廣西南寧市2024屆數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末調(diào)研試題含解析

廣西南寧市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”（“eN*）,則關(guān)于〃的方程S"=0的解的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.1

C.無數(shù)個(gè)D.0或無數(shù)個(gè)

2.如圖，在平行六面體A3CD—4與￡口中，AB+AD-CCi=（）

C.D〔BD.DB[

3.已知直線/的一個(gè)方向向量〃=（1,2,m）,平面a的一個(gè)法向量”=（一1,—2,3）,若/La,則機(jī)=（）

A.lB.-1

C.3D.-3

4.如果雙曲線的一條漸近線方程為y=且經(jīng)過點(diǎn)（5,（）,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

222x2

A.匕-土=1ny]

169916

22

C.土-上=1u.-------1

916169

5.“x>2”是“X〉君”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

Icos3-m-sm0-3-4m|

6.當(dāng)實(shí)數(shù)。，/變化時(shí)，J-------T==-------1的最大值是（）

yjm+1

A.3B.4

C.5D.6

2

7.已知雙曲線必―三=1,過點(diǎn)P（l,l）作直線/,若/與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線條數(shù)為（）

A.lB.2

C.3D.4

8.若點(diǎn)P在曲線必+丁=忖+忖上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)p到直線x+y+2=0的距離的最大值為（）

A.2&B.2

C.72D.4

9.已知數(shù)列｛?！埃凉M足4+1-24=O（“GN*）,且q+。3+。5=13,那4+。6+。8=（）

A.19B.31

C.52D.104

10.設(shè)a,/?是兩個(gè)不同的平面，機(jī)，”是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）

A如果m_L〃，mLa,n//那么

B.如果m_L〃，m.La,n/3,那么a〃夕

C.如果機(jī)〃小mA_a,那么“〃/?

D.如果相〃小mLa,那么。JL/

11.如圖，空間四邊形045。中，Q4="，OB=b，0C=c，點(diǎn)M在Q4上，且。0=2MA,點(diǎn)N為3。中點(diǎn),

則MN=。

o

211

B.——a+—b7+—c

322

2r2{1

—a+—b——

332

sin9+3cos夕

12.若tan6=—2則)

sin<9+cos<9

B.-l

C.lD.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(%)=(%—3)"的單調(diào)遞減區(qū)間是.

14.函數(shù)/(x)=2cos1—2X+￡］,其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)/'(x),則/［彳］=

15.一個(gè)高為2的圓柱，底面周長為2不，該圓柱的表面積為.

27rTC

16.在.ABC中，B=—,C=—,a=5,則此三角形的最大邊長為.

36

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在等差數(shù)列｛4｝中，出+&=一20,前10項(xiàng)和%=—145

(1)求列｛&｝通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)歹U｛%+〃｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求｛2｝的前8項(xiàng)和

22

18.(12分)已知橢圓C：=+與=1(?！?〉0)的長軸長為2&,P是橢圓上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn),

ab'

A為橢圓C的上頂點(diǎn)，。為9的中點(diǎn)，且直線M與直線。。的斜率之積恒為-2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為"且過上焦點(diǎn)廠的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,N到y(tǒng)軸距離之和最大時(shí)，求直線/的

方程.

19.（12分）若雙曲線「一與=l（a>0,8>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2走,0）和（2&,0）,且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（3,1）

a"b-

（1）求雙曲線的方程；

（2）若b是雙曲線的右焦點(diǎn)，。是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)從。的直線/與y軸交于點(diǎn)M,且MQ+2QR=0,求直

線/的斜率

2

20.（12分）已知拋物線。：產(chǎn)=2/（夕>0）的焦點(diǎn)/與曲線E：：|_—丫2=1的右焦點(diǎn)重合.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若拋物線C上的點(diǎn)P滿足|尸耳=6,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

21.（12分）已知函數(shù)y=/—（。-2）》+4

（1）求關(guān)于x的不等式y(tǒng)之4+2”的解集；

（2）若對(duì)任意的1WXW6,y—2a+1420恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

22.（10分）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對(duì)抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得

階段性成功，國家經(jīng)濟(jì)很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計(jì)了近100天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前50

天的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.

組別分組頻數(shù)頻率

第1組[20,30)40.08

第2組[30,40)a

第3組[40,50)20b

第4組[50,60)0.32

第5組[60,70)40.08

合計(jì)501.00

4頻率

Ssf

每日接待的

顧客人數(shù)/人

0^203040506070

(1)求。、b、C的值，并估計(jì)該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；

(2)已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為104,在后50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為51、

方差為100,估計(jì)這家快餐店這100天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.(§2=,￡卜-,2F)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】利用等比數(shù)列的求和公式討論公比的取值即得.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，

當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nax,因?yàn)?。?,所以S〃=0無解，即方程S.=0的解的個(gè)數(shù)為0,

所以q=-l時(shí)，方程S“=0有無數(shù)個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)qw-l時(shí)，方程S.=0無解,

綜上，關(guān)于”的方程S.=0的解的個(gè)數(shù)為0或無數(shù)個(gè).

故選：D.

【解析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量

【詳解】

連接AC、AC，可得AB+AD=AC，又CGMM，

所以AB+AD—CG=AC—例=AC

故選：B.

3、D

【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.

12Hz

【詳解】由/La,可知“〃“，則有一=,解之得根=—3

-1-23

故選:D

4、D

然后將點(diǎn)上,：

【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程,代入，進(jìn)而求得答案.

【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=3x,所以設(shè)雙曲線方程為看-9=2（4wO）,將15,；，代入得:

259y2v2

---=2^2=1,即雙曲線方程為土-匕=1.

1616169

故選：D.

5、B

【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.

【詳解】???2（君，?,?“%>2”是“x〉”的必要不充分條件.

故選：B.

6、D

cos0-m-sm0-3-4m

【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知可以表示單位圓V+>2=1上點(diǎn)（cosHsin。）到直

vm2+1

線x—陽一3-4m=0的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.

cos0—m?sin3—3—4加|

【詳解】由題可知，J----------------------L可以表示單位圓X2+>2=1上點(diǎn)(cosasin。)到直線

yjrrr+1

%一沖一3—4m=0的距離，

Icos0-m-sm0-3-4m|

設(shè)［=---------1,-------,

\Jrn~+1

因直線為—沖—3—4機(jī)=0,即x—3+m(y+4)=0表示恒過定點(diǎn)(3,T),

故選：D.

7、D

【解析】先確定雙曲線的右頂點(diǎn)，再分/垂直X軸、/與X軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)/與X軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方

程為y-l=k(x-1),聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分2-*=0、2-公力0兩種情況討論，即可得解

【詳解】解：根據(jù)雙曲線方程可知。=1

???右頂點(diǎn)為(1,。)，使/與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)情況為：

①當(dāng)/垂直X軸時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)P(U)的直線方程為％=1,與雙曲線。只有一個(gè)公共點(diǎn)，

②當(dāng)/與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為y-1=左8-1)

y-1=k{x-V)

聯(lián)立方程］V2可得(2-k2)x2+2k(k-X)x—(r—2左+3)=0

%----=1

I2

⑺當(dāng)2-*=0即左=±0時(shí)，方程只有一個(gè)根，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),

3

(拓)當(dāng)2—左2/0時(shí)，A=4k2(1-k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)^0,整理可得4左一6=0即左=5

故選：D

8、A

【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值

【詳解】由曲線方程為￡+>2=國+N知曲線關(guān)于軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，在第一象限內(nèi)，方

程化為f+y2=x+y,即a—；)2+(y—；)2=；,在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，巫為半徑的圓在第一

象限的圓弧(含坐標(biāo)軸上的點(diǎn))，實(shí)際上整個(gè)曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸.原點(diǎn)對(duì)稱的圖形加上原點(diǎn)，

-+-+2廠

點(diǎn)A到直線x+y+2=0的距離為1223V2,

a—-----]=—=------

V22

所以所求最大值為d+立=20

2

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?M—2%=0(〃eN*),所以有4包=2,因此數(shù)列｛4｝是公比q=2的等比數(shù)列,

因?yàn)閝+/+%=13,

a3

所以。4+4+。8=\Q+。3/+a5q=+生+%）=2^x13=104,

故選：D

10、C

【解析】AB.利用兩平面的位置關(guān)系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷;

【詳解】A.如果m_L〃，mLa,n//p,那么＜z,6相交或平行；故錯(cuò)誤；

B.如果m_L〃，mA.a,nL/3,那么“，0垂直，故錯(cuò)誤；

C.如果小〃小mA_a9則〃_La,又〃那么a〃夕，故C正確；D錯(cuò)誤,

故選:C

11、B

【解析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.

-IQO11

【詳解】MN=ON-OM^-（OB+OC）——西=——a+-b+-c.

2、＞3322

故選：B

12、B

【解析】分子分母同除以COS。，化弦為切，代入即得結(jié)果.

sin8+3cos。_tan夕+3

【詳解】由題意，分子分母同除以COS。，可得小?

sin0+cos0tan6+1

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、（—00,2）

【解析】首先對(duì)y（x）=（x-3）靖求導(dǎo)，可得廣（幻=（廠2）/,令ra）＜o(jì),解可得答案

【詳解】解：f\x）=[（x-3）e']'=eA+（x-3）eA=（x-2）ex

由r（x）＜0得x＜2,

故/（元）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-8,2）

故答案為：（-*2）

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

14、-2

【解析】根據(jù)/（*）解析式，可求得了'（%）解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.

詳解】V/(%)=2cos卜2%+看)=2cos12九一?

f(x)=_4sin[2x—7),

故答案為：-2.

15、6萬

【解析】2萬r=2?,r=l,S表=2?rh+2?/=4?+2?=6?.

16、5百

【解析】可知6對(duì)的邊最大，再用正弦定理計(jì)算即可.

【詳解】利用正弦定理可知，5對(duì)的邊最大，

因?yàn)?=也，C=-，所以A=工，

366

5x-

.q=上,人竺*=f=5技

sinAsinBsinA

2

故答案為：5G

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)an=一3〃+2；(2)347.

(、21+6d——20,

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,解方程組j[0：+45d=—145即得解;

(2)先求出a=21+3〃-2,再分組求和得解.

【詳解】解：⑴設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

%+%=2q+6d——20,

則

Si。=lOq+45d=—145.

CL——1,/、

解得jd—3所以4=4+(〃_l)d=_3〃+2

(2)由題意，%+2=1X2"T=2"T,所以由=2"T+3”—2

所以｛2｝的前8項(xiàng)和為(1+2+22+―+27)+(1+4+7+—+22)=^^+^^^=255+92=347

18、(1)匕+f=i

2

(2)y=l

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P（%,%）（%%，0），求出直線E4、直線。。的斜率相乘可得"2

22

結(jié)合&+之=1可得答案;

2及

272

（2）設(shè)直線/的方程為y=Ax+l與橢圓方程聯(lián)立，代入混-引得廬1-

++病+]

再利用基本不等式可得答案.

【小問1詳解】

由題意可得，2a=20，即a=J5，則A（0,JI）,

設(shè)點(diǎn)。($,%)(%為，0),

(rr\

???。為E4的中點(diǎn)，:.Q―'，

I22J

：.直線PA斜率kPA=>，直線OQ的斜率koo=%+>，

5%

.77y0+V2_JQ-2

?,KPAKOQ__2—，

入0%。X。

22

XV=1，

2b2

點(diǎn)—222

：?產(chǎn)=一/貝U左以左0。=一瓦=一2,解得〃=1,

2

...橢圓C的方程為匕+f=l.

2

【小問2詳解】

由（1）知尸（0,1）,設(shè)直線/的方程為y=Ax+l,

y=kx+l

聯(lián)立y2化簡得價(jià)+2*+2丘—I=0,

------\~X=1

A=83+8>0,設(shè)“(%,%),'(%,%)，

e241

貝(jXi+電=一一-——,xrx2=一一-——，

左2+2k-+2

易知M,N到y(tǒng)軸的距離之和為人―々|，

設(shè),左2+1=11之1，

..」玉一=馬與W0

,當(dāng)且僅當(dāng)/=1即左=0時(shí)等號(hào)成立,

tH—

所以當(dāng)左=0時(shí)上-可取得最大值,

此時(shí)直線/的方程為y=L

22

19、(1)---工=1

62

（2）吟

【解析】（1）根據(jù)題意列方程組求解

（2）待定系數(shù)法設(shè)直線后，由條件求出坐標(biāo)后代入雙曲線方程求解

【小問1詳解】

a2+Z?2=c2=8

a~=6r2v2

91,解得2,故雙曲線方程為L-t=1

=1〃=262

/b1

【小問2詳解】

F(2V2,0),故設(shè)直線方程為y=k(x-2&)

XQ+4^/2—2q—0

則〃（0,-2岳），由MQ+2。尸=0得：<

yQ+l4lk+2(0-,Q)=0

故Q（4后,2夜外,

點(diǎn)Q在雙曲線上，則必—竺=1,解得左=±我

626

直線/的斜率為土叵

6

20、（1）/=8%」2）（4,4點(diǎn)）或（4,-4碼.

【解析】（1）求出雙曲線E的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出。的值，即可得出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)夕（x°,y°）,由拋物線的定義求出/的值，代入拋物線。的方程可求得先的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

V-2

【詳解】（1）由雙曲線方程上-丁=1可得/=3,匕2=1,

3'

所以02=/+。2=4,解得。=2.

則曲線E的右焦點(diǎn)為（2,0）,所以勺？，p=4.

因此，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=8x；

⑵設(shè)月（々,兀），由拋物線的定義及已知可得附%+勺/+2=6,解得%=4.

代入拋物線方程可得弁=8x4=32,解得為=±40，

所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,4J5）或（4,-4A/2）.

21、（1）答案見解析

（2）卜卜《6拒-2）

【解析】（1）求出對(duì)應(yīng)方程的根，再根據(jù)根的大小進(jìn)行討論，即可得解；

（2）對(duì)任意的1WXW6,y-2a+1420恒成立，即?！赐跏可魏愠闪?，結(jié)合基本不等式求出土士內(nèi)里的

x+2x+2

最小值即可得解.

【小問1詳解】

2

解：由已知易得y>4+2〃即為：x-（a-2）x-2a>09

令九2-(^a_2)x-2a=0可得尤=—2與x=Q,

所以，當(dāng)a<-2時(shí)，原不等式的解集為｛無|無<。必2—2｝；

當(dāng)a=-2,時(shí)，原不等式的解集為R；

當(dāng)a>—2時(shí)，原不等式的解集為卜|尤<-2或rNa｝；

【小問2詳解】

解：由y-2a+1420可得心+2”/+2》+18,

由1W%W6,得x+2>0,

p-.—TZB.%2+2x+18

所c以i可得。<-----------，

x+2

%2+2%+18=x+^-=(x+2)+--—2>27