新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.3.2第2課時(shí)球的表面積和體積教師用書新人教A版必修第二冊(cè)

第2課時(shí)球的表面積和體積學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解并把握球的體積和表面積公式．(數(shù)學(xué)抽象)2．會(huì)用球的體積與表面積公式解決實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．會(huì)解決球的切、接問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2022年2月6日，在2022年印度女足亞洲杯決賽中，中國女足在0比2落后的狀況下逆轉(zhuǎn)，以3比2力克韓國隊(duì)奪冠，時(shí)隔16年重登亞洲之巔．問題：你知道2022女足亞洲杯決賽中所使用的足球的表面積和體積嗎？學(xué)問點(diǎn)球的表面積和體積1．球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝43πR31．表面積為4π的球的半徑是________．1[設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝4π，得R＝1．]2．若一個(gè)球的體積為36π，則它的表面積為________．36π[由43πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面積S＝4πR2＝類型1球的表面積與體積【例1】(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；(2)已知球的體積為5003π[解](1)設(shè)球的半徑為r，則由已知得4πr2＝64π，r＝4．所以球的體積為V＝43×π×r3＝256(2)設(shè)球的半徑為R，由已知得43πR3＝5003π，所以R＝所以球的表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π．把握住球的表面積公式S球＝4πR2，球的體積公式V球＝43πR3是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知球O的表面積為16π，則球O的體積為()A．43π B．8C．163π D．32D[由于球O的表面積是16π，所以球O的半徑為2，所以球O的體積為4π3×23＝323類型2球的截面問題【例2】(1)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1．球心O到平面α的距離為2，則此球的體積為()A．6πB．43πC．46πD．63π(2)已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別為6π和8π，則這兩個(gè)截面間的距離為________．(1)B(2)1或7[(1)如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝22+1＝3，即球的半徑為3，∴V＝43π(3)3＝(2)若兩個(gè)平行截面在球心同側(cè)，如圖①，則兩個(gè)截面間的距離為52-3若兩個(gè)平行截面在球心異側(cè)，如圖②，則兩個(gè)截面間的距離為52-]球的截面問題的解題技巧(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題．(2)解題時(shí)要留意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于________．16π[如圖，圓M的面積為3π，則圓M的半徑MB為3，設(shè)球O的半徑為R，則R2＝14R2＋3，得R＝2，則球O的表面積等于4π×22＝]類型3與球有關(guān)的切、接問題【例3】有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，其次個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．[思路導(dǎo)引]正方體與球直觀想象軸截面數(shù)學(xué)運(yùn)算棱長(zhǎng)與半徑的關(guān)系．[解]設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r1，r2，r3．(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面(正方形)的中心，經(jīng)過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖①所示．所以2r1＝a，r1＝a2，S1＝4πr12(2)球與正方體各棱的切點(diǎn)為每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖②所示．所以2r2＝2a，r2＝22a，所以S2＝4πr22(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖③所示．則2r3＝3a，∴r3＝32a，S3＝4πr32因此三個(gè)球的表面積之比為S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．處理與球有關(guān)的相接、相切問題時(shí)，關(guān)鍵是依據(jù)“接點(diǎn)”和“切點(diǎn)”作一適當(dāng)?shù)慕孛?，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(1)球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑．(2)球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別是3，3，6A．12πB．18πC．36πD．6π(2)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V2(1)A(2)32[(1)由題意可知，該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為球的直徑，其長(zhǎng)度為23，從而球的半徑為3，球表面積為(2)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以V1V2＝π1．若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于()A．12C．2 D．3D[設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝43πR3，所以R＝2．已知正方體的內(nèi)切球的體積是82π3，則正方體的棱長(zhǎng)為A．22 B．2C．423A[設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球的半徑為R，則a＝2R，又43πR3＝82π3，∴R3＝22，∴R＝2，∴a3．一平面截一球得到直徑為25cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是2cm，則該球的體積是()A．12πcm3 B．36πcm3C．646πcm3 D．108πcmB[設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1．則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示．在Rt△OO1A中，O1A＝5cm，OO1＝2cm，∴球的半徑R＝OA＝22+5∴球的體積V＝43×π×33＝36π(cm3)．4．將兩個(gè)半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個(gè)大球，則這個(gè)大球的半徑R為________．32[V小球＝43·π·13＝43π，V大球＝43依題意43πR3＝43π×2＝83π，∴R3＝2，∴R回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．球的表面積和體積公式是什么？[提示]設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，球的體積V＝43πR32．解決球的截面問題的關(guān)鍵是什么？[提示]解決球的截面問題的關(guān)鍵是建立球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d三者之間的方程．3．若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則其外接球半徑R與三條棱長(zhǎng)有何關(guān)系？[提示]2R＝a24．棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球，其半徑R與棱長(zhǎng)a有何數(shù)量關(guān)系？其內(nèi)切球半徑R′與棱長(zhǎng)a呢？[提示]外接球半徑R＝32a；內(nèi)切球半徑R′＝125．若一球與正方體的12條棱相切，則球半徑R與棱長(zhǎng)a有何數(shù)量關(guān)系？[提示]R＝22a我國古代數(shù)學(xué)中球的體積公式我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈3169V．實(shí)際上，“開立圓術(shù)”認(rèn)為，球的體積V≈9不過，我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作注時(shí)就發(fā)覺，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球體積的方法，他制造了一個(gè)稱為“牟合方蓋”的立體圖形．如圖①所示，在一個(gè)立方體內(nèi)作兩個(gè)相互垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分，就是牟合方蓋，如圖②所示．牟合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同球相切．假如用同一水平面去截它們，就得到一個(gè)圓(球的截面)和它的外切正方形(牟合方蓋的截面)．劉徽指出，在每一高度的水平截面圓與其外切正方形的面積之比等于π4，因此球體積與牟合方蓋體積之比也應(yīng)當(dāng)?shù)扔讦?．因此，只要知道了牟合方蓋的體積，就能得出球的體積．圓滿的是，劉徽當(dāng)時(shí)并沒有得出牟合方蓋的體積，他說：“劉徽所盼的“能言者”過了兩百多年才消滅，那就是祖沖之和他的兒子祖暅．祖氏父子繼承了劉徽的思路，即從計(jì)算牟合方蓋體積來突破．他們考慮了立方體切除牟合方蓋之后的那部分的體積，取牟合方蓋的八分之一，考慮它與其外切正方體所圍成的立體，如圖③甲所示．將它分成四個(gè)小立體，如圖③乙、③丙、③丁、③戊．其中圖③乙就是牟合方蓋的八分之一．祖氏父子通過考察截面的面積發(fā)覺，圖③丙、丁、戊的立體體積之和等于如圖③己所示的四棱錐體積，這個(gè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于如圖③甲所示的正方體的邊長(zhǎng)．因此，假如設(shè)球的半徑為r，則圖③甲中的正方體邊長(zhǎng)也為r，從而可知八分之一牟合方蓋的體積為r3－13r3＝23r3．因此牟合方蓋的體積為163r3．再結(jié)合劉徽所得到的結(jié)論，就可以知道球的體積為上面的介紹中，多次使用了“祖暅原理”，所涉及的計(jì)算也都沒有超出高中數(shù)學(xué)的范圍，感愛好的同學(xué)再認(rèn)真推敲一遍吧！課時(shí)分層作業(yè)(二十六)球的表面積和體積一、選擇題1．兩個(gè)球的體積之比為8∶27，那么這兩個(gè)球的表面積之比為()A．2∶3 B．4∶9C．2∶3 D．8∶27B[設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為r，R，則43πr3∶43πR3＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2．若一個(gè)實(shí)心球?qū)Π敕殖蓛砂牒蟊砻娣e增加了4π，則原來實(shí)心球的表面積為()A．4π B．8πC．12π D．16πB[設(shè)實(shí)心球的半徑為R．由題意可得，2πR2＝4π，∴原來實(shí)心球的表面積為4πR2＝8π．故選B．]3．過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為()A．316 B．C．38 D．A[設(shè)球的半徑為R，所得的截面為圓M，圓M的半徑為r．易知R2＝14R2＋r2，∴34R2＝r則S球＝4πR2，截面圓M的面積為πr2＝34πR2，則所得截面的面積與球的表面積的比為34πR24．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈316V9．假如球的半徑為13，依據(jù)“開立圓術(shù)”的方法求得的球的體積約為A．π8 B．C．481 D．D[由題意，得r＝13，d＝2所以23≈316V9，解得V5．(多選)如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為2πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2CD[依題意得球的半徑為R，則圓柱的側(cè)面積為2πR×2R＝4πR2，所以A錯(cuò)誤；圓錐的側(cè)面積為πR×5·R＝5πR2，所以B錯(cuò)誤；球面面積為4πR2，由于圓柱的側(cè)面積為4πR2，所以C正確；由于V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝13πR2·2R＝23πR3，V球＝43πR3，所以V圓柱∶V圓錐∶V球＝2πR3∶23πR3∶43πR3＝3∶1∶二、填空題6．一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在體積為43π的球面上，則正方體的表面積為________8[設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長(zhǎng)為a，則43πR3＝43π，故R＝1，由3a＝2R＝2，所以a＝23，所以正方體的表面積為S＝6a2＝6×7．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的鐵球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的鐵球(如圖所示)，則鐵球的半徑是________cm．4[設(shè)鐵球的半徑為rcm，由題意得πr2×8＝πr2×6r－43πr3×3，解得r＝8．若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長(zhǎng)之和為6π，則兩球的半徑之差為________．1[設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R>r)，則由題意得4π3R3+4π3三、解答題9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．[解]該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．該組合體的體積V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝10．將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為()A．4π3C．3π2A[由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，依據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是43×π×13＝411．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的表面積為()A．153π B．160πC．169π D．360πC[由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線就是外接球的直徑，所以球O的半徑R＝1232+42+122＝132，所以球O12．一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為323π，那么這個(gè)正三棱柱的體積是(A．963 B．163C．243 D．483D[由題意可知正三棱柱的高等于球的直徑，從棱柱中間平行棱柱底面截得球的大圓內(nèi)切于正三角形，正三角形與棱柱底面三角形全等，設(shè)三角形邊長(zhǎng)為a，球半徑為r，由V球＝43πr3＝323π，得r＝2．由S柱底＝12a×r×3＝34a2，得a＝23r＝43，所以V柱＝S柱底·2r13．圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為________．100π[如圖，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以O(shè)A＝5，所以球的表面積為100π．]14．已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．[解]由于AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，