2024屆全國普通高等學校數(shù)學高二年級上冊期末檢測試題含解析

2024屆全國普通高等學校數(shù)學高二上期末檢測試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,且S4=10,§8=36,則Si2為（）

A.42B.62

C.78D.90

x+y-l>0

2.已知實數(shù)x,y滿足卜—y—1W0,貝!Jz=x+y的最大值為（）

x+2y-2<0

54

A.-B.-

33

C.2D.l

3.已知三棱錐O—A5G點M,N分別為線段Ab,OC的中點，且Q4="，OB=b，OC=c>用o，b，c表示

MN，則MN等于。

A.]1-a-bB./僅-a—c

1/7

(^.5(4-c-bD.一Ic+a+/?

4.已知角a為第二象限角，sina=|,貝!|cos(c-的值為()

A4+3A/34—3^/3

A.-----------B.----------

1010

C3-4百D-4—3A/3

1010

5.已知命題p：e（10,4<o）,lgx0>l,則命題p的否定為（）

AVxe(10,+oo),lgx<lB.V%e(10,4<?),lgx>l

C.V%^（10,+oo）,lgx>lD.V%g（10,+<?）,lgx<l

6.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列

與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.如數(shù)列L3,6,10,前

后兩項之差組成新數(shù)列2,3,4,新數(shù)列2,3,4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，

其前7項分別為2,3,5,8,12,17,23,則該數(shù)列的第31項為（）

A.336B.467

C.483D.601

7.某綜合實踐小組設計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A,C之間的曲線）繞

其虛軸所在直線/旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：

AA；=13cm,BBl=12cm,CQ=20cm,A4=15cm,31cl=48cm,其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、

乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示

學生甲乙丙丁

估算結(jié)果（cm3）25200萬17409/z-14889萬13809乃

其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：/柱=?尺％,%錐=；乃氏2丸，

%臺=；?乂/+水+女））

圖1圖2

A.甲B.乙

C.丙D.T

3

8.已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列｛。“｝滿足。3、3a4、2%成等差數(shù)列.其前〃項和為S“，且§5=31,則

()

B.%=2"-3

C.S=32—-D.S?=2H-4-16

n2〃-5n

9.直線x-百y—3=0的傾斜角為()

A.150°B.120°

C.60°D,30°

10.如圖，正方形ABC。與矩形ACEb所在的平面互相垂直，AB=y[2,AF=1,M^EF±,且平面皮)E,

則M點的坐標為()

(222J

II.下列命題曾送的是0

A.命題“若必―3%+2=0,則％=1”的逆否命題為“若xwl,貝！17一3%+2/0”

B.命題“若3%+2=0,貝！|尤=1”的否命題為“若必―3%+270,貝！Ixwl”

C.若命題p：工<-1,或工〉1；命題q：%<-2,或x>1,則f是F的必要不充分條件

D.“x>2”是“X2-3X+2>0”的充分不必要條件

22

12.直線3x—2y=0是雙曲線工—21=1的一條漸近線，F(xiàn)[,居分別是雙曲線左、右焦點，尸是雙曲線上一點，且

a9

|尸周=4,則|尸卜=()

A.2B.6

C.8D.10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.二進制數(shù)110%）轉(zhuǎn)化成十進制數(shù)為.

14.已知％>0,y>0,且一+—=1,則4%+y的最小值為

%y

陷

5間的距離為2,動點產(chǎn)滿足=6,貝!）|即2+忸即的最小值為

15.若平面內(nèi)兩定點A,附I

22/1\

16.已知點尸是橢圓亍+\=1上的一點，點貝（I|PQ|的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

938。―1710

17.⑴分）在數(shù)列｛叫中'%=不石'記'==，〃**?

（1）求證：數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛包｝的通項公式;

（2）試判斷數(shù)列｛4』的增減性，并說明理由

18.（12分）已知直線/經(jīng)過兩條直線2x—y—3=0和4x—3y—5=0的交點，且與直線x+y—2=。垂直

（1）求直線/的一般式方程;

（2）若圓。的圓心為點（3,0）,直線/被該圓所截得的弦長為2&，求圓。的標準方程

19.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA±^ABCD,AD//BC,ADVCD,ABLAC,CD=2AD=2

（1）證明：PB±AC,

4

（2）當M的長為何值時，直線Ab與平面PCD所成角的正弦值為§?

20.（12分）已知橢圓C與橢圓三+匯=1有相同的焦點，且離心率為好.

25203

（1）橢圓C的標準方程;

(2)若橢圓C的兩個焦點耳，工，P是橢圓上的點，且忸制：忸閭=2:1,求△尸片耳的面積.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=F-(a+l)x+lnx,其中a為正數(shù)

(1)討論"％)單調(diào)性；

(2)求證：ex-2+^-〉/(x)+(a+l)x

22.(10分)如圖所示，在正方體ABCD-AjB|GD|中，E是棱D?的中點.

(I)求直線BE與平面ABB|A1所成的角的正弦值；

(II)在棱CjD1上是否存在一點F,使B[F平面A]BE?證明你的結(jié)論.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】直接由等差數(shù)列求和公式結(jié)合S4=10,§8=36求出q,d,再由求和公式求出與2即可.

S.=4<7,+—~—xJ=10

24=112x11

【詳解】由題意知:解得M，則&=12+丁=78.

°o8x7.“

58=8%H—xa=36

故選：C.

2、A

【解析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求出z的最大值.

【詳解】作出可行域如圖所示，

由2=工+，可知丁=—%+2,此直線可用由直線y=—%平移得到，求z的最大值，即直線y-x+2的截距最大,

x+2y—2=0(41A415

當直線y=—X+Z過直線八的交點時z取最大值，即％ax=—+—=_

x-y-l=(JJJ333

【解析】利用空間向量基本定理進行計算.

【詳解】MN=ON-OM=-OC-\-OA+-OB\=-(c-a-b

2(22J2V

故選:A

4、C

4

【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得cos。=-1，進而直接利用兩角和的余弦展開求解即可.

3

【詳解】???sina=y,1是第二象限角，

4

:.cosa=——,

5

.(n..n473313-473

?.cosa=cosacos——I-sinasin—=——x----F—x—=----------.

6J66525210

故選：C.

5、A

【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.

【詳解】因為命題P：t0G(10,+8),lgx0>l,故命題。的否定為：X/xe(10,+8),lgx<l.

故選：A.

6、B

【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項公式，直接帶入即可求得.

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2,3,5,8,12,17,23...滿足％,-4T=%=2,

所以4=(%+一%-2)++(%—4)=("-1)+(八-2)++2+1+2

——^+2

2

該數(shù)列的第31項為%=等處+2=467.

故選：B

7、D

【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.

【詳解】可將幾何體看作一個以8B1=12cm為半徑，高為4G+ABi=48+15=63cm的圓柱，

再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為20-12=8cm,13-12=1cm,高分別為48cm,15cm,

%柱二TTX122x63=90727r(cn?),

223

UB?=-^X(8X48+1X15U1029(cm),

ISI十比3\)

所以花瓶的容積90727rcm3<V<lOlOUcm3,

故最接近的是丁同學的估算，

故選：D

8、C

3

【解析】先根據(jù)的，5a4，2生成等差數(shù)列以及明單調(diào)遞減，求出公比彘再由S5=31即可求出苗,

再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前九項和公式即可求出.

3

【詳解】解：由的，5a4，2%成等差數(shù)列，

得：3%=%+2a§,

設｛4｝的公比為4,貝U2d—3q+l=0,

解得：＜?=g或4=1，

又Q?！▎握{(diào)遞減，

2

解得：%=16,

二數(shù)列｛%｝的通項公式為：an=16-

2

故選：C

9、D

【解析】由斜率得傾斜角

【詳解】直線的斜率為18,所以傾斜角為30。.

3

故選：D

10、A

【解析】設M點的坐標為由CM,平面見，可得出乩,品,易工法,，利用空間向量數(shù)量積為0

求得％、y的值，即可得出點”的坐標.

【詳解】設"點的坐標為（無C（0,0,0）,D（A/2,0,0）,B（0,V2,0）,￡（0,0,1）,則DE=卜行,0,1）,

DB=卜后,后,0）,CM=（%,j,l）.

CM，平面

CM

工DE,CM±DB,即血而_L法,,

所以，卜官+11。，解得2所以，/點的坐標為［與，坐

-V2x+V2y=0_V|I22J

/=T

故選：A.

11、C

【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出可、f,根據(jù)充分條件和必要條件的概

念可以判斷C；解出不等式無2一3%+2>0,根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.

【詳解】命題“若必―3%+2=0,則％=1”的逆否命題為“若XW1,則必―3尤+2H0”，故A正確；

命題“若3*+2=0,貝！Jx=l”的否命題為“若%2一3%+2#0，貝！Jxwl”，故B正確；

若命題p：X<—1或尤>1；命題g：x<-2或尤〉1,則r>：—iWxWl是r：-的充分不必要條件，故C

錯誤；

d_3x+2>0nx>2或x<l,故“尤>2”是“爐一3工+2>0”的充分不必要條件，故D正確.

故選：C.

12、C

【解析】根據(jù)漸近線可求出。，再由雙曲線定義可求解.

22

【詳解】因為直線3x—2y=0是雙曲線「—匕=1的一條漸近線，

a29

a=2,

又131—|相|=2〃=4或|?不一1月不=2〃=4,

.?.|尸苞|=8或|尸用=0（舍去），

故選:c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、13

【解析】根據(jù)二進制數(shù)和十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換方法即可求解.

321

【詳解】(1101)2=lx2+lx2+0x2+1x2°=8+4+1=13.

故答案為：13.

14、25

41(41)=17+^+—,利用基本不等式求解.

【解析】根據(jù)尤>0，y>0,且［+1=1,由4x+y=(4x+y)—+—

Uy)犬y

411

【詳解】因為i>。，y>0,且一+—=1,

%y

所以4f=（皿）[工卜7+?+臺17+2梓與

=25,

4y4x

當且僅當一=——，即x=y=5時，等號成立,

xy

所以4x+y的最小值為25,

故答案為：25

15、36—24&##—24血+36

【解析】建立直角坐標系，設出產(chǎn)的坐標，求出軌跡方程，然后推出|申|2+戶@2的表達式，轉(zhuǎn)化求解最小值即可.

【詳解】以經(jīng)過A,5的直線為X軸，線段A3的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.

則A（—1,0）,5（1,0）,設。（元封，由扃=行，則二0，

\PB\"邛（I）；+F一

所以兩邊平方并整理得（%-3）2+/=8,

所以尸點的軌跡是以（3,0）為圓心，2a為半徑的圓，

所以V=8—（%_3）2,3-2A/2<X<3+2A/2.

則有+|PB|2=2（x2+y2）+2=2x2+18-2（x-3）2=12%>36-24A/2,

貝!112+歸砰的最小值為36-24后.

故答案為：36-2472.

16、正

4

【解析】設P（%y）,表示出|PQ|=J[x—+（y—Op,消去y,利用二次函數(shù)求最值即可.

【詳解】設P（%,y）,

所以當x=l時，「0|=于最小.

故答案為：空.

4

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

〃+1

17、(1)證明見解析，b=—

n2

(2)數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減.

【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，然后套用等差數(shù)列的通項公式即可;

(2)先根據(jù)(1)的結(jié)論求出數(shù)列｛%,｝的通項，然后用作差法即可判斷其單調(diào)性

【小問1詳解】

3眄-1,10

因為an+\，bn-----,neN*,

44+422a“+1

所以r76斯—2+4cin+4280即+40,

2an+1+1=4ali+42=4ali+42

4?！?422c1+21

所以2+1=10?n

80?！?40+2

2a〃+21—202(1n+11

4%+22(2%+1)2

710101

=--------=------=I,

12q+l9+1

所以數(shù)列｛々J是以1為首項，;為公差的等差數(shù)列,

1n+1

%=1+式九-1)=方一

【小問2詳解】

710n+1

由⑴可知，"=川=丁

所以20,

2aH+1=E

所以〃19-n,

為一2九+2

22

19-n-l19-n34n+36-2n-(34H-2n+76)-40

a-ci—--------------------------------------------------=----------------<Q

"+1”2〃+42n+2(2〃+4)(27Z+2)(2〃+4)(2〃+2)

故％<4,

所以數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減.

18、(1)x-y-l=0

(2)(x-3)2+y2=4

【解析】（1）由題意求出兩直線的交點，再求出所求直線的斜率，用點斜式寫出直線/的方程;

（2）根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標準方程

【小問1詳解】

2x-y-3=0=2

解:由題意知＜,解得，

4x-3y—5=0y=i

直線2x-y-3=0和4x-3y-5=。的交點為(2,1)；

設直線/的斜率為左，/與直線x+y—2=0垂直，，左=1；

二直線/的方程為V—1=（%-2）,化為一般形式為x—y—1=。；

【小問2詳解】

解：設圓C的半徑為廣，則圓心為C（3,0）到直線/:%-丁-1=0的距離為

d="nW=應，由垂徑定理得r2=d2+（叫了=（應了+（逆了=4，

V1+122

解得r=2,

二圓C的標準方程為（X—3）2+V=4

19、（1）證明見解析

（2）PB=2指

【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明AC，平面融8,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明必，AC；

(2)以A為原點，AB,AC,AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A—孫z,設P(O,Oj),求出平面PC。

4

的法向量加的坐標，根據(jù)直線A3與平面PC。所成角的正弦值為不，利用向量法可求得?=4,從而可求解尸3的長.

【小問1詳解】

證明：因為底面A5CZ),又ACu平面A5C。，

所以又ABLAC,ABr>PA=A,AB,上4u平面

所以AC_L平面叢5,又PBu平面川5,

所以MLAC；

小問2詳解】

解：因為底面ABC。，ABLAC,

所以以A為原點，AB,AC,AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系A-孫z,

因為AD〃3C,ADYCD,ABLAC,

所以RtABCsRtDCA,則AC=V?,AB=2下,

（266°）

所以A（0,0,0）,B（2行,0,0）,C（0,75,0）,D

設P（0,01）,則DC=手哈4團（2^,0,0）,

PC=(0,底T),設平面PCD的法向量為m=(x,y,z),

m-DC=—x+—,一°,令x=2,則y=—1,z=—好,

則55

m-PC=亞y-tz=0

所以根=2,-1,-^

m-AB_4君_4

2后5解得產(chǎn)=4,則尸8

所以當P3=2?時，直線AB與平面尸皿所成角正弦值為g

22

20、（1）L+匕=1

94

（2）4

【解析】（1）由題意求出七瓦c即可求解；

（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可

【小問1詳解】

22

因為橢圓C與橢圓匕+乙=1有相同的焦點，

2520

所以橢圓C的焦點耳卜百,0）,巴（布,0）,c=6，

a3

所以a=3,b2=a2—c2=4f

22

所以橢圓c的標準方程為二+乙=1.

94

【小問2詳解】

由|尸團:|尸閭=2:1,歸周+|尸閭=6,

得|尸4|=4,|尸鳥|=2,

而閨國=2百，

77

所以N耳PK=Q,

所以S型遲=；|延卜|。1|=4

21、（1）答案見解析

（2）證明見解析

【解析】⑴求解函數(shù)八大）的導函數(shù)，并且求r（x）=o的兩個根，然后分類討論!<1,，〉1和J_=i三種情況下

aaa

（2\

對應的單調(diào)性；⑵令［/—2+三-J—"（x）+（a+l）x］=/—Inx—2=g（x）,通過二次求導法，判斷函數(shù)g（x）

的單調(diào)性與最小值，設g'（x）的零點為與，求出/取值范圍，最后將g（%）轉(zhuǎn)化為%的對勾函數(shù)并求解最小值，即可

證明出不等式.

【小問1詳解】

函數(shù)八％）的定義域為（0,十。）

V/（上以_.+1）+、—2-（7）川—-1*-1）

令r（x）=0得（依―1）（x—1）=0

,；a>0,-］（x-1）=0,得工=，或x=l

①當工<1,即°>1時，時，或龍〉1；/'（x）<0時，—<x<l.

aaa

.?./（X）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增

②當一>1,即0<avl時，時，1<1或X>一；/'（犬）<0時，1<x<—.

aaa

.?./（X）在（0,1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在，■,+81上單調(diào)遞增

③當工=1,即。=1時，?（x）=（x—1）20

a—x一

.?."％）在（0,+。）上單調(diào)遞增

綜上所述：當”>1時，在1o,￡|和（L+8）上單調(diào)遞增，在:』］上單調(diào)遞減；

當0<。<1時，/（%）在（0」）和|；,+，|上單調(diào)遞增，在［J上單調(diào)遞減；

當。=1時，/（%）在（0,+。）上單調(diào)遞增

【小問2詳解】

(2A

令e%-2+;-J—"(x)+(a+l)x]=e