2023-2024學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市東港中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2023年廣東省揭陽(yáng)市東港中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

L函數(shù)詢=—“|2+力|（代［。時(shí)

的圖像與直線有且僅有兩個(gè)不同

交點(diǎn)，則的取值范圍是

A.(T,3)

B.(-1,0)U(0,3)

C.(0,1)

D.(1,3)

參考答案:

D

略

2.符合下列條件的三角形有且只有一個(gè)解的是

A.a=l,b=2,c=3B.a=l,b=Jl,zA=30°

C.a=l,b=2,zA=100°D.b=c=l,zB=45°

參考答案：

D

3.已知三角形三邊長(zhǎng)分別為①瓦&'+'+必，則此三角形的最大內(nèi)角的大小為（）

A.90°B.120°C.60°D.120°或60°

參考答案:

B

略

4.已知。=U7°\b=kg"8,c=l產(chǎn)，貝產(chǎn)也c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cc.a<c<bD.b<c<a

參考答案：

B

4234

5.已知等差數(shù)列丁7-7-,則使得工取得最大值的n值是()

(A)15(B)7(C)8和9(D)7

和8

參考答案：

D

略

6.設(shè)U={1,2,3,4,5},若4={1,3,5},B={1,2,3};則,。(4八a=()

A.{1,2,4}B.{1,2}C.{1,4}D.{2,4,5}

參考答案：

D

7.直線％-y=0的傾斜角為()

x3力

A.1B.4C.-1D.4

參考答案：

B

【考點(diǎn)】直線的斜率.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線x-y=0的傾斜角為0,由直線的方程可得直線的斜率k=l,則

有tan0=l,由0的范圍分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直線x-y=O的傾斜角為①(0<0<7i)

直線的方程為x-y=O,即y=x,

該直線的斜率k=l,

則有tanO=l,5.0<0<71,

71

故0=4；

故選：B.

8.下列事件中，不是隨機(jī)事件的是().

A.東邊日出西邊雨B.下雪不冷化雪冷

C.清明時(shí)節(jié)雨紛紛D.梅子黃時(shí)日日晴

參考答案：

B

略

9.函數(shù),=匚7的圖象與函數(shù)>-2~?-4口工9的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于()

A.12B.14C.16D.18

參考答案：

A

10.若/")滿足-幻=/"),且在(-97］上是增函數(shù)，則()

A人-弓)</(-1)<A2)R/-D-$<"2)

A.LD.2

o3

「/(2)</(-1)</(-|)/(2)<式-5)</(-1)

V/■JbU■&

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.若點(diǎn)A(xi,yi)、B(X2,y2)同時(shí)滿足一下兩個(gè)條件:

(1)點(diǎn)A、B都在函數(shù)y=f(x)上；

(2)點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

則稱點(diǎn)對(duì)((xi,y。，(xz,y2))是函數(shù)f(x)的一個(gè)“姐妹點(diǎn)對(duì)”.

x-4(x〉0)

￡&)=｛2,/、

已知函數(shù)1X-2x(x<0),則函數(shù)f(x)的“姐妹點(diǎn)對(duì)”是—.

參考答案：

(1,-3),(-1,3)

【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法.

X+x

【分析】設(shè)Xi>0,則yi=xi-4,由“姐妹點(diǎn)對(duì)"的定義知xz=-xi,y2=l21=-y)=4

-X1,由此能求出函數(shù)f(x)的“姐妹點(diǎn)對(duì)”.

【解答】解:設(shè)為>0,則yi=x「4,

?.?點(diǎn)對(duì)((xi,yD,(xz,y2))是函數(shù)f(x)的一個(gè)“姐妹點(diǎn)對(duì)”，

2X

/.x2=-x1;y2=(-xi)-2(-xi)=1+2xi=_y-4_X1)

.x]2+3x[-4=0

解得X1=1或XF-4(舍)，

，X]=l(X2=_1

力=-3,b2=3,

.??函數(shù)f(x)的“姐妹點(diǎn)對(duì)”是(1,-3),(-1,3).

故答案為：(1,-3),(-1,3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的“姐妹點(diǎn)對(duì)”的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)

性質(zhì)的合理運(yùn)用.

12.在區(qū)間「3'目上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X，使得函數(shù)J匚三+4^-1有意義的概率為

參考答案：

2

()3

13.在等差數(shù)列｛%｝中，若。3=2。9=10,則2%-.=

參考答案:

6

14.某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班.其中甲班有40人，乙班50人.現(xiàn)分析

兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分,

則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是一分.

參考答案:

85

甲班的總成績(jī)是90x40=3600（分），乙班的總成績(jī)是81x50=4050（分），則該校

數(shù)學(xué)建模興趣班的總成績(jī)是3600+4050=7650（分），平均成績(jī)是7650+90=85

（分）.

15.如圖，在直四棱柱4a。〃一A5切中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?頗滿足條件―

時(shí)，有42a笈〃.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮而有可能的

情形.）

參考答案：

A51BD（答案不唯一）

略

工X2-2X

16.函數(shù)y=（2）*單調(diào)遞增區(qū)間是.

參考答案：

(-8,1]

【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】設(shè)t=xJ2x,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.

1

【解答】解：設(shè)t=x「2x,則函數(shù)y=(I)'為減函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系知要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，

即求函數(shù)t=x2-2x的遞減區(qū)間，

：t=x2-2x的對(duì)稱軸為x=l,遞減區(qū)間為(-8,1],

則函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(-8,1],

故答案為：(-8,1]

17.若。力,cGR,且滿足，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

參考答案：

[1,5]

目標(biāo)求。的取值范圍，故要消去變量b,c.由條件：

/.b2+c2=—a2+14a+5>0a2—14a—5>0

b2+(?>2bc—/+14a+5>2(a2—2a+10)a2-6a+5<01<a<5.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知函數(shù)的最小正周期為元.

(1)求金的值;

(2)討論f(X)在區(qū)間,司上的單調(diào)性.

參考答案：

fl.72

=k,o.sUJX(-y-fiiiiUJX+-y-(oscvr)

=2/lcosujxfiinUJX+2/leosiu)x

=flsin2ujx+flcos2i^x+fl

=2si〃(23i+￡)+7

???/(1)的最小正周期是亓

.2ir.

.?為一"

「?3=1

綜上所述，3=1

（2）\,/（z）=2.sin（2x+y）+/2

.?.當(dāng)沖）.［時(shí)，2"?苧

當(dāng)2J+：W［￡,41?即‘4億時(shí)，/（，）單調(diào)

遞增

當(dāng)苧］,即時(shí)，/（/）單調(diào)

遞減

綜上所述，xdo.g［時(shí)，/（』?）單調(diào)遞增；

xelj.時(shí)，/（，）單調(diào)遞減

19.（16分）某休閑農(nóng)莊有一塊長(zhǎng)方形魚塘ABCD,AB=5O米，BC=25次米，為了便于游客

休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF,考慮到整體規(guī)

劃，要求0是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且/E0F=90°.

（1）設(shè)/B0E=a,試將AOEF的周長(zhǎng)1表示成a的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義

域；

（2）經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費(fèi)用均為4000元，試問如何設(shè)計(jì)才能使建設(shè)總費(fèi)用最低

并求出最低總費(fèi)用.

5,E

參考答案：

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法.

專題：應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：(1)要將AOEF的周長(zhǎng)1表示成a的函數(shù)關(guān)系式，需把AOEF的三邊分別用含有

a的關(guān)系式來(lái)表示，而0E,

OF,分別可以在Rt^OBE,RtZiOAF中求解，利用勾股定理可求EF,從而可求.

(2)要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求AOEF的周長(zhǎng)1的最小值即可.由(1)得

25(sina+cosa+1)兀冗

1=cosQ.sind,aG[6,3],

t2-l

利用換元，設(shè)sina+cosa=t,則sinacosa=2,從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的

最小值.

解答：(1):在Rt/XBOE中，0B=25,ZB=90°,ZB0E=a,

25

.?.OE=cosCL

在RtZiAOF中，0A=25,ZA=90°，ZAF0=a,

25

.-.0F=sinCl.

又/E0F=90

/.EF=V0E2+0F2=cosCLsina,

25(sinCL+cosCL+l)

?，?l=0E+0F+EF=cosasina

K

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí)，這時(shí)角a最小，此時(shí)a=6；

71

當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角a最大，求得此時(shí)a=3.

nn

故此函數(shù)的定義域?yàn)閇石，T]；

(2)由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求AOEF的周長(zhǎng)1的最小值即可.

25(sind+cosCL+1)兀兀

由(1)得，1=cosCIsinCI,aG[6,3],

t2-l

設(shè)sina+cosa二t,貝(Jsinacosa=2,

25(sind+cosCl+l)50

：A-cosCLsinQ.二Ll

_2L

由t=sina+cosa=V2sin(a+4),

亞K7KV3+l><v-

又12/a+4W12,得2尸

..寫工-1467

K_

從而當(dāng)a="7,即BE=25時(shí)，l?in=50(F+l),

所以當(dāng)BE=AF=25米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為200000(亞+1)元.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了利用數(shù)學(xué)知

識(shí)解決實(shí)際問題的能力，及推理運(yùn)算的能力.

20.如圖1,已知四邊形8CQE為直角梯形，4=90=REUCD,且

M=2CD="C=2,A為BE的中點(diǎn),將A￡D/沿A。折到MDN位置（如圖2）,連

結(jié)尸C,PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐P-A2CD

（II）若PA1平面ABCD.

①求二面角8-PC-。的大小；

②在棱PC上存在點(diǎn)滿足=使得直線AM與平面PBC所成的角

為45。，求N的值.

參考答案：

1=1

（I）詳見解析；（II）①120。，②a=0或3.

【分析】

（I）可以通過已知證明出4刀L平面PA3,這樣就可以證明出3IPB；

（II）①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,A尸為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可

以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的法向量為萬(wàn)、平面尸C￡＞的法向量麻，利用空間向

量的數(shù)量積，求出二面角A-PC-刀的大小；

②求出平面P5C的法向量，利用線面角的公式求出工的值.

【詳解】證明：（I）在圖1中，二,加〃CD,AB-CD,

二&（力為平行四邊形，二4D//BC,

-ZB=9QT,ADLBE,

當(dāng)ABCX沿AD折起時(shí)，ADVAR,AD1AE,即加_LZ8,ZDJJX,

又，fcRi=4,總匚面碗.月1（=面照“二切_1_平面叢8,

又：月?U平面P4B,■AD1PH.

解：（II）匚）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A8,AD,A尸為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，由于/"J"平面ABCD

則?Q.o,③，Ad.。，3,di,6,心o,D,Q（0i,3

而=（!”，-1）,苑=（Q.i,0）,m-（I?0）,

設(shè)平面尸8C的法向量為育=（、y,Z）,

JY7-5=x+j-z=0

則IR?甫=，=。，取Z=l,得?=。0,。，

設(shè)平面PCO的法向量.=（/6,C）,

A-PC=a^b-c—0

則ImDC=a-0,取“1,得前二電1。，

設(shè)二面角5-PC-O的大小為夕，可知為鈍角，

.?二面角2-尸匕-刀的大小為1W.

'②設(shè)AM與面PBC所成角為a,

石=方?衣=(Qo,D?肛1,-D=a,Z,D,

平面尸Be的法向量網(wǎng)=a。，D,

■.■直線AM與平面PBC所成的角為45°,

.二“.|一”寸_巴，一產(chǎn)T./

片《?才麗卜同也同不赤罰2

解得4=0或3

【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角

的大小以及通過線面角公式求定比分點(diǎn)問題.

21.已知gS,力3分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且g(x)+A(x)=?'.

(1)求，X),如口)的解析式；

(2)解不等式g'+2x)+Mx-4)>0；

(3)若對(duì)任意xw[ln2,ln3]使得不等式g(2x)-M(力2°恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值

范圍.

參考答案：

g(-x)+A(-x)=eTg(x)-Mi)=@7

<<

解：⑴由Mx)+"(x)"'，得［g("+M>/，解得

g(x)=±F喇=寫1

(2)???A(x)在R是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

+2x)+4(x-4)>0O嵐+2x)>