（人教A版2019必修第二冊）數(shù)學(xué) 第8章 立體幾何初步 大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

第八章立體幾何初步

8.1基本立體圖形

一、【單元目標(biāo)】

1、利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識別

和區(qū)分這些幾何體；

2、會用柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征描述簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。使學(xué)生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實(shí)生

活周圍，提高學(xué)生的觀察能力。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和抽象概括能力。

3、與平面幾何體的有關(guān)概念、圖形和性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)類比，初步學(xué)會用類比的思想分析問題和解決問題.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：多面體與旋轉(zhuǎn)體等概念的理解；

2.邏輯推理：棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；

3.直觀想象：判斷空間幾何體；

4.數(shù)學(xué)建模：通過平面展開圖將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

定義

表示

?三棱柱

?直三棱柱

?A,r-3-πχ44.四棱柱

-按底面形狀----?直四棱柱——正方體

一棱柱一

?直棱柱?正棱柱——?正方體

分類一按側(cè)^與底面

的位置關(guān)系

?斜棱柱?平行六面體

-棱錐

J棱臺

分類

定義

組合體

基本形式

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

初中階段已經(jīng)初步認(rèn)識了幾何圖形，知道立體圖像和幾何圖形的區(qū)別和聯(lián)系，日常生活中也積累了大

量關(guān)于空間物體結(jié)構(gòu)特征的直觀檢驗(yàn)，為本章學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。

2.認(rèn)知障礙

本單元的難點(diǎn)在理解幾何體結(jié)構(gòu)特征的含義，以及抽象幾何體機(jī)構(gòu)特征的數(shù)學(xué)方式，包括如何觀察、

從哪些角度抽象，如何用精確的幾何語言表達(dá)等等。

四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】

課時(shí)安排：2課時(shí)

教學(xué)重點(diǎn)：觀察實(shí)物、模型的角度，理解幾何體結(jié)構(gòu)特征的含義，描述基本立體圖形的語言。

教學(xué)難點(diǎn)：觀察實(shí)物、模型的角度，理解幾何體結(jié)構(gòu)特征的含義，描述基本立體圖形的語言。

教學(xué)方法/過程：

章引言閱讀，把握本章結(jié)構(gòu)

1創(chuàng)設(shè)情景,揭示主題

本章學(xué)習(xí)方式及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求

一空間幾何體

3

-定義

Γ棱柱-百

-分類

類型「定義

棱錐

--特征

定義

一棱臺

3

r圓柱

圓錐

類型

回臺

J球

定義

基本形式

r例題

4典例分析，舉一反三-

練習(xí)

5課堂小結(jié)，作業(yè)布置

五、【教學(xué)問題診斷分析】

問題1回顧初中幾何學(xué)習(xí)的過程，兒何學(xué)是研究什么的？按怎樣的路徑研究平面圖形的？

破解方法：回顧初中知識，理順幾何學(xué)是研究幾何圖形的形狀大小及位置關(guān)系，并按照“背景一概念一性

質(zhì)一特例一應(yīng)用”的路徑展開，進(jìn)而進(jìn)入本章立體幾何的學(xué)習(xí)。

問題2閱讀教材章引言，并回答本章的研究對象是什么？研究路徑是什么？有哪些基本方法？

【設(shè)計(jì)意圖】構(gòu)建本章的先行組織者，讓學(xué)生對本章的研究對象、內(nèi)容、過程和方法有一個(gè)了解。

問題3觀察課本P97圖8.1-1,這些圖片中的物體具有什么樣的形狀？在日常中，我們把這些物體的形狀

叫做什么？如何來描述的？

引導(dǎo)學(xué)生將物體抽象成空間幾何體，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類，并找到其根本區(qū)別。

學(xué)生活動：歸納分類一一多面體和旋轉(zhuǎn)體。

閱讀教材，說出多面體、旋轉(zhuǎn)體各組成要素的名稱，并在圖中找到并標(biāo)出。

【設(shè)計(jì)意圖】在具體研究方法的指導(dǎo)下，帶領(lǐng)學(xué)生由整體到局部，去認(rèn)識空間幾何體，對幾何體的分類標(biāo)

準(zhǔn)，名稱有深入了解。經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，體會刻畫幾何體結(jié)構(gòu)特征的數(shù)學(xué)方式。

問題4觀察圖8.1-4中的長方體，它的每個(gè)面是什么樣的多邊形？不同的面之間有什么位置關(guān)系？

師：通過觀察討論能否得到棱柱的準(zhǔn)確定義呢？

生：交流探究給出棱柱定義。

辨析1有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱嗎？留出反呼

解析：如圖所示，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的A/

幾何體不一定是棱柱/!_A_.

辨析2有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？

解析：如圖所示，兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形

的幾何體不一定是棱柱\

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生合作探究及引導(dǎo)，用舉反例的方式幫助學(xué)生改進(jìn)、完善描述方法，使學(xué)生體會如何

準(zhǔn)確描述立體圖形的結(jié)構(gòu)特征。

棱柱的組成元素特征：棱柱的兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的

公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).g__2'

棱柱的結(jié)構(gòu)特征:

1、底面互相平行且全等

2、側(cè)面都是平行四邊形

3、側(cè)棱平行且相等

棱柱的表示法:

棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'B頂點(diǎn)

問題5回顧平面幾何研究多邊形的過程，在定義多邊形的概念后，我們以組成多邊形的線段條數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),

將多邊形進(jìn)行分類，然后以多邊形組成元素的特征屬性一一各個(gè)內(nèi)角相等、各條邊相對為標(biāo)準(zhǔn)分出正多邊

形。類似的，給出棱柱的定義后，我們也要對它進(jìn)行分類。你認(rèn)為應(yīng)該如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)？

直三棱柱

----直四棱柱-----長方體

直棱柱一正棱柱一正方體

斜棱柱一平行六面體

【設(shè)計(jì)意圖】對棱柱結(jié)構(gòu)特征的研究具有示范性，在完整研究的基礎(chǔ)上，對研究過程與方法進(jìn)行梳理，并

畫出結(jié)構(gòu)圖，幫助學(xué)生形成更加清晰的幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究思路和方法，從而為接下來的棱錐、棱臺結(jié)

構(gòu)特征的自主探究做好充分準(zhǔn)備。

問題6你能類比棱柱的研究內(nèi)容、過程和方法，自己研究棱錐的結(jié)構(gòu)特征嗎？請同學(xué)們先不看書，通過自

主探究，寫出自己的研究成果，然后和小組內(nèi)的同學(xué)交流，再閱讀《必修二》第99頁至IOO頁關(guān)于棱錐的

內(nèi)容，完善研究成果。

棱錐的概念：有一面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.

棱錐的結(jié)構(gòu)特征：S

jΓ---頂點(diǎn)

1、底面是一個(gè)多邊形/k

2、側(cè)面都是三角形MK一/?χ*W

3、各側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)底而…\一二》C

棱錐的表示法：”匕------Y

用表示頂點(diǎn)和底面的字母表示，如四棱錐S-ABCD.

師生活動：類比棱柱，學(xué)生自主完成棱錐相關(guān)知識點(diǎn)的思維導(dǎo)圖。

練習(xí)：（多選）下列說法中，正確的是（AB）

A.棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形

B.四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面

C.棱錐的側(cè)棱平行

D.有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

解析：D選項(xiàng)，如圖：

問題6用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間部分，這樣的多面體叫做棱臺。原棱錐的

底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面。

請同學(xué)們仿照前面的研究，自己給出關(guān)于棱臺的所有結(jié)論,

然后閱讀教科書第IOO頁，檢查自己的結(jié)論。

師生活動：學(xué)生自主完成。

練習(xí):有下列四種敘述中，正確的有（）

①.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；

②.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；

③.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺；

④.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).

解:①中的平面不一定平行于底面，故①錯(cuò)；

由棱臺的定義知，④正確；

②③可用反例去檢驗(yàn)，如圖所示，側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn)，故②③錯(cuò).

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)教科書制出本節(jié)的知識框架圖。

2.課堂檢測

例1將下列各類幾何體之間的關(guān)系用Venn圖表示出來:

多面體，長方體，棱柱，棱錐，棱臺，直棱柱，四面體，平行六面體.

解析:

例2判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫T”，錯(cuò)誤的畫“X”.

(1)長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體.(×)

提示：直四棱柱不一定是長方體。

(2)四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體.(√)

例3填空題

(1)一個(gè)幾何體由7個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這

個(gè)幾何體是.直五棱柱一.

(2)一個(gè)多面體最少有個(gè)面，此時(shí)這個(gè)多面體是_四面體(三棱錐).

例4關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法的序號為.

①這是一個(gè)六面體.

②這是一個(gè)四棱臺.

③這是一個(gè)四棱柱.

④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到.

⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到.

【答案】①③④⑤.

①正確.因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍.②錯(cuò)誤.因?yàn)閭?cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，所以不正確.③

正確.如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱.

④⑤都正確.如圖所示.

解題技巧（判斷結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的注意事項(xiàng)）

在解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷題時(shí)，要注意緊扣定義判斷，這就要求熟悉各種空間幾何體的概念的內(nèi)

涵和外延，切忌只憑圖形主觀臆斷.

【設(shè)計(jì)意圖】檢測對棱柱、棱錐、棱臺相關(guān)概念的理解程度。

3.課后作業(yè)

（1）必修二第IOl頁練習(xí)第4題，第105頁習(xí)題8.1的1、2、6、7、8題“

（2）請你類比棱柱、棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的研究，自主研究圓柱、圓錐和圓臺，寫出研究成果，然后閱讀

教科書，對照教科書內(nèi)容修改、完善自己的研究成果。

8.2立體圖形的直觀圖(單元教學(xué)設(shè)計(jì))

一、【單元目標(biāo)】

1.知識與技能：

(1)了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟.

(2)會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖.

2.過程與方法：

通過類比,利用斜二測畫法畫出平面圖形和空間幾何體的直觀圖.

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：

(1)提高空間想象能力與直觀感受

(2)體會類比在學(xué)習(xí)中的作用.

(3)感受幾何作圖在生產(chǎn)生活中的作用.

(4)通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

畫平面圖形的直觀圖平行不變

實(shí)際背景斜二測畫法\畫立體圖形的直觀圖

長度規(guī)則

比平面圖形多fz?

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》(人教A版)第八章《立體

幾何初步》，本節(jié)課主要平面圖形、空間幾何體的直觀圖的畫法。

畫出空間幾何體的直觀圖是學(xué)生學(xué)好立體幾何的必要條件。本節(jié)課主要是介紹了最常用

的、直觀性好的斜二測畫法。而水平放置的平面圖形的直觀圖畫法,是畫空間幾何體直觀圖

的基礎(chǔ)。教學(xué)的重點(diǎn)是斜投影畫平面圖形直觀圖的方法,即斜二測畫法。教材給出了正六邊

形、長方體、圓柱、圓柱和圓錐組合體直觀圖的畫法。教學(xué)時(shí)可以適當(dāng)延伸,討論正五邊形、

圓錐、圓臺、球的直觀圖畫法。

畫空間幾何體的直觀圖，了解空間幾何體的直觀圖，有助于提高學(xué)生的空間想象能力，

是學(xué)生學(xué)習(xí)點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的基礎(chǔ)。

2.認(rèn)知障礙

一方面，學(xué)生對于立體空間感沒有建立，需要在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下探究體會由平面圖形

到立體圖形的轉(zhuǎn)換；另一方面，讓學(xué)生體會橫不變縱減半畫圖可以得出最佳立體感，培養(yǎng)學(xué)

生的作圖能力和直觀想象能力.

四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】

課時(shí)安排：約1課時(shí)

教學(xué)重點(diǎn)：斜二測畫法的步驟；

教學(xué)難點(diǎn)：會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖

教學(xué)方法/過程：

課前預(yù)習(xí)

引入新課平行投影

直觀圖概念斜二測畫法

平面圖形的斜二測畫法

立體圖形的直觀圖

立體圖形的斜二測畫法

例題

鞏固拓展

練習(xí)

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問題診斷分析】

問題1：如圖，矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀？眺望遠(yuǎn)處成塊的

農(nóng)田，矩形的農(nóng)田在我們眼里又是什么形狀？

【答案】平行四邊形

【破解方法】通過學(xué)生熟悉的身邊環(huán)境，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生了解平面圖形的的直觀

圖，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。

問題2：利用平行投影，獲得的畫直觀圖的方法是什么？

【答案】斜二測畫法

【破解方法】通過了解概念，從平行投影到平面圖形的直觀圖的畫法，根據(jù)總結(jié)得出最

能體現(xiàn)出立體感的作圖方法，即斜二測畫法.

問題3：用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟是怎樣的？

【破解方法】通過斜二測畫法的講解，讓學(xué)生了解到斜二測畫法作平面圖形的關(guān)鍵：①

建系；②平行關(guān)系；③長度規(guī)則.

【教學(xué)過程】用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟：

(1)在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)。畫直觀圖時(shí)，把它們畫成

對應(yīng)的x'軸與了軸，兩軸相交于點(diǎn)。'，使Nx'O'>'=45(或135),它們確定的平而表

示水平面.

(2)已知圖形中平行于X軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸與y'軸的線

段.

(3)己知圖形中平行于X軸的線段。在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段,

在直觀圖中長度為原來的一半.

問題4：具體怎么用斜二測畫法畫水平放置的正方形的直觀圖？

【破解方法】通過講解步驟,讓學(xué)生了解注意畫平面圖形的直觀圖,提高學(xué)生分析問題、

概括能力。

【教學(xué)過程】①以正方形的中心為原點(diǎn)，平行與邊的直線為X軸，y軸建立如圖所示的

坐標(biāo)系；'

②建立Zx'o'ay'=45。的坐標(biāo)系

③平行于x、y軸的線段在斜二測坐標(biāo)系中仍平行于X'軸與y'軸，但橫向長度不變，縱向長

度減半

問題5：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟是什么？

【破解方法】和利用斜二測畫平面圖形的方法的對比，理解利用斜二測畫法畫空間凡何

體的直觀圖的步驟的異同，通過后面具體例題進(jìn)一步鞏固空間幾何體直觀圖的畫法，提高學(xué)

生畫圖的能力、直觀想象能力.

【教學(xué)過程】畫幾何體的直觀圖時(shí).，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與X軸、

y軸都垂直的Z軸，并且使平行于Z軸的線段的平行性和長度都不變.

問題6：能具體說說怎么利用斜二測畫法作已知長方體的長,寬,高分別是3cm,2cm,1.5cm

的直觀圖嗎？

【破解方法】通過具體例題進(jìn)一步鞏固利用斜二測畫法作立體圖形的直觀圖的步驟提高學(xué)生

畫圖的能力、直觀想象能力，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與X軸、y軸都垂

直的Z軸，作直觀圖是必須利用幾個(gè)平行關(guān)系進(jìn)行定位，充分理解長度的變與不變的應(yīng)用.

【教學(xué)過程】畫法:⑴畫軸。畫X軸，y軸,z軸,三軸交于點(diǎn)O,使Z.xoy=45°,NMZ=90".

(2)畫底面。在X軸正半軸上取線段AB,使AB=3cm,在y軸正半軸上取線段AD,使

AD=ICm,過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)D作X軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)為C,則平行四邊

形ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖。

(3)畫側(cè)棱。在Z軸正半軸上取線段AA使A4'=1.5αn,過B,C,D各點(diǎn)分別作Z軸

的平行線，并在這些平行線上分別截取1.5Cm長的線段8B',CC',

Z

(4)成圖。順次連接A,B',C',D',并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)，

就可得到長方體的直觀圖。

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論是否正確。

(1)相等的線段在直觀圖中仍然相等。()

(2)平行的線段在直觀圖中仍然平行。()

(3)一個(gè)角的直觀圖仍然是一個(gè)角。()

(4)相等的角在直觀圖中仍然相等。()

【答案】(1)X(2)√(3)√(4)×

【解析】對于(1)；利用斜二測畫法橫不變縱減半，所以相等的線段在直觀圖中不一定相

等，(1)是假命題；

對于(2)；利用斜二測畫法，平行的線段在宜觀圖中仍然平行；所以，(2)是真命題；

對于(3)；利用斜二測畫法，一個(gè)角的直觀圖仍然是一個(gè)角，是真命題；

對于(4)；因?yàn)橹庇^圖中橫不變縱減半，則相等的角在直觀圖中不一定相等，所以，(4)

是假命題；

2、用斜二測畫法畫水平放置的六邊形的直觀圖

【解析】(1)在六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為X軸，對稱軸MN所在直線為y

軸，兩軸交于點(diǎn)O。畫相應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點(diǎn)o',使NX'o'y'=45".

（2）以o'為中心，在x'軸上取AZy=AD,在y軸上WMM=LMN,以點(diǎn)N'為中心,

畫8'。'平行與X'軸，并且等于BC;再以M'為中心，畫E尸'平行于￡軸，并且等于EF。

V

F'?/T?/R，

A/D'

（3）連接A'B',C'D',E'F',F'A',并擦去輔助線x'軸和y'軸，便獲正六邊形ABCDEF

水平放置的直觀圖A3'C7XE'r'。

3、如圖，平行四邊形。尸，QR是四邊形OPQR的直觀圖，若0,9=3,OR=I,則原

四邊形OPQR的周長為.

【答案】10

【解析】由直觀圖可知，原圖形是矩形OPQ凡且。P=3,OR=2.故原四邊形OPQR的周

長為10.

4.畫出水平放置的四邊形OBC￡＞（如圖所示）的直觀圖.

【解析】（1）過點(diǎn)C作CE_LX軸，垂足為點(diǎn)E,如圖①所示，畫出對應(yīng)的/軸、軸，使N

/01"=45。，如圖②所示.

(2)如圖②所示，在V軸上取點(diǎn)Q，E',使得OB=O2,OE=OE;在y軸上取一點(diǎn)。，

使得。Ty=；OD；過點(diǎn)E作￡C〃y釉，使￡C=SC.

(3)連接夕C,CD',并擦去V軸與y軸及其他一些輔助線，如圖③所示，

四邊形OEC。就是所求的直觀圖.

2.課堂檢測

設(shè)計(jì)意圖：例題變式練.

【變式1】判斷正誤

用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.

(1)原來相交的仍相交.()

(2)原來垂直的仍垂直.()

(3)原來平行的仍平行.()

(4)原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn).()

【答案】(IW(2)x(3)√(4)√

【解析】(1)正確；利用斜二測畫法，平行的仍然平行，原來相交的仍相交：

(2)錯(cuò)；長度有可能改變，故垂直關(guān)系改變；

(3)正確；利用斜二測畫法，平行的仍然平行，原來相交的仍相交；

(4)正確；利用斜二測畫法，平行的仍然平行，原來相交的仍相交：

(6)正確；規(guī)定:零向量與任意向量平行.

【變式2】利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是()

3

O1.5□、與口口3

3333

ABCD

【答案】C

【解析】正方形的直觀圖應(yīng)是一個(gè)內(nèi)角為45。的平行四邊形，且相鄰的兩邊之比為2：I,故

選C.

3.課后作業(yè)

設(shè)計(jì)意圖：鞏固提升.

1.課本109頁練習(xí)

2.課本習(xí)題8.2復(fù)習(xí)鞏固及綜合運(yùn)用

8.3簡單幾何體的表面積與體積(單元教學(xué)設(shè)計(jì))

一、【單元目標(biāo)】

?.知識與技能：

(I)通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計(jì)算公式.

(2)能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.

(3)通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計(jì)

算公式.

(4)能運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.

2.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

(1)數(shù)學(xué)抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公

式；

(2)數(shù)學(xué)運(yùn)算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積，求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或

體積；

(3)數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有

關(guān)實(shí)際問題，數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有

關(guān)實(shí)際問題.

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積

簡單幾何體的表面積與做棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積

球的表面積、體積

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

第一節(jié)是在學(xué)生已從棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖兩個(gè)方面認(rèn)識了多面體的基

礎(chǔ)上，進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識棱柱、棱錐、棱臺，主要包括表面積和體積.

第二節(jié)是在學(xué)生已從圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖兩個(gè)方面認(rèn)識了旋轉(zhuǎn)體

的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識圓柱、圓錐、圓臺、球，主要包括表面積和體積.

四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】

課時(shí)安排：約2課時(shí)

第一課時(shí)：棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

第二課時(shí)：圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

教學(xué)重點(diǎn)：掌握棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計(jì)算公式和

應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)：棱臺、圓臺的體積公式的理解

教學(xué)方法/過程：

課前預(yù)習(xí)

引入新課

表面積公式

柱體、錐體、棱臺表面積、體積V-----------------

\體積公式

表面積公式

圓柱、圓錐、圓臺的表面積、體積

體積公式

簡單幾何體的表面積與體積

表面積公式

球的表面積、體積

體積公式

鞏固拓展

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問題診斷分析】

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

問題1：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積如何計(jì)算？

【答案】棱柱、棱錐、棱臺的各個(gè)面都是平面，則棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積就是所有

側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.

【破解方法】通過學(xué)生對棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開的觀察，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生

了解棱柱、棱錐、棱臺各個(gè)表面特征，自己總結(jié)出方法，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的

能力。

問題2：求解棱柱、棱錐、棱臺和組合體的側(cè)面積、表面積有哪些是要注意的？

【答案】(1)幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面

積之和.

(2)對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行，要特別留意根據(jù)幾何

體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來求解相關(guān)問題.

(3)組合體的表面枳應(yīng)注意重合部分的處理.

【破解方法】通過對立體圖形的展開，觀察出各個(gè)圖形的特點(diǎn)，通過平面圖形的面積公

式，歸納出棱柱、棱錐、棱臺和組合體的側(cè)面積、表面積公式的特征，了解公式的來龍去脈，

從而加深公式的印象.

問題3：柱體、錐體、棱臺體的體積公式是什么？

【答案】1.棱柱：柱體的底面面積為S,高為h,則V=S/?.

2.棱錐：錐體的底面面積為S,高為h,則V=gs%.

3.棱臺：臺體的上、下底面面積分別為卜、S,高為h,則V=/S+√詆+S)/?.

【破解方法】對于柱體、錐體、棱臺體的體積公式可以類比平面圖形的面積公式進(jìn)行記

憶，讓學(xué)生感受從二維到三維的區(qū)別和相似，在推導(dǎo)過程中可以加以類比.

新知探究

考點(diǎn)一：柱、錐、臺的表面積

例1?正六棱錐的底邊長為4厘米，高為2厘米，求它的側(cè)面積.

【分析】根據(jù)已知中正六棱錐的底邊長為4厘米，高為2厘米，求出側(cè)高，進(jìn)而可得正六棱

錐的側(cè)面積.

【解答】解：?正六棱錐的底邊長為4厘米，

故底面「II心到底面邊長的距離OQ=等X4=2√5,

22

故正六棱錐的側(cè)高PQ=y∣PO+OQ=4,

故正六棱錐的側(cè)面積S=6χJχ4x4=48厘米2.

2

P

例2.已知四棱錐S-ABCD的各棱長為5,底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形，求它的

表面積.

【分析】根據(jù)題意，該四棱錐的底面是邊長為5的正方形，四個(gè)側(cè)面都是邊長為5的正三角

形，由此結(jié)合正方形和正三角形面積計(jì)算公式，即可算出該四棱錐的表面積.

【解答】解：作出正四棱錐S-ABCD,如圖所示：

?正四棱錐各棱長均為5,

.?.正四棱錐的底面是邊長為5的正方形，一個(gè)側(cè)面為邊長為5的等邊三角形

由此可得側(cè)面ΔS8C中，面積S=^X52="√5

44

因此，它的側(cè)面積為S(M=4*m#=25小，

底面積為S底=52=25

該正四棱錐的表面積為S=S底=+Swj=25√3+25=25(1+幣)

變式訓(xùn)練：正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，它的底面積為Q,求它的側(cè)面積.

【分析】設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長為*推出側(cè)棱與底面面積的關(guān)系，求出側(cè)棱長，然后求出側(cè)

面積.

【解答】解：設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長為α,則由條件知底面邊長=VLz,

底面面積苴(√Σα)2=Q,.?.∕=3?,

43

?,?S側(cè)=3X萬。--y/3Q.

故它的側(cè)面積為6。.

解題技巧（求多面體表面積注意事項(xiàng)）

1.多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和.

2.解決有關(guān)棱臺的問題時(shí).，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決;

二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識來解決.

題型二：柱、錐、臺的體積

例1.如圖，在長方體ABCD-A4GA中，AB=AD=2,A4,=3,則四棱錐A-ABCZ）的

體積為（）

A.3B.4C.6D.9

【分析】利用己知條件，直接求出四棱錐。-ABCO的體積即可.

【解答】解：A8CQ-AqGR是長方體，且Aβ=AD=2,AA=3,

.?.四棱錐。-ABC。的體積為％τBc°=gx2x2x3=4.

故選：B-

例2.已知三棱臺ABC-ABC中，三棱錐A-AAG的體積為4,三棱錐A-ABC的體積

為8,則四面體A-BCG的體積為（）

A.3√3B.4√2C.4√3D.4√7

【分析】設(shè)SM（C=SI，SA4G=$2，棱臺的高為人，用:?棱錐的體積求出S2、A，再求出

三棱臺ABC-A耳G的體積，即可求出四面體A-BCG的體積.

【解答】解：如圖所示，

設(shè)s?ABC=S］，SAfiC1=S2,棱臺的君J為/?，

由題意知，

?,MCI=?52Λ=4,

1?

解得S?=";

I.24

匕棱帆-板==8,解得S1=—；

所以三棱臺ASC-A1S1C1的體積為：

V=1?(S1+s2+√s^s7)=∣∕ι(?+^+J?×?=i2+4√2,

33Ah?hh

所以四面體A-BCG的體積為：

%面體4-4%=V-‰l,wι-Vl,WA.AflC=(12+4√2)-4-8=4√2.

故選：B.

變式訓(xùn)練1：如圖，正方體A8Cr>-A4GA的棱長為",那么三棱錐A-ABC的體積是（

【分析】求出R到平面ABC的距離為=”,從而三棱錐A-ABC的體積是

%1-ABC??XBBIXMBC,

【解答】解：正方體ABCD-AgCa的棱長為a,

D1到平面ABC的距離為BB,=a,

.?.三棱錐A-ABC的體積是：

%"c=gx叫xSz^c=3xαxgxαxα=’.

AB=6，BB1=5.求它的側(cè)面積、體積.

【分析】由已知該正三棱柱的側(cè)面積S=3S矩窗陰A體積U=SMBC"4，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：?在正三棱柱中，AB=6,BB∣=5.

：.它的側(cè)面積S=3S矩形AgA=3×6×5=90.

o

它的體積V=SΔABC.陰=l×6×6×sin60×5=45√3.

解題技巧（求棱柱、棱錐、棱臺體積的注意事項(xiàng)）

1.常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只

需選用底面積和高都易求的形式即可.③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求

體積.

2.求幾何體體積時(shí)需注意的問題

柱、錐、臺的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求

出所需要的量，最后代入公式計(jì)算.

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.已知正四棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,那么它的體積為（）

A.-B.叵C.—D.以上都不對

366

【分析】作出正四棱錐的圖象，利用勾股定理求出正四棱錐的高，由錐體的體積公式求解即

可.

【解答】解：如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，AB=I.F4=2,

設(shè)正四棱錐的高為OP,連接AO,

則Ao=IAC=立,

22

在RtAPOA中，PO=-JPA2-AO2=

則正四棱錐的體積為V=Lsy(Ca?尸。=L*儼*恒=恒

2.如圖，正方體ABa)-A耳GA的棱長為1，線段與A上有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn),且EF=斗,

則三棱錐A-8￡F的體積為()

A.—B.-C.—D.不確定

12412

［分析］計(jì)算MEF的面積和點(diǎn)A到平面BEF的距離，再利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】解：因?yàn)橛谩！ㄆ矫鍭Ba>,

又E,尸在直線。M上運(yùn)動，

所以EE〃平面ΛBCE>,

因?yàn)辄c(diǎn)8到平面與R的距離不變，且EF=包,

所以SMEF=；XEFXBBl=；X與Xl=,,

因?yàn)辄c(diǎn)A到平面BEF的距離為變，

2

所以匕BEF=LXSgEF×—=-×—X—=??

Λ-uc,r3iΛθc?r2342］2

故選：A.

3.直平行六面體的底面是菱形，兩個(gè)對角面面積分別為。/Q2,求直平行六面體的側(cè)面

積.

【分析】設(shè)底面邊長為側(cè)棱長為/,兩對角線分別為C，d,由條件建立方程組，消去c,

d,用。，Q2表示側(cè)面積4〃.

【解答】解：設(shè)底面邊長為α,側(cè)棱長為/，兩對角線分別為c,d.

c∕=Q⑴

則(d?∕=0(2)消去c,d＞由(1)得c=9,

I

(gc)2+(2)2="2(3)

由(2)得d=牛，代入(3)得：牛尸=/，

222

+Q；=4∕α，.?.2la=y∣Q'+Q2

2.課堂檢測

設(shè)計(jì)意圖：例題變式練.

【變式1】如圖，在四棱錐P-ABeD中，四邊形/WC力為平行四邊形，E為PC的中點(diǎn),

則平面ΛBE截四棱錐上下兩部分的體積之比為（）

A.1:2B.2:3C.3:4D.3:5

【分析】設(shè)平面ABE交棱于點(diǎn)尸，連接AF,EF,利用等體積法以及分割法，得到

VPYBEF=匕，-Μ3+匕，-MB，結(jié)合錐體的體積公式分析求解即可?

【解答】解：設(shè)平面ABE交棱PD于點(diǎn)F,連接AT,EF,

則YPfBEF~VP-AFB+VP-EFB'

因?yàn)锳B∕∕8,且A8仁平面尸C￡),CZ)U平面PCQ,

故AB//平面PCD,

又ABU平面ABEF,M'IzIflIABEFe平面平面PCD=EF,

所以ΛB∕∕EF,

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)尸為PD的中點(diǎn)，

vvV

則P-AFH=VIITAF=?B-PAD==~P-AHCI>,

VyP-EFB=VvB-PEF--VγB-PDC--VyP-BCD--VvP-ABCD,

3

所以Vp_ABEF=dVP-ABCD,

O

所以平面ABE截四棱錐上下兩部分的體積之比為3:5.

故選：D.

【變式2】底面是邊長為1的正方形，側(cè)面均是等邊三角形的四棱錐的體積為（）

A.在B.也C.更D.立

6432

【分析】首先確定該四棱錐為正四棱錐，由正棱錐的幾何性質(zhì)求出棱錐的高，利用棱錐的體

積公式求解即可.

【解答】解：底面是邊長為I的正方形，側(cè)面均是等邊三角形的四棱錐是正四棱錐，

底面正方形對角線長為√12+12=√2,

則正四棱錐的高∕z=_（*>=*,

所以正四棱錐的體積為V=JSG=LxVX也=也.

3326

故選：A.

【變式3】正四棱臺的高，側(cè)棱，對角線長分別為7c∕n,9cm,Ucm,求它的側(cè)面積.

【分析】利用正四棱臺的兩底面的半徑（中心到底面頂點(diǎn)的距離）、高、側(cè)棱長構(gòu)成一個(gè)直

角梯形，從而構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理，求出兩底面的邊長，代入側(cè)面積公式進(jìn)行運(yùn)

算.

【解答】解：如圖，在aAAG中過A作AELAG于E,

22

貝IJAE=OOt=Icm,.??AtE=-AE=4√2，C1E=y∣AC；-AE=6√2

AO=OlE=AlO「AE=；(ClE-AIE)=日Λ10l=Λ1E+O1E=5√2,

上底邊長A8=√∑4O=2,下底邊長ABl=√2Λ10,=10,

斜高h(yuǎn)'={OO：+；(ABl-ABy=√65,

S惻=；(C+C')〃=；麻(8+40)=24辰cz√.

3.課后作業(yè)

設(shè)計(jì)意圖：鞏固提升.

1.課本116頁練習(xí)

2.課本習(xí)題8.3復(fù)習(xí)鞏固及綜合運(yùn)用

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

問題1：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積、底面積、表面積公式各是什么？

【答案】

圓柱（底面半徑為r,母線長圓錐（底面半徑為「，母線長圓臺（上、下底面半徑分

為/）為/）別為八一，母線長為/）

------------j

1

1

側(cè)面展I網(wǎng)’/

開圖I

___________]

2πr

2底=兀（尸

底面積S?E=2πrS底一兀廣S2+7）

側(cè)面積Sw=2πr∕Sm=πrlS側(cè)=兀（"+以

表面積S表=2兀r(r+/)S表=7τr(∕+/)S表=π(4+戶)+π(√÷r)/

【破解方法】通過學(xué)生對圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開的觀察，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生

了解圓柱、圓錐、圓臺各個(gè)表面特征，自己總結(jié)出方法，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的

能力。

問題2：圓柱、圓錐、圓臺的體積公式各是什么？

【答案】1.棱柱：柱體的底面面積為S,高為h,則V=S/?.

2.棱錐：錐體的底面面積為S,高為h,則V=∣%.

3.棱臺：臺體的上、下底面面積分別為卜、S,高為h,則V=g（S+√詬+S）/?.

【破解方法】對于圓柱、圓錐、圓臺的體積公式可以類比柱體、錐體、棱臺體的體積公

式進(jìn)行記憶，讓學(xué)生感受二者，在推導(dǎo)過程中可以加以類比.

問題3：球的表面積與體積公式各式什么？

【答案】1.球的體積公式V=gτrR3（其中R為球的半徑）.

2.球的表面積公式S=4τrR2.

【破解方法】類比利用圓周長求圓面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積.

把球O的表面分成"個(gè)小網(wǎng)格,連接球心O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn),整個(gè)球體就被分割成〃個(gè)

“小錐體”.小椎體的底面積的和就是球的表面積，小椎體的體積和就是球的體積.

新知探究

題型一圓柱、圓錐、圓臺的表面積

例1.如果圓錐底面半徑為r,軸截面為等腰直角三角形，那么圓錐的側(cè)面積為（）

1?

A.J2πrB.（√2+1）ΛT2C.-（√2+l）^r2D.-πr1

【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑及軸截面為等腰直角三角形，然