2023-2024學年山東省威海乳山市高二年級下冊開學考試數學模擬試題（含答案）

2023-2024學年山東省威海乳山市高二下冊開學考試數學

模擬試題

一、單選題

1.已知2+i是關于X的方程/+奴+5=0的根，則實數〃=()

A.1-iB.-4C.2D.4

【正確答案】B

依題意知方程的根互為共朝復數，結合韋達定理可求得結果.

【詳解】因為2+i是關于X的方程V+依+5=0的根，則另一根為2T

由韋達定理得(2+i)+(2τ)=-α,所以α=T

故選：B

2.直線X-Gy+1=0的斜率為()

A.√3B.-√3C.也D.-更

33

【正確答案】C

x-√5y+l=0可化為y=乎χ+與，即可得出斜率.

【詳解】χ-Ky+l=0可化為y=走χ+無，則Z=且

333

故選：C

本題主要考查了已知直線方程求斜率，屬于基礎題.

3.已知動點尸在直線4：3x-4y+l=O上運動，動點。在直線4：6x+，町+4=0上運動，且

IiIll2,則IPa的最小值為()

33Cl1

A.-B.—C.—D.—

5IO510

【正確答案】C

根據兩平線上任意兩點距離的最小值即為平行線間的距離求解.

【詳解】因為“〃2，

所以］=解得機=一8，

化簡得4：3X-4），+2=0

設44間的距離為"，則1=,3；+（導=十

由平行線的性質知IPQl的最小值為g,

故選：C

4.已知在一個二面角的棱上有兩個點A、B,線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內，

并且都垂直于棱AB,AB=5,AC=3,BD=A,CD=5√2,則這個二面角的度數為（）

A.30oB.45oC.90oD.150°

【正確答案】C

設這個二面角的度數為α,由題意得CZ）=CA+48+BD，從而得到CoSa,由此能求出結果.

【詳解】解：設這個二面角的度數為。，

由題意得Cz）=C4+A8+3。，

2222

:.CD=CA+AB+BD+2∣CAl?∣8。ICoS（萬一α），

.?.（5&y=9+25+16-2×3×4×cosa,

解得COSa=0,

.?.α=90°,

.?.這個二面角的度數為90。，

故選：C.

本題考查利用向量的幾何運算以及數量積研究面面角，屬于中檔題.

5.如圖，在正四面體Q4SC中，。是。4的中點，則3。與OC所成角的余弦值是

O

√2

2

【正確答案】B

【分析】取AC的中點E,連接DE,BE,可得NBZ汨就是B力與OC所成的角，設。A=”,可得

BD=BE=立a,DEJa,利用余弦定理可得COSNBDE的值,可得答案.

22

【詳解】解:如圖:

取AC的中點E,連接DE,BE,可得NSOE就是50與OC所成的角,

nI

設Q4=α,則BO=BE=二?α,OE=zr4,

22

,BD2+DE2-BE2√3

cosZz.oBnDcE=---------------=——,

2BDDE6

故選：B.

本題主要考查異面直線所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的靈活運用,屬于基礎題.

6.若關于X的方程無+3-%=TI=”恰有兩個實數根，則實數Z的取值范圍是()

A?b??I]c?(0,i)d?

【正確答案】B

轉化為函數y=%(χ-i)+3與函數),=√Γ二，■的圖象恰有兩個交點，作出函數的圖象，利用

M4,A"的斜率可求得結果.

【詳解】因為關于X的方程后+3-)t=√i=”恰有兩個實數根，

所以函數y=%(χ-l)+3與函數y=√I∑∕的圖象恰有兩個交點，即直線y=-χ-l)+3與半

圓y=√l二J恰有兩個交點,

當直線y=A(X-I)+3與半圓y=√∏^切于A時,

3

當直線y=Z(D+3經過點B(TO)時，?=∣,

,____(43^

所以滿足函數y=%(χ-i)+3與函數y=JΓF的圖象恰有兩個交點的女的范圍為.

故選：B

方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法求.

7.若等差數列｛an｝的前〃項和為5“，首項at>0,?20+?l>0,a2020-a202,<0,則滿足Sn>0

成立的最大正整數〃是()

A.4039B.4040C.4041D.4042

【正確答案】B

由等差數列的％>0,及%βo?"M∣<o得數列是遞減的數列，因此可確定?∞>o,?Ma0,然

后利用等差數列的性質求前〃項和，確定和S,,的正負.

【詳解】V“2020’"2021<°,??"2020和“2021異號，

又數列｛q｝是等差數列，首項4〉0,???｛〃“｝是遞減的數列，?>??<θ,

a+

由2()2o々2021>°，所以S4040==2O2O(a2θ2θ÷a2(n］)>0,

S4M=4041(4+0)=404?"<0,

...滿足S,,>0的最大自然數”為4040.

故選：B.

關鍵點睛：本題求滿足S“>0的最大正整數〃的值，關鍵就是求出S“>0,S,,tl<0,時成立

的”的值，解題時應充分利用等差數列下標和的性質求解,屬于中檔題.

8.已知數列｛4｝的各項均為正數，4=2,?÷ι-?=T^?7,若數列1［匕］的前〃項

和為5,則〃=()

A.119B.121C.120D.122

【正確答案】C

根據題設條件化簡得到。3-d=4,結合等差數列的通項公式，求得4=2?,進而得到

―τ-=∣(√?+ι-√^),結合裂項法，求得數列的前〃項和，列出方程，即可求解.

?÷ι+?2'>

、4

【詳解】由題意，數列｛(為｝的各項均為正數，4=2,%+「%=——,

an+?+an

可得。3-片=4,所以數列｛片｝是以4首項，公差為4的等差數列，

所以=4〃，可得4=2&,

又由一l-=7-/==J==∣(√w+l-√∏),

4+1+〃〃2√"+l+√"2')

前n項和S11=^V2-1+>∕3-Λ∕2++Jr+1=+l,

令;(√^-l)=5,解得〃=120.

故選：C.

裂項求和的方法與注意點：

1、裂項相消法求和：把數列的通項公式拆成兩項的差，在求和時中間的一些項可以相互抵

消，從而求得數列的前"項和；

2、使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，且不可

漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點.

二、多選題

9.已知數列｛an｝,下列結論正確的有（）

A.若“∣=2,an+l=all+n+l,貝∣J4O=211.

B.若q=l,aιl+t=3an+2,則a1=1457

C.若S.=3"+g,則數列｛4｝是等比數列

2a?

D.若4=1，?÷.=τ-^-（∏∈^V*）,則%=77

/十4???

【正確答案】AB

直接利用疊加法可判斷選項A,從而判斷，利用構造新數列可求出B,D中數列的通項公式,

可判斷，選項C求出數列的前3項從而可判斷.

【詳解】選項A.由“zι+∣=%+”+l,即a,,+∣-%="+l

則a20=（a2U-《9）+（α∣9一α∣8）+（須一4∣7）++（α2~ai）+ai

=20+19+18++2+2=211

故A正確.

選項B.由aπ+l=3aπ+2,得a,l+l+1=3（%+1）,

所以數列+1｝是以4+1=2為首項，3為公比的等比數列.

則”,,+l=2x3"τ,即%=2χ3"T-l,所以％=2χ3fl-1=1457,故B正確.

選項C.由S”=3"+],可得當〃=1時，q=3+；=；

當〃=2時，得的=S?-S]=（9+/）-（3+]）=6,

當"=3時，得4=$3-邑=。7+￡|-（9+￡|=18,

顯然,2*4%,所以數列｛%｝不是等比數列，故C錯誤.

2atl111

選項D.由〃〃+1=彳1—,可得-------=?

2+??÷∣%2

所以數列上是以1為首項，；為公差的等差數列.

l?J2

1,1八〃+1116?1

所以一=1+-（z∏-1）=——,則一=另=8,即《5=弓，故D錯誤.

故選：AB

關鍵點睛：本題考查利用遞推關系求數列的通項公式，解答的關鍵是掌握求數列通項公式的

常見方法，由疊加法可得4（）二（%0-〃19）+（。19一48）+（。18-“17）++（4-《）+4，利用構

造新數列?+,+ι=3（?+ι）>-------=5解決問題，屬于中檔題.

an+?an乙

10.關于雙曲線=1與雙曲線C,:X-X=I下列說法正確的是（）

A.它們的實軸長相等B.它們的漸近線相同

C.它們的離心率相等D.它們的焦距相等

【正確答案】BD

根據兩個雙曲線分別求解四個選項中的性質，再比較，判斷選項.

【詳解】雙曲線G：9-f=l，/=3,戶=2,c2=a2+b2=5,實軸長24=2百，漸近線

方程y=±W%=±逅?x,離心率e，=W=更?,焦距2c=26；

√33α√33

雙曲線

C,X--=1,a2=2,b2=3,c2=a2+b2=5,實軸長2a=2√∑,漸近線方程

23

y=±?^?x=±4X,離心率e=*=^?=^^?,焦距2c=2后；

綜上比較，可知兩個雙曲線的漸近線，焦距相等.

故選：BD

11.已知圓G：/+>2=1和圓G:x2+y2-4x=0的公共點為A,B,則（）

A.IC1C21=2B.直線A8的方程是X=L

4

C.AC11AC2D.IABI=半

【正確答案】ABD

兩圓相減就是直線4B的方程，再利用圓心距，判斷C,利用弦長公式求∣AB∣.

【詳解】圓G的圓心是(0,。)，半徑4=1，圓G：(x-2)?+y2=4,圓心(2,0),^=2,

.?.∣CG∣=2,故A正確；

兩圓相減就是直線AB的方程，兩圓相減得4x=lnx=!,故B正確；

222所以不正確，故不

IACj=I,IAq=2,∣GQ∣=2,∣AC1∣+∣AC2∣≠∣CIC2∣,ACJACzC

正確；

圓心(0,0)到直線X=；的距離d=；,IABl=2廬了=2=半,故D正確.

故選：ABD

關鍵點點睛：本題關鍵選項是B選項，當兩圓相交，兩圓相減后的二元一次方程就是相交

弦所在直線方程.

12.已知正方體ABCQ-AgGA的棱長為2,點E,P在平面ABCR內，若IAEI=不，

AClDF,則()

A.點E的軌跡是一個圓

B.點尸的軌跡是一個圓

C.|所|的最小值為&7

D.AE與平面ABQ所成角的正弦值的最大值為獨!上叵

15

【正確答案】ACD

【分析】對于A、B、C、D四個選項，需要對各個選項一一驗證.

2

選項A：由IAEl=JA4I+AE?=逐,得IAEI=1，分析得E的軌跡為圓;

選項B：由ACLOBF,而點尸在片。上，即F的軌跡為線段Bd,；

選項C：由E的軌跡為圓，F的軌跡為線段BQ,可分析得IEFhl=

選項D：建立空間直角坐標系，用向量法求最值.

22

［詳解】對于A:IgL+AS=6,^?y∣2+AtE=√5,所以IAEI=1,即點E為在

面AgGA內，以A為圓心、半徑為1的圓上；故A正確；

對于B:正方體ABCD-AtBtCtDl中,AC_L2。,又ACJ"。尸，且BDHDF=D,所以月C_LDBF,

所以點尸在Ba上，即尸的軌跡為線段耳。，故B錯誤；

對于C:在平面ABCQ內，

A到直線Ba的距離為d=√∑,當點E,F落在AG上時，IERlmi"=0-1；故C正確;

對于D:

建立如圖示的坐標系，則A(0,0,0),8(2,0,0),A(0,0,2),0(0,2,0)

因為點E為在面ABC。內，以A為圓心、半徑為1的圓上，可設E(COSaSino,2)

所以AE=(CoSe,sina2),A1=(2,0,-2),B￡>=(—2,2,0),

n?BD=-2x+2y=O

設平面48。的法向量n=(χ,y,z),則有

n-AtB=2x-2z=O

不妨令X=1,則〃=(1,1,1),

設A石與平面4乃。所成角為處則:

八八∣√2sin∣<9+-∣÷2∣

./?,?n^AE?ICoSe+sin6+2∣_14J

sinaλ=γI7cos(",AE)=------------

\/∣n∣×∣AE∣√5×√3—√15

當且僅當"前寸'sin0有最大值,=當/

故D正確

故選：CD

多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證.

三、填空題

13.若直線x-y+l=O與直線，nr+3y-1=0互相垂直，則實數，"的值為.

【正確答案】3

直接利用兩直線垂直，求出機

【詳解】因為直線χ-y+l=O與直線皿+3y-l=0互相垂直，

所以，九一3=0,解得：m=3

故3

若用一般式表示的直線,不用討論斜率是否存在,只要AlA2+Bl&=0,兩直線垂直.

14.已知2=(1,1,0),U(-1,0,2),且版+匕與2α-%的夾角為鈍角，則實數Z的取值范圍

為—,

【正確答案】(-8,-2)口(一2。)

【分析】結合向量的坐標運算，兩向量夾角為鈍角需滿足數量積為負，且夾角不為平角.

【詳解】h+6=(左一1μ,2),2a—>=(3,2,-2),h+6與2α-6的夾角為鈍角，則

(Λtz+fe]?(2α-?)=5?-7<0,g∣J?<?.

又當版+6與2α-。的夾角為平角時，有k號_\、k吟2，得Z=-2.

7

故實數&的取值范圍為且左=一2.

故(-co,一2)D,2,g)

21

15.若數列｛a11｝的前n項和為Sn=(an+q,則數列｛a,J的通項公式是atl=.

??

【正確答案】4=(-2)〃，

2121

【詳解】試題分析：解：當n=l時，aι=Sι=-a∣+-,解得aι=l,?n>2時，an=Sn-Sn-ι=(—?+-)

-)=f?4?∣?ɑι整理可得［an=-1an-i,即3-=-2,故數列｛all｝是以1為首項，

33333?0〃-1

-2為公比的等比數列，故an=lx(-2)-=(-2)"I故答案為(一2)2.

考點:等比數列的通項公式.

16.若P為直線x-y+4=0上一個動點，從點P引圓C丁+9-4》=0的兩條切線尸河，川

(切點為M,N),則IMNl的最小值是.

【正確答案】—

3

根據題意得當IMNl的長度最小時，IPCl取最小值，進而根據幾何關系求解即可.

【詳解】如圖，由題可知圓C的圓心為C(2,0),半徑r=2.

要使IMNl的長度最小，即要ZMCN最小，則NMCp最小.

Ld八-IPMlIPMI

因為tanZMCP=-------=---------

r2

所以當IPMI最小時，IMNl最小因為PM=JlPel2-4,

所以當IPCl最小時，IMNl最小.

因為IPeImM=焉=3四，

所以CoSNMCP=」==也，

3近3

所以SinZMCP=—,

3

由于加M

比丁SinNMCP=^-------

2

所以IMNlm『殍?

故答案為.生自

3

本題解題的關鍵是根據已知當IMNI的長度最小，即要ZMCN最小，進而得當IPCl最小時,

IMNI最小.由于IPCl的最小值為C點到直線X-y+4=0,故IPCIinin=:3√2.考查化歸轉化

思想和運算能力，是中檔題.

四、解答題

17.在①圓C與V軸相切，且與X軸正半軸相交所得弦長為2√j?

②圓C經過點A(4,l)和B(2,3);

③圓C與直線x-2y-l=0相切，且與圓Y+(>-2)2=1相外切這三個條件中任選一個，

補充在下面的問題中，若問題中的圓C存在，求出圓C的方程;若問題中的圓C不存在，說

明理由.

問題:是否存在圓C,,且圓心C在直線y=；X上.

注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【正確答案】答案見解析.

選擇①、②、③，分別用待定系數法求圓E的方程；

【詳解】選擇條件①：設圓心C的坐標為(。力)，圓C的半徑為,

因為圓心C在直線y=；X上，所以6

因為圓C與y軸相切，且與X軸正半軸相交所得弦長為2√5

所以4>0,b>O,且r=α=2Z?

由垂徑定理得嚴=從+3解得6=1,

所以a=2,r=2

所以圓C的方程為(x-2)2+(y-l)2=4

選擇條件②：設圓心C的坐標為(4。)，圓C的半徑為『

因為圓心C在直線y=；X上，所以〃=

因為圓(7經過點4(4,1)和8(2,3),AB的中點”(3,2)

所以AB的中垂線方程為y=χτ

聯(lián)立直線y=；X

(x=2

解得,

Iy=I

即α=2,b—\,r=2

所以圓C的方程為(x-2)?+(y-l)2=4

選擇條件③：設圓心C的坐標為(4。)，圓C的半徑為『

因為圓心C在直線y=；X上，所以

?a-2b-??

所以

所以r=更,因為圓C與圓。相外切,

5

所以Iq2∣=r+l,即J(α-0>+S-2)2=1+廠

可得：5從-46+比2叵=0,因為該方程』<0,所以方程無解

5

故不存在滿足題意的圓C.

“結構不良問題”是2020年新高考出現的新題型：題目所給的三個可選擇的條件是平行的,

即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答

過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規(guī)范，都會得滿分.

18.已知數列｛4｝滿足q=1,naπ+l=3(n+l)arι.

(1)設。=￡,求證:數列也｝是等比數列；

(2)求數列｛%｝的前〃項和S”.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)s.=.@[)3：+；

(1)將叫用=3(w+l)/變形為今=3%,得到他,｝為等比數列，

(2)由(1)得到｛2｝的通項公式，用錯位相減法求得S.

【詳解】(1)由4=1,，6M=3("+1)/,可得M■=泡，

因為d=2則dM=3%4=1,可得也｝是首項為1,公比為3的等比數列,

n

(2)由(1)bπ=3-'t由殳=3"τ,可得α,="?3"T,

n

02

Sn=l?3+2?3'+3?3+.+"S"'

3S,,=1?3I+2?32+3?33++n-3",

上面兩式相減可得：

02nlπ

-25π=3+3'+3++3^-n?3

22”

"44

數列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差數列、與二項式系數、對稱性相關聯(lián)的數列的求和.

(2)錯位相減：用于等差數列與等比數列的積數列的求和.

(3)分組求和：用于若干個等差或等比數列的和或差數列的求和.

(4)裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數列求和.

22

19.正項數列｛〃〃｝的前n項和Sn滿足：S~—(n+n—1)SH—(n+π)=O

(1)求數列｛〃”｝的通項公式〃〃；

(2)令〃2,數列｛bn｝的前n項和為Tn,證明：對于任意的nGN*,都有TnV三.

("+2)a?64

【正確答案】(1)a,,=2n-(2)見解析

【詳解】(1)因為數列卜：的前“項和*滿足：敷去/.久由溫

所以當，，T時，。/二i?：壁丁以"二力1/二，

即卻?-勒-鼻K

解得、’「或，I,

因為數列卜｝都是正項，

所以3=2,

因為吸隊--3-白渴?二“由'U,

所以駕"甘:盜鼠*E-,

解得彩I?√;/或、:T,

因為數列【"」都是正項，

所以&Ej：：J

當，」時，有謝????fe：,

所gF?二明噌?如融-觀

解得,

當〃一］時，，\符合“

所以數列卜，的通項公式”?一如，-二??;

.U.工

(2)因為％τ?l+如由，

rf!i,;甲￡?÷L

所以如T?t√W加噌號廠V,λ?4附

I二1

T陋?-?,加7歲'，

所以數列門」的前項和1，為：

工III.,：l：1.1.31,X3『，Jl.

尻T譴&r蝦’飄-城?芯;'ih?曲一那?甌祠對浮’初?冷，`

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有覦’；,熱心即'FF八鄢1,ι,

二

所以？，“，

K-

M

所以對于任意八.7,數列Wl的前“項和"L

20.如圖，在四棱錐P-45CO中，ABS為矩形，AD=PA=PB=20，PA1PB,平

面24BJ_平面ABC￡).

(1)證明:平面D4￡＞，平面PBC;

(2)若M為PC中點，求平面AMD與平面8例。的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)叵.

5

(1)利用94_L平面R45,得到D4J_P8,又有R4_LPB,DAPA=A,得到尸B_L平面

PAD,從而平面R4T＞1,平面PBC；

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求平面AAQ與平面。的夾角的余弦值.

【詳解】(1)證明：因為平面RABjL平面ABa),平面PABe平面ABCD=AB,

矩形ABCZ)中，DA±AB,所以D4，平面R45

因為PBU平面R4S,所以D4_LPB

又因為R4J.PB,DAPA=：A,D4u平面PA。，

BAu平面PAD

所以尸3_L平面PAO.

因為PBU平面PBC,所以，平面皿＞J_平面PBC.

(2)解：由(1)知ZML平面R4B,取AB中點。，連結PO,則POLAB,

以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-WZ,

則P(2,0,0,),A(0,-2,0),β(0,2,0),D(0,-2,2√2),Λ∕(l,l,√2)

則DA=(0,0,-2√Σ),DM=(I,3,-√2),DB=(0,4,-2。,

設平面AMn的一個法向量為"=(x,y,z),

nDA=OZ=O

則即《

n?DM=0x+3y-?∣2z=0

令y=T,則x=3,z=0,所以"=(3,T,0)

同理易得，平面創(chuàng)〃)的一個法向量為機=(T,1,√Σ)

m?n-4√10

所以cos<n>=

?m???n?λ∕10×25

由圖示，平面AW與平面8例￡)所成夾角為銳角，

所以平面AW與平面創(chuàng)〃)所成夾角的余弦值叵

5

立體幾何解答題的基本結構:

(1)第一問一般是幾何關系的證明，用判定定理;

(2)第二問是計算，求角或求距離(求體積通常需要先求距離)，通常可以建立空間直角坐標

系，利用向量法計算.

21.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2?,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中

點.

(1)證明：Poj_平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，且二面角M-P4-C為30°,求PC與平面所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)@.

4

【分析】(1)根據等腰三角形性質得尸。垂直AC,再通過計算，根據勾股定理得「。垂直

OB,最后根據線面垂直判定定理得結論；

(2)方法一：根據條件建立空間直角坐標系，設各點坐標，根據方程組解出平面∕?M一個

法向量，利用向量數量積求出兩個法向量夾角，根據二面角與法向量夾角相等或互補關系列

方程，解得M坐標，再利用向量數量積求得向量PC與平面也股法向量夾角，最后根據線

面角與向量夾角互余得結果.

【詳解】(1)因為AP=CP=AC=4,。為AC的中點，所以OPj_AC,且OP=2√L

連結08.

因為AB=BC=注AC,所以..43C為等腰直角三角形，

2

且08_LAC,03=JAC=2,由0P?+。4=「力知POj_3.

由OPl.08,OPJ.AC知，PO_L平面ABC.

(2)［方法一］：【通性通法】向量法

如圖，以。為坐標原點，OB的方向為X軸正方向，建立空間直角坐標系。-型.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2√3),AP=(0,2,2√3)

取平面PAC的法向量OB=(2,0,0).

設M(4,2-α,0)(0<α≤2),則AM=(a,4-a,0).

設平面PAM的法向量為〃=(x,y,z).

2y+2?fiz=0

Or+(4—。)y=0

可取2〃=(石(〃一4),6。,一Q)

∕cn、2?∣3(a-4)?/?

所以CoS〈03"〉=I,,,?由已知得CoS〈。氏〃〉="

2√3(tz-4)2+3a2+6r22

2√3∣6Z-4∣√3人4

所以kK77行.解得K舍去)，，

又PC=(0,2,-26),所以CoS〈PC,〃〉=里,

所以PC與平面叢歷所成角的正弦值為也.

［方法二］：三垂線+等積法

由(1)知POJ_平面A3C,可得平面PACJ_平面ABC.如圖5,在平面A8C內作MN_LAC,

垂足為N,則MN1平面PAC.在平面PAC內作NF，AP,垂足為凡聯(lián)結MF,則MFYAP,

故NM&V為二面角M-PA-C的平面角，即ZMmV=30。.

圖5

設MV=4,則NC=α,AN=4-α,在RtZXA尸N中，FN='(4-a).在RtZ?MEN中，由

a=B.6g-a),得〃=：,則FM=24=>設點C到平面AAM的距離為〃，由

3233

LWC=ZRM,得LXI4.3='.〃，解得"=百，則PC與平面∕?M所成角的

343323

正弦值為史.

4

［方法三］:三垂線+線面角定義法

由(1)知POJ_平面ABC,可得平面PACj_平面ABC.如圖6,在平面A8C內作MVj_AC,

垂足為N,則MN1平面PAC.在平面PAC內作NF，AP,垂足為凡聯(lián)結MF,則MF±AP,

4

故NMFN為二面角M-PA-C的平面角,即ZMFN=30°.同解法1可得MN=a=個.

在AAPC中，過N作NE〃尸C,在AKV"中，過N作NGJ.FM,垂足為G,聯(lián)結EG.在

RtANGM中,NG=BNM=叵&=因為NE〃尸C,所以NE=NA=4-〃=9.

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由R4J_平面尸MN,可得平面R4Λ∕"L平面R0N,交線