內(nèi)蒙古2023屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學（文）試卷(含答案)

內(nèi)蒙古2023屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學(文)試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、已知集合4={x∣x<3},B={%∣2-x<l},則AB=()

A.{x∣l<x<3}B.{x∣x<l}C.{x∣x<3}D.0

2、若復數(shù)Z滿足±=2i,則z=()

2-i

A.2-4iB.-2+4iC.2÷4iD.-2-4i

3、在AABC中，內(nèi)角A,B,。所對應的邊分別是mb,C若b=4α,3=60。，則

SinA=()

G

1BC1

A.-88一4-

4、已知向量∣α∣=2,S∣=l,且∣α-3W=√7,則向量α,5的夾角是()

2π

A.史C.—

63

5、已知函數(shù).=3sin3+e)的圖象關于直線“守稱.則⑷的最小值是()

兀2π

AA.—C.—

643吟

6、在直三棱柱ABC-ABe中，A4BC是等邊三角形，A?=2AB,D,E,尸分別是

棱用G，CC1,AA的中點，則異面直線BE與OE所成角的余弦值是()

A.姮「

c√.i-o-

75

7,某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9,8.7,9.3,x,y已知這5名

參賽選手的得分的平均數(shù)為9,方差為0.1,則∣x-y∣=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

8、設函數(shù)/(x)的導函數(shù)為尸(X),若/(x)在其定義域內(nèi)存在％,使得

/(x0)=r(??),則稱/U)為“有源”函數(shù).已知/(x)=InX-是有源函數(shù)，貝IJa

的取值范圍是()

A.(―co,—1]B.(—1,+oo)C.(—co,—In2—1]D.(―In2—1,÷oo)

9、如圖，這是第24屆國際數(shù)學家大會會標的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學家趙爽

的弦圖為基礎設計的.現(xiàn)用紅色和藍色給這4個三角形區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏

色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是()

10、已知/(x)是定義在[-4,4]上的增函數(shù)，且/(x)的圖象關于點(0,1)對稱，則關于X

的不等式/(2x)+/(x-3)+3x-5>0的解集為()

A.(→o,l)B.(1,4W)C.(l,7]D.(l,2]

11、已知球。的半徑為2,圓錐內(nèi)接于球O,當圓錐的體積最大時，圓錐內(nèi)切球的半

徑為()

A.√3-lB.√3+l?4(√3-l)?4(√3+l)

33

12、已知拋物線Uy2=8x的焦點為F過點/作兩條互相垂直的直線4，。且直線

4，4分別與拋物線。交于A，8和。，￡則IA31+41I的最小值是()

A.64B.72C.144D.128

二、填空題

x-y-3≤0,

13、已知實數(shù)-y滿足約束條件卜22,則z=x+y的最大值為.

y≤3?

14、已知α是第二象限角，且sin(α+%)=;,則sin(2a+1)=.

22

15、設。為坐標原點.雙曲線==l(o>0/>0)的左、左焦點分別是F∣,F,,

若雙曲線C的離心率為K，過尸2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則

附L

IOPI'

16、從商業(yè)化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”一一圖書館，建設

高水平、現(xiàn)代化、開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲.現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地，

其平面圖形如圖1所示，AC=8(百米)，建立如圖2所示的平面直角坐標系，將曲線

AB看成函數(shù)/(X)=左五圖象的一部分，BC為一次函數(shù)圖象的一部分，若在此地塊上

建立一座圖書館，平面圖為直角梯形8EF(如圖2),則圖書館占地面積(萬平方米)的

最大值為.

三、解答題

17、國際足聯(lián)世界杯(FIFAWOrIdCUp),簡稱“世界杯”，是由全世界國家級別球隊參

與，象征足球界最高榮譽，并具有最大知名度和影響力的足球賽事，2022年卡塔爾世

界杯共有32支球隊參加比賽，共有64場比賽.某社區(qū)隨機調(diào)查了街道內(nèi)男、女球迷各

200名，統(tǒng)計了他們觀看世界杯球賽直播的場次，得到下面的列聯(lián)表：

少于32場比賽不少于32場比賽總計

男球迷a+20α+20

女球迷?+40a

總計

(1)求α的值，并完成上述列聯(lián)表；

(2)若一名球迷觀看世界杯球賽直播的場次不少于32場比賽，則稱該球迷為“資深球

迷”，請判斷能否有95%的把握認為該社區(qū)的一名球迷是否為“資深球迷”與性別有

關.

參考公式：K2=--------〃儂"-"C)--------------其中〃=α+8+c+d.

(a+O)(C+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(Xi。)0.100.050.0100.001

2.7063.8406.63510.828

18、設數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且q=2,±?=3+L

aa

,,+1n

⑴求｛4｝的通項公式;

(2)若bn=-^~,求數(shù)列也,｝的前〃項和T11.

19、如圖，在四棱錐P—ABCO中，四邊形ABCO是直角梯形，ADLAB,ABHCD,

PB=CD=2AB=2AD,PD=-JlAB,PClDE,E是棱PB的中點.

⑴證明：PD_L平面ABCD

(2)若尸是棱45的中點，AB=2,求點C到平面OEF的距離.

22/T

20、已知橢圓。:左+我=1(。＞匕＞0)的離心率是千，點M(2,√Σ)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)直線/:y=履與橢圓C交于A,8兩點，在y軸上是否存在點P,使得直線∕?,PB

與X軸交點的橫坐標之積的絕對值為定值?若存在，求出產(chǎn)的坐標；若不存在，請說明

理由.

21、已知函數(shù)/(x)=e*-ar+e?-7.

(1)當α=2時，求曲線丁=/(幻在*=2處的切線方程；

7

(2)若對任意的x≥0,7(x)≥jf恒成立，求。的取值范圍.

22、［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

V*-2+?CCS∕^∕

在平面直角坐標系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為‘(。為參數(shù))，以坐標

、y=3sinα

原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程是

2夕COs，一QsinS-I=0.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(2)若直線/與曲線C交于A,B兩點，點P(O,T),求一!一+」一的值.

IPA∣?PB?

23、［選修4-5：不等式選講］

已知函數(shù)/(x)=∣x-2∣+∣x+3∣?

⑴求/(X)的最小值；

⑵若x∈[-3,2],不等式/(x)2∣x+α∣恒成立，求α的取值范圍.

參考答案

1、答案：A

解析：由題意可得6={乂x>l},則AB={x∣l<x<3}.

2、答案：C

解析：由題意可得z=2i(2T)=2+4i.

3、答案：B

解析：由余弦定理可得‘一="—,則SinA=竺叫O=?lχ正=立.

sinAsinBb428

4,答案：D

解析:因為∣α-3,∣=√7,所以(α-3b)2=α2-6α?b+9∕=4-6α?b+9=7,所以

ab=?,則CoS(a,力=-"'-=L故向量α,8的夾角是四.

?a??b?23

5、答案：A

解析：由題意可得2χ二+°=+eZ),解得夕=Zπ-工(ZGZ),則I。Imin=烏.

3266

6、答案：A

解析：取B片上靠近BI的四等分點G,連接。G,FG(圖略)，易證。G//8E,則NFDG

是直線BE與。尸所成的角(或補角).設AB=2,則。G=√Σ,DF=Jl,FG=√5,從

DG_√2_√14

DG2+FG2=DF2,即OG_LGF,故CoSNFDG

^DF~Uη~^Γ

7、答案：D

9+8.7+9.3+元+y=9x5,

解析:由題意可得<則

0+0.32+0.32+(x-9)2+(y-9)2=0.1x5,

2盯=161.68,從而(X-y>=爐+V_2封=0.64,故∣x-y∣=0.8.

8、答案：A

解析：因為/(x)=lnx-2x-α,所以/'(x)=工-2.因為/(x)是有源函數(shù)，所以

X

InX-2x-Q=工一2有角軋即Q=InX—2x-'+2有角華.設函數(shù)g(x)=In%—2x—'+2,則

XXX

/(X)=J+-V_2=_21：元+1=(2x+1?-X)由gg),0,得()<χ<ι,由/(χ)vθ,

XX"XX

得x>l,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+∞)上單調(diào)遞減，故g(x)<g⑴=-1,即

4≤-l.

9、答案：A

解析：由題意可得總的涂色方法有2"=16種，符合條件的涂色方法有2種，故所求概

10、答案：D

解析：設函數(shù)g(x)=/(X)+x7,因為/(x)的圖象關于點(0,1)對稱，所以g(x)的圖象

關于原點對稱，故g(x)是定義在［-4,4］上的奇函數(shù).因為/(x)是定義在［-4,4］上的增函

數(shù)，所以g(x)也是定義在［T,4］上的增函數(shù).由f(2x)+f(x-3)+3x-5>0,得

f(2x)+2x-l+/(x-3)+x-3-l>0,即g(2x)+g(x-3)>0,即

2x>3-X,

g(2x)>—g(x—3)=g(3—x),則<-4≤2x≤4,解得l<x<2,即不等式的解集為(1,2］.

-4≤x-3≤4,

11、答案：C

解析：設圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高為2+石二7,所以圓錐的體積

令-=∣e[0,2),則/=4一"，所以V")=gπ(4τ2卜2+t).

因為V'?)=—gπ(r+2)(3f-2),

所以V(f)在0,?∣)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以當，=2,即，=逑時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為母線長為生色.因

3333

為圓錐內(nèi)切球的半徑等于圓錐軸截面的內(nèi)切圓的半徑,

808

—X—

254(√3-l)

所以圓錐內(nèi)切球的半徑R=33

a-?-b-?-c8√2ι8√63

33

12、答案：B

解析：由題意可得E(2,0),直線4的斜率存在且不為0,設直線4：x=my+2,

A(APyJ,B(x2,y2],聯(lián)立<：+"整理得V一8∕2T6=0,則%+%=8加，

[y=8x

yly2=-16,從而IABI=Jr薪7E-刃=8"+1),同理可得|￡>E|=81'y+l],所以

2

--1-1---1-=----1--1---m---=—1

∣AB∣IDEl8(W2+1)8(∕√+l)8

∣Aβ∣+4∣D￡∣=sf-!—+—!—?∣AB?-^4?DE?)=S(^DE^+^^-+5?≥12,當且僅當

IlABI?DE?)I∣AB∣?DE?)

懦二圈’即八2,一夜時，等號成立.

13、答案：9

解析：畫出可行域(圖略)，當直線z=x+y經(jīng)過A(6,3)時，z取得最大值，最大值為9.

14、答案：-逑

由題意可得CoS/C+2]=一述

解析:則

I6)3

15、答案：V6

解析：不妨設α=l,c=?∣3,b-41,則COSNPoF)=故CoSNP。耳=——.由余

33

弦定理可得

C出、

l

?PFf=?ΘFif+?OP?-2∣O^∣?∣C>P∣?cosZ^OP=3+l-2×√3×l×--=6,則

、?>

四|=也故照=而

16、答案：—

27

解析：由圖可知，f(x)=k√7的圖象經(jīng)過點8(4,4),則/(X)=2√L

再由6(1,1),C(8,0),可知直線BC的方程為y=-x+8.

設E(X,2√7),則。(X,0),F(8-2√^,2√7),即直角梯形CDEF的面積

S=一(8—2?-%+8-?)X2y∕x=16?-2x>∕∑-2x.由題意知，S=16y∕x-2x?[x-2x,

2

0<x<4,令t=G,則S(f)=16f—2/—2/，0<r<2,則

S'(t)^l6-6t2-4t=-2(r+2)(3/-4),當f=&時，直角梯形CDEb的面積最大，最大值

3

ɑ352

為——.

27

17、答案：(l)a=80,表見解析

(2)有95%的把握認為該社區(qū)的一名球迷是否為“資深球迷”與性別有關

解析：(1)由題意可得(α+20)+(4+20)+3+40)+α=400,解得α=80?

列聯(lián)表如下：

少于32場比賽不少于32場比賽總計

男球迷100100200

女球迷12080200

總計220180400

κ2_400x(100x80-100x120)2_4004θ4

--200×200×220×180~一函~"

因為4.04>3.841,所以有95%的把握認為該社區(qū)的一名球迷是否為“資深球迷”與性

別有關.

18、答案：⑴=2〃

n

(2)7；,=

n+1

解析：(1)因為2=2+1,所以數(shù)列&是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，則

4+1a,,[an,

??,

—-=〃+1,即2=(n+l)0,l,①

a

n

故2S,χ=5+2)4+∣,②

②-①得2an+l=(〃+2)αn+1-(n+↑)an,即〃α,,+∣=(〃+l)an,

則&_=%,即數(shù)列[%]是以2為常數(shù)的常數(shù)列，

∏+1n[nJ

故2=2,即atl=In.

n

⑵由(1)可知S〃=(2+2〃)〃=〃(.+]),則a---1--------

2〃(〃+1)n〃+1

故(=4+h2+

19、答案：（1）證明見解析

⑵堂

解析：（1）證明：連接BD

因為AB=Ar>,且AB_LAT),所以8D=√D18.

因為PO=√∑4B,所以PD=BD.

因為E是棱PB的中點，所以DELPB.

因為Z)EJ.PC,PcPBU平面PBC,且PCPB=P,

所以OEJ_平面PBC.

因為BCu平面尸BC,所以OE_LBC.

由題意可得BC=8。=則BC2+8E>2=CZ)2,故BC,3Z)?

因為B￡),。EU平面PBO,且BDDE=D,所以BC，平面P8D

因為FDu平面PBD,所以BC_LPO.

因為Pz)=Br)=√∑48,PB=2AB,所以PB?=PD?+BD?,所以PDJ_BD.

因為5。,BCU平面ABC。，且3。BC=B,所以PD_L平面ABCD

（2）解：因為AD=2,CD=4,AB±AD,所以ACD/7的面積S∣=；x4x2=4.

由（1）可知PZ），平面ABC。，且PO=2√Σ,則點E到平面ABCo的距離4=及,

故三棱錐的體積K=gs&=手.

因為AB=2,所以PO=2√Σ,則PA=2√J.

因為E,尸分別是棱PB,AB的中點，所以EE=LPA=√L

2

因為ABLAZ）,且AB=AD=2,所以。/=行，BD=2短.

因為PO=8O=2√Σ,PB=4,所以DE=2.

由余弦定理可得cosZDEF=4+3』=B,則SinZDEF=—，

2×2×?J366

故△。防的面積S,=i×√3×2×^=-.

262

設點C到平面OEF的距離是d,則三棱錐C-O律的體積匕=LSzd=姮

36

因為匕=匕，所以生&=坐d,解得a=隨2.

23611

22

20、答案：⑴二+二=I

84

⑵P(0,±2)

c_T2

a2'

4?

解析：（1）由題意可得<—-+=1,解得/=8,Z?2=4.

222

c=a-b9

Y2V2

故橢圓C的標準方程為土+匕=1.

84

⑵設A(Xl,χ),B(x2,y2),P(Oj),

?y=H,

聯(lián)立fy2_整理得(2公+1卜2_8=0,

+?-=1,

8_

則X∣+%2=0,XlX2=

2?2+l

直線AP的方程為y-f=?3X,令y=0,得x=—」L

玉yi-t

直線BP的方程為y—，=上x,令y=0,得N=——

%y2-t

2222

y↑-t(y2-tJZcXlX2-kt(x,+x2)+r∣(2r-8)jt+z∣

Q≠2nf2

當/=4,f=±2時，J-——?-------r=3-=8,故存在點P(0,±2),使得直線以，PB

∣(2z2-8)?2+r∣r

與X軸交點的橫坐標之積的絕對值為定值8.

21、答案：⑴y=(e?-2)x-7

⑵(-8-7]

解析：(1)當α=2時，/(x)=e'-2%+e2-7,則/'(x)=e，—2,

從而/(2)=2e2-ll,/⑵=e2-2,

故所求切線方程為y-(2e2-ll)=(e2-2)(x-2),即y=(e2-2)x-7.

77

(2)對任意的x≥0,7(x)≥-V恒成立等價于對任意的χ≥(),e*-αx+e2-7≥-χ2恒成

44

個7_

①當X=O時，e2-620顯然成立.

②當x>0時，不等式e'-ox+e2-等價于4α≤土——”+生———

4X

4e'-7Y+4e2-284(x-l)e'-7χ2-4e?+28

設g(x