2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)數(shù)學(xué)六月考試試題（含解析）

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高一下冊(cè)數(shù)學(xué)六月考試題

（含解析）

一、單選題

1.從高一抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件/為“三名學(xué)生都是女生”，事件8

為“三名學(xué)生都是男生“，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生"，事件。為“三

名學(xué)生不都是女生“，則以下錯(cuò)誤的是（）

A.事件Z與事件8互斥B.P（CHP（D）

C.事件Z與事件?；コ釪.事件Z與事件。對(duì)立

2.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若

從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）

2452

CD-

A.9-B.9-9-3

3.少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，少年智則國(guó)智.黨和政府一直重視青少年的率

一

A頻

Tg距

健康成長(zhǎng)，出臺(tái)了一系列政策和行動(dòng)計(jì)劃，提高學(xué)生身體素質(zhì).尹OS.三

06k一

S

05h二

二

了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某校在3000名學(xué)生中，抽查了S04l-U

03h-

O.02l-

100名學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布

O556065707580?g∕kg

直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）j

A.樣本的眾數(shù)為65B.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為IOoO人

4.在MBC中'角A、B、C的對(duì)邊分別為。、…，若意熹,C?=/+/",

則MBC是（）

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.在斜三棱柱/8。-ZfG中，4,A）分別為側(cè)棱/4,84上的點(diǎn)，且知

BBa=A0A.,過(guò)％,B0,G的截面將三棱柱分成上下兩個(gè)部分體積之比為（）

A.2:1B.4:3C.3:2D.1:1

班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

1I140705

6.在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)乙60808

計(jì)如下表，則兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為（）.

A.6.5B.13

C.30.8D.31.8

7.在三棱錐1-8。中，△/BO和48CO都是等邊三角形，BD=6,平面4801平

面88,M是棱NC上一點(diǎn)，且4W=2∕C,則過(guò)M的平面截三棱錐Z-8CD外

接球所得截面面積的最大值與最小值之和為（）

A.24πB.25πC.26πD.27π

8.已知正四棱錐P-48C。的體積為36,底面/88的面積為18,點(diǎn)E、/分別

為P4、PC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為PB的靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡、F、G的平面將

該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（）

ANB?座C?@ID?3石

555

二、多選題

9.一個(gè)不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.

設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球“，事件。表示“取出的球都是白球“，事件火

表示“取出的球中至少有一個(gè)黑球“，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.P和火是互斥事件B.P和。是對(duì)立事件

C.Q和及是對(duì)立事件D.。和R是互斥事件，但不是對(duì)立

事件

10.?18C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,C,α=√7,b=2,/=1,則（）

A.c=3B.sin8=且C.外接圓的面積為芋D.”8C的面

73

積為也

2

11.現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已

知三位球員得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26,眾

數(shù)是24；乙球員；5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29,平均數(shù)是26；丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1

個(gè)是32,平均數(shù)是26,方差是9.6；

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是（）

A.甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

B.乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

C.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

D.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于24

12.如圖，矩形/8CZ)中，AD=CAB=I陋,邊4D,BC的中點(diǎn)分別為E,F,

直線BE交/C于點(diǎn)G,直線。/交NC于點(diǎn)”.現(xiàn)分別將A∕8E,AC。尸沿BE,DF

折起，點(diǎn)4C在平面BEOE同側(cè)，則()

D.當(dāng)4C重合于點(diǎn)尸時(shí)，三棱錐尸-8"與三棱錐P-OEF外接球的公共圓的

周長(zhǎng)為IoJt

三、填空題

13.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行

分層抽樣，從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人

14.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為X,第二次得

到的點(diǎn)數(shù)為人則bgQ+y)≥2的概率為.

15.某同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)4A

到地面的距離/3為(15-5√J)m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M(β,M,c

。三點(diǎn)共線)處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)4天文臺(tái)頂C的仰角分別是15。和60。，在

陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為30。，假設(shè)”，CD和點(diǎn)M在同一平鼠二

DMB

面內(nèi)，則該同學(xué)可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)CO的高度為m.

16.設(shè)銳角“BC的三個(gè)內(nèi)角A.8.C的對(duì)邊分別為。.6.c,且c=1,力=2C,則"IBC

周長(zhǎng)的取值范圍為.一

四、解答題

17.已知函數(shù)"x)=αχ2-bχτ,集合P={1函,3,4},Q={2,4,6,8},若分別從集合尸,

。中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)4和6,構(gòu)成數(shù)對(duì)SM.

⑴記事件/為“函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1，+8)”，求事件/的概率；

(2)記事件B為“方程∣∕(x)∣=2有4個(gè)根”，求事件B的概率.

18.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革,實(shí)行高考科目“3+1+2”

模式.“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“1”指考

生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“2”指

考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考

成績(jī).按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃

分為兒B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：

將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等等級(jí)ABCDE

比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

=與子，其中毛，八分別表

示原始分區(qū)間的最低分和最高分，T1,弓分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高

分，丫表示考生的原始分，7表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為乂時(shí)，等級(jí)分為小

計(jì)算結(jié)果四舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈連

續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)4等級(jí)

的原始分區(qū)間.

(3)用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成

績(jī)的原始分為90,試計(jì)算其等級(jí)分.

19.A∕8C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知c="7,且"8C的面

⑴求C;

(2)若“8C內(nèi)一點(diǎn)P滿足/P=ZC,BP=CP,求NPNd

20.如圖1,在直角三角形/8C中，/C為直角，4=30。,。在ZC上,且D∕=oc=√L

作DEjL4B于E,將三角形ADE沿直線DE折起到ΛPDE所處的位置,連接PB,PC,

如圖2.

EB

m∣

⑴若平面尸。EI平面BCOE,求證：BE，PZ)；

(2)若二面角尸-OE-/為銳角，且二面角P-8C-E的正切值為手，求P8的長(zhǎng).

21.已知如圖1直角梯形Z8CD,AB//CD,/DAB=90°,AB=A,AD=CD=

2,E為28的中點(diǎn),沿EC將梯形ABCD折起(如圖2),使平面BED_L平面AECD.

(1)證明：BE，平面NEa)；

(2)在線段CD上是否存在點(diǎn)凡使得平面口8與平面EBC\

所成的銳二面角的余弦值為白若存在，求出點(diǎn)廠的位置：J——LA

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.某公園有一塊長(zhǎng)方形空地/88,如圖，AB=I,AD=A.為迎接“五一”觀

光游，在邊界BC上選擇中點(diǎn)E,分別在邊界/8、上取V、N兩點(diǎn)，現(xiàn)將三

角形地塊MEN修建為花圃，并修建觀賞小徑EM,EN,MN,且,

ΛMEN=-π.

(1)當(dāng)NBEM=9時(shí)，求花圃的面積;

6

⑵求觀賞小徑EM與EN長(zhǎng)度和的取值范圍.

答案解析

一、單選題

1.從高一抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件彳為“三名學(xué)生都是女生“，事件B為“三名學(xué)生

都是男生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生“，事件。為“三名學(xué)生不都是女生“，則

以下錯(cuò)誤的是()

A.事件N與事件8互斥B.P(C)≠P(D)

C.事件Z與事件。互斥D.事件/與事件C對(duì)立

【正確答案】B

【分析】由獨(dú)立乘法公式求P(∕),根據(jù)事件的描述，結(jié)合互斥、對(duì)立事件的概念判斷B、C、

D即可.

【詳解】由所抽學(xué)生為女生的概率均為則P(N)=,A正確;

48兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件，C正確；

C事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，

其對(duì)立事件為A,D正確：

。事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，

與C事件含義相同，故P(C)=P(D),B錯(cuò)誤；

故選：B.

2.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙

校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是()

A.jB.-C.JD.,

9999

【正確答案】B

【分析】從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，列出基本事件的總數(shù)，利用古典概型求解

即可.

【詳解】設(shè)甲校2男1女的編號(hào)分別為1,2,A,乙校1男2女編號(hào)分別為B,3,4,

若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果有：(43),(4,4),(4回,

(1,3),(1,4),(LB),(2,3),(2,4),(2,8)共計(jì)9個(gè),

選出的2名教師性別相同的結(jié)果有。道)，(2,8),(43),(44)共計(jì)4個(gè),

故選出的2名教師性別相同的概率為1.

故選：B

3.少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，少年智則國(guó)智.黨和政府一直重視青少年的健康成長(zhǎng)，出臺(tái)了一系列政

策和行動(dòng)計(jì)劃，提高學(xué)生身體素質(zhì).為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某校在3000名學(xué)生

中，抽查了100名學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示,

則下列結(jié)論正確的是()

A頻率

↑W.

0.06r---------1---1

0.05卜------

oo

?Oτπ55606I5τ707?580春,重∕kg

A.樣本的眾數(shù)為65B.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為IOOO

人

【正確答案】B

【分析】根據(jù)眾數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)的定義判斷A,B,C,再求低于65kg的學(xué)生的頻率,

由此估計(jì)總體中體重低于65kg的學(xué)生的人數(shù)，判斷D.

【詳解】由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為67.5,A錯(cuò)誤；

平均數(shù)為57.5X0.15+62.5X0.25+67.5*0.3+72.5x0.2+77.5*0.1=66.75,C錯(cuò)誤;

因?yàn)轶w重位于[55,60),[60,65)[65,70)[70,79的頻率分別為0.15,0.25,0.3,0.2,

因?yàn)?.15+0.25+0.3+0.2>0.8,

所以第80百分位數(shù)位于區(qū)間[70,75)內(nèi)，設(shè)第80百分位數(shù)為X,

則0.15+0.25+0.3+(x-70)x0.04=0.8,

所以X=72.5,即樣本的第80百分位數(shù)為72.5,B正確：

樣本中低于65kg的學(xué)生的頻率為0.15+0.25=0.4,

所以該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為3000x0.4=1200,D錯(cuò)誤；

故選：B.

222

4.在Δ48C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、6、C,若，一=」一，c=a+b-ab,

cosAcosB

則ΔJ8C是()

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】B

【分析】利用正余弦定理可確定邊角關(guān)系，進(jìn)而可判定三角形形狀.

【詳解】在A48C中，由正弦定理得一j=—二，而，一

sinAsinBcosAcosB

.sinJsin8,C

??----=-----,即ππtan4=tan8,

cosAcosB

又TA、3為的內(nèi)角，；.A=B,

又?：c2=a2+h2-aby.*.ab=a2+b2—C2?

.?.由余弦定理得：CoSC=/+價(jià)V=L：.C=-,

Iab23

.*.A4BC為等邊三角形.

故選：B.

5.在斜三棱柱/8C-4MG中，A0,穌分別為側(cè)棱44，8A上的點(diǎn)，且知附。=44,過(guò)

A0,B0,￡的截面將三棱柱分成上下兩個(gè)部分體積之比為（）

A.2:1B.4:3C.3:2D.1:1

【正確答案】A

【分析】由已知中三棱柱的側(cè)棱44和8片上各有一動(dòng)點(diǎn)％，綜滿足BB°=44,可得四邊

形44"與四邊形4線與4的面積相等，等于側(cè)面H880的面積的一半，根據(jù)等底同高的

棱錐體積相等，可將四棱錐C-4綜歷!的體積轉(zhuǎn)化三棱錐C-M4的體積，進(jìn)而根據(jù)同底同

高的棱錐體積為棱柱的;，求出四棱錐C-Po84的體積，進(jìn)而得到答案.

【詳解】設(shè)三棱柱/8C-/4G的體積為產(chǎn)

???側(cè)棱AAt和網(wǎng)上各有一動(dòng)點(diǎn)A0,B0滿足BBn=414，

???四邊形與四邊形A0B0BlAt的面積相等.

故四棱錐C-4綜歷!的體積等于三棱錐C-”4的體積等于;匕

2

則四棱錐c-4為44的體積等于jV.

故過(guò)4，B0,G三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積比為2:1

故選.A

6.在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表:

班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

甲40705

乙60808

則兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為（）.

A.6.5B.13C.30.8D.31.8

【正確答案】C

【分析】由表格的數(shù)據(jù)求出兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)，再根據(jù)方差公式計(jì)算兩個(gè)班所

有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差.

【詳解】因?yàn)榧装嗥骄謹(jǐn)?shù)為章=70,乙班平均分?jǐn)?shù)為￡=80,

所以兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)為最=竺W空智=76，

40+60

所以兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為：

盛χ[5+（鏟]卜薪x[8+（五

=-40XΓ5+（70-76）2^]÷60XΓ8+（80-76）2^∣=-=30.8.

40+60L」40+60Lj5

故選：C

7.在三棱錐A-BCD中，△ABD和△BcD都是等邊三角形，8。=6,平面ABDL平面BCD，

M是棱/C上一點(diǎn)，且ZM=2Λ∕C,則過(guò)M的平面截三棱錐/-8Cz）外接球所得截面面積

的最大值與最小值之和為（）.

A.24πB.25πC.26πD.27π

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)找到三棱錐"-8CO外接球球心位置，由已知及球體截面的性質(zhì)求過(guò)/

平面截球體的最大截面積，根據(jù)外接球球心、面面垂直以及比例關(guān)系易知“共線，且

過(guò)〃平面截球體的最小截面積時(shí)OM_L該平面，且OM=√i,即可求最大、最小面積和.

【詳解】由題設(shè)，若G為8。中點(diǎn)，瓦廣分別是等邊4HBO和等邊48CQ的中心,

連接∕G,CG,則E,尸分別在∕G,CG上，且EG=FG=J4G=,cG=Ji,

33

AGLBD,CGLBD,∕G∏CG=G,∕G,CGu面/GC,故BD，面/GC,

又5。U面/5。，所以，面48OJ.面4GC,

又面ABD1面BCD,過(guò)E作面ABD的垂線與過(guò)F作面Ba)的垂線交于O,

即OEL面48。，QFL面BCD,則。為/-BCD外接球球心，

OEJ_面/8。，且Ee/G,OiAG,則OEU面/。G,所以面4。GJ_面/BO,

綜上，結(jié)合面/8Z)C面NGC=NG,面/8。C面40G=∕G,則面/0G、面4GC為同一

平面，所以O(shè)e面/GC,

由面?18。J.面8C￡>,AGYBD,NGu面/8。，面4BDc面BCD=BD,

所以ZGJ■面8C。，CGU面5CD,即ZGJ_CG,且EG=FG知：OEGF為正方形,

?

如上圖，AE=-AG=2yβ,OE=FG=B若4-80外接球半徑為火,

所以尸=∕E2+OE?=15，

由球體的性質(zhì)，要使過(guò)M平面截三棱錐N-BS外接球所得截面面積的最大，則平面必過(guò)

球心，

所以，最大截面圓面積為S=πR?=15π,

要使過(guò)M平面截三棱錐A-BCD外接球所得截面面積的最小，則OM1該平面，

4FAMFM9

因?yàn)楱MV=2MC,而E,Λ∕都在面ZGC上，故強(qiáng)=嗎=妥=4，

AGACGC3

而GC=3√i,故EM=2也,顯然E,。,M共線，故OM=EM-OE=5

此時(shí)截面圓的半徑為『，則，=R2-002=]2，

所以，最小截面圓面積為S'=π∕=12兀，

綜上，最大值與最小值之和為27兀.

故27π

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球的性質(zhì)判斷過(guò)M平面截棱錐外接球截面面積最大、最小時(shí)截面與OM的

位置關(guān)系，利用幾何關(guān)系求截面圓半徑，最后求面積和.

8.已知正四棱錐P-/8C。的體積為36,底面/8CD的面積為18,點(diǎn)E、尸分別為P/、PC

的中點(diǎn)，點(diǎn)G為P8的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、F、G的平面將該四棱錐分成上、下

兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（）

AwB.座CD.3√J

555

【正確答案】C

【分析】連接ZC、BD,設(shè)/Cn8。=。，連接尸。，連接Gq并延長(zhǎng)交尸。于點(diǎn)H,連接

GE、GF、HE、HF,在△尸8。中，過(guò)點(diǎn)B作5A/〃G”交尸。于點(diǎn)M,交P。于點(diǎn)。？，過(guò)

點(diǎn)、M作MN上BD交BD于點(diǎn)、N,證明出E尸，GH,計(jì)算出EF、G”的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得截

面四邊形的面積.

【詳解】連接4C、BD,設(shè)∕C∏8D=O,連接尸。，

易知P。為正四棱錐P-48CD的高，連接E尸交PO于點(diǎn)Q.

因?yàn)辄c(diǎn)E、尸分別為尸/、尸C的中點(diǎn)，則￡//MC,

因?yàn)镋尸npo=q,所以，。為P。的中點(diǎn).

連接G。并延長(zhǎng)交尸。于點(diǎn)H,連接GE、GF、HE、HF,

因?yàn)樗倪呅?BCo為正方形，則ZC人8。，

因?yàn)槭??！?平面/8CD,ZCU平面ZBCD,所以，ACVPO,

因?yàn)镻ons。=。，PO、8。U平面P8。，所以，/C_L平面P8D,

因?yàn)镚aI平面PBD,所以，ACVGH,則.G”,

四邊形GE〃尸為所求的截面四邊形，如圖1.

BC

圖1

因?yàn)檎睦忮FP-/5CZ）的體積為36,底面/88的面積為18,

所以底面/8CD是邊長(zhǎng)為3五的正方形，則∕C=8O=6,

由-B8=?SOABCD?P。=；X18X尸。=36,可得Po=6，

在APBO中，過(guò)點(diǎn)、B作BM//GH交PD于點(diǎn)、M,交Po于點(diǎn)仇，

過(guò)點(diǎn)M作MNJ.8。交B。于點(diǎn)N,如圖2.

,GHPO,PG2

因?yàn)锽MHGH,則礪=苑=再=鼠

139

又α為尸。的中點(diǎn)，。為8。的中點(diǎn)，所以尸O∣=5R9=3,PO2=-PO=-,

93

OO->=PO—PO=6—=—,OB=OD=3，

122

UU1、1八GArMNPO6_MNOQ3\1_

所以tanZMDN=-----=------=—=2tanZ.MBD------=-=-=—X—=

DNOD3BNOB232

則。N=1/WN,BN=IMN,所以BD=BN+DN=2MNJMN=HMN=6,

222

12所以BN=§,貝Ij=BN1+MN2=J(Fj+(同=(?,

故MN=工,

^GH=-BM=—.

35

故四邊形GEHF的面積為S醐形回F=；EFGH=→3×等=呼，

故選：C.

方法點(diǎn)睛：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平

面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)平面的四個(gè)公理及推論；

(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)；

(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)；

(4)球的截面的性質(zhì).

二、多選題

9.(多選)一個(gè)不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.設(shè)

事件尸表示“取出的球都是黑球“，事件。表示“取出的球都是白球“，事件R表示“取出的球

中至少有一個(gè)黑球“，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.尸和R是互斥事件

B.尸和。是對(duì)立事件

C.。和R是對(duì)立事件

D.。和R是互斥事件，但不是對(duì)立事件

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件的定義一一判斷即可.

【詳解】袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中取出兩個(gè)球，取球的方法有如下幾種:①

取出的兩球都是黑球;②取出的兩球都是白球;③取出的兩球一黑一白.

事件R包括①③兩種情況，.?.事件尸是事件R的子事件，故A中結(jié)論不正確；

事件0與事件R互斥且對(duì)立，故C中結(jié)論正確，D中結(jié)論不正確；

事件P與事件?；コ?，但不對(duì)立，故B中結(jié)論不正確.

故選：ABD.

10.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,α=√7,b=2,∕=g,則（）

A.c=3

R?向

B.sinB=-----

7

C.小8C外接圓的面積為日

D.“8C的面積為殛

2

【正確答案】ABD

【分析】設(shè)的外接圓的半徑為尺,利用正弦定理求出sin5=變,7?=叵，再利用余

73

弦定理和正弦定理求出C以及S“ye即得解.

【詳解】解：設(shè)A∕8C的外接圓的半徑為R,

因?yàn)镾------=-------=2R所以SinX-Sin8-sinC

sinAsinBsinC

?

所以SinB=立1,R=叵，則“8C夕卜接圓的面積為萬(wàn)4=W.

733

因?yàn)?=〃+c?-26CCoS/=4+c?-2χ2ccos工=7,所以C=3,

3

所以S△皿,A，4=16*吏=尤，所以ABD正確，C錯(cuò)誤.

4ABe2222

故選：ABD

11.現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球員

得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：

甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26,眾數(shù)是24；

乙球員；5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29,平均數(shù)是26；

丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1個(gè)是32,平均數(shù)是26,方差是9.6；

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是()

A.甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

B.乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

C.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

D.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于24

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的定義判斷A,結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)的定義舉反例判斷B,根據(jù)

平均數(shù)和方差的定義，百分位數(shù)的定義，分析丙球員的得分判斷CD.

【詳解】設(shè)甲球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為3,》2，七，匕，毛，

則％≤W≤?x4，W=26,且24至少出現(xiàn)2次，

故XJ=X2=24,A正確：

設(shè)乙球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為%,上，為%，K，

則必≤%≤%≤乂≤%，必=29，

取必=20,%=23,乂=29,%=29,可得其滿足條件，但有2場(chǎng)得分低于24,B錯(cuò)誤；

設(shè)丙球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為Z∣,Z2,Z3,Zs,

222

由已知g[(z∣_261+仁-26『+仿-26)+(z4-26)+(z5-26)]=9.6,

222

所以(z∣-26)，仁—26)2+①一26)+(z4-26)+(z5-26)=48，

若z,≥32,JjIllz5>32,

所以(Zl—26)+(z2—26)+仁―26)+(z4—26)+(z5—26)>72,矛盾，

所以Z5=32,(Z]—26)+(z?—26)+(Z3—26)+(z4—26)=12,

因?yàn)閦∣,Z2,Z3,zi,,Z5的平均數(shù)為26,所以z∣+Z2+Z3+Z4=98,

aZ1=23,Z2=25,Z3=25,Z4=25,滿足要求，但有一場(chǎng)得分低于24分，C錯(cuò)誤；

因?yàn)?x60%=3,所以丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)為三產(chǎn)，

若則^?≤24,?Z,+Z2+Z3+Z4<98,矛盾，

所以馬三五>24,所以丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于24,D正確；

2

故選：AD.

12.如圖，矩形/8Cr)中，AD=CAB=I電,邊3BC的中點(diǎn)分別為E,F,直線

BE交AC于點(diǎn)、G,直線。尸交NC于點(diǎn)”.現(xiàn)分別將A∕8E,ACDF沿BE,。尸折起，點(diǎn)4。

A.當(dāng)平面HEBJ.平面BEAF時(shí)，/GJ.平面BEDF

B.當(dāng)平面/EB//平面Cz)F時(shí)，AEHCD

C.當(dāng)4C重合于點(diǎn)尸時(shí)，二面角P-OF-B的大小等于60°

D.當(dāng)4C重合于點(diǎn)尸時(shí)，三棱錐P-BEF與三棱錐尸-OE尸外接球的公共圓的周長(zhǎng)為Ion

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A,先利用三角形相似證得/GL8E,再利用面面垂直的性質(zhì)定理證得NGL

平面BEDF,從而得以判斷；

對(duì)于B,先利用線面垂直推得平面/G”與平面C//G重合，再利用面面平行的性質(zhì)定理證

得4G"CH,進(jìn)而推得4C〃GH,從而利用線面平行的性質(zhì)定理推得G"http://EO,由此得以判

斷；

對(duì)于C,由。尸工平面尸HG得到二面角P-。尸-8為N/7/G,進(jìn)而由4G=CH=G"推得

NPHG=60。,據(jù)此判斷即可：

對(duì)于D,先分析得三棱錐P-BE廠與三棱錐P-OE尸外接球的公共圓為！PE尸的外接圓，再

由勾股定理證得PE_LPF,從而求得公共圓的直徑，由此得解.

【詳解】對(duì)于A,在矩形/8Co中，AD=^AB=im，E是工。的中點(diǎn)，

所以ZE=J∕D=5√Ξ,CD=AB=XQ,則任="=出，

2AB2AD

又NBAE=NADC=90P,所以^AEB~ADCA,則ZABE=ZDAC,

所以NO∕C+N4EG=N4BE+N4EG=90°,則N∕GE=90°,i^AGlBE,

當(dāng)平面/EB_L平面BE。E時(shí)，如圖1,

又因?yàn)槠矫妯ME8Γ∣平面BEOF=8E,/Gu平面/EB,

所以/GJ.平面8皮＞尸，故A正確.

圖1

對(duì)于B,當(dāng)平面，8E∕/平面COF,如圖1,

由選項(xiàng)A易知在矩形/8Co中，ACLBE,ACLDF,則BE〃。尸，

所以在RtZXZBE中，BE=YAE2+AB?=5戈，AG=AB,啊~，

BE3

同理Ca=p∣ljG∕∕=lθ2?,AG=CH,

33

又BELAG,BELGH,AGCGH=G,4G,GHu面AGH,

所以8EJ.面ZG”,同理。F工平面C//G,

又因?yàn)锽E〃。尸，所以平面/GH與平面C"G重合，即四邊形NGHC為平面四邊形，

又平面48￡〃平面CO凡平面/3EC平面/GbC=NG,平面Cr)RC平面∕G"C=C",

所以ZG//CH,又AG=CH,所以四邊形/G//C是平行四邊形，則/C//GH,

假設(shè)ZE//CD,則四邊形/EDC為平面圖形，

又ZCU平面ZEOC,G"<Z平面4EDC,所以G4//平面ZEOC,

又平面AEDCΓl平面BEDF=ED,GH1平面BEDF,所以GH”ED,

又BEHDF,即GE〃/W,所以四邊形DEGH是平行四邊形，

所以。E=G”,而GH=竽，DE=56,顯然矛盾，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,如圖2,

由選項(xiàng)B易得DFq平面尸”G,

又PHU平面PHG,所以PH_LDF,同理：GHLDF,

所以二面角P-OF-B的平面角為NPHG,

在aPG"中，由選項(xiàng)B知∕G=C"=GH=應(yīng)?,

3

所以APG"是正三角形，故∕P"G=6(T,即二面角尸-。尸-8的大小等于60。，故C正確;

對(duì)于D,如圖2,三棱錐與三棱錐P-DEF的公共面為面P￡尸，

所以三棱錐P-BEF與三棱錐P-DEF外接球的公共圓為！PEF的外接圓,

易知PE=AE=56，PF=CF=5近,EF=AB=W,

所以尸爐=p尸=IOo=E產(chǎn)，所以PELPF,即！PEF為直角三角形，

所以E尸為！PE尸的外接圓的直徑，即27?=EF=10,

所以所求公共圓的周長(zhǎng)為2πR=10π,故D正確.

故選：ACD.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵在于熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理、線面平行與面面平行的性質(zhì)定

理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，嚴(yán)密推理；同時(shí)對(duì)于

外接球的公共圓的突破口在于找到兩個(gè)三棱錐的公共面，從而得解.

三、填空題

13.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行分層抽樣，

從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人

【正確答案】20

【分析】根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)求應(yīng)抽取的女生人數(shù).

【詳解】由題意，應(yīng)抽取的女生人數(shù)是50x黑=20人.

故20

14.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為X,第二次得到的點(diǎn)數(shù)為

V,則k>g,(x+y)≥2的概率為.

【正確答案】?

1o

【分析】根據(jù)題意求得基本事件的總數(shù)為36種，再根據(jù)Iog3(x+N)≥2,求得所求事件的基本

事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典擷型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋鄭兩次.基本事件共6x6=36種，

又由k?(x+y)≥2,可得x+y≥9,其所對(duì)應(yīng)的基本事件有：(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),

(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共10種,

故所求概率P=瞿=[.

361o

故答案為?福

18

15.某同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)CQ的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)44到地面的距

離/8為(15-5√J)m,在它們之間的地面上的點(diǎn)m(β,M,。三點(diǎn)共線)處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)Z,

天文臺(tái)頂C的仰角分別是15。和60。，在陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為30。，假設(shè)48,

CD和點(diǎn)/在同一平面內(nèi)，則該同學(xué)可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)CD的高度為m.

r

【分析】由已知求出AM,在三角形NaW中，運(yùn)用正弦定理可得CM,再解直角三角形CDM,

計(jì)算可得天文臺(tái)的高度.

【詳解】在Rt"5Λ∕中，有力Μ=--------,

sinl50

在CM中，ZCJM=30o+15o=45o,ZAMC=180°-15o-60°=105°,

ZACM=180°—105°—45=30'，

由正弦定理得

sin/4CNsinZ.CAM

sinZCAMSin45。ABQAB

故MC=AM

SinZACMsin30osin15osinl5o

l-4R

在RtZ?CDΛ∕中，CD=MC?sin60o=√2----------sin60o,

Sinl5°

Xsin?5o=sin(45°-30o)=sin450cos300-cos45osin30o=—X--—XJ=———，

v722224

rr._仄AB._6?5-5y∕3y/i_?

.∣CD—√2----------sin60—√2X—產(chǎn)—產(chǎn)詼—二30

則msinl50瓜一應(yīng)2

4

故30.

16.設(shè)銳角力8C的三個(gè)內(nèi)角A.8.C的對(duì)邊分別為α.b.c,且c=l,A=IC,則“8C周

長(zhǎng)的取值范圍為一

【正確答案】(2+&,3+百)

由銳角三角形求得30。＜。＜45。，由正弦定理可得，：=3=，方=—二，求出“，6關(guān)于

sinAsinBsinCsinC

CoSC的函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得范圍.

【詳解】；為銳角三角形，且Z+8+C=",

TT

0<A<—0<2C<-0<C<-

224

71π廠π

0<B<—=>.0<π-C-2C<-=>——,

2263

0<C<-0<C<-0<C<-

222

?π∕r/π近,“8

??一<C<一,—<cosC<—,

6422

又?.?N=2C,

/.sinA=sin2C=2sinC?cosC,

sinAsinC

..a=2cosCt

sinBsinC

,c?sin8sin3CsinC?cos2C+cosC?sin2C,.

即αrlb=---------=---------=-------------------------------------=4cos22C-I,

sinCsinCsinC

?*?a+h+c=2cosC÷4cos2C-l+l=4cos2C+2cosC，

又?.?函數(shù)y="+2f在(半歿)上單調(diào)遞增,

函數(shù)值域?yàn)?2+√23+√3),

四、解答題

17.已知函數(shù)"x)=α√-bx-l,集合尸={1,2,3,4},。={2,4,6,8},若分別從集合P,。中隨

機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a和b,構(gòu)成數(shù)對(duì)(。，6).

⑴記事件/為“函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8)”,求事件/1的概率；

(2)記事件B為“方程∣∕(X)I=2有4個(gè)根”，求事件B的概率.

【正確答案】(1)9

4

【分析】(1)列舉樣本空間所有的樣本點(diǎn)，依題意有b=2α,列舉滿足條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)

古典概型概率公式計(jì)算；

(2)依題意有從＞4°,列出所有符合條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算.

【詳解】(1)由題知“e{l,2,3,4},bw{2,4,6,8},所以，數(shù)對(duì)(%b)的可能取值為：

(1,2),(1,41(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共

16對(duì).

若函數(shù)/(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間為［l,+∞),則函數(shù)/(χ)的對(duì)稱軸為χ=3=l,即6=2“

所以,滿足條件的基本事件有：件2),(2,4),(3,6),(4,8),共4對(duì),

41

所以，事件4的概率為P(∕)=ττ=:

(2)因?yàn)棣?gt;0,二次函數(shù)開口向上,

所以,方程l∕(x)l=2有4個(gè)根,即為/(x)=2和f(x)=-2各有2個(gè)根,

所以，二次函數(shù)/(x)=αx2-6x-l的最小值小于-2.

所以-4q-"<_2,即∕>44,

滿足條件的基本事件有：(l,4b(l,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11

對(duì)，

所以，事件8的概率RB)=?.

18.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“3+1+2”模式.“3”

指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考學(xué)科，以原