專題1 三角函數(shù)恒等變換求值·中檔題（解析版）

專題1三角函數(shù)恒等變換求值 4 4 4 4 5題型=知1求2 7 72024屆·重慶市西南大學附中、重慶育才中 7題型二結(jié)合平方公式sinθ±cosθ,2±sin2θ 8 8 8 92024屆·浙江省Z20名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考題T 9 10 10 102024屆·重慶市西南大學附中、重慶育才中 2024屆·重慶市第八中學校適應(yīng)性月考（一 13 13 142024屆·廣州市越秀區(qū)高三月考（十月 142024屆·廣州市天河區(qū)高三綜合測試（一）T7 15 15 16 162023屆·江蘇省七市三模·T7 162022屆·廣東省汕頭二?！7 17 17 17 18 19知識點一．兩角和與差的正余弦與正切①sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;②cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ;③tan(α±β)=;①sin2α=2sinαcosα;②cos2α=cos2α?sin2α=2cos2α?1=1?2sin2α;③tan2α=;sin2α=1?cos2α;cos2α=1+cos2α;22asinα+bcosα=sin(α+?)（其中sin?=【常見式子變形】,cos?=a ②sinα=cosβ?cos(|(α?=cos?α=cosβ,具體是選α?圍β+還是?α要看題目給出的范2023新高考二卷T7：配完全平方公式【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.【詳解】因為cosα=1?2sin2=，而α為銳角，α=3?55?1?12=α=3?55?1?12==2023·新高考I卷T8——和差公式+二倍角公式2．已知sin(α?β)=,cosαsinβ=，則cos(2α+2β)=().ABC?D?【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)，再利用二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因為sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ=，而cosαsinβ=，因此sinαcosβ=，則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=，所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1?2sin2(α+β)=1?2×()21=.92022·新高考II卷T6——和差公式3．若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(|(α+sinβ,則()A．tan(α?β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α?β)=?1D．tan(α+β)=?1【答案】C【詳解】[方法一]：直接法由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ?sinαsinβ=2(cosα?sinα)sinβ,即：sinαcosβ?cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以tan(α?β)=?1再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ,取β=，排除D；選C.sin(α+β)+cos(α+β)=sin(α+β+π)=sin[(α+π)+β]=sin(α+π)cosβ+cos(α+π)sinβ=2cos(α+π)sinβ4所以sin(α+π)cosβ=cos(α+π)sinβsin(α+π)cosβ?cos(α+π)sinβ=0即sin(α+π?β)=0∴sin(α?β+π)=sin(α?β)cosπ+cos(α?β)sinπ=sin(α?β)+cos(α?β)=02018全國II卷（理）T15——一題多解4．已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β).【答案】?【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出.兩式兩邊平方相加得2+2sin(α+β)=1，sin(α+β)=?. 2sinα=1?cosβ,cosα=?sinβ,兩式兩邊平方相加得cos 2,則sinα= 1.2cosα=?cosα= 2 2sinβ=sinβ由cosα+sinβ=0，可得sinβ=?cosα=sin+α,則β=2rπ++α或β=2rπ+π?+α(r∈Z).若β=2rπ++α(r∈Z)，代入得sinα+cosβ=2sinα=1,即若β=2rπ??α(r∈Z)，代入得sinα+cosβ=0，與題設(shè)矛盾.綜上所述，sin(α+β)=?.由cos2β+sin2β=(1?sinα)2+(?cosα)2=2?2sinα=1，得sinα=.α+β=2rπ?α(r∈Z)．從而sin(α+β)=sin(2rπ?α)=?sinα=?.由已知得(sinα+cosβ)(cosα+sinβ)=(sin2α+sin2β)+cos(α?β)=sin(α+β)cos(α?β)+cos(α?β)=0，則cos(α?β)=0或sin(α+β)=?1.若cos(α?β)=0，則α?β=rπ+(r∈Z)，即α=β+rπ+(r∈Z).當r為偶數(shù)時，sinα=cosβ,由sinα+cosβ=1，得sinα=cosβ=，又cosα+sinβ=0,cosαsinβ=?sin2β=?3，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1?3=?1.當r為奇數(shù)時，sinα=?cosβ,得sinα+cosβ=0，這與已知矛盾.若sin(α+β)=?1，則α+β=2rπ?(r∈Z)．則sinα=sin(|（2rπ??β=?cosβ,得sinα+cosβ=0，這與已知矛盾.綜上所述，sin(α+β)=?.22題型=知1求2長沙市明德中學2023-2024學年高三上學期入學考試T8?777 2 3【答案】C【分析】由已知條件算出tanα,tanβ即可求解.因為==sinα+cosαtanβ=?tanβ=4，所以tanβ=?，所以tan(α+β)===.2024屆·重慶市西南大學附中、重慶育才中學九月聯(lián)考T15β的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P,，且β∈(0,π)，則α?β=.π【答案】π4 【分析】根據(jù)已知得sinα=，sinβ=,cosβ=且0<α?β<，應(yīng)用差角正弦公式求角的大小.而sinα>sinβ,故0<β<α<，則0<α?β<，2所以sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ=2,則α?β= π 4題型二結(jié)合平方公式sinθ±cosθ,2±sin2θ2024屆·湖南長郡中學階段考T73?434【答案】B【詳解】：cos2α=sin(α+)， cos2α?sin2α)=(sinα+cosα),∴(cosα+sinα)(cosα?sinα?)=0，所以cosα?sinα=，由cosα?sinα=平方可得1?sin2α=，即sin2α=，符合題意.湖北省部分學校2024屆高三上學期10月聯(lián)考·T7A．sinαB.?sinαC．cosαD.?cosα【答案】A【分析】由倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系計算化簡即可.又因為==cosα,(π3π)(π3π)所以1+cos2α=?2cosα;綜上所述：2?2sin2α?1+cos2α=2(sinα?cosα)+2cosα=2sinα.223 5．已知?π<α?β<π,sinα+2cosβ=1，cosα?2sinβ=，則sin223 【答案】A【分析】先由sinα+2cosβ=1，cosα?2sinβ=，兩式同時平方再求和，求出α、β的關(guān)系式，代入β+，即可求出結(jié)果.【詳解】由sinα+2cosβ=1，cosα?2sinβ=，將兩個等式兩邊平方相加，得5+4sin(α?β)=3，sin(α?β)=??<α?β<，∴α?β=?，即α=β?，代入2023·浙江杭州二模T156．已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθcosθ=sin2β,則4cos22α?cos22β=.【答案】0【分析】將sinθ+cosθ=2sinα平方，結(jié)合sinθcosθ=sin2β可得1+2sin2β?4sin2α=0，利用二倍角余弦公式將4cos22α?cos22β化簡求值，可得答案.【詳解】將sinθ+cosθ=2sinα平方得1+2sinθcosθ=4sin2α,結(jié)合sinθcosθ=sin2β可得1+2sin2β=4sin2α,即1+2sin2β?4sin2α=0，則4cos22α?cos22β=(2cos2α?cos2β)(2cos2α+cos2β)=1?4sin2α+2sin2β)(2cos2α+cos2β)=02024屆·浙江省Z20名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考題T77．已知sinα?cosα=5，0≤α≤π,則sin|（2α?4)|A?B【答案】D【分析】利用和差公式和同角三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角即可得出結(jié)論.|sin|sinα+cosα=7|cosα=35【詳解】將sinα?cosα5平方得1?2sinαcosα= ,25所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=，從而sinα+cosα=.sinα?cosα=sinα所以sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α?sin2α=(|（2?2=?.題型三和差公式2024屆·長沙一中校月考（三）T78．已知角α,β∈(0,π)，且sin(α+β)+cos(α?β)=0,sinαsinβ?3cosαcosβ=22【答案】D【分析】由兩角和與差公式化簡后求解.【詳解】由sin(α+β)+cos(α?β)=0，可得sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=?1cosαcosβ+sinαsinβ,故=?1.又sinαsinβ?3cosαcosβ=0，故sinαsinβ=3cosαcosβ,即tanαtanβ=3，代入=?1可得tanα+tanβ=?4.故tan(α+β)==2云南師范大學附屬中學2024屆高三高考適應(yīng)性月考卷（一）數(shù)學試題T747= A．sin(3α?β)=1B．sin(3α+β)=?147= C．sin(2α?β)=1【答案】C【分析】對題中條件進行變化化簡，可以得到2α?β=，進一步即可判斷正確答案.【詳解】：tanα?cosβ=1+sinβ,∴?cosβ=1+sinβ,即sinα?cosβ=cosα+sinβ?cosα,sinα?cosβ?sinβ?cosα=cosα,即sin(α?β)=cosα=sin(?α),則?π<α?β<π,0<π?α<π,所以2α?β=,∴sin(2α?β)=1,，故C正確.2024屆·重慶市西南大學附中、重慶育才中學十月聯(lián)考T7 10．已知角α,β均在(0,π)內(nèi)，cosα=，sin(α+β)=，則AπBπCπD5π【答案】C 7 7,所以sinα=11?cos2α,因為sin(α+β)=，所以sinα>sin(α+β)，所以(α+β)為鈍角，所以cos(α+β)=?=?，則cosβ=cos(α+β)?α=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=β∈(0,π)，則β=2024屆·重慶市第八中學校適應(yīng)性月考（一）T72221+cos則3πcos2221+cos則3πcos=84=2則A.α+β=πBα+β=C.α?β=?D.α?β=【答案】A【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式，化簡得到=taα【詳解】由?2cos(α+β)=?2cos(α+β)=?2cos(α+β)cosαsin(α+β)=?sinαsin[(α+β)?α]==cos(α+β)=sinβ,cosαsin(α+β)?sinαcos(α+β)sinαsinαsinα1tanα=1tanα=sinαsinβcosα,可得sinβcosαsinαsinα,即sinβ=cosα,即sinβ=sin(?α)，β+β)=.【答案】2：：∴tanα+tanβ=tanαtanβ?1，∴cosαcosβ=1?(tanα+tanβ)+tanαtanβ=1?(tanαtanβ?1)+tanαtanβ=2.法2：由tan(α+β法2：由tan(α+β)=?1，令3π3π 2=cos(β 2=cosαcosβ2023屆廣州市一模T713．若α,β∈,π,且(1?cos2α)(1+sinβ)=sin2αcosβ,則下列結(jié)論正確的是()A．2α+β=B．2α?β=C.α+β=D.α?β=【答案】A【分析】由α∈,π及二倍角的余弦公式可得sinα(1+sinβ)=cosαcosβ,根據(jù)兩角和的余弦公式可得sinα=cos(α+β)，由誘導(dǎo)公式及α,β的范圍即可求解.2α(1+sinβ)=2sinαcosαcosβ,即sinα(1+sinβ)=cosαcosβ.∴sinα=cosαcosβ?sinαsinβ=cos(α+β)，∴cos(α+β)=cos?α,:α,β∈,π,∴π<α+β<2π,且?<?α<0，根據(jù)函數(shù)y=cosx易知：α+β=?α+2π,即得：2α+β=.(π)2(π)(π)2(π)【答案】B【分析】利用降冪升角公式和誘導(dǎo)公式化簡即可得到結(jié)果.【詳解】cos22岳陽市高二下期末434?334【答案】A3?4 2x【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x為 2x【詳解】,然后再由正切的二倍角公式求tanx.?2=1+cosx+sinx1+(2cos2x?1)+2==tan,2024屆廣東實驗中學?？糡1516．若兩個銳角α,β滿足2csα=1β,則cos(|(α+2β+=.【答案】?1+cos2α1?cos2β【詳解】因為2cosα+sin2α=sin2β,所以1+2cos2α?1=1?(1?2sin2β)2cosα+2sinαcosα2sinβcosβ因為α,β為銳角，所以有1=,所以cosαcosβ=sinβ(1+sinα)，即cosαcosβ=sinβ+sinβsinα,所以cosαcosβ?cosαcosβ=sinβ,即cos(α+β)=sinβ,因為α,β為銳角，所以有α+β+β=，即α+2β=，2024屆·廣州市越秀區(qū)高三月考（十月）T717．已知α∈,π,且3cos2α?4sinα=1，則tan2α=()【答案】D3【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin2α+2sinα?1=0，結(jié)合角的范圍得sinα3角正切公式求值即可.,進而求tanα,應(yīng)用倍【詳解】由3cos2α?4sinα=3?6sin2α?4sinα=1，即3sin2α+2sinα?1=(3sinα?1)(sinα+1)=0，3所以sinα3或sinα=?1，又α∈,π,則sinα=1,3所以cosα=?22,則tanα=?122由tan2α==?.2024屆·廣州市天河區(qū)高三綜合測試（一）T722222【答案】D再根據(jù)二倍角的余弦公式即可得解.所以2α?π=β?π+kπ,即2α=β+π+kπ,k∈Z，(2α?β)=?cos2(2α?β)=?cos2(|(β++kπ?β武漢市硚口區(qū)2024屆高三上學期起點質(zhì)量檢測T15【答案】==== ,再根據(jù)二倍角與誘導(dǎo)公式求解即可.2θ?=.題型五統(tǒng)一角度化簡2024屆·重慶市第一中學校高三上學期9月月考·T1520．若tanα=tan，則=.【答案】2?3【分析】利用和角的正余弦公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式及齊次式求法求解即可.【詳解】tanα=cos(α+7π)sin(α+) tancosαcos?sinαsinsinαcos+cosαsincosαsin?sinαcossinαcos+cosαsintanπ?tanα tanα+tanπ9==2?3.2023屆·江蘇省七市三?！7【答案】Atanθ=?2cosos80°,再利用兩角差的余弦公式計算可得.所以2cos40°cosθ+cos80°cosθ+sin80°sinθ=0，所以tanθ=?2cosos80°=?sin80°2022屆·廣東省汕頭二?！722．若λsin160。+tan20。+cos70。=，則實數(shù)λ的值為()【答案】A32【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化簡即可求解.【詳解】因為λsin160。+tan20。+cos70。=，=，所以λsin20。++sin20。=，所以(λ+1)sin20。cos20。=cos20。?sin20。=2。?sin20。，所以=2，所以λ=32023湖南省五市十校高二下期末·T15323．已知α,β均為銳角，tanα+tanβ=2sin(α+β)，且cos(3,則cos2(α?β)=.?9?9【分析】化切為弦，然后逆用兩角和正弦公式，求得cosαcosβ=，再利用兩角和與差的余弦公式求得cos(α?β)=，根據(jù)二倍角公式即可得結(jié)果.【詳解】2sin(α+β)=tanα+tanβ=sinαccosα=s(,因為cos(α+β)=因為cos(α+β)=1=6而cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ=，從而sinαsinβ=?1=6因此cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ=+=，2024屆·重慶市巴蜀中學適應(yīng)性月考（二）·T11 24多選）已知0<α<π<β<π,cos2α=?，cos(α+β)=?，則()A．tanα=-2B．sin(α+β)=? C.β?α=D．cosαcosβ=?【答案】BC【分析】根據(jù)cos2α=?，判斷α的范圍，再根據(jù)cos2α,求出tanα,再由cos(α+β)tan(β?α)，cos(β?α)，從而得出答案.【詳解】因為0<α<π,所以0<2α<2π,又cos2α=?3<0，所以π<2α<3π,π<α