新課標(biāo)全國卷2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末調(diào)研試題含解析

新課標(biāo)全國卷2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.設(shè)尸為橢圓。亳+.=1上一點(diǎn)，片,心分別為左、右焦點(diǎn)，且附|=3|%，則質(zhì)|=()

2.已知直線ta+2y—4=0與直線x+(a+l)y+2=0平行，則實(shí)數(shù)“值為()

A.lB.-2

-2

C.1或—2D.

3

3.函數(shù)/(x)=(l—cosx)sinx在［一兀,兀］上的極大值點(diǎn)為()

2兀兀

A.------B.----

33

2兀

C.—D.兀

3

4.圓/+y2+4x-i2y+l=0關(guān)于直線ax-Z?y+6=0(a>03>0)對(duì)稱，則一+一的最小值是()

A.2A/3

5.已知點(diǎn)P是橢圓方程三+丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，M、N是直線/：y=x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足Ww|=/,則。

3-

A.存在實(shí)數(shù)/使△肱VP為等腰直角三角形的點(diǎn)P僅有一個(gè)

B.存在實(shí)數(shù)t使△MNP為等腰直角三角形的點(diǎn)P僅有兩個(gè)

C.存在實(shí)數(shù)/使加亞？為等腰直角三角形的點(diǎn)P僅有三個(gè)

D.存在實(shí)數(shù)f使/XMNP為等腰直角三角形的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)

6.已知矩形ABC。，尸為平面ABC。外一點(diǎn)，且上4,平面ABC。，N分別為PC,上的點(diǎn)，且PM=2MC，

PN=ND，NM=xAB+yAD+zAP,貝!]x+y+z=()

2

B.-

3

5

C.1D.-

6

7.為迎接2022年冬奧會(huì)，某校在體育冰球課上加強(qiáng)冰球射門訓(xùn)練，現(xiàn)從甲、乙兩隊(duì)中各選出5名球員，并分別將他

們依次編號(hào)為1,2,3,4,5進(jìn)行射門訓(xùn)練，他們的進(jìn)球次數(shù)如折線圖所示，則在這次訓(xùn)練中以下說法正確的是()

進(jìn)

球

次

數(shù)一中隊(duì)

----乙隊(duì)

A.甲隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比乙隊(duì)大B.乙隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比甲隊(duì)大

C.乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定D.甲隊(duì)球員進(jìn)球數(shù)的極差比乙隊(duì)小

8.已知△ABC的頂點(diǎn)3,C在橢圓上+乙=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在3c邊上，則

1216

△ABC的周長是()

A.2y/3B.4君

C.8D.16

9.數(shù)列1,6,15,28,45,…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個(gè)六

邊形數(shù)為()

16152845

A.153B.190

C.231D.276

10.下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，如果輸入

a=102,b=238,則輸出的。的值為()

A.17B.34

C.36D.68

11.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組可能性相同，則這兩位同學(xué)

參加同一個(gè)興趣小組的概率為

11

A.-B.—

32

23

C.-D.-

34

12.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是()

A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球

B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球

C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球

D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，四棱錐P-A5CD的底面是正方形，底面ABC。，加為的中點(diǎn)，若PD=DC=2,則點(diǎn)。到

平面PAM的距離為.

p,

仁/D/

x-y+4>0,

14.已知x,丁滿足約束條件(x—2<0,則z=x+3y的最小值為

x+y-2>0,

15.設(shè)尸為圓C:(x—4/+V=4上一動(dòng)點(diǎn)，Q為直線/:尤+丁一7=0上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝(1+2歸。|的

最小值為一

16.設(shè)函數(shù)a)在R上滿足/)+A/(X)>0,若。=(3嗎/(3。3),B=(log.3)：/Uog.3),則。與％的大小關(guān)系為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,且S,=2〃2+〃，“wN*,數(shù)列也｝滿足%=41og2〃+3,〃wN*.

⑴求％和么的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛an-包｝的前n項(xiàng)和Tn.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=e""'-Inx(m>0).

(1)當(dāng)機(jī)=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)的最小值為工-1,求實(shí)數(shù)m的值.

e

22_

19.(12分)已知橢圓(？：—+*=1(。〉6〉0)的左焦點(diǎn)為/(—2,0),點(diǎn)尸到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為幾.

(1)求橢圓。的方程；

⑵過點(diǎn)歹作斜率為k的直線/,與橢圓。交于A,B兩點(diǎn),若。4。8>-2,求左的取值范圍.

20.(12分)已知等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為3，%-。2=6,S5+2S3=3S4.數(shù)列｛么｝的前九項(xiàng)和為北，且偽=2,

=("+1)[+〃("+1)

(1)分別求數(shù)列｛%｝和｛優(yōu)｝的通項(xiàng)公式；

(S〃+1也(

(2)若?！?/'mc、,M“為數(shù)列｛c,｝的前〃項(xiàng)和，是否存在不同的正整數(shù)P，q,r(其中0，q,r成等差

數(shù)列)，使得Mp+2,Mq+2,M,.+2成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的0,彘/?的值；若不存在，說

明理由

21.(12分)已知等差數(shù)列｛叫中，4=6,前5項(xiàng)的和為=90,數(shù)列也｝滿足乙=1,%—〃=2"("wN*)

(1)求數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵記g=%—優(yōu)|,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和北

22.(10分)如圖，已知頂點(diǎn)H(0,-3),N(2,l),動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在x軸，y軸上移動(dòng)，延長P。至點(diǎn)使得

PQ^^QM,且PR-PM=0.

AMy\

(1)求動(dòng)點(diǎn)"的軌跡c；

(2)過點(diǎn)N分別作直線N4,NB交曲線于AJB兩點(diǎn)，若直線ML,NB的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線的斜率為定值；

(3)過點(diǎn)N分別作直線Ml,交曲線于A,3兩點(diǎn)，若NALNB,直線A3是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若

不是，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)橢圓的定義寫出忸制+忸與|=2a=10,再根據(jù)條件忸制=3忸q即可解得答案.

22

【詳解】根據(jù)尸為橢圓C：上+乙=1上一點(diǎn)，

259

則有|P耳|+|尸局=2°=20=10,

又|P照=3忸閭，所以歸用=?=}

故選：B.

2、A

【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得。，檢驗(yàn)后確定正確答案.

【詳解】由于直線依+2y—4=0與直線x+(a+l)y+2=0平行，

所以〃、(〃+1)=2義1,〃2+“—2=0,a=l或〃=-2,

當(dāng)4=-2時(shí)，兩直線方程都為x-y+2=0,即兩直線重合，所以a=-2不符合題意.

經(jīng)檢驗(yàn)可知a=l符合題意.

故選：A

3、C

【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn)

【詳解】'/'(%)=sinx-sinx+(l-cosX)COSX=-2COS2X+COSX+1=(-COSX+1)(2COSX+1),

.?.當(dāng)肛—,)時(shí)，/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe]--—f'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe仁,"時(shí)，尸(無)<0,單調(diào)遞減，

二函數(shù)/(%)=(1-cosx)sinX在[-7T,7l\的極大值點(diǎn)為斗

故選:c

4、C

262(13

【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得a+3〃=3,然后由一+7=；7(。+3幼一+7

ab3\ab

展開利用均值不等式可得答案.

【詳解】由圓一+9+4》—12y+l=0可得標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2『+(y—6)2=39,

因?yàn)閳AY+y~+4x-12y+1=0關(guān)于直線ax-by+6=0(a>0,b>0)對(duì)稱，

??.該直線經(jīng)過圓心(—2,6),即—2a—6匕+6=0,，a+3b=3(。>03>0),

222(10+2尸〕32

—+g/s++、1+——3a+——3b+9門>—

ab3、I3baba,T

當(dāng)且僅當(dāng)子=+'即時(shí)取等號(hào)'

故選：C.

5、B

【解析】求出點(diǎn)P到直線/的距離d的取值范圍，對(duì)點(diǎn)P是否為直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，確定d、1的等量關(guān)系，綜合

可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（后cosasin。），則點(diǎn)P到直線/的距離為

因?yàn)闄E圓與直線I均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

①若P為直角頂點(diǎn)，貝肱V|=2d.

當(dāng)f>2&時(shí)，此時(shí)，△MNP不可能是等腰直角三角形;

當(dāng)/=2a時(shí)，此時(shí)，滿足△MNP是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)P有兩個(gè)；

當(dāng)0<f<2&時(shí)，此時(shí)，滿足△WP是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)P有四個(gè);

②若P不是直角頂點(diǎn)，貝!=

當(dāng)/>0時(shí)，滿足AMP是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)P不存在；

當(dāng).=拒時(shí)，滿足△肱VP是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)尸有兩個(gè)；

當(dāng)0</<血時(shí)，滿足/WNP是等腰直角三角形非直角頂點(diǎn)P有四個(gè).

綜上所述，當(dāng)o<t<6"時(shí)，滿足△肱VP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有八個(gè)；

當(dāng)/=及時(shí)，滿足△肱VP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有六個(gè)；

當(dāng)拒<f<2形時(shí)，滿足△MNP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有四個(gè)；

當(dāng)。=2夜時(shí)，滿足△MNP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)；

當(dāng)，>2行時(shí)，滿足△WP是等腰直角三角形的點(diǎn)P不存在.

故選:B.

6、B

——,2-1———

【解析】由PM=2MC，PN=ND，得PM=gPC,PN.PD,然后利用向量的加減法法則把向量NM用向量

A3,表示出來，可求出羽丁衣的值，從而可得答案

【詳解】解：因?yàn)槭琈=2MC，PN=ND，

2.1—.

所以PM=—PC,PN=—PD

32

-----...........——2-1-

所以NM=PM—PN=—PC——PD

32

=|(AC-AP)-1(AD-AP)

^-(AB+AD-AP)--AD+-AP

322

^-AB+-AD--AP,

366

211

因?yàn)镸l=xAB+yAD+zAP,所以x=一,y=—,z=——,

366

2

所以1+丁+2=1，

故選：B

7、C

【解析】根據(jù)折線圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題圖，甲隊(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)閧2,4,5,6,8},乙隊(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)閧3,4,5,6,7},

所以甲乙兩隊(duì)的平均數(shù)都為5,甲、乙進(jìn)球中位數(shù)相同都為5,A、B錯(cuò)誤；

甲隊(duì)方差為。=Q—5)2+(4―5)2+(5—5)2+(6—+(8-S'=4，乙隊(duì)方差為

2=(3—5)2+(4—5)2+(5；5)2+(650+(7—5)2=,即已〉。?，故乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定，C正確.

甲隊(duì)極差為6,乙隊(duì)極差為4,故甲隊(duì)極差比乙隊(duì)大，D錯(cuò)誤.

故選:C

8、D

【解析】根據(jù)橢圓定義求解

【詳解】由橢圓定義得△ABC的周長是4a=4義Ji石=16，

故選：D.

9、C

【解析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)聯(lián)系相關(guān)知識(shí),如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形即可

求解.

【詳解】由題意知，數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)為1,6,15,28,45,...

所以％=1=1x1,a2=6=2x3,%=15=3?5,

4=28=4x7,%=45=5x9,…，an—n(2n—l^,

所以=11x21=231.

故選：C

10、B

【解析】根據(jù)程序框圖所示代入。=102力=238運(yùn)行即可.

【詳解】初始輸入：a=1023=238；

第一次運(yùn)算：a=1021=238—102=136；

第二次運(yùn)算：A=102,/?=136-102=34；

第三次運(yùn)算：a=102—34=68力=34；

第四次運(yùn)算：a=68—34=34力=34；

結(jié)束，輸出34.

故選：B.

11、A

【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的

31

概率為p=-=§選A

12、C

【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐項(xiàng)判斷.

【詳解】A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，,這兩個(gè)事件不是互

斥事件，故錯(cuò)誤；

B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，故錯(cuò)誤；

C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是

紅球，二兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確

D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，

二這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；

故選:C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4

13、一

3

【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、OP所在直線分別為工、》、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法

可求得點(diǎn)D到平面PAM的距離.

【詳解】因?yàn)榈酌鍭BC。，AD±CD,

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、。尸所在直線分別為了、》、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0)、P(0,0,2),￡>(0,0,0),M(1,2,0),

設(shè)平面上4M的法向量為“=(x,y,z),AP=(-2,0,2),AM=(-1,2,0),

,n-AP=-2x+2z=0°,(、

則｛,取x=2,可得〃=(2,1,2),

n-AM=_%+2y=0

IDA-HI4

ZM=(2,0,0),所以，點(diǎn)。到平面上4M的距離為^^=彳.

7\n\3

4

故答案為：—,

3

14、2

【解析】由題意，根據(jù)約束條件作出可行域圖，如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=-^x+z,作出其平行直線y=-1x,

并將其在可行域內(nèi)平行上下移動(dòng)，當(dāng)移到頂點(diǎn)4(2,0)時(shí)，在丁軸上的截距最小，即2*=2+3><0=2.

15、472

【解析】取點(diǎn)A(3,0),可得。止~CPO,從而|P0|=2|PA|,\PO\+2\PQ\..2\AQ\,從而可求解

【詳解】解：由圓C:(x—4p+y2=4,得圓心C(4,0),半徑r=2,

…/Xn.^CPC1

取點(diǎn)A(3,0),則二二二,

PCOC2

XZOCP^ZPCA,：.^CAP~_CPO,：.\P0\=2\PA\,

.??歸0|+2］。。［22|/科+2|為2|22仙。|=4夜，當(dāng)且僅當(dāng)4。，直線/時(shí)取等號(hào)

故答案為：4A/2

16、a>b

【解析】構(gòu)造函數(shù)b(x)=MU),利用"X)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】設(shè)函數(shù)"工)=研制，

...尸G)=f(x)+xf(x)>0,

???F(x)=^x)在R上為增函數(shù)，

又；3°3>1,log”3Vl,

0J

.*.3>logff3,

.?.尸（3峭＞尸（log⑶，

（3。363。3）＞（盛3）四陪3），

'.a＞b.

故答案為：”＞尻

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

nl

17、（1）an=4n-l,n&N\bn=2-；（2）7；=（4〃—5）2"+5

【解析】⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式主要利用4=｛求解，分情況求解后要驗(yàn)證〃=1是否滿足〃之2

Sf22)

的通項(xiàng)公式，將求得的｛4｝代入4=41og2〃+3,整理即可得到么的通項(xiàng)公式；⑵整理數(shù)列｛。"也,｝的通項(xiàng)公式得

anbn=（4〃-l）Z'T,依據(jù)特點(diǎn)采用錯(cuò)位相減法求和

試題解析：(1)?.?S“=2〃2+〃,”eN*,.?.當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=3.

22

當(dāng)〃之2時(shí)，an=Sn-Sn_x=2n+n-[2(n-I)+(n-l)]=4n-l.

?；A2=1時(shí)，4=3滿足上式，工氏二4〃一1,〃￡N*.

n

又???4=41og2包+3,“eN*,—l=41og22,+3,解得:bn=2-\

a

故n=4〃-1,,bn=2"T,〃eN*.

1

(2)=4H-1,,bn=2"-,neN*

n2nl

：.Tn=albl+a2b,++a也=3x20+7x21++(4n-5)x2-+(4n-1)x2~?

27；=3X2'+7X22++(4〃-5)x2^心(4十一1)x2"②

由①-②得：一(=3+4x21+4x22++4x2〃T—(4”一1)x2"

2Q-2%

=3+4x-(4H-l)x2n=(5-4H)X2;,-5

1-2

1=（4"-5）x2"+5,〃cN*.

考點(diǎn)：1.數(shù)列通項(xiàng)公式求解；2.錯(cuò)位相減法求和

【方法點(diǎn)睛】求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式主要利用卬=&，%=邑-Sa（"22）分情況求解后，驗(yàn)證可的值是否滿足

%=邑-S"T（〃N2）關(guān)系式，解決非等差等比數(shù)列求和問題，主要有兩種思路：其一，轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列

設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解（即分組求和）或錯(cuò)位相減來完成，其二，不能轉(zhuǎn)化為

等差等比數(shù)列的，往往通過裂項(xiàng)相消法，倒序相加法來求和，本題中42=(4〃-1)」”7,根據(jù)特點(diǎn)采用錯(cuò)位相減法求

和

18、(1)j=(e-l)x+l

(2)m=e+l

【解析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進(jìn)而求出切線方程；(2)對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷

其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)求出其最小值，列出方程，求出實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【小問1詳解】

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，因?yàn)?=所以切線的斜率為e-1,

所以切線方程為y-e=(e-l)(x-1),即y=(e—l)x+1.

【小問2詳解】

因?yàn)?%)=e』一L令t(x)=e-m-

XX

因?yàn)?'(x)=e-m+\>Q,所以r(x)=ex-"'—,在(0,+8)上單調(diào)遞增，

XX

當(dāng)實(shí)數(shù)相>1時(shí)，％(')=”—m<09t(m)=1——>0；

mm

當(dāng)實(shí)數(shù)0<加<1時(shí)，t(m)=1——<0,^(―)=em—m>Q；

mm

當(dāng)實(shí)數(shù)m=1時(shí)，t(rri)=0,

所以總存在一個(gè)%,使得，-'=0,

*0

且當(dāng)％<%0時(shí)，t(x)<0；當(dāng)時(shí)，t(x)>0,

所以/(x)min=e'°m-lnx=--ln%=--l,

0/0e

令丸(x)=‘—Inx,因?yàn)椤?x)=—±—!<0,所以丸(x)=^—Inx單調(diào)遞減,

XXXX

又/i(e)='—l,所以%=e時(shí)，

e

所以e-力=,，即m=e+l.

e

22

19、(1)土+匕=1

62

(2)%〉,或左<—工

22

【解析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=2,根據(jù)點(diǎn)R到短袖一個(gè)端點(diǎn)的距離為布，然后根據(jù)即可；

(2)先設(shè)聯(lián)立直線/與橢圓的方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理得到A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后根據(jù)04.08>-2建立關(guān)于

直線/的斜率左的不等式，解出不等式即可.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，已知橢圓C的左焦點(diǎn)為尸(-2,0),則有：。=2

點(diǎn)R到短袖一個(gè)端點(diǎn)的距離為布，則有：。=痛

則有：b=y/2

22

故橢圓C的方程為：—+^=1

62

【小問2詳解】

設(shè)過點(diǎn)R作斜率為左的直線/的方程為：y=k(x+2)

聯(lián)立直線/與橢圓C的方程可得：

y=攵(％+2)

<d

162

貝！|有：(3k2+i)x2+12k2x+12k2-6=0,

直線/過點(diǎn)所以△>€)恒成立，

不妨設(shè)A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：4(4%),5(%,%)，則有：

12k2

Xj+X=

23k2+1

12k2-6

X,x2二——z--------

123左2+1

又+%%

且3為=〃(％+2)(%+2)

則有：

=xx2

OA-OB=+%%i2+左2(玉+2)(9+2)=(左2+1)玉龍2+442+2k(%+%)

12k212左2一6

將X]+x,=—代入后可得:

342+1'-3/+]

1042—6

OAOB=

3k~+1

16左2—4

若。408>-2，則有:>0

3k2+1

解得：上〉工或左<一!

22

1

20、(1)an=T-,bn=2n；(2)不存在，理由見解析.

【解析】(1)利用數(shù)列｛a,,｝為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項(xiàng)和公比表示，得到一個(gè)方程組，求解即可得到首項(xiàng)和

公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出許；將已知的等式〃&]=(〃+1)(+變形，得到數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列,

n

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出7.，再結(jié)合數(shù)列的第九項(xiàng)與前,項(xiàng)和之間的關(guān)系進(jìn)行求解，即可得到么；

(2)先利用等比數(shù)列求和公式求出S”，從而得到c”的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)相消求和法求出M”，假設(shè)存在不同的

正整數(shù)。，q,廣(其中0,q,「成等差數(shù)列)，使得〃。+2,Mq+2,+2成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)、等差

中項(xiàng)以及M“進(jìn)行化簡變形，得到假設(shè)不成立，故可得到答案

【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為由,公比為彘

%一4=6

由題意可知所以

S5+2s3=3s4

-%q=6①

所以《%(1-內(nèi)

I=

、i—q1—<7i—q

由②可得/_3/+2q3=o,即/一34+2=0,所以q=l或2,

4=1,

因?yàn)樗詑=2,所以生

q-q

所以4=q/T=2"T,

由憶+i=(〃+1)(+?(?+1)，可得—1,

〃+1n

所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為g=4=2,公差為1,

n1

—=2+(n-l)xl=n+l,則(=〃("+1),

n

當(dāng)九.2時(shí)，bn=Tn-1-=n{n+l)-(n-l)n=2n,

當(dāng)〃=1時(shí)，々=Z=2也適合上式,

故4=2n

1-2"

(2)由%=2"1,可得S“=l+2+…+2'T==2"_],

1-2

(S“+l)2(2=1+1)2?2,1+1-n2n+22"+l

所以g=

(ji+1)(〃+2)(n+1)(〃+2)(n+1)(〃+2)n+2n+1

232224232〃+22〃+i2〃+2222〃+2

所以M”=C]+c+...+c=—-----F...+—2,

2n243n+2n+1n+22n+2

假設(shè)存在不同的正整數(shù)P,q,r（其中q,廠成等差數(shù)列），使得A^+2,Mq+2,%+2成等比數(shù)列,

則有陷+2)2=陷+2)(",+2),

2g+22P+22「+2

所以（?-2+2)2=(?-2+2)(--2+2),

q+2p+2r+2

r+2

2*22P+22?2q+42。+「+4

則（?■)2=,即

q+2p+2r+2(q+2)2(。+2)。+2)

因?yàn)镻+r=2q,所以2q+4=p+r+4,gp22^+4=2p+r+4

所以(g+2)2=(p+2)(r+2),所以d+4^+4=pr+2(p+r)+4,

p+r

貝(Jq2+4q+4=pr+4q+4,所以/=pr,貝!|(-)2=pr,

2

所以(p+r)2=4pr9即(p-r)2=0,

所以夕=叱這與已知的〃，q,廠互不相等矛盾,

故不存在不同的正整數(shù)P,q,r（其中。，q,r成等差數(shù)列），使得M,+2,Mq+2,M1+2成等比數(shù)列

【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式

子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：⑴/1--=；（2）―尸=；（標(biāo)仄—金）；（3）

n[n+k）k\nn+kJy-Tjn=+4k+y/nk''

11（1_______L）2"（2n+1-l）-（2?-l）_ii

（2H-1）（2H+1）-2U^-l-2n+l）；"）（2"-1）（2"+1-1）=（2n-l）（2n+1-1）=2"-1"2n+1-1；此外，

注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

21、(1)an=6?(raeN*),勿=2"-1(〃eN*)；

'3n2+4n-2n+l+2(n<4)

(2)T=Wv'

"[2"+1-3n2-4H+66(H>5)>

【解析】（1）利用等差數(shù)列求和公式可得d=6,進(jìn)而可得4=6M/eN*）,再利用累加法可求久，即得;

6n-2n+1(〃<4)

(2)由題可得c“=|。"-勾=<[2〃-6“-1.5；’然后利用分組求和法即得

【小問1詳解】

5x4

設(shè)公差為d,由題設(shè)可得5義6+^—d=90,