉換關系，把平面圖形轉換為直觀圖.進一步利用兩個同底且棱長都

為1的正三棱錐構成的幾何體求解.

【解答】解：如圖所示：

易知該幾何體是側棱長為1,以邊長為1的等邊三角形4ABO為底的兩個正三棱錐組成,

。為AABO的中心，即內切球的球心，M為私的中點，連接HM,

作ONLHM,則ON為內切球的半徑，

因為C）M=HM=^~,HO=VHM2-OM2=?γ~,

所以SAOT奪小0后壓印6‘

所以內切球的半徑為R=ON=里%=近，

HM9

內切球的體積為y=ATTR3二兀，

3729

故答案為：?,固也兀.

9729

【點評】本題考查的知識要點：平面圖形和直觀圖之間的轉換，球的半徑的求法，球的

體積公式的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題.

15.（2022春?豐臺區(qū)校級期末）如圖，等腰梯形ABCo沿對角線AC翻折，得到空間四邊

形。IABC,若BC=CO=DA=LlB=I,則直線A5與BC所成角的大小可能為90°

2

（只需寫出［60°,90°1內的角度即可）.（寫出一個值即可）

【考點】異面直線及其所成的角.

【專題】計算題；轉化思想；分割補形法；空間角：直觀想象；數學運算.

【分析】由題意，補全等腰梯形ABC。為正三角形A8E,則直線AoI與與BC所成角的

大小為直線AE與BC所成角，再根據線線角的范圍求解即可.

【解答】解：由題意，補全等腰梯形ABCO為正三角形A8E,則直線AZ）I與BC所成角

的大小為直線AE與BC所成角，

易得當等腰梯形ABC。沿對角線AC翻折時，AE的軌跡為以A為頂點，AC為高的圓錐

側面，

設NBCF=90°,在CF上取G使得EG〃BC,則直線AQl與BC所成角即NAEG,故

EG

COSNAEG?T

AE

因為AE=2,EGC[O,1],故CoSNAEGE[O,?].

故NAEGe[60°,90°],

故只需寫出[60°,90°]內的角度即可，如90°,

故答案為：90°（只需寫出[60°,90°]內的角度即可）.

【點評】本題考查了異面直線所成角的范圍問題，屬于中檔題.

16.(2022春?瓊海校級期末)已知三棱錐A-BCC中，平面ABO，平面BCZ),BCVCD,

BC=CD=2,AB=AD=√6.則三棱錐4-BCO的外接球的體積為_9兀_.

-2-

【考點】球的體積和表面積.

【專題】轉化思想；綜合法；立體幾何；球；邏輯推理；直觀想象；數學運算.

【分析】先根據對稱性找到三棱錐A-8C。的外接球的球心位置，再通過已知條件建立

球的半徑的方程，再求出球的半徑，最后代入球的體積公式即可求解.

【解答】解：如圖，取3。的中點E,連接AE,?.FB=AD,

.".AELBD,又平面48。_L平面BCD,

又ΛE?jPffiABD,平面ABorl平面BCD=BD,

；.AE_L底面BCD,

又8C_LC￡>,BC=CD=2,：.BD=Mi，

又E為BO中點，：.EB=EC=ED=近,

在AE上取點。使得OA=OB,又易證RtΛθBE^Rt?OCE^Rt?ODE,

：.OA=OB=OC=OD,

點0即為三棱錐A-BCD的外接球的球心，外接球的半徑R=OA=OB=OC=OD,

又AB=AD=&，EB=M,.*.Λf=5y?β2-βg2=√β-2=2-

在RtAOfiE中由勾股定理可得EB2+EO2=OB1,

.?.2+(2-R)2=爐，.?.R=2，

2

二三棱錐A-BCD的外接球的體積為《■兀R3=9X兀X3)3=_|_兀,

3322

故答案為：旦兀.

2

【點評】本題考查三棱錐的外接球問題，空間想象力，球的體積公式，屬中檔題.

四.解答題（共6小題）

17.（2022春?雙流區(qū)期末）如圖，三棱錐P-ABC中，等邊三角形APBC的重心為O,Z

BAC=90o,AB=AC=2,∕?≈2√3?E,F,M分別是棱BC,BP,AP的中點，。是線

段AM的中點.

（I）求證：M?！ㄆ矫?。EF；

（II）求證：平面OEF_L平面PBC.

【考點】平面與平面垂直；直線與平面平行.

【專題】證明題；轉化思想：綜合法：空間位置關系與距離；數學運算.

【分析】（/）由己知可得更=F范=2,可得OM〃￡>E,可證M?！ㄆ矫妗F；

OEDM

（//）利用余弦定理可得OM,可證OM_LPE,進而證明平面RIE_L平面尸8C,可證OM

，平面P8C,可證平面。E凡L平面P8C.

【解答】證明：（/）連接PE,則。在PE上，且弛=2,

OE

M是AP的中點，￡>是線段AM的中點.目?=2,

DM

..&=更=2,：.OM//DE,

OEDM

：OMC平面Z)EF,DEc5FffiDEF,MO〃平面QEa

(〃)VZBAC=90o,AB=AC=2,ΛBC=2√2,