《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》浙大四版第二章123節(jié)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》浙大四版第二章123節(jié)事件及其概率隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)字特征與特征函數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理contents目錄01事件及其概率隨機事件與樣本空間在一定條件下進行的，結(jié)果不確定的試驗隨機試驗的每一個可能結(jié)果所有樣本點組成的集合樣本空間的一個子集，即某些樣本點的集合隨機試驗樣本點樣本空間隨機事件概率的性質(zhì)互斥事件概率的可加性、概率的取值范圍、必然事件的概率為1等幾何概型樣本空間為幾何區(qū)域，事件的概率為該事件對應(yīng)區(qū)域的度量與樣本空間對應(yīng)區(qū)域的度量之比古典概型樣本空間中樣本點有限且等可能，事件的概率為該事件包含的樣本點數(shù)與樣本空間樣本點總數(shù)的比值概率的公理化定義滿足非負性、規(guī)范性和可列可加性的集合函數(shù)事件的概率定義及性質(zhì)條件概率在某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率事件的獨立性兩事件發(fā)生的概率互不影響，即兩事件同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率的乘積乘法公式兩事件同時發(fā)生的概率等于其中一件事發(fā)生的概率與在該事件發(fā)生的條件下另一件事發(fā)生的概率的乘積獨立性的應(yīng)用在概率計算中，如果事件之間相互獨立，可以大大簡化計算過程條件概率與獨立性02隨機變量及其分布設(shè)隨機試驗的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)。稱X=X(e)為隨機變量。根據(jù)隨機變量可能取值的性質(zhì)，可以將其分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。隨機變量的概念與分類隨機變量的分類隨機變量的定義如果隨機變量X的所有可能取值只有有限個或可列無窮多個，則稱X為離散型隨機變量。離散型隨機變量的定義設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為$x_k$（k=1,2,...），X取各個可能值的概率$P{X=x_k}=p_k$，則稱表格$x_1,x_2,...$;$p_1,p_2,...$為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量及其分布律連續(xù)型隨機變量的定義01如果隨機變量X的所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取某一區(qū)間內(nèi)的一切可能的實數(shù)值，則稱X為連續(xù)型隨機變量。概率密度的定義02設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其取值范圍為某一區(qū)間I，如果存在非負可積函數(shù)f(x)，使得對任意實數(shù)a<b，都有$P{a<X≤b}=∫_a^bf(x)dx$，則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。概率密度的性質(zhì)03非負性，規(guī)范性，即概率密度函數(shù)f(x)滿足$f(x)≥0$，且$∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1$。連續(xù)型隨機變量及其概率密度03多維隨機變量及其分布聯(lián)合分布函數(shù)定義對于所有實數(shù)$x$和$y$，二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$是$P{X≤x,Y≤y}$的概率。聯(lián)合概率密度函數(shù)若二維隨機變量$(X,Y)$的分布函數(shù)$F(x,y)$可微，且存在非負函數(shù)$f(x,y)$，使得對于任意實數(shù)$x$和$y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{y}int_{-infty}^{x}f(u,v)dudv$，則稱$(X,Y)$為連續(xù)型隨機變量，$f(x,y)$為$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。二維隨機變量聯(lián)合分布邊緣分布函數(shù)二維隨機變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)=F(x,+infty)$和$F_Y(y)=F(+infty,y)$。邊緣概率密度二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$時，$X$和$Y$的邊緣概率密度函數(shù)分別為$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。條件分布設(shè)$(X,Y)$是二維離散型隨機變量，對于固定的$x_j$，如果$P{X=x_j}>0$，則稱$P{Y=y_i|X=x_j}=frac{P{X=x_j,Y=y_i}}{P{X=x_j}}$為在$X=x_j$條件下隨機變量$Y$的條件分布律。邊緣分布與條件分布VS若二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$可以表示為兩個一維隨機變量的分布函數(shù)$F_X(x)$和$F_Y(y)$的乘積，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機變量$X$和$Y$是獨立的。獨立的充要條件對于所有實數(shù)$x$和$y$，若$P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}$，則隨機變量$X$和$Y$是獨立的。對于離散型隨機變量，可以簡化為對于所有$x_i$和$y_j$，有$P{X=x_i,Y=y_j}=P{X=x_i}P{Y=y_j}$；對于連續(xù)型隨機變量，可以簡化為聯(lián)合概率密度函數(shù)$f(x,y)$可以表示為兩個邊緣概率密度函數(shù)$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘積，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。獨立的定義隨機變量的獨立性04數(shù)字特征與特征函數(shù)數(shù)學(xué)期望與方差數(shù)學(xué)期望（期望值）定義計算方法及性質(zhì)方差定義數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系隨機變量取值的加權(quán)平均數(shù)，反映了隨機變量取值的平均水平。各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，用來衡量隨機變量與其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。方差是數(shù)學(xué)期望的補充，兩者共同描述了隨機變量的數(shù)字特征。數(shù)學(xué)期望和方差具有線性性質(zhì)、獨立性等，計算方法包括定義法、公式法等。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義用于衡量兩個隨機變量的總體誤差，表示兩個變量在變化過程中是同方向變化還是反方向變化。相關(guān)系數(shù)定義協(xié)方差除以兩個隨機變量的標準差，用于消除量綱的影響，更加客觀地反映兩個變量之間的線性相關(guān)程度。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系相關(guān)系數(shù)是標準化的協(xié)方差，取值范圍為[-1,1]，絕對值越大表示相關(guān)性越強。計算方法及性質(zhì)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)具有線性性質(zhì)、對稱性、無偏性等，計算方法包括定義法、公式法等。特征函數(shù)定義用于描述隨機變量的分布特性，是一種復(fù)值函數(shù)，其模的平方等于隨機變量取值的概率密度函數(shù)的傅里葉變換。又稱生成函數(shù)，是一種用于研究隨機變量序列的工具，通過母函數(shù)可以方便地求出隨機變量序列的各階矩、概率分布等。特征函數(shù)是母函數(shù)在復(fù)平面上的擴展，兩者都可以用來描述隨機變量的分布特性，但特征函數(shù)更加適用于處理多維隨機變量和復(fù)雜分布的情況。特征函數(shù)和母函數(shù)具有唯一性、可微性、可乘性等，計算方法包括定義法、變換法等。同時，特征函數(shù)還具有共軛對稱性、非負定性等重要性質(zhì)。母函數(shù)定義特征函數(shù)與母函數(shù)的關(guān)系計算方法及性質(zhì)特征函數(shù)與母函數(shù)05大數(shù)定律與中心極限定理定律內(nèi)容大數(shù)定律是描述當試驗次數(shù)趨于無窮時，事件出現(xiàn)的頻率趨于其概率的定律。適用范圍適用于大量重復(fù)試驗，且每次試驗的結(jié)果相互獨立的情況。重要意義大數(shù)定律是概率論中的基本定律之一，為統(tǒng)計推斷提供了理論基礎(chǔ)。大數(shù)定律中心極限定理是概率論中的另一重要定理，指出在一定條件下，大量相互獨立且同分布的隨機變量之和的分布趨于正態(tài)分布。定理內(nèi)容適用于大量相互獨立且同分布的隨機變量之和的情況。適用范圍中心極限定理為許多統(tǒng)計方法和技術(shù)的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，如質(zhì)量控制、假設(shè)檢驗等。重要意義中心極限定理123大數(shù)定律和中心極限定理的概念、內(nèi)容及適用范圍。兩者在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中的重要地位和應(yīng)用價值。相關(guān)定理的證明方法和思路。章節(jié)知識點總結(jié)利用大數(shù)定律計算某事件發(fā)生的概率。例題1利用中心極限