云南省曲靖某中學2022-2023學年高二年級下冊學期期中考試數(shù)學試題

云南省曲靖天人高級中學2022-2023學年高二下學期期中

考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={0』,2},8="€川-2＜工＜3}，則4u8=（）

A.{0,1}B.乩2}C{0.1,2}D.{-1,0,1,2}

2.己知i為虛數(shù)單位，（i+i”=2,貝（)

A...B.i.C...D.

l+il-i-1+1-l-i

3.已知￡=（x,i）,力=（_2,4），若小〉則'=（）

A.1B.2C.3D.4

4.若把英語單詞“word”的字母順序寫錯了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有（)

A.24種B.23種C.12種D.11種

5.在（五一2）5的展開式中，r的系數(shù)為（).

A.,B.5cD.10

-3J-10

6.函數(shù)y=bg,（2x-4）的定義域是（）

A?[2,+oo)B.⑵+②)C(f2]D.(-8,2)

7.2021年江蘇省實行“3+1+2”新高考模式，學生選科時語文、數(shù)學、英語三科必選，物

理、歷史兩科中選擇I科，政治、地理、化學、生物四科中選擇2科，則學生不同的選科方

案共有（）

A.6種B.12種C.18種D.24種

8.如圖是一款多功能粉碎機的實物圖，它的進物倉可看作正四棱臺，已知該四棱臺的

上底面邊長為4（）cm，下底面邊長為10cm，側棱長為30cm，則該款粉碎機進物倉的容

積為（）

試卷第11頁，共33頁

A-860072cm3B-86006cm'C?1050072cm3D-10500V3cm3

二、多選題

9.下列各式正確的是（）

B.(cosx)=sinxC.(sinx)=cosx

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x-馬，則(

6

A.”刈的最大值是2B.”X）的最小正周期為工

3

C.在［0,%］上是增函數(shù)D.”刈的圖像關于點（生,0）對稱

_6.6

11.給定數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,則這組數(shù)據(jù)的（）

A.中位數(shù)為3B.方差為號

5

C.眾數(shù)為3D.85%分位數(shù)為46

12.傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個

球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因為阿基米德認為這個“圓柱容球”是他最為得意

的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個“圓柱容球”的幾何圖形.設圓柱

的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為〃，若

試卷第21頁，共33頁

則()

A.y(x)的展開式中的常數(shù)項是56

B./(x)的展開式中的各項系數(shù)之和為0

C./(x)的展開式中的二項式系數(shù)最大值是70

D./(,)=76,其中i為虛數(shù)單位

三、填空題

13.函數(shù)/(的=1-2》在點(1,/(1))處的切線方程為.

14.若在等差數(shù)列｛%｝中，%=7,%=3,則通項公式/=.

15.在V/8C中，角4,8,C所對的邊分別是a,6,c,并且a=l,/,=6，Z=30"，則0

的值為一.

16.已知/(x)的定乂域為(0,+8)，/'(x)為/'(X)的導函數(shù)，且滿足/(x)<-，

則不等式/(》+1)>@_1)/卜2_1)的解集是------.

四、解答題

17.己知數(shù)列｛.J的前〃項和s“，且s,,=/+”；

(1)求它的通項

試卷第31頁，共33頁

(2)若a=2"-i,求數(shù)｛〃+/)｝的前”項和

18.已知V/8C中，角A、8、C的對邊分別為“，b，c>若°sinB-Gbcos/=0.

(1)求角A的大??；

⑵若be=3,b+c=4,求。的值?

19.如圖，在四棱錐5_/3。。中，SD1底面48cO，底面/8C0是正方形，且

SD=AD,E是弘的中點.

⑴求證：直線平面S/D：

(2)求直線SA與平面8EO的夾角的正弦值.

20.滕州市教育局為了解學生網(wǎng)絡教學期間的學習情況，從初中及高中共抽取了50名

學生，對他們每天平均學習時間進行統(tǒng)計.請根據(jù)下面的各班人數(shù)統(tǒng)計表和學習時間

的頻率分布直方圖解決下列問題：

年級人數(shù)

初一4

初二4

初三6

高一12

高二6

---

同二18

合計50

試卷第41頁，共33頁

+頻率/組距

（1）抽查的50人中，每天平均學習時間為6?8小時的人數(shù)有多少？

（2）經(jīng)調查，每天平均學習時間不少于6小時的學生均來自高中.現(xiàn)采用分層抽樣的

方法，從學習時間不少于6小時的學生中隨機抽取6名學生進行問卷調查，求這三個

年級各抽取了多少名學生；

（3）在（2）抽取的6名學生中隨機選取2人進行訪談，求這2名學生來自不同年級

的概率.

21.已知橢圓c：片+片=過點“（2，°）,離心率為由.

a2b2'J2

（1）求橢圓c的方程；

（2）已知定點E（l,0），若直線夕=h-2（〃*0）與橢圓C相交于加、N兩點，試判斷

是否存在實數(shù)人使以加雙為直徑的圓過定點￡?若存在求出這個/值，若不存在說明

理由.

22.設函數(shù)/'（x）=ae*eR?

（1）當a=l時,求/（x）的單調區(qū)間；

（2）當X￡（0,+8）時，/（x）＞0恒成立，求。的取值范圍；

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.c

【分析】求出8={0,1,2}，利用并集概念進行求解.

【詳解】8={0,1,2}，故4U5={O,1,2卜

故選：C

2.B

【分析】利用復數(shù)的除法運算求解.

【詳解】解：由（l+i”=2，

故選：B

3.B

【分析】由向量垂直的坐標表示列方程求解.

【詳解】由北行得代在皿國由"xH2,

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)對立事件以及排列組合的知識求得正確答案.

【詳解】“word”一共有4個不同的字母，

這4個字母全排列有A：=24種方法，

其中正確的有1種，所以錯誤的有247=23種.

故選：B

5.C

【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.

答案第11頁，共22頁

【詳解】(4-2『展開式的通項公式為：&|=^(4廣(-2)'=(-2)七)4，

令三=2可得：-=1,則的系數(shù)為：(-2)'C；=(-2)x5=-10.

2

故選：C.

【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給

出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中〃和廠的

隱含條件，即“，，,均為非負整數(shù)，且〃4，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第

二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.

6.B

【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0,直接計算可得答案.

【詳解】由已知得，2x@0,解得x>2，故xe(2,+8)-

故選：B

7.B

【分析】先求得物理、歷史兩科中選擇1科的選法，再求得政治、地理、化學、生物四科中選擇

2科的選法，根據(jù)乘法計數(shù)原理，即可求得答案.

【詳解】由題意得：物理、歷史兩科中選擇1科，有c；=2種選法，

政治、地理、化學、生物四科中選擇2科，有盤=6種選法，

所以學生不同的選科方案共有2x6=12種.

故選：B

8.C

【分析】根據(jù)題意，結合棱臺的體積計算公式，代入計算，即可得到結果.

答案第21頁，共22頁

畫出滿足題意的正四棱臺/BCD-ZSGA，如圖所示，則=40&,引？=10及?過點

0作DELBQi于點￡,則Z)￡=15&,Z)E=質芯質'=15a,所以該正四棱臺的體

$J^r=1(402+102+10x40)xl5>/2=105005/2(cm3).

故選：C

9.CD

【分析】根據(jù)常函數(shù)，三角函數(shù)和塞函數(shù)的導數(shù)運算，逐一排除即可.

A萬

【詳解】解：對于，(sin?y=o,選項錯誤；

對于8,(cosxy=-sinx,選項錯誤；

對于C，(sinxy=cosx，選項正確；

對于。，(x"y=-5xY，選項正確；

故選：CD，

【點睛】本題考查導數(shù)的運算及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式的應用，屬于基礎題.

10.AC

【分析】對A,由函數(shù)的解析式即可求出函數(shù)的最大值，對B,D根據(jù)正弦函數(shù)的周期與

答案第31頁，共22頁

對稱中心公式，整體代入即可判斷；對C,先求出/卜）的單調遞增區(qū)間，即可判斷.

7T

【詳解】解：對A,?.?/（x）=2sin（3x-二），

6

故當sin(3x-王)=1時，/(x)max=2sin(3x-J)=2,故A正確;

66

對B,人力的最小正周期7=容=生，故B錯誤；

M3

對C,令---1-2kn43x---4—F2kn,kGz,

262

A?z12kn,,27r2攵乃,

解^得a：----1----?%4----1----，左￡Z,

9393

故?。┑膯握{遞增區(qū)間沏卜尹等著+華

當上=°時，/（X）的一個單調遞增區(qū)間為:712%

V

故在o,-上單調遞增，故C正確;

6

對D,令3x—三=k兀、kQZ,

6

hTiZF1兀kjT.

解得：x------------1-------------,kwz,

183

故/卜）的對稱中心為:7ik4_]

——+—,0，

183J

答案第41頁，共22頁

口口7C7Zk冗.

即一=一+—,kwz,

6183

解得：k=—^Z1

3

故C，0）不是‘（“）的對稱中心，故D錯誤.

6

故選：AC.

11.AB

【分析】先將數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,按小到大的順序排列,再逐項判斷.

【詳解】解:將數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,按小到大的順序排列為：

1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為H=3,故A正確;

2

數(shù)據(jù)中2,3,出現(xiàn)的此時最多，所以眾數(shù)為2和3,故C錯誤;

詆it-.拈>11+2X3+3X3+4+5X2.

平均數(shù)為：--------------------二3，

10

則方差為'[（1-3）2+（1-3）2+（2-3/X3+（3-3）2X3+（4-3）2+（5-3/X2]=|,故B正確:

第85%分位數(shù)是數(shù)據(jù)中至少有85%的數(shù)據(jù)小于或等于該數(shù)，因此，從小到大第9個數(shù)字為

5,故D錯誤，

故選：AB

12.BC

【分析】設內切球的半徑為〃，由圓柱和球的體積和表面積公式可求得見〃，進而得到

?。?；

對于A,利用二項式定理得到展開式通項，令24—4廠=0可求得代入得到常數(shù)項，知A

錯誤;

答案第51頁，共22頁

對于B,采用賦值法，令丫_|可得各項系數(shù)和，知B正確：

對于C,由二項式系數(shù)性質知最大值為C：，知C正確；

對于D,根據(jù)復數(shù)的運算可知D錯誤.

【詳解】設內切球的半徑為廠，則圓柱的高為

71rl-2r3271rl+271r?2廠3m_i(.]V

??…"=廿=5,則”z3x+一9

丁

r243r

對于A,/(x)展開式通項公式為：T_Cx~

2r+l-5人

令24-4r=0,解得：廠=6,初串工展開式的常數(shù)項為㈠/《=28,A錯誤；

對于B,/0)=0,即/卜)展開式的各項系數(shù)之和為0,B正確；

對于C，展開式中二項式系數(shù)最大值為C：=70,C正確；

對于D，/()=)=(_/+爐=0,D錯誤.

故選：BC.

【點睛】關鍵點點睛：本題以立體幾何的知識為載體，重點考查了二項式定理的知識，解

題關鍵是能夠利用球和圓柱的表面積及體積公式確定二項展開式的表達式.

13.x-y-2=0

【分析】由導數(shù)的幾何意義即可求出切線斜率，即可求解切線方程.

【詳解】因為〃X)=X3-2X，所以/”)=3x2-2,所以/，⑴=1

所以/⑴在點0J⑴)處的切線斜率為1，又/⑴=1-2=-1，

則在點0,/0))處的切線方程為

答案第61頁，共22頁

=，即x-y-2=0,

故答案為：x-y-2-0-

14--n+10

【分析】設等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出q,d，從而可求出

【詳解】設等差數(shù)列｛對｝的公差為d，則

,+2"=7,解得!％=9,

]q+6d=3=T

所以4=a]=9-(/i-l)=-w+10?

故答案為：-〃+10

15.1或2

【分析】利用余弦定理列出關系式，將a,b及cos4代入方程中解出c驗證即可?

【詳解】在VN8C中，因為a=l,6=6，A=30°,

所以由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosAf

即：F=(6)+c2-2xcx>/3x^-<=>c2-3c+2=0(

解得：c=l或c=2

當c=l時，a=l?b=54=30°，C=30°>8=120°滿足題意；

當c=2時，a=\,b=B4=30°，C=90"，8=60°滿足題意；

故答案為：,7或

答案第71頁，共22頁

16.{x|x>2}

【詳解】設g(x)=Rx),則g'(x)=W(x)]=/(x)+M'(x)<0,

函數(shù)g(x)在(0,+oo)上是減函數(shù)，

V/(x+1)>(x-l)/(x2-1),xe(0+oo),

.-.(x+l)/(x+l)>(x+l)(x-l)/(x2-l),

,-.(x+l)/(x+l)>(x2-l)/(x2-l)-

.-.g(x+l)>g(x2-l)，

X+1<—19

解得x>2?

故答案為{x|x)2卜

點睛：本題主要考查構造函數(shù)，常用的有：/(x)+xr(x)>構造聯(lián)X)；

2研工)+療(》)，構造力(x)；

"'(x)-f(x),構造/(x)；

X

/'(x)—/(x),構造.；

/r(x)-/(x)，構造e"(x)?等等?

17.⑴4=eN")

(2)Tn="2+〃+2“一i￡N*)

答案第81頁，共22頁

【分析】(1)運用an=Sn-Sn-1?求出％n;

(2)運用分組求和分別求出｛(｝和他｝的前n項和即可.

【詳解】(1)S〃=,當〃=1時，4=5=2，

當〃22時,an—Sn-—2n?經(jīng)驗證，q=2泗足=2〃，

%=2〃(〃wN*)；

(2).?也=2"\”=1-2，

5

'bn2"T

，數(shù)列也“｝是以首項為1，2為公比的等比數(shù)列，

-'-Tn=(al+a2+---+an)+(bl+b2+---+b?)

=.+〃)+"片)

=+〃+2"-1；

綜上，an=2/?GN*)>。=〃2+〃+2〃wN*),

18.(1)-；(2)

3

【分析】(1)由題設條件和正弦定理化簡得到sin/_6cos/=0,進而求得A的大小;

jra

(2)由(1)知/=§,結合題設條件和余弦定理，即可求得的值?

【詳解】(1)因為asinB-&bcos4=0，

由正弦定理可得sin4sin5-6sin5cos4=0'

答案第91頁，共22頁

因為8e（0,zr）,可得sinBxO，所以sin/-6cosZ=0，可得tanN=5

又因為/e（°，左）,所以力=?.

（2）由（1）知N=w，又由,,

2222

由余弦定理可得/=^+c-2hccosA=h+c-he=（b+c『-36c=16-3x3=7，

所以“="

19.⑴證明見解析：⑵近

3

【分析】0）證明S￡>，結合4D/N5,即可證明直線比1_L平面S/。；

（2）以。為原點，分別以D4,OC，OS為x,y,z軸建立空間直角坐標系，求出相關向量,

求出平面2即的一個法向量，設直線”與平面3m所成角為。，利用向量的數(shù)量積求解

即可.

【詳解】解：⑴：S￡>_L底面488，

又；底面/8CD是正方形，，力。工/夕

ADcSD=D,4Du平面S4D,SZ）u平面S4>，

氏4_L平面SND.

（2）以。為原點，分別以。4,OC，DS為x，V，z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

設A8=2，則Z（2,0,0），S（0,0,2），8（l,2,0），E（l,0,0），

:,工=（2,0,-2），麗=（2,2,0），怎=（1,0,1）?

答案第101頁，共22頁

設平面'功的法向量為￡=(xj,z),

由（玩,竺=。得（x+z=o,令X=1

m~DB=O[x+y=O

則蔡=(1,一1,一1>

設直線制與平面BE。所成角為。,

貝ijco'：S限網(wǎng)=二：,胃=乎

\/時W3，

sin?=近，即直線"與平面'功的夾角的正弦值為逅.

33

【點睛】本題考查了直線與平面所成角的求法，向量的數(shù)量積的運用，直線與平面垂直的

判定定理的應用，屬于中檔題.

20.(1)18人；(2)從高中三個年級依次抽取2名學生，1名學生，3名學生；(3)

15

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，可求得學習時間為6?8小時的頻率，進而得學習時

間為6?8小時的人數(shù).

(2)根據(jù)分層抽樣特征，即可確定在高中三個年級依次抽人數(shù).

(3)設高一的2名學生為4,4高二的1名學生為8,高三的3名學生為q,a，C3.

利用列舉法得所有可能，進而求得2名學生來自不同年級的概率.

【詳解】(1)由直方圖知，學習時間為6?8小時的頻率為

答案第111頁，共22頁

1-(0.02+2x0.12+0.06)x2=0.36，

學習時間為6?8小時的人數(shù)為50x0.36=18（人）；

（2）由直方圖可得，學習時間不少于6小時的學生有］8+i2+6=36人.

???從中抽取6名學生的抽取比例為9=工，高中三個年級的人數(shù)分別為12、6、18,

366

從高中三個年級依次抽取2名學生，1名學生，3名學生；

（3）設高一的2名學生為4,4高二的1名學生為8,高三的3名學生為q，g，C」

則從6名學生中選取2人所有可能的情形有（4,4），（4,8），（4G），（4（2），（4,G）'

（4,8），（4，G），（4C），（8，G），（8C），（8，G），（￡C），（GC）'

（c?c3）?共15種可能?

其中2名學生來自不同年級的有（4”），（4,G），（4,G），（4G），（4,8），（4,G），

（4C），（4，G），（8，G），（8，G），（8C），共11種情形，

故所求概率為p=U.

15

【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡單應用，分層抽樣特征，列舉法求古典概型概率

的應用，屬于基礎題.

217

21.（1）土+J=i；（2）存在，k=三.

416

答案第121頁，共22頁

a2=h2+c2a\b2C

C_yf5

【解析】（1）解方程組a-T即可得的值，進而可得橢圓的方程;

a=2

（2）設必），N區(qū)皿）聯(lián)立直線^=去_2化/0）與橢圓的方程消元可得關于%的一元

二次方程，由韋達定理可得e+乙，芭工2用女表示且△〉0，解方程

西.麗=（石一1）（巧一1）+必％=0,若有解說明存在，否則說明不存在?

a2=b2+c2

￡_走

【詳解】（1）由題得可得

a2

a=2

解得/=4，〃=i，/=3,

「

所以橢圓9的方程為土2+貫=1.

4

（2