2023-2024學(xué)年北京宏志中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2023年北京宏志中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解

析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知某幾何體的三視圖如左下圖所示，其中，正（主）視圖，側(cè)（左）視圖均是

由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何

體的體積為（）

正（主》視圖'側(cè)（左）視圖”

俯視圖?

參考答案:

2.閱讀程序框圖，執(zhí)行相應(yīng)的程序，若輸入x=4,則輸出y的值為（)

A.1B._3C.5D.13

-2-4-4-~8

參考答案:

C

3.（5分）在AABC中，AB=2,BC=1.5,ZABC=120°（如圖），若將AABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)

一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（）

參考答案：

A

考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題.

專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：大圓錐的體積減去小圓錐的體積就是旋轉(zhuǎn)體的體積，結(jié)合題意計(jì)算可得答案.

解答：依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐,

所以0A=J5,OB=1

-n-(73)2,(OC-OB)—

所以旋轉(zhuǎn)體的體積：3=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐的體積，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

4.△ABC的內(nèi)角AB,4的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA-Z?sinB=4csinC,cosA=—

1*

4,貝ijc=

A.6B.5C.4D.3

參考答案：

A

【分析】

利用余弦定理推論得出a,b,c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得由余弦定理推論可得

短

12K2bc故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用.

5.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+l的定義域?yàn)閇1,5],則函數(shù)f(2x-3)的定義域?yàn)?)

A.[1,5]B.[3,11]C.[3,7]D.[2,4]

參考答案:

D

【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法.

【分析】由題意知1W2X-3W5,求出x的范圍并用區(qū)間表示，是所求函數(shù)的定義域.

【解答】解：???函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,5],

.?.1W2X-3W5,解得2WxW4,

...所求函數(shù)f(2x-3)的定義域是[2,4].

故選D.

6.二次函數(shù)y=ax?+bx與指數(shù)函數(shù)y=(I)*的圖象只可能是()

參考答案:

A

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸首先排除B、D選項(xiàng)，再根據(jù)a-b的值的正負(fù)，結(jié)合二次

函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)度占可知a,b同號(hào)且不相等

b

則二次函數(shù)yuax'+bx的對(duì)稱軸2a<0可排除B與D

卜

選項(xiàng)C,a-b>0,a<0,a>l,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，故C不正確

故選：A

7.與一463。終邊相同的角可以表示為(左ez)

Ai360T+463*B*360*M(B-

C*360*+257D*3?r-257

參考答案：

C

【分析】

將一463。變形為h3&r+a(aH(rJ609X*sZ)的形式即可選出答案.

【詳解】因?yàn)?=，2X360T?W,所以與一463。終邊相同的角可以表示為

1360-+257,故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了與一個(gè)角終邊相同的角的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知集合”=(+3<xS5},AT={x|-5<X<1},則(gAf)c"等于

()

A或x>5)B.{x|-5<x<-3}

c{x|-5<x^-3}D.{"|x<l或

參考答案：

c

略

J

/W=logl(x-2x-3)

9.函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—oo?+co)B.(—8,1)C.(3,+oo)D.(l,+oo)

參考答案：

C

【分析】

先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由/一*3=任*1)任-3)>0,解得x<-l或x>3.當(dāng)x<-l時(shí)，

，=丁一》3為減函數(shù)，而/任)的底數(shù)為分，所以Si)為增區(qū)間.當(dāng)工>3時(shí)，

，=/_益―為增函數(shù)，而的底數(shù)為,所以

3為減區(qū)間.故本小題選C.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法，考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基

礎(chǔ)題.

10.已知tana=3,貝ij2sin1a+4smacosa-9cos2a的值為

()

J_|

A30B.3

21

C.ioD.3

參考答案：

c

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知等差數(shù)列，=3.，=2Ld=Z則n=.

參考答案：

10

試題分析：根據(jù)公式，，=，+(mT)d,將“工””」一代入，計(jì)算得n=io.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

12.已知幕函數(shù)的圖象過點(diǎn)口2點(diǎn))，則〃9)=.

參考答案：

__3

設(shè)幕函數(shù)為〃x)-L,由于圖象過點(diǎn)(X2應(yīng))，得7-2'回，.?/=3

...加=9二后

13.已知平行四邊形癡。。，則冠CD+ACDB+ADBC=

參考答案：

o

14.函數(shù)的最小正周期為

參考答案:

71

【分析】

_2”

利用y=d3（?K'.）的最小正周期H,即可得出結(jié)論.

/（x）-3coB（2x+y1—=JT

【詳解】函數(shù)I的最小正周期為2

故答案為次.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.的最小正周期

-2n

為同

15.已知函數(shù)/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①/@=o；

②若/（X）在【0，+8）上有最小值-1,則/仁）在上有最大值1；

③若/（X）在□，+8）上為增函數(shù)，則/（X）在（-叱-1］上為減函數(shù)；

④若X>。時(shí)，/（X）=xa-2x,則X<0時(shí)，/（X）=-Xa-2x.

其中正確結(jié)論的序號(hào)為;

參考答案：

①②④

16.若關(guān)于x的方程49+2ax+1=0至少有一個(gè)負(fù)根，則a的取值范圍是一

參考答案：

同"<OxSiai1J?

略

17.函數(shù)f（x）=2'+a?2r是偶函數(shù)，則a的值為

參考答案：

1

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(x)=2*+a?2r是偶函數(shù),

f(-x)=f(x),

即f(-x)=2-JI+a?2x=2x+a?2x,

則(27-2")=a(2-x-2x),

即a=l,

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本小題滿分14分)設(shè)直線,1J=2x與直線交于F點(diǎn).

(1)當(dāng)直線用過F點(diǎn)，且與直線4：1-2)，=0垂直時(shí)，求直線附的方程；

(2)當(dāng)直線加過P點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)°到直線力的距離為1時(shí)，求直線制的方程.

參考答案：

y^2x

解：由1x+y=3,解得點(diǎn)

尸(12)...............2分

,_119

”及一工一

(1)因?yàn)樾_/。，所以直線耀的斜率2,...............4

分

又直線那過點(diǎn)尸(⑵，故直線冽的方程為：了-2=-2卜—1),

即2x+，-4=0................6分

(2)因?yàn)橹本€耀過點(diǎn)當(dāng)直線，"的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線制的方程為

y-2=k(x-]),即

H-y"+2=0.........ks5

u…7分

所以坐標(biāo)原點(diǎn)°到直線耀的距離JX+1，解得4,............9分

33

-x-V--+2=0o<一勺八

因此直線棋的方程為：44,即"-4>+>=U..............10分

當(dāng)直線冽的斜率不存在時(shí)，直線加的方程為X=l,驗(yàn)證可知符合題意.……13分

綜上所述，所求直線加的方程為1=1或3*_4了+1=0...................14分

略

19.(滿分10分)設(shè)了③1是定義在I-1』上的函數(shù)，且對(duì)任意a,當(dāng)

4-“0時(shí)，者"有a-b.解不等式.習(xí)

參考答案：

一[八*">0

因?yàn)閷?duì)任意a,叱[-1同，當(dāng)a-bwO時(shí)，都有a-b,

所以函數(shù)/(X)在[T』上是增函數(shù),

xa-3<x-l

'-l￡?-3￡l

所以

解得xe[&.2)

20.如圖所示，四邊形。4PB中，OA^OBrPA^PB^W,ZPM^ZLPBO

/

一6設(shè)NRM=a,&??的面積為S.

(1)用。表示。4和0B；

(2)求兒《?面積s的最大值.

參考答案：

"。當(dāng)陪上初a?g型出

(1)ana^cosa,2；4a+cosa,2(2)4

【分析】

APOP

(1)在△AO尸中，由正弦定理得sina-siiL〃"O,zYBOP中，由正弦定理得

BPOP

.(n_[sinZTWO-,一八x

12),用a表示AP和BP,由條件可得3,由正

弦定理可得。4和。8;(2)用OA,0B表示出△A08面積S,令尸sina+cosa,構(gòu)造關(guān)

于，的函數(shù)，求出最值.

APOP

【詳解】(1)在A4QP中，由正弦定理得甚GsmZPAO

BPOP

.(<SMLZ7?(7

ml—a,I

在ABOP中，由正弦定理得12J

AP10-JP

因?yàn)椤?+口=1。，所以sinacosa,

1<tota10cosa

〃=_1』_^=10_--=-.

則ana\cosa,sis<Z4cosasinaicosa.

ZPAO-

因?yàn)樗倪呅蜵d達(dá)內(nèi)角和為2”,可得3,

APOA

在AM尸中，由正弦定理得疝《。OBZAPO,

HPOBBPOB

在AB。尸中，由正弦定理得—/><?尸疝nNAR?即matiskZJtPO,

10

A。

(2)4鬣泗的面積2analoosaanaicosa

50sinai-I-cosa-—IC1

xma瓦?a?Q-

I22)[22

(sina.cosa)

—瓦■a?n一an〃da

=50x^---------------彳

(sina+cosa)

f=^an|a*-

設(shè)"Gna+ma,IV'」

S=50料_勺(----f----=SJ0l-.

則2

「aJ2sd(2-⑹/op/

當(dāng)時(shí)，即4時(shí)，S有最大值44

50-25—

所以三角形。4月面積的最大值為'―4一.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和面積公式的應(yīng)用，考查換元法求最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想和

計(jì)算能力，屬中檔題.

21.設(shè)a,bGR且aW2,函數(shù)l+2x在區(qū)間(-b,b)上是奇函數(shù).

(I)求ab的取值集合；

(II)討論函數(shù)f(x)在(-b,b)上的單調(diào)性.

參考答案：

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【分析】(I)根據(jù)奇函數(shù)的定義，由f(-X)+f(x)=0結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得a

的值，根據(jù)函數(shù)的解析式，分析使式子有意義的x的范圍，進(jìn)而可得b的取值范圍，進(jìn)而

得到ab的取值集合；

(II)任取Xi,x?e(-b,b),且xi<xz,分析出f(xz)與f(xi)的大小，進(jìn)而根據(jù)

函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù)f(X)在(-b,b)上的單調(diào)性

f(x)=lgl+ax

【解答】解：(I)函數(shù)%+2x在區(qū)間(-b,b)內(nèi)是奇函數(shù)

，對(duì)任意x￡(-b,b)者B有f(-x)+f(x)=0,

22

]gLax1+ax

S1S

1-2X+I+2X=—4X2=O

即1-4x2

即aljdx，此式對(duì)任意x?(-b,b)都成立

：.a=4

又：aW2,/.a=-2

1+ax