2022-2023學年廣東省湛江市第學高一年級下冊期中數(shù)學模擬試題（含解析）

2022-2023學年廣東省湛江市第學高一下冊期中數(shù)學模擬試題

（含解析）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.）

j若集合4={x|x（x_2）<0},8={x|x-lWO},則4I（”）=（）

A.{x|x>1或x<0}B.{x|l<x<2}C.{xIx>2}D.

{x|X>1}

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，將集合48分別化簡，然后結(jié)合集合的交集以及補集運算即可得到結(jié)

果.

【詳解】因為Z={x[0<x<2},8={x|x?l},

則％8={小>1},所以Nc（%8）={x[l<x<2}

故選：B

z

2.已知復(fù)數(shù)z滿足-7=10i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)平面內(nèi)z的共輾復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【正確答案】C

【分析】求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，進而可得三，則可得其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的位置.

z

【詳解】???——=10i,

3+i

.?.z=10i（3+i）=-10+30i,

,..■=_10-30i.其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（TO,-30）,在第三象限.

故選：C.

3.圓臺上、下底面半徑分別是1、2,高為百，這個圓臺的體積是（）

7^/3273

A.------九B.2扃C.7屈D.-----n

33

【正確答案】A

【分析】運用圓臺體積公式直接計算.

【詳解】由圓臺體積公式知：

K=17i/z(/?2+r2+/?r)=yxV3x(l2+22+lx2)=^7i;

故選：A.

4.已知平面向量a=(sine,l),B=(cos6,-2),若?則tan8=()

11

A.--B.-2C.2D.T-

22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量共線得—2sin。=cos。，則tan6=-1.

2

【詳解】..?一2sin。=cos。，顯然cos。w0,tang=—，，

2

故選：A.

5.正方體/BCD—44GA中，與對角線4C成異面直線的棱有()

A.3條B.4條C.6條D.8條

【正確答案】C

【分析】由異面直線的定義即可得出答案.

【詳解】解：由圖可知與直線4。為異面直線的棱分別是84、DD「4〃、44、4G、

GA共6條.

4

Dt

B

故選：C

6.在平行四邊形Z8C。中，BE=-BC,AF=-AE.^AB=mDFAE>則加+〃=

23+n

()

i354

A.7B.—C.—D,一

2463

【正確答案】D

【分析】利用平面向量的線性運算求出〃?，〃即可.

【詳解】由題意可得方=N豆+麗=N云+'刀=7萬+'（萬戶+

22、

=赤+；］而-；荏卜;而+渾，

所以機=一，〃=一,

26

4

所以加+〃=一，

3

故選：D

7.如圖所示，在長方體N8CD—44GR中，4G與BQ相交于點0,瓦尸分別是4。,

G。的中點，則長方體的各棱中與痔平行的有（)

ac,

C.5條D.6條

【正確答案】B

【分析】由E,尸分別是用。，G。的中點，取EFHBJ,結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可

求解.

【詳解】由于E,F分別是用。，C0的中點，故EF//BG，

因為與棱4G平行的棱還有3條：AD，BC,4。，所以共有4條.

故選：B.

8.在四面體/—8CO中，AB=CD=近,AD=BC=后,AC=BD=2不，則四面體

4-3CZ）外接球表面積是（）

,256

A.647tB.32TIC.256無D.------兀

3

【正確答案】B

【分析】利用割補法及勾股定理，結(jié)合長方體的體對角線是外接球的直徑及球的表面積公式

即可求解.

【詳解】由題意可知，此四面體Z-BCD可以看成一個長方體的一部分，長方體的長、寬、

高分別為6，V25-2.四面體/一88如圖所示，

所以此四面體N-6C0的外接球的直徑為長方體的體對角線，即

（27?）2=（A/3）2+（V25）2+22，解得R=272.

所以四面體Z—BCD外接球表面積是S=4成2=4x兀x（2&『=32兀.

故B.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

9.△NBC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且（2b-c）cosR=acosC,b=2也,

若邊8c的中線=3,則下列結(jié)論正確的有（）

,兀，兀

A.A=~B.A=—

36

C.ABAC=6D.ZX/IBC的面積為

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合平面向量加法的幾何意義、平面向量數(shù)量積的定義、三角形面

積公式進行求解即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理，由

=>2sin5cosA=s\nAcosC+sinCcosA=sin（/+C）=sin（兀-8）=sin8,

因為8w（0,兀），所以sin5w0,因此2cos4=l=cos4=；,

因為/w（0,兀），所以/=],因此選項A正確，選項B不正確；

因為是中線，所以由彳萬=；（荔+就）=4詬2=Nf+%2+2萬?%

=>36=c2+12+2x2^3x-^c=>c=2百,或。=-4百舍去，

因此益?就=2JJX2GX」=6,所以選項C正確；

2

△Z8C的面積為sin/=,x2x2x走=3JJ，所以選項D正確，

222

故選：ACD

10.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則（）

A.z+z為實數(shù)B.z-z為實數(shù)

C.z2為實數(shù)D.彳.i為實數(shù)

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，設(shè)z=〃?i（mwR且加#0）,得到三=_〃”，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，逐

項判定，即可求解.

【詳解】因為Z為純虛數(shù)，設(shè)Z=疝（加eR且〃7w0）,則［=-而，

由z+N=0,所以A正確；

由z-z=2mi,所以B錯誤；

由Z2=-7772為實數(shù)，所以C正確；

由=5.i=-mixi=機為實數(shù)，所以D正確.

故選：ACD.

11.如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體中，下列四個命題中，正確命題的選項是

（）

A.8〃與平行；

B.CN與3E是異面直線；

C.4尸與平面平行；

D.平面C4V與平面平行.

【正確答案】CD

【分析】先將正方體的平面展開圖復(fù)原為正方體，再結(jié)合圖形，對選項一一判斷即可.

【詳解】對于選項A,由展開圖得到正方體的直觀圖如圖，BM與ED異面,故A錯誤;

對于選項B,CN與BE平行,故B錯誤；

對于選項C,因為四邊形是平行四邊形，所以4F//MD,又4尸仁平面3。/,

MDu平面BDM，所以力///平面8DM，故C正確；

對于選項D,顯然AC//EM，又ACU平面BEM,EA/u平面BE",所以/C//平

面同理NN//平面8EM,又/CPl4N=4,所以平面CNN//平面,故D

正確.

故選：CD.

12.已知正四棱柱Z8C。一4MGA的底面邊長為2,側(cè)棱=1，尸為上底面4片。01

上的動點，給出下列四個結(jié)論中正確結(jié)論為()

A.若PD=3,則滿足條件的尸點有且只有一個

B.若PD=也,則點P的軌跡是一段圓弧

C.若尸?！ㄆ矫?。耳，則。尸長的最小值為2

D.若尸0〃平面zcq,且尸。=6,則平面80尸截正四棱柱的外接

97r

球所得平面圖形的面積為一

4

【正確答案】ABD

【分析】

若PD=3,由于P與四重合時PD=3,此時尸點唯一；PQ=JJe(l,3),則尸A=J5,

即點尸的軌跡是一段圓??；當P為4G中點時，OP有最小值為=JL可判斷C；平面3DP

3

截正四棱柱/BCD-的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為=：,可

得D

【詳解】如圖：

?.?正四棱柱力—的底面邊長為2,

A5,￡>,=2A/2,又側(cè)棱44=1，

二。4=+F=3,則尸與片重合時尸0=3,此時尸點唯一，故力正確；

?；尸。=66（1,3）,DD,=1,則PR=y[2,即點P的軌跡是一段圓弧，故8正確；

連接。4，DC,,可得平面40G〃平面4c4,則當P為4G中點時，。尸有最小值為

+F=>/3>故c錯誤；

由C知，平面8。尸即為平面,平面6。尸截正四棱柱488—44GA的外接球

所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為LJF百百7=3,面積為包，故。正確.

224

故選：ABD.

本題考查了立體幾何綜合，考查了學生空間想象，邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，

屬于較難題.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知z=1+31,則z.5"=.

2+i----------

【正確答案】2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可求得z,即可得W=l-i，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法即可得答案.

【詳解】由題意得z=9=9^退二D=i+i,故』=i_i，

2+i5

所以z?彳=(l+i)(l—i)=2,

故2

11

14.已知a=(2,3),6=(-2,4),向量Z在B上的投影向量的坐標是.

48

【正確答案】

555

【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計算即可.

【詳解】Q。=(2,3),6=(-2,4),

.?.［「=-4+12=8,同=14+16=2后

a-hZ)_8(-2,4)

向量Z在否上的投影向量的坐標為X

w/一而275

48

故答案為.

555

15.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,

我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑48兩點間的距離，現(xiàn)

在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CO=35m,NADB=135°，NBDC=NDCA=15°，

N4C8=120°，則/、8兩點的距離為m.

【正確答案】35#)

【分析】根據(jù)已知的邊和角，在△8CO中，由正弦定理解得6。，在中，由余弦

定理得

【詳解】因為N/Z)8=135°，NBDC=NDG4=15°，所以ZADC=150^.

ZDAC=ZDCA=15a-所以CD=35,

又因為NJC6=120°，所以N8C0=135°，NC80=3O"，

BD35

在△8CO中，由正弦定理得----------=.工2即0一1,解得&>=35、份，

sinABCDsinACBD--

22

在AABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB，

所以/爐=352+(35后了—2x35x35VIx1—苧，解得48=35指m.

故35遍

16.棱長為2的正方體Z8CZ)-《MG"中，"是棱44的中點，過C、M,"作正方

體的截面，則截面的面積是

【分析】連接48,設(shè)截面交棱Z5于點N,連接A/N、CN,利用面面平行的性質(zhì)分析

可知點N為Z8的中點，且四邊形為等腰梯形，計算出該四邊形的各邊長及高，

利用梯形的面積公式可求得截面的面積.

【詳解】連接設(shè)截面交棱于點N,連接MN、CN,

D,

在正方體ABCD-481GA中，3〃BC且&。,

則四邊形48c2為平行四邊形，所以，ABHCD\,

因為平面AA[B]B〃平面CCRD,平面CMD]A平面AAlBlB=MN,

平面CMD[A平面CCRD=CD],所以，MNUCD,,則MNHAyB,

為44的中點，則N為28的中點，

由勾股定理可得MN=NAM?+AN。=6，D[M=CN=4i,CR=2j5,

所以，四邊形CRMN為等腰梯形，

過點M、N分別在平面內(nèi)作板_LCR、NFLCD,,垂足分別為點￡、F，

由等腰梯形的性質(zhì)可得/NCF=4MD、E,CN=D.M,

又因為NCFM=N〃￡M=90°,所以，△C/W絲△〃瓦0,所以，CF=D、E,

因為MN//EF,ME工EF,NF工EF,則四邊形MNFE為矩形，所以，EF=MN=6，

所以，CF=RE=CD「MN=變,則刖=卜2-CF,=逑，

1222

甘謝詆中^（EF+CD）-NF9

因此，截面面積為^------------------=-.

22

9

故答案為.一

2

方法點睛：作截面的常用三種方法：

(1)直接法：截面的定點在幾何體的棱上；

(2)平行線法；截面與幾何體的兩個平行平交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面

平行；

(3)延長交線得交點：截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.)

17.在復(fù)平面內(nèi)4B,C的對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為—l+

(1)求福癰就；

(2)判定Z8C的形狀.

【正確答案】(1)AB=(-1,-1),AC=(—2,2)>BC=(—1,3)

(2)直角三角形

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到點4B,C的坐標，再根據(jù)向量的定義與坐標表示

即可解決問題；

(2)觀察(1)中的向量坐標，發(fā)現(xiàn)次?次=0,故可判定Z6c的形狀.

【小問1詳解】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得8(0,—1),C(-l,2),

所以懣=(O,T)-同理：就=(-2,2),SC=(-1,3).

【小問2詳解】

由(1)得而-％=Tx(-2)+(-1)x2=。，

故而_L就，所以/8C為直角三角形.

18.已知平面向量2,B滿足a=(加+1,3)，加=(3,-2),其中加eR.

(1)若求實數(shù)機的值

（2）若Z_L九若Z+B與￡一2否夾角的余弦值

【正確答案】（1）m=~—

2

⑵嚕

【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系即得；

（2）根據(jù)向量垂直的坐標表示可得機=1,然后利用向量夾角的坐標公式即得.

【小問1詳解】

因為a=（m+l,3），b—（3,-2）,又4〃否，

所以一2（〃?+l）-3x3=0,

解得m=--；

2

【小問2詳解】

因為a，

所以a=3(加+l)-2x3=0，解得〃z=l,

所以a=(2,3),a+書=(5,1)

所以，a-2d=(2,3)-2(3,-2)=(-4,7),

所以a+b=J5?+F=,|a-2/)|=+72=>/65,

u-/-7-42%)-4x5+lx7V10

所以COS(4+b,"2b)=-p-=r-p———j=~T^=------.

'/卜+斗卜-叫V26xV6510

19.如圖，在棱長為2的正方體Z8CD—44GA中，E為44的中點，尸為ZE的中點.

（1）求證：CE//平面BDF:

（2）求三棱錐E-BOE的體積.

【正確答案】（1）證明見解析

【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)、線面平行的判定定理即可證明；（2）利用等體積法求解即可.

【小問1詳解】

如圖，連接/C交8。于點。，再連接。尸,

在中，。為/C中點，/為NE的中，所以O(shè)F//CE,

且CEZ平面8?？冢琌7;^u平面8Z?;^,所以CE//平面6。/;^.

【小問2詳解】

因為該幾何體為正方體，所以點。到平面48瑪4的距離等于4。，

所以點。到平面BEF的距離等于AD,

根據(jù)等體積法可知VE-BDF=VD-BEF=gxS&BEFxAD=；x；xEFxABxAD=；.

20.在48c中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sin28+sin?C-sin5sinC=sin2A-

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若b+c=26,a=W＞，求/8C的面積.

【正確答案】（1）/=g

（2）

4

【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和余弦定理求解即可;

(2)由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式求解即可.

【小問1詳解】

*?*sin2B+sin2C-sin5sinC=sin2A，，由正弦定理得：b2+c2-bc=a2?

???由余弦定理得：cosA=+——="—J,,

2bc2bc2

*：G(0,7l),：.A

【小問2詳解】

由第一問可知：=y>又6+c=,

由余弦定理得：cosN=加"2二2=e+c)2—2bc—Y=12-2歷—3=L

2bc2hc2hc2

解得：be=3,由三角形面積公式可得.S,B「=Lbcsin/=』x3x"=X5

ABC2224

21.如圖，在三棱柱中，E,F,G,H分別是N8,AC,A\B\,/iG的中點.求

(1)B,C,H,G四點共面；

(2)平面￡7%//平面BC77G

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用中位線定理與空間平行線的傳遞性，推得G/7//8C,由此得證：

(2)利用線面平行的判定定理證得EF//平面BCHG,A1E//平面BCHG,從而利用面面平行

的判定定理即可得證.

【小問1詳解】

,:G,”分別是/山I,4G的中點

...GH是△Z4G的中位線，GHUB\C\,

又在三棱柱4BC—48。中，B\C\〃BC,：.GH//BC,

：.B,C,H,G四點共面.

【小問2詳解】

■:E,尸分別為45,ZC的中點,

：.EF//BC,

EF<Z平面BCHG,8Cu平面BCHG,

.?.￡7=7/平面BCHG,

?.,在三棱柱Z8C-48C1中，A'BJ/AB,A}Bt=AB,

'.A\G//EB,A.G=—A.B.=—AB=EB,

12112

四邊形4EBG是平行四邊形，.?.小E//G8,

AXE（Z平面BC