新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2習(xí)題第二章推理與證明2.2.1.2

第2課時(shí)分析法課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使結(jié)論成立的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.等價(jià)條件答案A2欲證25<6-7成立,只需證A.(25)2<(6-7B.(26)2<(5-7C.(2+7)2<(5+6D.(25-6)2<(7解析由分析法知,欲證25<6-7,只需證2+7<6+5,即證(2+7)2<答案C3要證明3+7<25,可選擇的方法有下面幾種,其中最合理的是(A.綜合法 B.分析法 C.特殊值法 D.其他方法答案B4分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明:設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:b2-ac<3aA.ab>0 B.ac>0C.(ab)(ac)>0 D.(ab)(ac)<0答案C5將下面用分析法證明a2+b22≥ab的步驟補(bǔ)充完整:要證a2+b22≥ab,只需證a2+b2≥2ab,也就是證,即證答案a2+b22ab≥0(ab)2≥0(ab)2≥06用A,B,C和a,b,c分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角和三條邊.求證:當(dāng)tanA·tanB>1時(shí),△ABC為銳角三角形.證明要證三角形為銳角三角形,只需證A,B,C均為銳角,只需證tanA,tanB,tanC均為正.因?yàn)閠anAtanB>1,且A+B<π,所以tanA>0,且tanB>0.又因?yàn)閠anC=tan[180°(A+B)]=tan(A+B)=tanA+tan所以A,B,C均為銳角,即△ABC為銳角三角形.7已知a,b,m是正實(shí)數(shù),且a<b,求證:ab<證明由a,b,m是正實(shí)數(shù),故要證ab只需證a(b+m)<b(a+m),只需證ab+am<ab+bm,只需證am<bm.而m>0,所以只需證a<b.由條件知a<b成立,故原不等式成立.8設(shè)|a|<1,|b|<1,求證:a+b1+ab證明要證a+b只需證|a+b|<|1+ab|,只需證(a+b)2<(1+ab)2,只需證a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,只需證a2a2b2+b21<0,只需證(a21)(b21)>0.當(dāng)a2<1,b2<1,即|a|<1,|b|<1時(shí),上式成立.所以原不等式成立.9設(shè)a,b∈(0,+∞),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2.(提示:a3+b3=(a+b)(a2ab+b2))證明方法一(分析法):要證a3+b3>a2b+ab2成立,即證(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b)成立.又因?yàn)閍+b>0,所以只需證a2ab+b2>ab成立,即證a22ab+b2>0成立,即證(ab)2>0成立.而依題設(shè)a≠b,則(ab)2>0顯然成立.由此命題得證.方法二(綜合法):a≠b?ab≠0?(ab)2>0?a22ab+b2>0?a2ab+b2>ab.注意到a,b∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b).所以a3+b3>a2b+ab2.能力提升1若a≥0,P=a+a+7,Q=a+3+a+4,則PA.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由a的取值確定解析要比較P,Q,只需比較P2=2a+7+2a2+7a與Q2=2a+7+2a2+7a+12,只需比較a2+7a與a2+答案C2要證a2+b21a2b2≤0,只需證明()A.2ab1a2b2≤0B.a2+b21a4+C.(a+b)221D.(a21)(b21)≥0解析因?yàn)閍2+b21a2b2≤0?(a21)(b21)≥0,故選D.答案D★3已知a,b,μ∈(0,+∞),且1a+9b=1,則使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范圍是解析∵a,b∈(0,+∞),且1a+∴a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba≥10+2∴a+b的最小值為16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.答案(0,16]4若對(duì)任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,則a解析當(dāng)x>0時(shí),xx2+3x+1=1x+1x+3≤1只需15≤a即可.故a≥1答案15已知a>0,1b-1a>1.求證證明要證1+a只需證1+a>11只需證(1+a)(1b)>1(1b>0),即1b+aab>1,所以ab>ab.只需證a-b即1b-1由已知a>0,1b-1a所以1+a>6已知a>0,用分析法求證:a2+1a2-證明要證a2+1a只需證a2+1a2+又a>0,故只需證a2+1a2+22≥a+1a+22,即要證a2+1a2+4a2只需證4a2+1a即a2+1a2≥2.故原不等式成立.★7已知2tanA=3tanB.求證:tan(AB)=sin2B分析觀察條件與結(jié)論,結(jié)論中出現(xiàn)二倍角,可把二倍角公式化為單角,再將分式化為整式,同時(shí)等式的左邊可用差角正切公式,再結(jié)合已知等式消去角A,此時(shí)將等式中的常數(shù)2化為2(sin2B+cos2B),可以發(fā)現(xiàn)等式中兩邊是關(guān)于sinB與cosB的二次式,再逆用公式tanB=sinBcos證明因?yàn)?tanA=3tanB,所以tanA=32tanB要證tan(AB)=sin2B只需證tanA只需證12即證tanB只需證tanB(2+sin2B)=(2+3tan2B)sinBcosB,只需證tanB(2cos2B+3sin2B)=(2+3tan2B)sinBcosB,