河南省信陽市平橋區(qū)龍井鄉(xiāng)中心學(xué)校等5校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

河南省信陽市平橋區(qū)龍井鄉(xiāng)中心學(xué)校等5校2022-2023學(xué)年

九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號(hào)：

一、單選題

1.拋物線y=3(x+2f-6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-2,6)B.(-2,-6)C.(2,6)D.(2,-6)

【答案】B

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a[x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(ΛΛ)求解即可.

【詳解】解：拋物線y=3(x+2)=6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-6),

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-〃)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(/?,%),掌握頂點(diǎn)式

求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的O半徑是4,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),則點(diǎn)尸與

O的位置關(guān)系是()

A.點(diǎn)尸在圓內(nèi)B.點(diǎn)P在圓上C.點(diǎn)P在圓外D.不能確定

【答案】C

【分析】先利用勾股定理求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離％再判斷d與半徑廠的大小關(guān)系，從

而得出答案.

【詳解】解：???點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,4),

由勾股定理可得點(diǎn)P到圓心的距離d=OP=屈不=5，

又《。半徑r=4>

?d>r

點(diǎn)P在、。內(nèi)外，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)與圓的3種位置

關(guān)系，設(shè)《。的半徑為廣，點(diǎn)尸到圓心的距離OP=d,則有：點(diǎn)P在圓外0d>廠，點(diǎn)

P在圓上=d=r,點(diǎn)P在圓內(nèi)OdC八

3.圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①、②、③、

④的某個(gè)位置，使它與原來7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對稱圖形.這個(gè)位置是（）

C.③D.④

【詳解】解：當(dāng)正方形放在③的位置，即是中心對稱圖形.故選C.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將AMC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，B點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

.（0,3）C.（1,2）D.（0,2）

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀和大小作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,

即可得出答案.

【詳解】

如圖，AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，B點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,故答案選擇D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的變化——旋轉(zhuǎn)，記住旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變

圖形的形狀和大小.

5.如圖隨機(jī)閉合開關(guān)K「Kr匕中的兩個(gè)，能讓燈泡ZV4至少一盞發(fā)光的概率為（）

試卷第2頁，共20頁

【答案】D

【分析】依據(jù)題意先用列舉法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事

件的概率.

【詳解】解：由題意可得：

開關(guān)

KiK2K1K3K2K3

結(jié)果L2亮LIL2均亮L∣L2均不亮

共有3種等可能結(jié)果，其中能讓燈泡“七至少一盞發(fā)光的有2種,

???隨機(jī)閉合開關(guān)K「K2、K,中的兩個(gè)，能讓燈泡小J至少一盞發(fā)光的概率為：2，

故選：D：

【點(diǎn)睛】此題考查的是列舉法求概率.注意不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，概率

=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

6.如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形.為便于管

理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬

為多少米？若設(shè)小道的寬為X米，則根據(jù)題意，列方程為（）

A.35×20-35x-20x+2√=600B.35×20-35x-2×20x=600

C.(35-2x)(20-x)=600D.(35-x)(20-2x)=600

【答案】C

【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個(gè)矩形，根據(jù)種植

的面積為600列出方程即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)小道的寬為X，"，

則種植部分的長為（35-2力m,寬為（20-x）m,

由題意得：(35-2x)(20-X)=600.

故選C.

【點(diǎn)睛】考查一元二次方程的應(yīng)用；利用平移的知識(shí)得到種植面積的形狀是解決本題的

突破點(diǎn)；得到種植面積的長與寬是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖，AB是：O的直徑，點(diǎn)P是一。外一點(diǎn)，Po交。于點(diǎn)C,連接BC,PA.若

ZP=36°,且％與O相切，則此時(shí)48等于()

A.27°B.320C.36oD.54°

【答案】A

【分析】先利用切線的性質(zhì)求出NAOP=54。，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：應(yīng)是〈。的切線，

.-.ZPAO=90°,

.?.ZAOP=90°-NP=54°,

OB=OC,

.-.ZAOP=IAB,

NB=LNAOP=27°,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉切線的性質(zhì)和

等腰三角形的性質(zhì).

8.如圖，函數(shù)y=履+A(ZwO)與y=W("7≠0)的圖象交于點(diǎn)A(-2,3),B(l,-6)兩點(diǎn)，則

不等式依=生+6>0的解集為()

X

試卷第4頁，共20頁

A.x>-2B.-2<x<0Wcx>lC.x>↑D.x<-2或

O<x<l

【答案】D

【分析】結(jié)合圖像，求出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍即

可.

【詳解】解：：函數(shù))，=辰+/七0)與〉=?，叱0)的圖象相交于點(diǎn)4-2,3),8(1,-6)兩

點(diǎn)，

不等式質(zhì)+匕>一的解集為：XC-2或O<x<l,

X

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

9.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,點(diǎn)P是C。上的任意一點(diǎn)，則/APB的大小

C.45°D.60°

【答案】B

【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出NAOB=I20。，由圓周角定理求出NAPC=30。.

【詳解】解：連接OA、OB、如圖所示:

360°

VZAOB=——=60°,

6

???ZAPC=?NAOC=30。,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周

角定理求出NAOB=60。是解決問題的關(guān)鍵.

10.足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線.

不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t（單

9

下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為20m；②足球飛行路線的對稱軸是直線，=:；

③足球被踢出9s時(shí)落地；④足球被踢出1.5s時(shí)，距離地面的高度是Ilm.其中正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】解：由題意，拋物線的解析式為產(chǎn)OX（X-9）,把（1,8）代入可得α=-l,

2

.?.y=-t2+gt=-（/-4.5）+20.25,

.?.足球距離地面的最大高度為20.25〃?，故①錯(cuò)誤，

.?.拋物線的對稱軸已4.5,故②正確，

?.?z=9時(shí)，y=0,二足球被踢出9s時(shí)落地，故③正確，

?.?∕=L5時(shí),）=11.25,故④錯(cuò)誤，，正確的有②③，

故選B.

二、填空題

11.一個(gè)等腰三角形的兩條邊長分別是方程d-5x+4=O的兩根，則該等腰三角形的周

長是.

【答案】9

【分析】利用因式分解法求出X的值，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求解.

【詳解】解：χ2-5x+4=0,

(x-l)(x-4)=O,

試卷第6頁，共20頁

所以XI=1,X2=4,

當(dāng)1是腰時(shí)，三角形的三邊分別為1、1、4,不能組成三角形；

當(dāng)4是腰時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、1,能組成三角形，周長為4+4+1=9.

故答案是：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性

質(zhì)，要注意分情況討論求解.

12.雙曲線丫=：有三個(gè)點(diǎn)（4）1）,（不，必），（王，％）若玉<0<々<七，則%，%，%的大小關(guān)

系用小于號(hào)連接表示是.

【答案】X<，3

【分析】根據(jù)雙曲線y=j■中％=l>0,可判斷出此函數(shù)的圖象在一，三象限，在每個(gè)象限

X

內(nèi)，y隨X的增大而增大，結(jié)合玉<。<當(dāng)<當(dāng)，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：雙曲線y='中％=1>O,

X

???此函數(shù)的圖象在一，三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，），隨工的增大而增大，

x1<O<x2<x3,

.?.y∣<O,%>%>O,

M<%<%

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象

與系數(shù)的關(guān)系以及反比例函數(shù)的增減性是解此題的關(guān)鍵.

13.設(shè)X/,右是關(guān)于X的方程N(yùn)+3X-〃7=O的兩個(gè)根，且2X∕=X2,則祖=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x∕=-l,將其代入已知方程，列出關(guān)于膽的方程，解

方程即可.

【詳解】解:根據(jù)題意,知x∕+x2=3x∕=-3,則x∕=-l,

將其代入關(guān)于X的方程N(yùn)-3x+〃?=0,得（-1）2+3X（-1）-MJ=O.

解得m=-2.

故答案是：-2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題

是一種經(jīng)常使用的解題方法.

14.三個(gè)正方形方格在扇形中的位置如圖所示，點(diǎn)。為扇形的圓心，格點(diǎn)A8,C分別在

扇形的兩條半徑和弧上，已知每個(gè)方格的邊長為1,則圖中陰影部分面積為.

【答案T

【分析】由題意連接OC,先求出OC長和/AOB的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式得出

扇形EOF的面積進(jìn)而求出陰影部分面積即可.

【詳解】解：連接0C,

在R/AQ8C中，由勾股定理得

OCBC2+OB2≈√l2+32=Vio-已知ZAOB=45°,

45^?(√10)25^_2+3_5

梯形，

360^^^^T303CA=2=2

5￡_55萬一10

?'S陰影=S扇形。防S梯形Q8CA

T-24

5^-10

故答案為:

4

【點(diǎn)睛】本題考查求不規(guī)則圖形陰影部分面積，熟練掌握扇形的面積公式以及勾股定理

和正方形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

15.如圖，OA1B19A1A2B2,4444,…是分別以A,A2f…為直角頂點(diǎn)，一

條直角邊在X軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)G(X,y),G(X2，%)，

4

。3(天,%)，…均在反比例函數(shù)y=1(χ>°)的圖象上，則y+%++y0θ的值

為.

試卷第8頁，共20頁

【分析】根據(jù)點(diǎn)C/的坐標(biāo)，確定），/,由點(diǎn)C/是等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，可以得到

的長，然后再設(shè)未知數(shù)，表示點(diǎn)C2的坐標(biāo)，確定”，代入反比例函數(shù)的關(guān)系式，

建立方程解出未知數(shù)，表示點(diǎn)。的坐標(biāo)，確定”，，y1oo,然后再求和，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C/、C2、C3分別作X軸的垂線，垂足分別為力/、D2、

D3,則/OOG=NOSCZ=N003C3=90°,

OAB1,A1A2B2,Z?A2A3B3,…是分別以A，4,A,,…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊

在X軸正半軸上的等腰直角三角形，

ΛZOC∕D∕=ZC∕OD∕=45o,

OD∣=C∣D∣,

"-xι-yι,

?.?點(diǎn)Ca,X)在反比例函數(shù)y=g(X>0)的圖象上，

.?x∣y∣=4,

解得：M=2,yι=2,

即ODl=C]D]=2,

.??Λ4∕=2O。尸4,

4

設(shè)A∕I>2=m則C2。2二。，此時(shí)。2(4+(2,〃)，代入y=-(x>O),得:

X

”(4+4)=4,解得：α=2√2-2或α=-2√5-2(舍去)，

即％=20-2,

同理，y3=2√3-2√2,

y4=2√4-2^,

y,00=2√100-2√99,

,χ+%+÷‰=2+2^-2+2√3-2√2+2√4-2√3++2√1∞-2√99=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律、等腰直角三

角形的性質(zhì)等知識(shí)，通過計(jì)算有一定的規(guī)律，推斷出一般性的結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.(1)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋篨2-6X-18=0;

(2)對于任意實(shí)數(shù)。,匕,定義f(a,?=∕+54-A,如，2,3)=22+5乂2-3,若/*,2)=4,

求實(shí)數(shù)X的值.

【答案】(1)%=3+36，9=3-36；(2)1或-6

【分析】(1)利用配方法解答，即可求解；

(2)根據(jù)新運(yùn)算列出方程，再利用公式法解答，即可求解.

【詳解】(1)解：移項(xiàng)，得χ2-6x=18,

配方，得尤2-6χ+9=27,

即(X-3)2=27.

直接開平方，得X-3=±3√L

.'.X1=3+3>∕3,%,=3—??/?.

(2)解：由題意知：X2+5X-2=4,

整理得：X2+5X-6=0

a=?,h=5,C=-6,

/-4αc=25+24=49>0，

-h±?∣h2-4ac—5±7

..X——

2a2

解得Xl=1,χ2=-f>.

所以實(shí)數(shù)X的值為1或-6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法——直接開平

方法、配方法、因式分解法、公式法是解題的關(guān)鍵.

試卷第10頁，共20頁

17.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)濯位長度，在平面直角坐標(biāo)系

內(nèi)，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(l,4),3(1,1),C(3,1).

(1)畫出,ABC關(guān)于X軸對稱的4A4G；

(2)畫出“ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B2經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保萬).

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)——π

2

【分析】(1)利用軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可；

(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可；

(3)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到星經(jīng)過的路徑長即為圓弧長，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可;

【詳解】(1)ABC關(guān)于X軸對稱的4A4G如下圖所示;

(2)ABe繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的aAMG如上圖所示;

(3)如上圖，扇形。B與的半徑OB=爐1=0.

則扇形。叫的弧長為：也旦=巫乃

1802

即B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到B2經(jīng)過的路徑長為它江

2

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱和旋轉(zhuǎn)變換作圖，扇形弧長公式等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格

結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

18.某校在課后服務(wù)中，成立了以下社團(tuán)：A.計(jì)算機(jī)，B.圍棋，C.籃球，D?書

法每人只能加入一個(gè)社團(tuán),為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取

了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中圖1中D所

占扇形的圓心角為150。.

請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：

(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人；

(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(3)若該校共有1800學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計(jì)這1800名學(xué)生中有多少人參加了籃球社

團(tuán)；

(4)在書法社團(tuán)活動(dòng)中，由于甲、乙、丙、丁四人平時(shí)的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學(xué)中有兩

名是男同學(xué)，兩名是女同學(xué).現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀

圖求恰好選中一男一女的概率.

【答案】(1)360；

(2)見解析；

(3)300：

(4)∣.

【分析】(1)由D的人數(shù)除以所占比例即可；

(2)求出C的人數(shù)，即可解決問題；

(3)由該校共有學(xué)生人數(shù)除以參加籃球社團(tuán)的學(xué)生所占的比例即可；

試卷第12頁，共20頁

(4)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中一男一女的結(jié)果有8種再由概

率公式求解即可.

【詳解】解：(1)；D所占扇形的圓心角為150。，

???這次被調(diào)查的學(xué)生共有：150÷蕓=360(人)；

360

故答案為：360,

(2)C組人數(shù)為：360-120-30-150=60(Λ),

故補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖如下圖：

(3)1800×——=300(A),

360

答：這1800名學(xué)生中有300人參加了籃球社團(tuán)，

(4)設(shè)甲乙為男同學(xué)，丙丁為女同學(xué)，畫樹狀圖如下:

開始

：一共有12種可能的情況，恰好選擇一男一女有8種，

--A-2

??^p≡→)^12^3-

【點(diǎn)睛】此題考查了用樹狀圖法求概率、扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖以及用樣本估計(jì)總體，

畫樹狀圖法求概率，根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖獲取信息和數(shù)據(jù)與正確畫樹狀圖是解

題的關(guān)鍵.

19.如圖，反比例函數(shù)y=2的圖象與正比例函數(shù)y=：X的圖象交于點(diǎn)A和B(4,l),點(diǎn)

P(Lm)在反比例函數(shù)y=5的圖象上.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(2)求..AOP的面積.

415

【答案】（1）y=一,點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,4））（2）—

X;2

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，然后把P（l,〃?）代入到解析式，

即可求得m的值；

（2）根據(jù)函數(shù)的對稱性求得A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AP的解析式，從

而求得直線AP與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)SAAOP=SAAOC+SAPOC求得即可.

【詳解】解：（1）把點(diǎn)B（4,l）代入y=f,得k=4

4

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=W

X

?.?把P（l,m）代入y=g得：∕n=γ=4

點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,4）.

（2）：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)B（4,l）

點(diǎn)A（—4,—1）

設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C,直線AP的函數(shù)關(guān)系式為y=αx+8,

-4a+b--?a=1

把點(diǎn)A（T-1）、p（l,4）分別代入得:?=4,解得

b=3

直線AP的函數(shù)關(guān)系式為y=X+3

...點(diǎn)C的坐標(biāo)（0,3）

φ

??SAAOP=SAAOC+S4pOC=→3×4+→3×l=y

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一

試卷第14頁，共20頁

次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，∕Λ4。是直角，半徑為5的圓。經(jīng)過AP上的點(diǎn)T,與AQ相交于點(diǎn)B,C

(1)求證：AP是。。的切線；

(2)已知AT=4,試求BC的長.

【答案】(1)見解析

(2)BC的長為6.

【分析】(1)連接OT,根據(jù)等邊對等角得到N07B=∕08T,再利用角平分線的定義得

至∣)NTBA=NOBT=NOTB,可以證明A8〃OT,則。TLAP,可以證出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)B作BHLoT于點(diǎn)H,然后在Rr△OBH中,利用。8=5,8H=AT=4根據(jù)勾股

定理求出?！?，再利用垂徑定理即可求出8C的長.

【詳解】(1)證明：連接。7,

'：OT=OB,

：.AOTB=AOBT.

平分NoBA,

：.ZOBT=ZTBA,

.?.NTBA=NOTB.

:,AB//OT,

又?.?∕7?B是直角，B∣JAQLAP,

：.OT±AP,

.MP是。。的切線;

(2)解：過點(diǎn)8作8∕ΛLO7于點(diǎn)H,則四邊形OMBH和四邊形ABHT都是矩形.

則在中，。8=5,BH=AT=4,

OH=y∣OB'-BH'=√52-42=3，

：.BC=2BM=2OH=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理，垂徑定理以及等角對等邊等知識(shí)，此題的解

題方法比較多，靈活性比較高.

21.某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價(jià)，投放市場進(jìn)行試

銷，據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1

元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本.

(1)寫出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價(jià)X(元)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量X的取

值范圍；

(2)求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那

么銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？(每天的總成本=每件的成本X每天的銷售量)并求出

在此范圍內(nèi)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(l)y=-5X2+800X-27500(50≤X4100)

(2)銷售單價(jià)為80元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4500元

(3)銷售單價(jià)為82元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4480元

【分析】(1)根據(jù)總利澗=單件利潤X銷售數(shù)量列出關(guān)系式即可，根據(jù)題意，寫出自變

量的取值范圍即可；

(2)二次函數(shù)求最值即可；

(3)根據(jù)每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，求出自變

量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，

y=(x-50)[50+5(l∞-x)]

=(x-50)(-5x+550)

=-5x2+800x-27500,

：每件的成本是50元，銷售單價(jià)是100元，

自變量X的取值范圍是：50≤x≤l∞

試卷第16頁，共20頁

.?y=-5JC2+800x-275∞(50≤?≤100)；

(2)解：y=-5ΛJ+800x-27500=-5(x-80)2+4500,

?.?a=-5vθ,

???拋物線開口向下.

V50≤x≤l∞,對稱軸是直線X=80,

.?.當(dāng)工=80時(shí)，y最大值=4500；

即銷售單價(jià)為80元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4500元：

(3)解：當(dāng)y=4(X)0時(shí)，一5(X-80)2+4500=4000,

解得：xl=70,X2=90,

.?.當(dāng)70≤X≤90時(shí)，每天的銷售利潤不低于4000元，

由每天的總成本不超過7000元，得50(-5x+550)≤7000,解得：χ≥82,

Λ82≤x≤90,

V50≤x≤100,

，銷售單價(jià)應(yīng)該控制在82元至90元之間.

此時(shí)當(dāng)x=82時(shí)，y最大值=4480元；

即銷售單價(jià)為82元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4480元.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出函數(shù)解析式，利用

二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，是解題的關(guān)鍵.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=/+2"武+2"?2-機(jī)的頂點(diǎn)為4.

(1)求頂點(diǎn)4的坐標(biāo)(用含有字母，"的代數(shù)式表示)；

(2)若點(diǎn)3(2,%)，＜^(5,北)在拋物線上，且％＞九，則”的取值范圍是二(直接寫

出結(jié)果即可)

(3)當(dāng)l≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6,求，〃的值.

【答案】⑴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-孫蘇-⑺；(2)∕n＜-∣;(3)m=-1+標(biāo)或—2

24

【分析】(1)將拋物線解析式化成y=(χ+M?+蘇-，"的形式，即可求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)將8(2,%),C(5,%)代入拋物線中求得力和"的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分類討論，分對稱軸在1的左側(cè)、對稱軸在3的右側(cè)、對稱軸在1,3之間共三種情況

分別求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出機(jī)的值.

【詳解】解：(1)由題意可知：

222

拋物線?=X+2〃IX+Iirr-∕n=(x+m)+m-mf

，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(■加,蘇?M;

(2)將3(2,%)代入y=X2+Imx+2/一加中，

222

得至IJyB=2+2m×2+2m-tn=2m+3m+4,

將C(5,比.)代入y=x2+2〃優(yōu)+2∕/-加中，

221

得至IJyc=5+2m×5+2m-m=2tri+9m+25,

由已知條件知：為>%，

?*?2m2÷9m+25<2ιrr÷3m+4,

整理得到：6m<-21,

,7

解得：m<--,

2

7

故m的取值范圍是：me-,；

(3)二次函數(shù)的開口向上，故自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對

稱軸為K=一加,

分類討論：

①當(dāng)τ%vl,即用>一1時(shí)，

X=I時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=F+2m+2m2-m=2m2+m+l,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

?C2J?73ZH—I÷A/ST-??—?—y∕4↑

??2m+/H÷1=r6,解得m=-----------或相=--------，

44

又m>T,故"=7+兩符合題意;

4

②當(dāng)-〃?>3,即機(jī)<—3時(shí)，

x=3時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=32+2m×3+2m^-ιn=Itrr+5m+9,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

3

?2m2+5∕π+9=6,解得m=一式或機(jī)=-1，

2

3

又根<—3,故機(jī)=-：或，"=T都不符合題意；

2

③當(dāng)1?ml3,即一3≤m≤-l時(shí)，

x≈-m時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y