上海昂立中學(xué)生教育(同濟校區(qū))2022年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

上海昂立中學(xué)生教育(同濟校區(qū))2022年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率，則和分別為（

）A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75參考答案：A【分析】先由隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率p＝0.5，作出X的概率分布，然后再求E（X）和D（X）．【詳解】∵X服從兩點分布，∴X的概率分布為∴E（X）＝0×0.5+1×0.5＝0.5，D（X）＝0.52×0.5+（1﹣0.5）2×0.5＝0.25．故選：A．【點睛】本題考查離散型隨機變量的概率分布，解題時要注意兩點分布的性質(zhì)和應(yīng)用．2.在空間中，給出下列說法：①平行于同一個平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則；④過平面的一條斜線，有且只有一個平面與平面垂直.其中正確的是（

）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③參考答案：B【分析】說法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說法是否正確；說法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說法是否正確；說法③：當(dāng)與相交時，是否在平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，進行判斷；說法④：可以通過反證法進行判斷.【詳解】①平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【點睛】本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.3.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（）A．， B．， C．， D．，參考答案：A【考點】兩條平行直線間的距離．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的關(guān)系，求出平行線之間的距離表達式，然后求解距離的最值．【解答】解：因為a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，所以a+b=﹣1，ab=c，兩條直線之間的距離d=，d2==，因為0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是，．故選：A．4.過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，若，則

A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：D5.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由離心率和abc的關(guān)系可得b2=4a2，而漸近線方程為y=±x，代入可得答案．【解答】解：由雙曲線C：（a＞0，b＞0），則離心率e===，即4b2=a2，故漸近線方程為y=±x=x，故選：D．6.24名同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，若每人限報一項，則不同的報名方法種數(shù)是(

)A.34

B.43

C.

D.參考答案：A略7.已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（）A.

2

B.

3

C.

4

D.

1參考答案：A8.已知正方形所在平面，，點到平面的距離為，點到平面的距離為，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略9.已知函數(shù)f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題．【分析】由f（x）的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為開口向下的拋物線，因為函數(shù)在R上為單調(diào)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)與x軸沒有交點，即△小于等于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因為函數(shù)在（﹣∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，則△=，所以實數(shù)a的取值范圍是：[﹣，]．故選B【點評】此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時所取的條件，是一道綜合題．10.如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中，=900，

AA1=2，AC=BC=1則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是

A

B

C

D參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)為實數(shù)(為虛數(shù)單位)，則實數(shù)=

▲

．參考答案：略12.設(shè)數(shù)列的前項和為（），關(guān)于數(shù)列有下列三個命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是

參考答案：②③13.已知圓與圓，在下列說法中：①對于任意的，圓與圓始終有四條公切線；②對于任意的，圓與圓始終相切；③分別為圓與圓上的動點，則的最大值為4．其中正確命題的序號為___________.參考答案：②③。14.已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項和為290，偶數(shù)項和為261，則參考答案：29略15.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝______________。參考答案：16.某校高一年級有400人，高二年級有600人，高三年級有500人，現(xiàn)要采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中選出100名學(xué)生進行問卷調(diào)查，那么抽出的樣本中高二年級的學(xué)生人數(shù)為

．參考答案：4017.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），點F1，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點，點A是橢圓上的點，△AF1F2的內(nèi)切圓的圓心為M，若+2+2=0，則橢圓的離心率為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)點D是AF1的中點，由+2+2=0?若=﹣2（+）=﹣4，即三點F1、M、D三點共線，且點M是靠近D的5等分點，△AF1F2與△AMF2的面積比為5：1；如圖，有，由+2+2=0，得2，?AM：MH=3：2，?△AF1F2與△AMF1F2的面積比為5：2【解答】解：設(shè)點D是AF1的中點，∵+2+2=0?若=﹣2（+）=﹣4，∴三點F1、M、D三點共線，且點M是靠近D的5等分點，△AF1F2與△AMF2的面積比為5：1；如圖，有，由+2+2=0，得2，?AM：MH=3：2，∴△AF1F2與△AMF1F2的面積比為5：2又∵△AMF2與△AMF1F2的面積比為AF2：F1F2=1：2，AF2：F1F2：AF1=1：2：2，∴2a=3c，橢圓的離心率為．故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.甲組有人，乙組有人，其中組長各人.

（Ⅰ）這人站成一排照相，根據(jù)下列要求，各有多少種排法？①同組人員相鄰；

②乙組人員不相鄰.

（Ⅱ）現(xiàn)選派人去參加比賽，根據(jù)下列要求，各有多少種選派方法？①甲組人，乙組人；

②

組長中至少有人參加.參考答案：（Ⅰ）34560,604800;（Ⅱ）120,196（Ⅰ）1

；

……………2分2

.

……………4分（Ⅱ）①

；

……………6分②

法一（直接法）：；……………8分法二（間接法）：.

……………8分

19.（本小題滿分16分）已知等差數(shù)列中，，令，數(shù)列的前項和為。 （1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：； （3）是否存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。參考答案：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，。 解得，，∴。（4分） （2）∵，，∴ ∴ ∴。（8分） （3）由（2）知，，∴，，， ∵，，成等比數(shù)列，∴，即 當(dāng)時，，，符合題意； 當(dāng)時，，無正整數(shù)解； 當(dāng)時，，無正整數(shù)解； 當(dāng)時，，無正整數(shù)解； 當(dāng)時，，無正整數(shù)解； 當(dāng)時，，則，而， 所以，此時不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列。 綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列。（16分）20.給定橢圓（），稱圓為橢圓的“伴隨圓”．已知橢圓中，離心率為．（I）求橢圓的方程；（II）若直線與橢圓交于兩點，與其“伴隨圓”交于兩點，當(dāng)時，求弦長的最大值．參考答案：1）2),令，當(dāng)時21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.如圖，點為斜三棱柱的側(cè)棱上一點，交于點，交于點．（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質(zhì)類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少．下面請觀察平面勾股定理的條件和結(jié)論特征，試著將勾股定理推廣到空間去．勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結(jié)論AB2+AC2=BC2？請在答題紙上完成上表中的類比結(jié)論，并給出證明．參考答案：（1）證：；（4分）（2）解：在斜三棱柱中，有其中為平面與平面所組成的二面角.

（7分）上述的二面角為，在中，?，由于，有.

（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四面體O-ABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，則有

（14分）證法一：作OD⊥AB，垂足為D，連結(jié)CD

（18分）證法二：作OH⊥平面ABC，垂足為H，易得H為△ABC的垂心。連結(jié)CH并延長交AB于E，連結(jié)OE，則有OE⊥AB。在△OAB中，在Rt△EOC中，同理，，于是

（18分）22.（1）把6本不同的書分給4位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？（2）由0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)由多少個？（3）某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會英語，4人只會日語，其余2人既會英語，也會日語，現(xiàn)從中選6人，其中3人進行英語導(dǎo)游，另外3人進行日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？參考答案：（1）1560；（2）156；（3）92.【分析】（1）分為和兩類分別計算，加和得到結(jié)果；（2）分為個位是和個位不是兩類分別計算，加和得到結(jié)果；（3）分為只會英語的人中選了人作英語導(dǎo)游、選了人作英語導(dǎo)游和選了人作英語導(dǎo)游三類分別計算，加和得到結(jié)果.【詳解】（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有和兩類分配方式為時，共有：種分法分配方式為