遼寧省十校聯(lián)合體2024屆高三年級上冊八月調研考試數學試題及答案

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遼寧省十校聯(lián)合體2024屆高三畢業(yè)生八月調研考試

數學試題

東北育才學校、大連市第二十四中學命制2023823

本試卷共四大題，22小題，考試時間120分鐘，試題滿分150分。

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注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

5.本試卷應該是釣魚卷，請勿當真！

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。每小題僅有一個選項符合題意）

1.方程廠=2.的實數解為（▲）.

A.2B.4C.2或4D.以上答案都不對

2.平面直角坐標系中X。），中，A（a,h）,B（c,d）,其中非負實數a,b和實數c,d滿足。+匕

=20,。2+12=21,則|A8|的最大值為（▲）.

A.20B,21+V21C.20+721D.21

3.正四面體A-8CC中，在側面ABC內有一個動點M,滿足M到底面BC。的距離等于|MA|

的2也倍，則動點M的軌跡形狀為（▲）.

3

A,一段圓弧B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

4.已知一個棱長為2的正方體，點AC是其內切球上兩點，BQ是其外接球上兩點，連接

AB,CD,且線段均不穿過內切球內部，當四面體小BCD的體積取得最大值時，異面

直線AO與BC的夾角的余弦值為（▲）.

數學試題第1頁（共6頁）

5.已知函數P（x）=4++。3/若sin?cos?a----；—是方程P（x）=0的根,

'sin-0

則尸（tai?。）=（▲）.

43八,

A.-B.-C.-----D.1

344

—>—>—>—>—?—>—>

6.已知平面單位向量q,02,%滿足4+6+%=。，若,則

〃（4一.）+口（4-6）+%的最小值是（▲）.

7.已知在〃行〃列的數陣中，第1行第1列的數為處，數陣的每一列從上往下組成公差為

%的等差數列，每一行從左往右組成公差為42的等差數列.從第〃行第1列的數開始，沿

數陣的對角線斜向上組成新的數列，整個數陣的所有數的總和為（▲）.

rn（n-l）z.…n

A./?[na^H------（4+4）]B.—[CIQ+（〃—1）4+a。+（〃—l）u9]

2r（〃一1）,.,、■，

c.%+（〃—1）（4+4）D.H--——（4+4）]

8.四個村莊A、B、C、。之間建有四條路A3、BC、CD、ZM.在某個月的30天里，每逢

單數日開放A3、CD,封閉3CDA；每逢雙數日開放5C、DA,封閉A&CD。游客小明

起初住在村莊A,在該月第2天，他以工的概率沿當天開放的道路去往相鄰村莊投宿，以I-」

kk.

的概率留在當前村莊，設小明在30天內的選擇相互獨立，則第30天結束時，小明在村莊8

的概率是（▲）.

1115435

A.-B.—C.—D.---

42958812

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。每小題有至少一個選項符合題意，

全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）

9.對于變量x和變量y,通過隨機抽樣獲得10個樣本數據（x,y）（i=l,2,3,10）,

變量x和變量y具有較強的線性相關并利用最小二乘法獲得回歸方程為y=-2x+a,且樣本中

心點為（6,9.3）,則下列說法正確的是（▲）.

A.變量x和變量y呈正相關.

B.變量x和變量y的相關系數H0.

C.a-21.3.

D.樣本數據（5,12）比（7,5）的殘差絕對值大.

數學試題第2頁（共6頁）

10.設復數ZI，Z2,Z3,且Z]Z2rO,其中Z]為確定的復數.下列說法正確的是（▲）.

A.若ZlZ2=\Z\I2，則Zl+Z2是實數

B.若ziZ2=\ziI2,則存在唯一實數對（a力）使得Z3=az\+bz2

C.若z1z3+|z3z1|=0,則Z3在復平面內對應的點的軌跡是射線

D.若|Z2|+|Z3|<1,則Z2—3<1

1-z2z3

11.平面直角坐標系中X。），中，已知拋物線「：y2=2〃x（〃>0）,焦點為F,準線為/,頂

點為A。則下列說法正確的有：（▲）.

A.拋物線上兩點P、G與頂點A為正三角形三頂點，PG與「的對稱軸交于N,則AN=6p.

B.過「上兩點Q、Q'的切線交于T,作TKX./,直線QQ，與F的對稱軸交于V,則TK=2FN\

C.過r焦點F作三條弦XX\YY',ZZ',則=.力）2.

9△X'YZyxyry2.

D.任意作一條直線/'與拋物線相交于R,R'（設R在P上方），在直線/'取兩點T,廠使得

RR'=TT'（設T在R上方,「在8下方），分別過T,T'作「的切線，切點為S,S',直

線SS'和RR咬于M,則M為RR'中點.

12.若平面與一個球只有一個交點，則稱該平面為球的切平面.過球面上一點恒能作出唯一

的切平面，且該點處的半徑與切平面垂直.已知在空間直角坐標系O-xyz中，球。的半

徑為1.記平面X。），，平面zOx,平面）0z分別為a,p,y.過球面上一點尸。（白，玄，擊）

作切平面如，且如與a的交線為/o,下列說法正確的是（▲）.

A.4）的一個方向向量為（、》,一1,0）.

B./（）的方程為x+V2y+V6=0.

C.過z正半軸上一點M0,0,〃）作與原點距離為?的直線/'，設「={加|知=/仆U},

若「C/o=0，則力的取值范圍為（3,+8）.

D.過球面上任意一點尸（x,y,z）作切平面江，記p=7iC\a,m=兀C。,n=nC\y,dp,dm,

27

dn分別為p,m，〃到原點的距離，則dp-dm?dn>—

數學試題第3頁（共6頁）

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡上)

13.定義在[1,2021]上的函數/(x)滿足/(1)=/(2021)且對于任意x,ye[1,2021],均有

l/(x)寸'(y)l42|x-M，若對于所有滿足上述條件的函數/(x),均存在實數見使得對于任意X,

ye[1,2021],總有，(x)寸■(訓《見則實數小的最小值為▲。

14.在A48C中，已知$皿4=8$8=1211(7,邊“力滿足8>G,,則』的最大值是▲。

(此空結果保留兩位小數)

15.四面體A-BCQ的體積是V,AB=a,AC=b,AD=c,CD=p,DB=q,BC=r,則其

外接球半徑R為▲。

16.某34人班級派5人參觀展覽，班級里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡r印，14人

喜歡籃球，每個人只喜歡一種。5人站一隊參觀，但是當隊伍中第人次+1次+2/+3個人

分別喜歡唱、跳、陽0、籃球時，上述4人會討論蔡徐坤，展覽館不希望有人討論蔡徐坤。

當且僅當兩個隊伍生至少有二個位置上的A的喜好丕同八百個隊伍才被認為是丕同的.，則滿

足上述條件的丕同的排隊方案數為_4_。

四、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)

已知H為銳角41BC的垂心，AD.BE、CF為三角形的三條高線，且滿足

9HDHEHF=HAHBHC.

(1)求cosAcos8cosC的值.

(2)求cosNC48.cosNC84的取值范圍.

18.(12分)

直三棱柱ABC-44G中，AB=AC=A4i,點M,N滿足AM=AAB],CN=4cAi且

MN_LABi,MML4C.設/84C=6>(0<。<兀).

(1)證明：丸+〃=1；

(2)當，變化時，是否存在若存在，求。；若不存在，說明理由.

數學試題第4頁(共6頁)

19.（12分）

已知數列｛%｝滿足a“=4_］+巴叢(〃N3),且4=a2=l

an-2

(1)求數列｛怎｝的通項公式。

(2)設/(x)=++“.+；x")(xN0,〃eN*),其中e是自然對

xn+i

數的底數，求證：0?/(幻<------

(〃+1)!

(3)設S,,為數列他/的前n項和，實際上，數列｛SJ存在“極限”，即為：存在一

個確定的實數S,使得對任意正實數“都存在正整數機滿足當〃，“時，|S“-S|<〃(可

以證明s唯一)，s稱為數列｛￡，｝的極限。試根據以上敘述求出數列的極限S?

20.(12分)

某單位有12000名職工，通過抽驗篩查一種疾病的患者.假設患疾病的人在當地人群

中的比例為p(0<p<1).專家建議隨機地按k(k>I且為12000的正因數)人一組分

組，然后將各組k個人的血樣混合再化驗.如果混管血樣呈陰性，說明這k個人全部陰性；

如果混管血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次.

設該種方法需要化驗的總次數為X.

(1)當￡(X)>12000時，求p的取值范圍并解釋其實際意義；

(2)現對混管血樣逐一化驗，至化驗出陽性樣本時停止，最多化驗R次.記W為混

管的化驗次數，當R足夠大時，證明：E(W)<——!—r；

1-(1-p)?

(3)根據經驗預測本次檢測時個人患病的概率“)，當后=6時，按照po計算得混管

數量y的期望E(y)=400；某次檢驗中％=440,試判斷個人患病的概率為外是否合理。

［如果2P(r>K))<0.05,則說明假設不合理］.

附：若X?N(〃，〃)，則P=0.6827,P(|X-〃|<2。)=0.9545,

P(|X-/Z|<3<7)-0.9973.

數學試題第5頁(共6頁)

21.(12分)

已知。>0,曲線G：d=4y,過點M(0,b)的曲線G的所有弦中，最小弦長為8.

(1)求b的值;

(2)過點M的直線與曲線。交于A、8兩點，曲線Ci在A、8兩點處的兩條切線

交于點P,求點P的軌跡C2;

(3)在(2)的條件下，N是平面內的動點，動點。是C2上與N距離最近的點，滿

足|NQ|=|NM的動點N的軌跡為C3；并判斷是否存在過M的直線/,使得/與Ci、/與

C的四個交點的橫坐標成等差數列，說明理由。

22.(12分)

設方程(x—2)2e*=a有三個實數根七(％<工2<￡)?

(1)求a的取值范圍；

(2)請在以下兩個問題中任選一個進行作答，注意選的序號不同，該題得分不同。

若選①則該小問滿分4分，若選②則該小問滿分9分。

①證明：(王—2)(々一2)<4；

②證明：x+x+x+—+—+—<—

}23玉龍2七2

數學試題第6頁(共6頁)

遼寧省十校聯(lián)合體2024屆高三畢業(yè)生八月調研考試

數學試題參考答案與解析

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。每小題僅有一個選項符合題意)

題號12345678

答案DCDDBCAC

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。每小題有至少一個選項符合題意，全部選對得5分,

部分選對得2分，有選錯的得0分)

題號9101112

答案BCACDACDAC

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡上)

題號1314

答案20200.44(0.43~0.45均可)

題號1516

答案J(即+bq++/</+cr)(即-bq+cr)(ap+力q-cr)

24V1015

部分小題解析：

6.設z=l-u-v.則|u(ei-e3)+v(e2?e3)+e3I2=u2+v2+z2-wv-uz-zv

=j(Q—v)2+(v—z)2+(z—u)2)>|(Q—v)2+(v—z)2)=

之二，當且僅當u=：,z=〃=如寸，上式等號成立.

1624

故|u(ei-e3)+v(e2-e3)+e31的最小值為

7.由題意，從左下方沿數陣的對角線斜向上組成的數列均為公差為dzd的等差數列，這很容易就能證明.因

此，從第n行第1列的數開始，沿數陣的對角線斜向上組成的數列的所有項(n項)之和為

na

~[o+(九一1)d1+a。+(九一1)。]=na0H---------(豈4-d2)-

整個數陣所有數的總和

Td=i^j=i[aQ+。-1)由+。-IN?]

數學試題第1頁(共14頁)

=%1(岑=4一1)刈+歸=J。。+(J-l)d2])=%i[n(i-1)刈+na0+^d2]

=nSili[ao+嚀d2+(i—l)dj=n|n(劭+號d2)+dj

=n[na0+"p@+d2)].

8.對n=0,1...15,用斯表示該游客恰有n天通過道路AB或CD的概率，以表示該游

客恰有n天通過道路BC或DA的概率.考慮函數

於)=%(1+t)Gx+忌%+H)

g(x)=(1+3①+|)...島％+粉.據條件，知即為f(x)的n次項系數，bn為g(x)的n次項系數.第30

天結束時，游客住在村莊B當且僅當他通過道路AB或CD的總天數為奇數，且通過道路BC或DA的總天

數為偶數.于是，這樣的情況發(fā)生的概率為

p=(%+a3T----卜。15)(匕0+b2T-----卜瓦。

=注意到,/(_D=_1XIX|X...X|Z=__L(

g⑴=l,g(-l)=0.故p=1(1+^)j=^|.

11.A:設P(2pt2,2pt),G(2pu2,2pu)SA(0,0),由AP2=AG2W-4p2(t4+t2)=4p2(u4+u2),(t2-u2)(t2+u2+1)=0因t2

+u2+1>0"u,故知t+u=0,u=-t,G(2pt2,-2pt)

即P,G為「上的對稱點,AN為PG邊上的高.設PN=/,貝ljAN=回「(百3).又由P在拋物線y2=2px上，

故I2=2p-V3/,I=275P(舍去0根)AN=V3Z=6p,A正確。

B：設Q(2pt2,2pt),Q'(2p〃2,2p〃),則xT=2ptu,xK=-^,KT=\2ptu—I-

2

由Q,Q','N共直線得2P(t—u)xN+4ptu(t—u)=0

xN=-2ptu,FN=\xN-xF\=\-2ptu+^|=KTfB錯誤。

C:設P(2p產，2pt),Pr(2pt,2f2p1),Q(2pu2f2pu),Q'(2pu,2f2p〃')，

R(2piA2pv),Rr(2pv,2f2pu)由F,P,P共直線得

t—t'+—t')=0因t—t'豐0,故1+4*=0,tr=—2,同理u'=——,v'—

4t4u4v

2222

SPQR=2p\t(u—v)+u(v—t)+v(t—ii)\

2，2rf，2r,y，2,r>

同理SpfQ/Rf=2p\t(u—v)+u(y—u)+v(t—u)\

=2口3點0+點0+高(￡-?|

p2

=32.標戶一切+vt(y-t)+t"(t-")I

數學試題第2頁（共14頁）

易見二式最后兩絕對值相等，故■=64尸&2=喙**用

C正確。

D：設R(_2pu2>2pu),R'(2pu'212pu'},Q(2pt2,2pt),Q，(2pt"，2p〃).則直線RR'

—X+Q+uf)y=2paiz'過Q的切線2ty=x+2pt2

解得交點TyT=^*%—yR=^^—2pa=V、(t—u)多

同理力，—”，二西三布仁一優(yōu)乃由兩共直線線段RT=R，T，知

yr-VR=yR'-y”(力-7R)+(力-yw)：=。

從而(t-u)2(u+u'—2t')+(t'—u')2(u+it'—2t)=0(1)

又直線QQ'-x+（,t+t'）y=2ptt',與直線RR'方程聯(lián)立解得交點M

y=2P"='）要證共直線的線段RM=只要證y+y=2yM.即證

Mu+u-c-tfiRl

2pa+2pa，=2.鬻蕓?

即證(a+u')2-Q+u')(t+t')=2uu'-2tt'即證u2+u'2-(u+u')(t+t')=-2tt'

即證Q+優(yōu)—2t')t+-u2-u,2)=0(2)

把己證的式（1）的左邊寫成t的方程

(u+u'-2t')t2+(-2u2—2uu'—2t'2—2u'2+4t'u+4t'u')t+[u2(u+u'—2t'~)+(w+—u'}2}=0

證其左邊有式（2）左邊為其因式，得

rfrr2/2

[(u+u-2t')t+(ut+ut-u-u)][t+(-u一〃'+t')]=0但￡+—”一優(yōu)H0(否則從yM=

鬻三?知不存在交點M）,從而式（2）成立.D正確。

故選ACDo

12.由于切點處的半徑垂直于切點處的切平面，因此切平面兀。的一個法向量是m=（方春臉）,平面a的一

個法向量是n=（0,0,D.因為交線1。同時在歆和a內，所以mJJo且nJJo,設1。的方向向量為？=（x'，y'，z'）,則

—111

Tfl,2=-7=4—7=V'+-F2z'=0,t,.—、

屜-聲取￡=（金，-l，0）,A選項正確.為了確定交線1。的位置，我們需要知道1。

n'{=z'=0,

上其中一個點的坐標.根據情景，我們可以試圖求平面POz截直線1。得到的點Q的坐標.方便起見，設

P（x。,y。,z。）.在平面POz內,過點P作PH，OQ于點H,則麗=（如加0）,|。*=J詔+%.由于麗與麗共

線，因此要求點Q的坐標，只需求|OQ|.由RtAOHP-RtAOPQ得瞿!=黑，從而QQI=富=「L因此

I。產IWQIJxo+yo

數學試題第3頁（共14頁）

即Q（焉'焉‘°）.方便起見，在1m"=%°/，10：：+2。2'=°，中??？=（一丫0，殉，0）.容易知道，直線

Ax+By+C=O的其中一個方向向量是（-B,A）.因此設lo的一般式方程為xxox+yoy+C=0,代入點Q的坐標得y0,

高巧+Xo-f5+C=°，解得C=-l，因此1。的方程為%x+2、-1=0,即x+一n=0,B選項錯誤.

“o+y（）%o+y（）vovs

顯然r與球o相切，所有的r組成雙錐面，雙錐面與平面a的交線即為圓r由于rni°=0,因此圓「與直線1。

相離.臨界條件下，r與1。相切，「的半徑長即為|OQ|,不過還沒證明OQJJ。，下面進行證明.（直接用向量

數量積為0即可證明，不過不夠本質）因為OPJ_7to,loUTto,所以lo±OP.因為Oz_La,loua,所以lo_LOz.因為

OPnOz=O,所以1。，平面POz.因為OQu平面POz,所以OQLo,得證.因此當F與1。相切時，切點即為點Q,此時

PQ與z軸的交點正是點N最低的位置No（0,0,ho）.由RtAOHP^RtANoOQ得需=黑，從而得到壇=

Jxo+yo,~r=^

\ONo\=叱吸QI=------------因此h>h0=y/2,C選項正確.

Z()ZQ

根據上面的分析得知，d'=|0Q|=高/=彳、.根據對稱性得知，dm=/號,dn=去j.點P（x,y,z）

在半徑為1的球O的面上，有x2+y2+z2=l.顯然有：xY,y2<l,z2<l,故

d^d-=J(-2)(1j(5)2I,2；=同，當且僅當13=9=1",即|x|=|y|=|z|=看時,

V八，八，1i-z2+i_y2+i_z2)

等號成立.但y=(I?>Jgy,D選項錯誤.

13.先證明對于任意x,ye[1,2021],均有慎力-購|《2020.若|x-y|<1010,則\fl,x)-fly)\<2\x-y\<

2020;若|x-j/|>1010,不妨假設1<x<y<2021,則

1/W-?I=IAx)-XD+.A2021)-yOOI<施0-.ADI+貿2021)-&)|42|x-1|+2|2021-y\=2(x-1)+

2(2021-y)=2x2020-2(y-x)<2x2020-2x1010=2020,

因此，對于任意x,y￡[1,2021],均有l(wèi)/(x)<2020.

再證m=2020是最小的.

設函數/)=2|x-則函數外)滿足可)=/2021)=2020.

對于任意不等的實數x,y￡[1,2021],不妨假設1<x<)，(2021,則定)-用，)|=2

|x-1011|-[y-1011|<2|(x-1011)-(y-1011)|=2|x-j^|,因此火x)=2|x-10111是滿足已知條件的函

數.取x=l,y=1011,則[/(I)-7(1011)|=|2020-0|=2020.

數學試題第4頁（共14頁）

綜上可得，實數m的最小值為2020

14.由sinA=cosB,得4=]±B,由題意可知，tanC存在，所以C打，即4+B吧，所以4=已+8,所

以24+C=24+(TE—A—B)=2A+卜—力一(4—&)]=

上.4,八./3TTCcos2i4但y.Asin2i42sin24cos42(l-cos2i4)cos/l

由sinA=tanC=tan——2A)=--,得1=s\nA-----=---；——=-----———,

\2/Sin2i4cos2i42cos2i4-l2cos24-l

故2cos3/+2cos2y4—2cosA-1=0,令cosA=x(-1<%<0),則/(%)=2x3+2x2—2x—1(-1<%<0),

尸(x)=6x2+4%—2=2(3x-1)(%+1),

當％V—l時，f'(x)>0；當—lVxVO時，/z(x)<0；

所以函數f(%)在(一8,-1)上單調遞增，在(-1,0)上單調遞減，

令f(x)=O,則x^-0.403^-0.40所以cosA?-0.40,sinA?0.916,

cosF?0.916,sinB?0.40,-=—=—=tanfi?0.44,答案為0.44(0.43~0.45均可).

asmAcosB

15.設二面角C-AB-D的平面角是a,^ABC的外接圓半徑是R.,AABD

的外接圓半徑是R2,則/O正。產a。因為/EOQ=/EO2O=90。,所以點E、Oi>O2、O共圓,EO是該圓的半

EOi+EO9-ZEOi-EO^cosa

徑，所以E0=曳nn魚=U——---------------由此得到

sinasina

R=AO=>JAE2+EO2=/絲+更辿*2.；。""迎。

Y4sin2a

aA「cacosACB

又因為E0=R^osACB=-------cosACB=-一：----,

12sin4CB2smACB

E=RcosAD=^cosACB=IcosADB

012BsinADB"

sin2a+￡?日g_2cosACBcos4DBcosa

2

所以R=sin24cBsinADBsinACBsinADBa因為V=-abcsinBACsinBADsina,

sinao6

_______6V_______

所以sina=

abcs\nBACsinBAD>

22

22cosACBcosADB2cosACBcosADBcosa

abcs\nBACs\nBAD.sina+~~5----------1s

R=sin*JCBsin*ADBsin^CBsinJOB

因此6r

E天出工的.2cAC(.?.COS2ACB,cos2ADB2cosACBcosADBcosa\

現在來計算smzBACsmzBADsm2a+—；——+—；-------------------------------。

\sin24cBs\n2ADBsinACBsinADB)

cosCAD-cosBACcosBAD

因為cosa=

sinBACsinBAD

1-COS2BAC-COS2BAD-COS2CAD+2COSBACCOSBADCOSCAD

所以sin2a

s\n2BACsin2BAD

數學試題第5頁（共14頁）

因此得至(jsin2BACsin2BADsin2a=1-cos2BAC-cos2BAD-cos^AD+2cosBACcosBADcosCADo

另外

sin2BACsin2BADcos2ACBsin2BAD,

,,cos,2ADBq2_,

sm2BACsm2BAD———=cos2ADBsin2BAC

sin2ADBa2

siMB心而如。；黑黑片

=各?CsinBWosW飛盛篙產

=cosACBcosADB^cosCAD-cosBACcosBAD),

所以

2

siMB4Csin2BAD(sin2a+黑怒+cosADBZcosACBcosADBcosa

s\n2ADBsinACBsinADB

=1-cos2BAC-cos2BAD-cos2CAD+2cosBACcosBADcosCAD

22

+-^-cos2JCBsin2BAD+^-cos2JOBsin2BAC

a~a~

-2-^-cosACBcosADB(cosCAD-cosBACcosBAD)。

a~

把cosBAC=SsBAD=吆*cosCAD=cosACB=^^,cosADB=

222222444222222444

sin284c=2ab+2ar+2br-a-b-rsin2BAD=2ac+2aq+2cq-a-c-q

4a2b24a2c2

代入上式進行化簡，最后得到

22

sin2BACsin2BAD^sin2a+cosACB+cosADBZcosACBcosADBcosa

sin2ACBs\n2ADBsinACBsinADB

(ap+bq+cr)(—ap+bq+cr)(ap—bq+cr)(ap+bq—cr)

16a4b2c2

所以

y/(^p+bq+cF)(r-ap+bq+cF)(ap-bq+cry(ap+bq-cr)

R=

24V

16.先求有多少個排布方案，滿足至少有1堆人討論?？梢悦杜e有i堆人討論，這樣放置的方案數是以-3i

證明：首先，對于每一種方案，有n-4i個沒有被選中的位置。

我們可以考慮枚舉這些沒有被選中的位置。把每一個討論的組看成一個整體，縮成一個點。這樣就有n-3i

個點了。

對于所有n-3i個點，如果被選中，成為一個討論的組，那么這個點就要被展開代表4個人。否則就代表

一個人。我們直接從這n-3i個點中選取n-4i個點作為沒有被選為組的點。這樣方案數就是洋二￡=以心

顯然這樣的枚舉對應的方案是唯一的（可以把這些選為組的點展開，再順序標號）。

數學試題第6頁（共14頁）

然后這么多位置已經固定了，怎么計算剩余不討論的人的排列數呢?

可能有些排列會有不只i個人討論！所以我們考慮，枚舉有i?）且人討論。這樣就可以排除干擾，對剩下

4

的亂排列了。設初始4個數最小值為mini

答案ans=￡普『（一1）1-母_3/闌余n-4i個數的排列個數］

證明：發(fā)現枚舉至少一組的時候，對于一種可行的方案（這里代指枚舉方案）會算2次至少兩組的貢獻，算

3次至少三組的貢獻。

枚舉至少兩組的時候，會算3次至少三組的貢獻，算6次至少四組的貢獻。

枚舉至少i組的時候，會算?次至少j組的貢獻（jNi）所以我們可以通過，憶式-1）?T“=1

來算出單個的貢獻。這可以通過二項式展開來證明。

所以答案ans=￡膽『（一1）一?以_3「［剩余n-4i個數的排列個數］

設喜歡4種愛好的人初始有xg,X3,X4個這時候分別還剩下xi-i,X2-i,X3-i,X4-i個人

相當于求有重復元素的排列！我們知道，如果xi+x2+x3+x,=n

那么排列答案就是eg瑞國行如果XI+X2+X-,答案就是。。

如果xi+x2+x3+x4>n呢？考慮枚舉+排列。

(n4i)!

ans-E[a+b+c+d-ii

a!b!dd!

a<xii,b<T2i.Ewt

,h

=(n4i)!工[a+b+c+d=n1a!d!dd!

a<z)-i,b<x2ix<x3-i,d<X4i

我們前面還要用所有排列的個數減去答案，所以真正的答案其實就是

ans=￡吃?［剩余n-4i個數的排列個數］

代入數據解得方案數為1015.

四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）

已知H為銳角AABC的垂心,A。、BE、CF為三角形的三條高線,且滿足9HD-HE-HF=HA-HB-HC.

（1）求cosAcosBcosC的值.

（2）求8$/。4氏85/。區(qū)4的取值范圍.

（1）記aABC的三個內角為A、B、C.

注意到，cosB-cosA+sinA-sinB=cos（B-A）<l.

由題意結合幾何關系得cos/l-cosB-cosC=g

(2)

cos/1?cosB-cosC=cosA-cosB(sinA-sinB-cosA-cosB)

<cosA-cosB(l-2cosAcosB).

數學試題第7頁（共14頁）

故工工C0Si4?cosB<

63

當cosA=cosB=嘉時,cosA-cosB取得最小值;

當cosA=cosB=5時,cosA-cosB取得最大值.

因此，所求范圍是依，1.

18.（12分）

直三棱柱ABC-4AG中，AB=AC=AAIMM,N滿足AM=AAB],CN=4cA且

"N_LA3],MN_LAC設N3AC=。(0＜。＜兀).

(1)證明：4+〃=l；

(2)當。變化時，是否存在MNi，3G?若存在，求。；若不存在，說明理由.

解：(1)以A為原點，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸，AAi所在直線為z軸,

則Bi(1,0,1),C(cos0,sin0,0),Ai(0,0,1),M(X,0,X)

因此而i=(1，0，1),刀1=(—cos。，—sin。，1),麗=(一〃cos0一〃sin。，〃)，

則MN=(cos0—“cos夕sin?！皊in。，4—X),

由題MN?AB[—cosd—ficosd-4+4-4=0,

MN?CAr=〃-1+Acosd+〃-4=0,

兩式相減，得壯尸1.

(2)代入入+產1,則

Xcos0-X+1-2X=O因此2=-/z=2c°s,

3-cos。'r3-cos。'

因此有

MN?81d=cos??！猚os0—〃cos8+〃cos?！狝cos0+4+sin20—“sin??！?A

=1r—023xcos0A+l2”4—n2〃=1d---2--c-o-s-6--H-2---4--+-2-C--O-S-0

3-cos03-cosO

_1-COS0

3-cos0

由于0＜0＜兀,而?瓦？不為0,因此不存在MN1BC1.

19.(12分)

2

已知數列｛4｝滿足an=an,+——(n＞3),且q=a,=1

4-2

數學試題第8頁（共14頁）

（1）求數列｛%｝的通項公式。

(2)設/(x)=l—eT(l+'x+-!~x2+...+_Lx")(x20,〃eN*),其中e是自然對數的底數，求

1!2!n\

xn+i

匹°7（幻<刖

（3）設5,為數列｛《J的前n項和，實際上，數列｛S,存在“極限”，即為：存在一個確定的實數

S,使得對任意正實數"都存在正整數機滿足當生加時，|S"-5|<”（可以證明S唯一），S稱為數列

｛SJ的極限。試根據以上敘述求出數列的極限S。

(1)題設遞推公式等價于_^i^i(>3),設b=皿，則b=l+b,

an-i=+an-2nnann+1n

且瓦="=1,于是bn是首項和公差均為1的等差數列，即（刈=n。當n>2時，累乘可

al

得：a=——-----a_???—…必由=(n-1)x(n-2)x???x1x1=(n-1)!,而

nan-lan-2ain2al

a1=l=O!,故an=(n—1)!。

⑵①證明：由/(x)=1—e~x^1+4-^x24F(xNOFWN*),則

/'⑺…((1+”#+?“+力)一(1+”殺*“+小”力)=，嗑

由x>O,neN',f'(x)=e-q>0,且僅當x=0時等號成立

n-l

于是f(x)在血+oo)上單調遞增，故f(x)>f(0)=0o設g(x)=f(x)-—y—JO

171十Lj.

g'(x)=frM—篙=-1),由x>0,nEN^,e~x-1<0故

g'(x)<0,且僅當x=0時等號成立，于是g(x)在［0,+co)上單調遞減，故g(x)<g(0)=0o

于是OS/Q)〈篇得證。

②數列Sn的極限S=e。

_n+l

由①知，0</(%)<』v，整理得：

I兀十，八

°-(1+1+#+…+次”高于是對n>2,

0<ex—^1+.%+124---h(n-l)!Xn-1)—"心，令X。得：

。We—(l+=+5+…+信/W,由題意，Sn=1+2+抖…+房亦故

\Sn-e\<彳,于是|Sn-e\<當且對n=l也成立，于是對任意正實數u,三也是一個確

1111n!1n1nu

數學試題第9頁（共14頁）

定的正實數，于是一定存在一個正整數m,使得小>；,于是當nNtn時，

|Sn-e|<|<^<”,于是數列Sn的極限S=e。

20.(12分)

某單位有12000名職工，通過抽驗篩查一種疾病的患者.假設患疾病的人在當地人群中的比例為p(0

<p<l).專家建議隨機地按k且為12000的正因數)人一組分組，然后將各組k個人的血樣混

合再化驗.如果混管血樣呈陰性，說明這《個人全部