七年級數(shù)學圖形認識學生講義

圖形的認識4.1圖形根本概念本章小結小結1本章內(nèi)容概覽本章的主要內(nèi)容是多姿多彩的圖形，直線、射線、線段以與角等有關的概念與其性質(zhì)．其課標要求是：(1)理解線段、直線和射線的區(qū)別與聯(lián)系，會比擬線段的大小，并進展計算．(2)理解角的概念，會比擬角的大小，會進展角的度數(shù)的計算．(3)了解互余、互補的概念，理解它們的性質(zhì)．小結2本章重點、難點：本章的重點是線段和角的概念與其相關的性質(zhì)；難點是對平面圖形的概念與其相關性質(zhì)的理解．小結3本章學法點津1．要通過直觀感知，具體操作、確認等實踐活動，區(qū)分圖形，探索出圖形的特征和性質(zhì)，培養(yǎng)空間想象能力．2．要注意多觀察、多分析實物，勤動手操作、勤動腦聯(lián)想，同時又要注意對圖形語言的理解和符號語言的運用．3．要淡化概念識記、不能機械地套用公式模式，到達“在做中學，在學中做〞．4．要注重“簡單說理〞推理能力的培養(yǎng)，養(yǎng)成言之有據(jù)的良好習慣．知識網(wǎng)絡構造圖重點題型總結與應用題型一計算幾何圖形的數(shù)量1．數(shù)直線條數(shù)例1n(n≥2)個點P1，P2，P3，…，Pn在同一平面上，且其中沒有任何三點在同一直線上．設Sn表示過這n個點中的任意2個點所作的所有直線的條數(shù)，顯然，S2=1，S3＝3，S4＝6，S6＝10，…，由此推斷，Sn＝.2．數(shù)線段條數(shù)例2如圖4—4—1所示，C、D為線段AB上的任意兩點，則圖中共有多少條線段例3小明在看書時發(fā)現(xiàn)這樣一個問題：在一次聚會中，共有6人參加，如果每兩人都握一次手，共握幾次手呢小明通過認真思考得出了答案．為了解決一般問題，小明設計了以下圖表進展探究：參加人數(shù)2345…握手示意圖握手次數(shù)12＋1=33＋2＋1=64＋3＋2＋1=10…請你根據(jù)上面圖表歸納出參加人數(shù)與握手次數(shù)之間關系的一般結論．3．數(shù)直線分平面的塊數(shù)例4豆腐是我們生活中的常見食品，常被分割成長方體或正方體的小塊出售．現(xiàn)請你用刀切豆腐，每次切三刀，能將豆腐切成多少塊題型二兩角互補、互余定義與其性質(zhì)的應用例5一個角的補角是這個角的4倍，求這個角的度數(shù)．例6如果一個角的補角是120°，則這個角的余角是()A．30°B．60°C．90°D．150°例7的角的補角是165°，余角是75°；32°的角的補角是148°，余角是58°．….觀察以上各組數(shù)據(jù)，你能得出怎樣的結論請用任意角α代替題中的10°、15°、32°的角來說明你的結論．題型三角的有關運算例8如圖4—4—3所示，AB和CD都是直線，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度數(shù)．例9如圖4—4—4所示，OB、OC是∠AOD內(nèi)任意兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，假設∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．例10(1)用度、分、秒表示54．12°．(2)32°44′24″等于多少度(3)計算：133°22′43″÷3．方法總結角的有關運算是指角的單位換算和角的加、減、乘、除運算．角度制的單位是60進制的，和計量時間的時、分、秒一樣．加減時，要將度、分、秒分別相加、相減，分、秒逢60要進位，而相減不夠時要借1作60；度、分、秒形式乘一個數(shù)時，要將度、分、秒分別乘這個數(shù)，分、秒逢60進位；度、分、秒形式除以一個數(shù)時，也是將度、分、秒分別除以這個數(shù)，不過要將高位的余數(shù)轉化成低位，與原位上的數(shù)相加后再除以這個數(shù)．題型四鐘表的時針與分針夾角問題例1115：25時鐘面上時針和分針所構成的角是度．題型五圖形的轉化例12以下圖形中不是正方體的平面展開圖的是()例13如圖4—4—6所示，將標號為A、B、C、D的正方形沿圖中虛線剪開后，得到標號為P、Q、M、N的四組圖形，試按照“哪個正方形剪開后得到哪組圖形〞的對應關系填空：A與對應；B與對應；C與對應；D與對應．題型六方位角例14如圖4—4—7所示，我海軍的兩艘軍艦(分別在A、B兩處)同時發(fā)現(xiàn)了一艘敵艦，其中A艦發(fā)現(xiàn)它在北偏東15°的方向上，B艦發(fā)現(xiàn)它在東北方向上，試畫出這艘敵艦的位置(用字母C表示)．思想方法歸納1．分類討論思想分類討論，就是對問題所給對象的條件、結論、圖形等不能進展統(tǒng)一研究時，就需要將研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答．注意分類時要做到按同一標準且不重不漏．例1線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，求線段AC的長．例2經(jīng)過任意三點中的兩點共可以畫出的直線條數(shù)是()A．1或3B．3C．2D．12．數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)〞或“以數(shù)解形〞，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的，線段、直線、角的重要性質(zhì)也都是通過數(shù)形結合的思想表達的．例3如圖4—4—11所示放置的三角板，把三角板較長的直角邊從水平狀態(tài)開場，在平面上沿著直線BC滾動一周，求B點轉動的角度．3．轉化思想解決一個問題，往往是由未知向轉化，由陌生向熟悉轉化，由復雜向簡單轉化，轉化思想貫穿整個數(shù)學學習的始終．例4將以下選項中的平面圖形繞直線l旋轉一周，可以得到如圖4—4—13所示立體圖形的是()考點1線段考點突破：線段問題在中考題中一般難度不大，解題時要結合圖形，認真分析，問題便會迎刃而解．例1〔2021廣東佛山，12，3分〕線段AB=6，假設C為AB中點，則AC=．〔2021廣西崇左，5，2分〕在修建崇欽高速公路時，有時需要將彎曲的道路改直，依據(jù)是．如圖4—4—14所示，點A、B、C是直線l上的三個點，圖中共有線段的條數(shù)是()A．1B．2C．3例2〔2021清遠，6，3分〕∠α＝35°，則∠α的余角是〔〕 A.35° B.55° C.65° D.145°〔2021?南通〕∠α=20°，則∠α的余角等于70°．〔2021福建福州，5，4分〕以下四個角中，最有可能與70°角互補的角是〔〕 A． B． C． D．例3如果∠α＝60°，則∠α的余角的度數(shù)是()A．30°B．60°C．90°D．120°30°角的補角是()考點3鐘表上的角度問題考點突破：此類題是近幾年中考中的熱點問題，考察形式為選擇題或填空題．解決此類問題需明確：在鐘表上，1分鐘分針走6°，1小時時針走30°．例4從3時到6時，鐘表的時針旋轉角的度數(shù)是()A．30°B．60°C．90°D．120°考點4從不同方向看立體圖形考點突破：從不同方向看立體圖形是中考的熱點問題，幾乎每套中考題中都會出現(xiàn)，解決問題時應發(fā)揮空間想象能力，把立體圖形轉化為平面圖形．例5如圖4—4—15所示四個幾何體中，從上面看得到的平面圖形是圓的幾何體共有()A．1個B．2個C．3個D．4個例6如圖4—4—16所示的幾何體是由7個大小一樣的小正方體組成的，該幾何體從上面看得到的平面圖形為()綜合驗收評估測試題一、選擇題1.以下說法正確的選項是()A．平角是一條直線B．周角是一條射線C．用2倍的放大鏡看1cm的線段，這條線段變成了2cmD．用2倍的放大鏡看30°的角，這個角變成了60°2．以下說法正確的選項是()A．直線AB與直線BA不是同一條直線B．線段AB與線段BA不是同一條線段C．射線OA與射線AO不是同一條射線D．射線OA與射線AO是同一條射線3.如圖4—4—17所示，AB＝CD，則AC與BD的大小關系是()A．AC＞BDB．AC＝BDC．AC＜BDD．不能確定4.如果線段AB＝6cm，BC=5cm，則A、C兩點間的距離是()A．1cmB．5．5cmC．11cmD．11cm或1cm5.假設∠α的補角是42°，∠β的余角是52°，則∠α和∠β的大小關系是()A．∠α＞∠βB．∠α＜∠βC．∠α＝∠βD．不能確定6.如圖4—4—18所示，∠1＝15°，∠AOC＝90°，B、O、D三點在一條直線上，則∠3等于()A．75°B．105°C．15°D．165°7.一個角和它的補角的度數(shù)比為1∶8，則這個角的余角為()A．10°B．20°C．70°D．80°8.如圖4—4—19所示，∠AOC＝∠BOD=∠78°，∠BOC＝35°，則∠AOD等于()A．113°B．121°C．156°D．86°二、填空題9.29°30′=度，18．25°＝度分秒．10.15分鐘時間，時鐘上的時針轉了度，分針轉了度．11.如圖4—4—20所示，由點B觀測點A的方向是．12.一個畫家有14個棱長為1米的正方體，他在地面上把它們擺成如圖4—4—21所示的形式，然后他把露出的外表都涂上顏色，則被涂上顏色的總面積為．三、解答題13.請仔細觀察如圖4—4—22所示的折紙過程，然后答復以下問題：(1)求∠2的大?。?2)∠1與∠3有何關系(3)∠1與∠AEC，∠3與∠BEF分別有何關系14.如圖4—4—23所示，AC=CD＝DB，AC＝2AM，BN＝BM，如果MN＝5cm，求AB、CN的長．15.如圖4—4—24所示，一只螞蟻從O點出發(fā)，沿北偏東30°方向爬行2．5cm，碰到障礙物B后，又沿西北方向爬行3cm到達C處．(1)畫出螞蟻爬行的路線；(2)求∠OBC的度數(shù)；(3)測出線段OC的長度(準確到0．1cm)．3.2直線、射線、線段【本講教育信息】一.教學內(nèi)容：直線、射線、線段二.重點、難點：同學們初學幾何直線、射線、線段都是幾何中的根本元素，可以說幾何中很大一局部圖形是由它們構成的，所以掌握直線、射線、線段的各種特性對我們今后學習好幾何起著決定性作用。三.復習1.知識構造圖2.直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別【典型例題】[例1]〔1〕直線有個端點，向方無限延伸；射線有個端點，向方無限延伸；線段有個端點延伸。〔2〕線段AB的端點是，射線OP的端點是?！?〕直線的根本性質(zhì)〔公理〕是：經(jīng)過兩點一條直線?！?〕叫做兩點的距離。〔5〕線段的公理是：所有聯(lián)接兩點的中，最短。說明：這些都是直線、射線、射線的根本性質(zhì)，同學們要熟練掌握。[例2]〔1〕如圖A、B、C、D是一條直線上，依次排列的四個點，AC=BC+，AD=BC+。〔2〕如圖，B是AC的中點，C是BD的中點，則AB=BD，BC=AD?！?〕：如圖，線段AB=1.8cm，C點在AB的延長線上，AC=BC，則BC=cm。說明：對于幾何題目要結合圖形，很多證明，計算都要從圖形入手。[例3]如圖，圖中共有條線段，共有條射線，分別是比擬圖中線段的大小，ADAB，ACAE，點E在線段AB所在直線，點E在線段AC，點E是線段的交點。[例4]如圖，圖中共有條線段。[例5]在直線L的同一方向上作AB=5cm，AC=，AD=7cm，在DA的延長線上作DE=9cm，DF=，則C是或的中點，DC=，CEFE。[例6]以下圖形中，可以度量長度的是〔〕A.直線B.射線C.線段D.點解析：直線無端點向兩方無限延伸；射線有一個端點，向一方無限延伸；點沒有大?。痪€段有兩個端點，故只有線段可以度量長度。[例7]如圖，圖中給出的是直線、射線、線段的位置關系，其中能相交的是〔〕A.直線AB和直線CD B.直線AB和射線CDC.線段AB和射線CD D.線段AB和線段CD[例8]如圖，圖中確定的虛線，表示線段OP的反向延長線的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[例9]線段AB=5cm，BC=3cm，則AC=〔〕A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.無法確定[例10]點D在線段EF上，在等式DE=DF，DE=EF，EF=2DF，DF=DE中，能表示D是線段EF三等分點的有〔〕A.一個B.兩個C.三個D.四個[例12]：E、F兩點把線段AB分成三局部，D是線段AB的中點，F(xiàn)B=12。求：〔1〕DF的長；〔2〕【模擬試題】〔答題時間：50分鐘〕一.判斷題：1.三條直線兩兩相交，交點必定是三個?！病?.連結AB，就是要畫以A、B為端點的線段。〔〕3.射線是直線的一半。〔〕4.點B把線段AC分成兩條線段，則說點B是AC的中點?！病?.直線BA與直線AB表示同一條直線?！病?.點和直線的位置關系有：點在直線上，點在直線外。〔〕7.線段AC=BC，則C是線段AB的中點?！病?.兩點之間直線最短。〔〕9.反向延長線段AB到C，使BC=3AB?！病扯?填空題：1.在幾何里，一個點可以用一個表示，一條射線可能用一個表示，也可以用表示。2.過一點有條直線；過兩點有條直線，并且條直線。3.叫做線段。4.線段AB，在BA的延長線取一點C，使CA=2AB，則線段CB是線段AB的倍。5.直線是向無限延伸的。6.如圖〔1〕，線段AB=AD++，線段CB=AB－?！?〕7.如圖〔2〕，從甲地到乙地有三條路線，其中最近的是，根據(jù)的公理是?！?〕8.如圖〔3〕，如果AB=BC=CD，則線段AC的中點是，BC=BD?！?〕9.過三點中的每兩點畫直線，可以畫。10.根據(jù)圖形填空〔1〕〔〕=〔〕－〔〕；〔2〕BD=CD+〔〕=AD－〔〕；〔3〕AB+BC=〔〕－CD；〔4〕AB=AC－()=AD－〔〕－〔〕。11.如圖，AB=BC=CD=DE，則，〔1〕AE=AB；〔2〕AC=AE；〔3〕AB=AD；〔4〕AE=AC；〔5〕AE=AD。12.如圖，如果AM=BM，CM=DM，則AC=，AD=。13.如圖，如果AB=CD，則AC=；如果AC=BD，則AB=。14.延長線段AB到C，使BC=AB，延長BC到D，使CD=BC，假設，則AB=。三.選擇題：1.以下圖形中，是平面圖形的為〔〕A.方磚、圓罐、足球 B.體、面、線、點C.長方體、圓柱體、球體 D.直線、長方形、圓2.如圖〔4〕，在以下語句中，能正確表示出圖形特點的個數(shù)有〔〕①直線經(jīng)過點A、B ②點A、點B都在直線上③是一條由A、B兩點所確定的直線 ④是一條直線，A、B是任意點A.1個B.2個C.3個D.4個〔4〕3.以下說法中，正確的選項是〔〕A.射線AB和射線BA表示同一射線B.直線BA和直線AB等長C.線段AB和線段BA表示同一線段D.射線AB有兩個端點4.在直線上有A、B、C、D四點，假設圖中的射線條數(shù)為，線段條數(shù)為，則〔〕A.B.C.D.不能確定5.線段AB=5，在直線AB上畫線段BC=2，則AC長為〔〕A.7B.3C.7或3D.不能確定6.以下說法正確的選項是〔〕A.過A、B兩點的直線的長度是A、B兩點間的距離B.線段AB就是A、B兩點的距離C.連接A、B兩點的所有線中，其中最短的線的長度是A、B兩點間的距離D.乘火車從上海到北京要走1462千米，這就是說上海站與北京站間的距離為1462千米7.四條直線兩兩相交，交點的個數(shù)是〔〕A.1個或4個B.6個C.1個或6個D.1個或4個或6個8.以下說法中，正確的選項是〔〕A.直線比射線長 B.兩條直線相交，只有一個交點C.畫射線AB=10cm D.延長直線AB9.下面說法中，正確的選項是〔〕A.連結兩點的線的長叫做兩點間的距離B.連結兩點的線段叫做兩點間的距離C.連結兩點的線段的長叫做兩點間的距離D.連結兩點的直線的長叫做兩點間的距離10.A、B是平面上兩點，AB=10cm，P為平面上一點，假設PA+PB=20cm，則P點〔〕A.只能在直線AB外 B.只能在直線AB上C.不能在直線AB上 D.不能在線段AB上11.如圖，以下關系式中與圖形不符合的是〔〕A. B.C. D.12.延長線段AB到C，使BC=AB，則以下結論不正確的選項是〔〕A.B.C.D.13.如圖，，則AC與BD的大小關系是〔〕A. B.C. D.AC與BD的大小關系不能確定14.如圖，線段AB的中點是C，BC的中點是D，AD的中點是E，則，AE等于AB的〔〕A.B.C.D.四.解答題：1.線段AB=4cm?！?〕在線段AB上畫線段BC=3cm，并求線段AC的長；〔2〕在直線AB上畫線段BC=3cm，并求線段AC的長。2.如圖，線段AB=5cm，BC=2cm，M是AC的中點，求BM的長。4.3平面圖形【本講教育信息】一.教學內(nèi)容：平面圖形〔一〕二.學習目的：1.通過實例了解點線面體的幾何特征，感受它們之間的關系2.了解直線、射線、線段的概念、表示方法與畫法；3.掌握點與直線的位置關系；掌握直線公理；4.了解直線、射線、線段之間的關系；5.理解線段的和、差與線段的中點等概念，會比擬線段的大??；6.理解兩點間的距離的概念，會度量兩點間的距離。三.技能要求：1.會比擬線段的大小，理解線段的和差與線段中點等概念。2.會用直尺、圓規(guī)、刻度尺等工具畫線段，畫線段的和差、線段的中點。3.逐步掌握學過的幾何圖形的表示方法，懂得學過的幾何語言，能用這些語言準確，整潔地畫出圖形。認識學過的圖形，會用語言描述這些簡單的幾何圖形。【教學過程】一.重要數(shù)學思想1.數(shù)形結合的思想。建立位置關系與數(shù)量關系的聯(lián)系，即由形的背景建立數(shù)量關系，和由數(shù)量關系研究位置關系的思想。2.方程的思想。本章中一些角與線段的計算問題要通過設元，列方程解出未知數(shù)來解決。通過這種訓練初步形成方程的思想。3.分類與分類討論的思想。通過本章中一些命題確定的題設條件產(chǎn)生的不唯一結論的討論，初步形成分類討論的思想。二.重要數(shù)學能力1.培養(yǎng)幾何術語的表達能力。本章是平面幾何的第一章，要學習許多幾何術語的表達，如“有且只有〞、“經(jīng)過〞、“無限延長〞等，掌握它們需要有一個過程。因此，要了解它們的含義，逐步培養(yǎng)表達能力。2.圖形的觀察記憶等能力，觀察圖形的特征。并在一些稍復雜的圖形中分辨出幾何概念定義的根本圖形。三.知識點講解1.體、面、線、點〔1〕只考慮物體的形狀，大小和位置的物體叫做幾何體。體是由面圍成的，面與面相交于線，線與線相交于點。對于面、線、點應認識到它們是不定義的原始概念，只給一個形象上的、描述性的認識?！?〕面有平面和曲面。如桌面可以想象為一個平面。皮球的外表可以想象為一個曲面。現(xiàn)實的世界中是找不到幾何中的面的。它是從實際物體中抽象出來的圖形。幾何重點研究平面，把它看成是一個到處平直，沒有厚度，向各個方向無限延展的面?！?〕線有直線和曲線之分。如一束光線，可以想象成直線。一個圓桌的邊可想象成曲線。同樣幾何中說的線，也只能從實物中想象。要把線看成沒有寬窄，其中直線又是可以向兩個方向無限延伸的?！?〕對于點，有時我們在紙上畫一個紅點就代表一個點，在地圖上把一個城市看成一個點，這些都想象為點。幾何中的點在現(xiàn)實中也是找不到的。幾何中的點看成是沒有形狀和大小，只有位置的元素?！?〕一條線上有無數(shù)多點，一個面內(nèi)有無數(shù)多點。2.直線、射線、線段〔1〕直線是不給定義的，但射線和線段是有定義的。例：數(shù)軸，數(shù)軸的作用是：所有的實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示〔到代數(shù)開方一章后把數(shù)從有理數(shù)擴大到實數(shù)〕，由于實數(shù)是無窮多的，而實數(shù)與數(shù)軸上點又是一一對應的，且數(shù)軸本身是一條直線，因此我們很容易想到它是如何地向兩方無限延伸的，同時可知直線是由無窮多點集合而成。如圖：〔3〕這樣一條數(shù)軸上包含著直線、射線、線段。也可以說射線，線段均為直線上一局部。小結為：a：直線向兩方無限延伸，無端點，不可說延長直線。b：射線向一方無限延伸，有一個端點，向一方不可說延長射線，而可由端點處作反向延長線：線段有確定的長度，有二個端點，可向兩方作延長線。注意：延長線段是指按從A到B或者從B到A的方向延長；延長用虛線；有時也說反向延長。如延長線段EF，反向延長線段BC等；連結AC，就是要畫出以A、C為端點的線段，因此連結這個詞是線段專用的；〔3〕直線、射線、線段的聯(lián)系和區(qū)別：a．三者的聯(lián)系是：射線和線段都是直線的一局部，在直線上取一點，可以分成兩條射線，取兩點可以得到一條線段和四條射線，把射線反向延長線或把線段兩方延長就可得到直線。b．三者的區(qū)別：除前面講到的端點個數(shù)和可無延伸外，再從表示方法上區(qū)別。在表示方法上射線AB和射線BA是兩條不同的射線，而直線AB和直線BA卻表示同一條直線。線段AB和線段BA表示同一條線段，但A和B是線段的端點。直線AB和直線BA中的A、B兩點是直線上的任意兩點。3.線段的中點：因為點M是線段AB中點，所以AM=MB=AB；AB=2AM=2MB；反之，因為點M在線段AB上，且有AM=MB=AB或AB=2AM=2MB，所以M是線段AB的中點。4.關于線段的計算：兩條線段長度相等，這兩條線段稱為相等的線段，記作AB=CD，平面幾何中線段的計算結果仍為一條線段。即使不知線段具體的長度也可以作計算。〔1〕線段的和差例：如圖：AB+BC=AC，或說：AC-AB=BC〔2〕線段的倍分例：AC=CD=DB，即AB=3AC=3CD=3BD或AC=AB，AD=AB，AB=AD5.線段n等分點如果(n-1)個點把線段分成n條相等的線段，這(n-1)個點叫做線段的n等分點.6.線段公理：兩點之間的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點之間，線段最短直線公理：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.簡單說成：過兩點有且只有一條直線注意：經(jīng)過一點有無數(shù)條直線7.線段比擬大小一種是度量的方法；另一種是疊合的方法；第三種是對線段大小的估計和觀察的方法?！镜湫屠}】例1.過三點A、B、C可以畫幾條直線？例2.過A、B、C三點中的任意兩點畫直線，共可畫幾條？例3.在圖中，共有幾條線段？分別把它們表示出來