第四章 優(yōu)化設(shè)計41-42

第

三

章優(yōu)化設(shè)計3.1概述3.2優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型3.3幾種優(yōu)化方法3.4優(yōu)化方法的工程應(yīng)用

3.1概述

1.優(yōu)化設(shè)計基本概念

2.傳統(tǒng)設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計的對比

3.優(yōu)化設(shè)計的一般認知

4.優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展過程

5.優(yōu)化的應(yīng)用概述

優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。

優(yōu)化作為一門學科與技術(shù)，則是一切科學與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。

優(yōu)化的原理與方法，在科學的、工程的和社會的實際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計。

優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計和機械優(yōu)化設(shè)計的含義例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動中經(jīng)過無數(shù)次摸索認識到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大。1優(yōu)化設(shè)計基本概念

優(yōu)化是對問題尋優(yōu)的過程，它是人們從事任何工作都希望實現(xiàn)的目標。

需要具備的兩個條件：

①存在一個優(yōu)化目標

②有多個可供選擇的方案

優(yōu)化設(shè)計是在現(xiàn)代計算機廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設(shè)計，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計方案的一種現(xiàn)代設(shè)計方法。

通俗的說，優(yōu)化設(shè)計就是根據(jù)設(shè)計模型及初始設(shè)計參數(shù)，選定一種優(yōu)化方法編出程序，通過計算機，求出優(yōu)化參數(shù)及優(yōu)化性能指標。

（1）來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程；（2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以max表示)或極小(以min表示)的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學規(guī)劃，是用科學方法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學；（3）優(yōu)化設(shè)計：根據(jù)給定的設(shè)計要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設(shè)計要求的許多可行方案中，按照給定的目標自動地選出最優(yōu)的設(shè)計方案。

機械優(yōu)化設(shè)計

就是把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計流程

常規(guī)設(shè)計流程

優(yōu)化設(shè)計方法是應(yīng)用數(shù)學最優(yōu)化原理解決實際問題的設(shè)計方法。針對某一設(shè)計任務(wù)，以結(jié)構(gòu)最合理，工作性能最佳，成本最低等為設(shè)計要求，在多種方案、多組參數(shù)、多種設(shè)計變量中確定主要設(shè)計變量的取值，使之滿足最優(yōu)設(shè)計要求。在機械設(shè)計中，優(yōu)化設(shè)計體現(xiàn)為最佳設(shè)計方案的確定和最佳參數(shù)的確定。優(yōu)化設(shè)計過程是以計算機自動設(shè)計選優(yōu)為其基本特征。其設(shè)計過程一般分為如下四步:

(l)設(shè)計課題分析：首先確定設(shè)計目標，它可以是單項指標，也可以是多項設(shè)計指標的組合。然后分析設(shè)計應(yīng)滿足的要求，主要的有：某些參數(shù)的取值范圍；某種設(shè)計性能或指標按設(shè)計規(guī)范推導出的技術(shù)性能；還有工藝條件對設(shè)計參數(shù)的限制等。

(2)建立數(shù)學模型：將實際設(shè)計問題用數(shù)學方程的形式予以全面、準確地描述，其中包括：確定設(shè)計變量，即哪些技術(shù)參數(shù)參與優(yōu)選；構(gòu)造目標函數(shù)，即評價設(shè)計方案優(yōu)劣的設(shè)計指標；選擇約束函數(shù)，即把設(shè)計應(yīng)滿足的各類條件以等式或不等式的形式表達。建立數(shù)學模型要做到準確、齊全這兩點，這對于整個優(yōu)化設(shè)計的效果是至關(guān)重要的。(3)選擇優(yōu)化方法：根據(jù)數(shù)學模型的函數(shù)性態(tài)、設(shè)計精度要求等選擇適用的優(yōu)化方法，并編制出相應(yīng)的計算機程序。

(4)上機電算擇優(yōu)：將所編程序及有關(guān)數(shù)據(jù)輸入計算機，進行運算，自動解得最優(yōu)解，然后對所算結(jié)果作出分析判斷，得到設(shè)計對象的最優(yōu)設(shè)計方案。

即:

確定設(shè)計要求與規(guī)模

分析優(yōu)化對象

選擇合適的優(yōu)化方法

編程上機

應(yīng)用計算機來進行優(yōu)化設(shè)計，具有如下特點:

(1)設(shè)計的思想是最優(yōu)設(shè)計

需要建立一個正確反映設(shè)計問題的數(shù)學模型

(2)設(shè)計的方法是優(yōu)化方法

一個方案參數(shù)的調(diào)整是計算機沿著使方案更好的方向自動進行的，從而選出最優(yōu)方案

(3)設(shè)計的手段是計算機

由于計算機的運算速度快，分析和計算一個方案只需兒秒以至千分之一秒鐘，因而可以從大量的方案中選出“最優(yōu)方案”。

2傳統(tǒng)設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計的對比

機械的現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計方法---基于手工勞動或簡易計算工具設(shè)計過程---特點------基于計算機的應(yīng)用低效,一般只能獲得一個可行的設(shè)計方案.①從實際問題中抽象出數(shù)學模型;②選擇合適的優(yōu)化方法求解數(shù)學模型.以人機配合或自動搜索方式進行,能從“所有的”可行方案中找出“最優(yōu)的”設(shè)計方案.機械的傳統(tǒng)設(shè)計方法傳統(tǒng)設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計的對比

調(diào)查分析方案擬定技術(shù)設(shè)計產(chǎn)品制造試驗驗證零件試制經(jīng)驗或直觀判斷傳統(tǒng)設(shè)計方法估算、經(jīng)驗類比或試驗分析計算性能檢驗參數(shù)修改被動的重復分析

方案數(shù)量有限

計算機輔助設(shè)計的最優(yōu)化設(shè)計方法建立數(shù)學模型選擇優(yōu)化算法優(yōu)化結(jié)果評價主動設(shè)計

大量可行方案3.優(yōu)化設(shè)計的一般認知

任何一項設(shè)計，都可以有許多不同的方案，對應(yīng)同一種方案的參數(shù)，又可以有許多不同的數(shù)值。例如汽車的前照燈，外型可方可圓，燈泡可采用鹵素燈、石英燈、組合燈……構(gòu)成不同的方案，通過“方案優(yōu)化”選定一種最好的方案。在每一方案中，又有外型尺寸、燈泡功率等需要確定的參數(shù)，通過"參數(shù)優(yōu)化"來確定一組最好的參數(shù)。

從廣義上說，任何一位設(shè)計師在做一項設(shè)計的時候總是選擇他認為是最好的方案，都有某種程度上的“優(yōu)化”，因此他可以說他的產(chǎn)品是經(jīng)過“優(yōu)化”的。

但是現(xiàn)在一般采用的是狹義的優(yōu)化概念，就是利用現(xiàn)代的數(shù)學成果建立數(shù)學模型，用計算機進行計算，求出最優(yōu)解的方法。無論何種意義上的優(yōu)化，都有一個共同的特點，就是相對性。這個相對性有兩方面的意義，一是優(yōu)化是相對某種目標的，目標不同優(yōu)化的結(jié)果不同。另一方面是在大多數(shù)的情況下，優(yōu)化的結(jié)果并不是最優(yōu)的，只能是相對好的。

“優(yōu)化設(shè)計”的“優(yōu)”是相對某個目標而言的；由于計算方法的限制，實際上找到的可能僅是“較優(yōu)”的；經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計的產(chǎn)品對于相應(yīng)的評價指標在一定的時期內(nèi)可能比其他同類產(chǎn)品具有一定的優(yōu)勢。4.優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展過程發(fā)展概況

歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。直到上世紀40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。50年代末數(shù)學規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。是新發(fā)展起來的一個新的數(shù)學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。

一般說來，對于工程設(shè)計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復雜，最優(yōu)化設(shè)計結(jié)果所取得的效益就愈大。最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計方法。利用這種方法，可以縮短設(shè)計周期大大，提高計算精度，可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)化設(shè)計問題。

大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學中的一個重要分支，并在許多科學技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法等。第二階段數(shù)學規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給解決復雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、

模擬退火算法、

蟻群算法、

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。機械優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用的發(fā)展5優(yōu)化的應(yīng)用

例如，工廠在安排生產(chǎn)計劃時，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設(shè)備、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤最大；

又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；

再如，在城市交通管理中，如何控制和引導車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。機械優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用實例

美國波音飛機公司對大型機翼用138個設(shè)計變量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了1/3；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)化設(shè)計，使成本降低約10%。

實踐證明，最優(yōu)化設(shè)計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，降低自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計方法。同時也可使設(shè)計者從大量繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----汽車在懸架系統(tǒng)方面的優(yōu)化設(shè)計汽車懸架系統(tǒng)非線性阻尼的優(yōu)化設(shè)計，以轎車后懸掛系統(tǒng)作為研究對象,將汽車簡化成兩個自由度的振動系統(tǒng),采用改進的非高斯閉合法計算車輛在路面譜激勵下車身振動加速度均方根值、車輪與路面間相對動載及懸架的穿越頻率．在此基礎(chǔ)上提出了一種對汽車懸架非線性阻尼進行優(yōu)化設(shè)計的方法,該方法在汽車動態(tài)設(shè)計研究中具有一定的實用價值.優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----汽車整體式轉(zhuǎn)向機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

汽車雙前橋轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的運動學模型及其最優(yōu)化設(shè)計

從整體考慮雙前橋轉(zhuǎn)向機構(gòu)的優(yōu)化問題,通過平面投影的方法建立了雙前橋轉(zhuǎn)向機構(gòu)的運動學模型。運用優(yōu)化理論確定設(shè)計變量的優(yōu)化目標函數(shù)，在Matlab軟件中進行優(yōu)化計算，并對優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進行誤差分析，最終得出滿意解決方案，具有較高實用價值。優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----汽車車架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計以有限元結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化算法相結(jié)合為手段,以某型載貨車車架為例,先對車架進行拓撲優(yōu)化獲得車架最優(yōu)拓撲形式,根據(jù)車架最優(yōu)拓撲形式確定橫梁的數(shù)量及分布位置和縱梁的加強方式,得到車架的概念化設(shè)計。優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----汽車車架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計然后對橫梁和縱梁的截面尺寸進行優(yōu)化，建立車架的力學模型→優(yōu)化參數(shù)模型→優(yōu)化數(shù)學模型→有限元模型，采用ANSYS參數(shù)化設(shè)計語言編制優(yōu)化設(shè)計程序，用ANSYS軟件中的零階優(yōu)化方法獲得最優(yōu)設(shè)計，計算結(jié)果表明該優(yōu)化設(shè)計方法的有效和高效，該方法可廣泛應(yīng)用于車架的優(yōu)化設(shè)計工程。優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----汽車傳動軸的優(yōu)化設(shè)計空心傳動軸的可靠性優(yōu)化設(shè)計在普通優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)上，根據(jù)可靠性設(shè)計準則，將空心傳動軸的應(yīng)力及強度視為隨機變量，建立起空心傳動軸的可靠性優(yōu)化設(shè)計模型，實例說明可靠性優(yōu)化設(shè)計方法比傳統(tǒng)設(shè)計方法更可靠、經(jīng)濟。

優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----汽車傳動系參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計汽車傳動系參數(shù)對整車的動力性和經(jīng)濟性有很大的影響。以驅(qū)動功率損失率和六工況百公里油耗量分別作為衡量汽車動力性和經(jīng)濟性的評價指標，采用動力性經(jīng)濟性統(tǒng)一目標函數(shù)建立汽車傳動系參數(shù)優(yōu)化模型，應(yīng)用MATLAB軟件優(yōu)化工具箱中的優(yōu)化計算函數(shù)來編制程序。對具體的樣車的傳動系參數(shù)進行優(yōu)化，可以獲得經(jīng)過優(yōu)化的傳動系參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----離合器的仿真優(yōu)化設(shè)計為了在離合器設(shè)計過程中降低膜片彈簧離合器的制造成本，減小尺寸，使之在結(jié)構(gòu)上得到更好的性能，可以整個結(jié)構(gòu)重量最小為主要設(shè)計目標的離合器數(shù)學模型，并對膜片彈簧離合器參數(shù)進行優(yōu)化計算。結(jié)果顯示，在保證性能要求的前提下,該方法所設(shè)計的膜片彈簧離合器能顯著地降低結(jié)構(gòu)的重量。優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----內(nèi)燃機連桿的優(yōu)化設(shè)計采用最優(yōu)化理論對連桿進行有限元的優(yōu)化設(shè)計。通過優(yōu)化設(shè)計，連桿在強度和剛度都滿足設(shè)計要求的情況下，其質(zhì)量比原來連桿質(zhì)量減少許多，其中強度富裕部位的金屬被自動減少，而強度薄弱部分被自動增強，并且應(yīng)力分布也比較合理。優(yōu)化設(shè)計在汽車設(shè)計中的應(yīng)用舉例

----汽車驅(qū)動橋殼優(yōu)化設(shè)計作為汽車的主要承載件和傳力件，驅(qū)動橋殼支撐著汽車的荷重，并將載荷傳給車輪。作用在驅(qū)動車輪上的牽引力、制動力和側(cè)向力是經(jīng)過橋殼傳到懸掛及車架或者車身上。驅(qū)動橋殼結(jié)構(gòu)強度直接關(guān)系到整車設(shè)計的好壞。

3.2優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型

1.設(shè)計變量

2.約束條件

3.目標函數(shù)

4.優(yōu)化設(shè)計問題一般數(shù)學形式

5.建立數(shù)學模型一般步驟

6.優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法

7.優(yōu)化設(shè)計的分類實例1：

有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角各裁去一個小的方塊，做成一個無蓋的盒子。試確定裁去的四個小方塊的邊長，以使做成的盒子具有最大的容積。

解：設(shè)裁去的四個小方塊的邊長為x，則盒子的容積可表示成x的函數(shù)f(x)＝x(6-2x)

24.2

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型于是，上述問題可描述為變量x—設(shè)計變量

f(x)＝x(6-2x)2—目標函數(shù)

g(x)＝x>0—約束條件使函數(shù)f(x)＝x(6-2x)2

極大化

即對

f(x)=6x-2x3求導

f’(x)=1-x2=0得出：x=1,-1

∵x>0∴x=1為所求解。數(shù)學模型的一般形式

實例可以看出，優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型由設(shè)計變量、目標函數(shù)和約束條件三部分組成，可寫成以下統(tǒng)一形式：求變量

x1,x2,…..,xn

使極小化函數(shù)f(x1,x2,…..,xn)

滿足約束條件

gu(x1,x2,…..,xn)≤0(u=1,2,…m)

hv(x1,x2,…..,xn)=0(v=1,2,…p)設(shè)計變量目標函數(shù)不等式約束條件等式約束條件實例2

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需的材料、工時、電力和可獲得的利潤，以及能夠提供的材料、工時和電力見下表。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天可能獲得的利潤最大。產(chǎn)品材料/kg工時/h電力/(kw.h)利潤/元甲93460乙4105120供應(yīng)量360300200

這是一個生產(chǎn)計劃問題，可歸結(jié)為既滿足各項生產(chǎn)條件，又使每天所能獲得的利潤達到最大的優(yōu)化設(shè)計問題。解：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x1件，乙產(chǎn)品x2件，每天獲得的利潤可用函數(shù)f(x1,x2)表示，即

f(x1,x2)=60x1+120x2

每天實際消耗的材料、工時和電力可分別用函數(shù)g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即于是上述生產(chǎn)計劃問題可歸結(jié)為滿足條件求變量使函數(shù)

極大化1.設(shè)計變量

一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導出量。在設(shè)計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n個設(shè)計變量，則稱為n維設(shè)計問題。

由n個設(shè)計變量為坐標所組成的實空間稱作設(shè)計空間。一個“設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點表示。設(shè)計變量的分類

１）連續(xù)變量：可以在實數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值的變量。（例如軸徑、輪廓尺寸等）

注：大多數(shù)機械優(yōu)化問題的設(shè)計變量都屬于這種變量?？捎贸Ｒ?guī)的優(yōu)化方法進行求解。

２）離散變量：只能在給定數(shù)列或集合中取值的變量。（例如齒輪的齒數(shù)，模數(shù)，各種標準規(guī)格等）。

注：少數(shù)的機械優(yōu)化問題的設(shè)計變量是離散變量，對于離散變量的優(yōu)化問題，可先將其視為連續(xù)變量，用常規(guī)的優(yōu)化方法求最優(yōu)解。圖1-1設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間（a）二維設(shè)計問題（b）三維設(shè)計問題只有兩個設(shè)計變量的二維設(shè)計問題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標表示；有三個設(shè)計變量的三維設(shè)計問題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標表示。設(shè)計空間的維數(shù)表征設(shè)計的自由度，設(shè)計變量愈多，則設(shè)計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復雜。

小型設(shè)計問題：一般含有2～10個設(shè)計變量；中型設(shè)計問題：10～50個設(shè)計變量；大型設(shè)計問題：50個以上的設(shè)計變量。目前已能解決200個設(shè)計變量的大型最優(yōu)化設(shè)計問題。

如何選定設(shè)計變量？

任何一項產(chǎn)品都眾多設(shè)計變量的綜合體。變量越多，可以細致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以選定設(shè)計變量時應(yīng)注意以下幾點：（1）抓主要，舍次要。把對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)取為設(shè)計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計問題的特殊性來選擇設(shè)計變量。

例如，圓柱螺旋彈簧的設(shè)計變量有4個，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為設(shè)計常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計常量。

2.約束條件

設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上無法實現(xiàn)的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計。

一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。

約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束顯式約束與隱式約束

約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式,復雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束——只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸長度的限定范圍就屬于邊界約束?？尚杏?/p>

每一個不等式或等式約束都將設(shè)計空間分為兩個部分，滿足所有約束的部分形成一個交集，該交集稱為此約束問題的可行域，記作φ?？尚杏蚩煽醋鳚M足所有約束條件的設(shè)計點的集合，因此，可用集合式表示如下：

約束邊界：等式約束本身就是約束邊界。約束邊界

圖1-2設(shè)計空間中的約束面（或約束線）(a)二變量設(shè)計空間中的約束線(b)三變量設(shè)計空間中的約束面

如圖1-3上畫出了滿足兩項約束條件g1（X）=x12＋x22—16≤0和g2（X）＝2—X2≤0的二維設(shè)計問題的可行域D，它位于X2=2的上面和圓x12＋x22=16的圓弧ABC下面并包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D

可行域:在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間。3.目標函數(shù)

在優(yōu)化過程中，設(shè)計變量的不斷向F(x)值改善的方向自動調(diào)整，最后求得F(x)值最好或最滿意的x值。在構(gòu)造目標函數(shù)時，應(yīng)注意目標函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量，所有的設(shè)計變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設(shè)計中，可作為參考目標函數(shù)的有：

體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。

為了對設(shè)計進行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以F(x)表示。

在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標函數(shù)。當在同一設(shè)計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。轉(zhuǎn)化合成一個包含多目標在一起的，構(gòu)造構(gòu)造一個總目標函數(shù)，根據(jù)權(quán)重分配系數(shù)．在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。

在實際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標函數(shù)之間的關(guān)系。

52

離合器的設(shè)計和計算

一、離合器基本參數(shù)的優(yōu)化

設(shè)計變量

X=[x1x2x3]T=[FDd]T

目標函數(shù)離合器基本參數(shù)優(yōu)化設(shè)計追求的目標是在保證性能要求的條件下，使其結(jié)構(gòu)尺寸盡可能?。?/p>

f(x)=min[0.25π(D2－d2)]

約束條件：

1.摩擦片的外徑D的選取應(yīng)使最大圓周速度υD不超過65-70m/s，即：

υD=πnemaxD×10-3/60≤65～70m/s

2.摩擦片的內(nèi)外徑之比應(yīng)在0.53～0.70范圍內(nèi)，即：

0.53≤d/D≤0.70

3.為保證離合器可靠傳遞轉(zhuǎn)矩，并防止傳動系過載，β值應(yīng)在一定的范圍內(nèi)，即：

1.2≤β≤4.0

4.為了保證扭轉(zhuǎn)減振器的安裝，摩擦片內(nèi)徑必須大于減振器彈簧位置直徑2R0約50mm，即：

d>2R0+502024/3/2553

5.為了反映離合器傳遞轉(zhuǎn)矩并保護過載的能力，單位摩擦面積傳遞的轉(zhuǎn)矩應(yīng)小于其許用值，即：

Tc0=4Tc/πZ(D2－d2)≤[Tc0]

6.為降低離合器滑磨時的熱負荷，防止摩擦片損傷，單位壓力p0在0.1~1.5MPa范圍內(nèi)選取，即：

0.10≤p0≤1.50

7.為減少汽車起步過程中離合器的滑磨，防止摩擦片表面溫度過高而發(fā)生燒傷，每一次接合的單位摩擦面積滑磨功應(yīng)小于其許用值，即：

w=4W/πZ(D2－d2)≤[w]

約束條件：離合器規(guī)格D/mm≤210?210—250?250-325?325[Tc0]*10-20.280.300.350.402024/3/25541.目標函數(shù)

彈簧工作時的最大應(yīng)力為最??；從動盤摩擦片磨損前后彈簧壓緊力之差的絕對值為最??；在分離行程中駕駛員作用在分離軸承上的分離操縱力平均值為最小；在摩擦片磨損極限范圍內(nèi)，彈簧壓緊力變化的絕對值為最??；選c)、d)兩個目標函數(shù)為雙目標。為了既保證離合器使用過程中傳遞轉(zhuǎn)矩的穩(wěn)定性，又不致嚴重過載，且能保證操縱省力，選e)作為目標函數(shù)，通過兩個目標函數(shù)分配不同權(quán)重來協(xié)調(diào)他們的矛盾，并用轉(zhuǎn)換函數(shù)將兩個目標合成一個目標，構(gòu)成統(tǒng)一的總目標函數(shù)：

f(x)=ω1f1(x)＋ω2f2(x)

式中：ω1和ω2分別為兩個目標函數(shù)的加權(quán)因子，視設(shè)計要求選定。2024/3/25膜片彈簧的優(yōu)化設(shè)計目標函數(shù)的構(gòu)造

目標函數(shù)等值（線）面

目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學表達式為：

c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c

代表x1-x2設(shè)計平面上的一族曲線。對于具有相等目標函數(shù)值的設(shè)計點構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。圖1-4等值線圖1-4表示目標函數(shù)f（X）與兩個設(shè)計變量x1，x2階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設(shè)計點所構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖像形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。例1函數(shù)f(x)＝xl2十x22一4x1十4的圖形(旋轉(zhuǎn)拋物面)，以及用平面f(X)＝c切割該拋物面所得交線在設(shè)計空間中的投影。函數(shù)的等值面簇

從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中F=40的等值線就是使F(x1,x2)=40的各點[x1,x2]T所組成的連線。

如圖函數(shù)的等值線圖。等值線等值線有以下特點:

(1)不同值的等值線不相交；

(2)除極值點外，在設(shè)計空間內(nèi)，等值線不會中斷；

(3)等值線反映了目標函數(shù)值的變化規(guī)律，愈內(nèi)層的等值線，其函數(shù)值愈小，等值線族的中心點就是目標函數(shù)的極值點，因此，求目標函數(shù)的極值點也就是求等值線族的共同形心問題;

(4)等值線的間隔愈密，表示該處函數(shù)值的變化率愈大，否則變化愈??；

(5)一般說，在極值點附近，等值線近似地呈同心橢圓族，極值點就是橢圓的中心點。4.優(yōu)化設(shè)計問題一般數(shù)學形式滿足約束條件：求設(shè)計變量向量使目標函數(shù)一般數(shù)學形式：

對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。

最優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求［-F（X）］的最小值，因為min［-F（X）］與maxF（X）是等價的。當然，也可看成是求1／F（X）的極小值。1）根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量。3）根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標函數(shù)。4）必要時對數(shù)學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。5.建立優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型一般步驟：例1：如下二維非線性規(guī)劃問題一、幾何解釋6.優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法

通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設(shè)計的基本思想。

目標函數(shù)等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：約束方程所圍成的可行域是D。由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為，對應(yīng)的最優(yōu)值為(見圖）例2：解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。由以上例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已無法在平面上作圖。在三維和三維以上的空間中，使目標函數(shù)取同一常數(shù)值的是{X|f(X)=C,C是常數(shù)}稱為目標函數(shù)的等值面。等值面具有以下性質(zhì)：（1）不同值的等值面之間不相交，因為目標函數(shù)是單值函數(shù)；（2）等值面密集的地方，目標函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；（3）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。

二、基本解法解析法數(shù)值解法

解析法：即利用數(shù)學分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法。在目標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。

局限