2023-2024學(xué)年上海市松江區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市松江區(qū)高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

一、填空題

1.已知C：=15,則"=.

【正確答案】6

【分析】由組合的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】因?yàn)镃：=15,所以當(dāng)I=I5,所以"=-5(舍)或〃=6,

所以”=6.

故6.

2.已知”=(l,y,2),6=(0,1,-1),且4工人，則N=.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示可解.

【詳解】因?yàn)椤?b，α=(L%2),?=(0,1,-1)

所以<7?b=y-2=0,解得丫=2.

故2

3.已知一個(gè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=I,則。(2X-1)=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)方差性質(zhì)X+勿=MO(X)可得.

【詳解】由方差性質(zhì)。(αX+加=∕O(X)可得

E>(2X-1)=4D(X)=4.

故4

4.從0,1,2,L,9這10個(gè)自然數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)，它們的積是奇數(shù)的概率為.

【正確答案】I

【分析】利用組合公式先求總的基本事件數(shù)，然后再求積為奇數(shù)的基本事件數(shù)，由古典概型

概率公式可得.

【詳解】根據(jù)題意，記取出的兩個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)為事件A,從10個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)相乘，

inO

有C：。=45種情況，若取出的兩個(gè)數(shù)全部為奇數(shù)，有C：=lO種，則尸(A)=翥=§

故:

5.某校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為180的樣本,

已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為165,則該學(xué)校的教師人數(shù)是.

【正確答案】200

【分析】根據(jù)分層抽樣各層樣本容量和總體個(gè)數(shù)的比值關(guān)系可解.

【詳解】從所有師生中抽取一個(gè)容量為180的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為165,則老

師抽取180-165=15人，則該學(xué)校的教師人數(shù)羔*2400=200人.

故200

6.當(dāng)〃≥2,化簡(jiǎn)：CJ,-2C>+(-1)*-'?C*++(-l)"-'nC:=.

【正確答案】0

【分析】構(gòu)造二項(xiàng)式，對(duì)其求導(dǎo)，然后賦值計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)镮-(I-X)"=C,x-C>2++(T嚴(yán)

兩邊對(duì)X求導(dǎo)數(shù)得：

W(I-X)a=C；-2C%+3CX-+(-?)"-'nC'?χ"-',

令X=I,代入上式，

即得：C,-2C：+3C”+(-lΓlnC>0,

故0.

7.甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲命中目標(biāo)的概率為().3,乙命中目標(biāo)的概率為

0.5,則該目標(biāo)至少被命中一次的概率為.

【正確答案】0.65

【分析】根據(jù)題意，由概率計(jì)算公式代入計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)目標(biāo)至少被命中一次的概率為8,

貝IJP(B)=0.3X(1-0.5)+(1-0.3)×0.5+0.3×0.5=0.65

故答案為:0.65

8.把一顆質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件A為“所得點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”,記事件B為“至

少有一次點(diǎn)數(shù)是4"，則P(BlA)=.

【正確答案】?

1o

【分析】列舉出事件A的所有基本事件，然后從其中找出滿足事件B的基本事件，利用古

典概型概率公式可得.

【詳解】事件A有下列可能：0,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),

(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18種：

滿足B條件有:(2,4),(4,2),(4,4),(4,6),(6,4),共5種，所以P(BIA)=[

18

故W

18

9.某活動(dòng)小組有4男3女共7名學(xué)生在博物館參觀后排隊(duì)合影留念.若這7人排成一排，

且3名女生互不相鄰，則共有種不同的排法.

【正確答案】1440

【分析】根據(jù)題意，女生互不相鄰，屬于不相鄰問(wèn)題，所以先排其他人，再把女生插入排好

的空檔中即可.

【詳解】先把四個(gè)男生排成一排有A：種排法，在每一種排列中有五個(gè)空檔(包括兩端)，再

把三個(gè)女生插入空檔中有A：種方法，所以共有A：A；=1440種不同方法.

故1440.

10.已知除顏色外完全相同的10個(gè)小球，其中3個(gè)白色，3個(gè)紅色，4個(gè)黑色.現(xiàn)將它們從

左至右隨機(jī)排成一排，則3個(gè)紅球恰好排在一起的概率是.

【正確答案】?

【分析】利用捆綁法可求得3個(gè)紅球恰好排在一起的方法數(shù)，結(jié)合小球隨機(jī)排列的方法總數(shù),

根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】10個(gè)小球隨機(jī)排列，有A：：；種情況；

把3個(gè)紅球看成一個(gè)整體，有A；種情況，然后把這個(gè)整體與其他小球排序，有A；種情況；

.?.3個(gè)紅球恰好排在一起的概率是.第=2=L

A?9015

故答案為.工

11.某班共有40名學(xué)生，其中23名男生的身高平均數(shù)為173cm,方差為28；17名女生的

身高平均數(shù)為162cm；若全班學(xué)生的身高方差為62,則該班級(jí)女生身高的方差為

1537

【正確答案】

^40^^

【分析】求出班級(jí)平均身高，然后利用方差的性質(zhì)可解.

23x173+17x1626733

【詳解】由題意可知，所有學(xué)生的平均身高為:設(shè)班級(jí)女生身高

4040

的方差為X,

2328+073一鬻j1767332

則，X+—×x+162----=-62,

4040(40

所以X=呼1537，即該班級(jí)女生身高的方差為1W537.

4040

故答案_為.軍1537

12.將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲〃次，以匕表示沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.已知

Pn=aPn_x+bPn_2+cP?_3(n≥4),貝ljα+b+c=.

7

【正確答案】-/0.875

O

【分析】由題意表示沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，則利用分類(lèi)討論法列表分析即可找

出4,6,c的值.

【詳解】要求即拋擲〃次沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，

分類(lèi)進(jìn)行討論，

若第〃次反面向上，前n-l次未出現(xiàn)連續(xù)3此正面即可；

若第〃次正面向上，則需要對(duì)第n-l進(jìn)行討論，依次類(lèi)推，得到下表：

第〃次n-l次"-2次概率

反面

正面反面

正面正面反面8%

所以e=lei+jg-2+!e-3(“≥4),

Z4o

me71117

所以〃+/?+C=-H----F-=—.

2488

7

故答案為

O

二、單選題

13.下列命題中假命題是（）

A.一組數(shù)據(jù)的極差可以表示這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍大?。?/p>

B.任意給定統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，都可以繪制散點(diǎn)圖；

C.莖葉圖既可以用于呈現(xiàn)單組數(shù)據(jù)，也可以用于對(duì)兩組同類(lèi)數(shù)據(jù)的比較分析；

D.一組數(shù)據(jù)中的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù).

【正確答案】B

【分析】根據(jù)極差、散點(diǎn)圖、莖葉圖和百分位數(shù)的定義即可判斷答案.

【詳解】極差表示最大值與最小值的差距，它在一定程度上能表示這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小范

圍.A正確；

散點(diǎn)圖應(yīng)該是表示兩個(gè)變量組成的數(shù)對(duì).B錯(cuò)誤；

根據(jù)莖葉圖的作法可知，C正確；

一組n個(gè)觀測(cè)值按數(shù)值大小排列，處于p%位置的值稱(chēng)第p百分位數(shù)，例如中位數(shù)是第50

百分位數(shù)，顯然中位數(shù)可以在數(shù)據(jù)中，也可以不在數(shù)據(jù)中?D正確.

故選：B.

14.設(shè)機(jī)，〃分別是平面α,夕的法向量，直線/的方向向量為“，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.若則B.若加j_d，則/〃α

C.若〃?〃d，則/D.若加〃”，則α〃?或α,僅重合

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量證明面面垂直、線面平行、線面平行和面面平行方法判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A項(xiàng)，若機(jī)J_〃，由法向量的性質(zhì)知，法向量垂直，平面垂直，故A正確；

B項(xiàng)，若〃可知/與平面α平行或在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，若機(jī)〃d,由法向量的性質(zhì)知，該向量垂直于平面，故C正確;

D項(xiàng)，若相〃”，可從題目加，〃分別是平面ɑ,夕的法向量知，法向量平行，所以平面平

行或重合，故D正確.

故選：B

15.已知集合A={I,2,3,4},8={1,2,3,4,5},從集合A中任取2個(gè)不同的元素，其中最小的

元素用。表示,從集合B中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素用人表示，記X=6-α,

貝IJP(X=2)=()

?-b?Ic?(D-

【正確答案】C

【分析】分別列出從集合A、B取元素的情況，即可得到。、b的取值情況，再利用古典概

型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】從集合A中任取2個(gè)不同的元素，有6種可能，分別為：{1,2},{1,3},{1,4},{2,3),

{2,4},{3,4},

其中最小的元素。的取值分別為1,2,3,

從集合B中任取3個(gè)不同的元素,有10種可能,分別為:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5),

{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},

…-、3×l+2×3+l×6151

其中最大的元素b取值分別為3,4,5,所以P(X=2)=———--------

故選：C

16.將110表示成3的非負(fù)整數(shù)幕的和的形式，其中加數(shù)的不同排列視作同一種表示方法,

共有()種不同的方法.

A.247B.402C.485D.508

【正確答案】D

C,E?+3w="7,⑴

【分析】設(shè)4+34+324,+3%+31%=11(),當(dāng)卬=0,設(shè)°J則m+9〃=110,

a2+3%=〃,(2)

求出〃?+9〃=110的非負(fù)整數(shù)解；當(dāng)α4=l時(shí)，同理求出方程的解的個(gè)數(shù)，兩種情況相加即可

得出答案.

【詳解】設(shè)若4+30∣+3%2+3%3+344=110,

+3〃1="2,(1)K)

(i)?=O,則q)+34+9(%+3%)=110,設(shè)<%+3…,(2W…=I'

方程(1)的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為γ+1,方程(2)的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為+1.

m=110∫∕n=101Jw=92"7=83J77?=74∕n=65

m+9〃=11()的非負(fù)整數(shù)解有:

n=0,In=l,1n=2n=3'n=4'n=5

m=56?m=47j/n=38?m=29Ja=20?m=↑??m=lf

n=6,In-1']n=8'∣n=9,∣n=10,In=H∣n=12

故方程的解的個(gè)數(shù)為:

56647

+1+1+1

T3T

(ii)當(dāng)q=1,則％+M+9(4+3%)=29,類(lèi)似地有方程的解的個(gè)數(shù)為:

綜上，共有485+23=508種不同的方法.

故選：D.

三、解答題

17.己知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，24_L平面ABCf>,PA=AD=I,AB=I.點(diǎn)、

E是線段P￡>的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AC和8E所成角的大??；

（2）直線BE與平面PCD所成角的大小.

【正確答案】（Darccos巫

15

（2）arcsin—

3

【分析】（1）先找出異面直線AC和BE所成角，然后在三角形Fa4中利用余弦定理先求出

角的余弦值，再求角即可；

（2）利用等體積法即匕>一38=KBic。，求出點(diǎn)B到平面PcO的距離，根據(jù)線面角的含義即

可求得答案.

【詳解】（1）取Ef）中點(diǎn)為F,A?？拷?。的四等分點(diǎn)為，，連接30,

取ACBD=O,連接OF,AF,fH,如圖所示：

因?yàn)镕,，分別是PQ,AD的四等分點(diǎn)，則由〃R4,

因?yàn)镻AJL平面A8C3,ADU平面ABCr>,則P4_LAD,

所以FHlAD，

因?yàn)槭?。分別是EO,BO的中點(diǎn)，

所以O(shè)尸〃BE,則異面直線AC和BE所成角即為直線AC和OF所成角,

即為NFQ4或其補(bǔ)角；

因?yàn)锳B=1,BC=AD=2,

所以AO=-AC—??/?2+22=,

222

FH=-PA=-,

42

AO2+OF2-AF2

所以cosZFOA=

IAOOF

因?yàn)楫惷嬷本€AC和BE所成角的范圍為（O,1πj,

故異面直線AC和BE所成角的大小為arccosYm.

15

(2)因?yàn)槭珹_L平面A5CO,ADCZ)U平面ABe￡>,故R4_La>,PAVAD,

故Pf)=JPA：+AQ2=2忘，STOC=∣×2√2×1=√2,

設(shè)B到平面PCo的距離為人，

=r

則KP-BCovB-PCD-BP→→2×l×2=i×λ∕2×Λ,.?.A=√2,

取AO中點(diǎn)為/,連接E∕,B∕,則以〃24,故E/J_平面ABCz）,

8/<=平面438,故EI，BI,

則BI=?∣AB2+AI2=√2，BE=j?-PA+Bl2=√Γ+2=√3.

設(shè)直線BE與平面PC。所成的角為c,ai[0,]],

./7√2√6

埋πilJlsina=——=—τ=?=——,

BE63

即直線與平面Pa）所成的角為arcsin直.

3

18.已知（五+1）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于512.求:

⑴〃的值;

（2）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng);

（3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

【正確答案】（1）"=9

理

嗚

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和2"=512,可解方程求得〃的值；

（2）由二項(xiàng)式定理可得二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，將r=3代入通項(xiàng)中即可得到常數(shù)項(xiàng)；

（3）設(shè)第r+l項(xiàng)的系數(shù)最大，采用不等式法可構(gòu)造不等式組求得『的值，代入通項(xiàng)即可求

得系數(shù)最大的項(xiàng).

【詳解】（1）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,.?.2"=512,解得.〃=9

⑵(6+()=(6展開(kāi)式通項(xiàng)為：&=G(6)-f?l=(；)GX2,

令晝=0,解得：r=3,則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)為7；

（3）設(shè)展開(kāi)式第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,

710

解得：3≤r≤亍

------>----------

9-r2(r+l)

21

又reN,.?∕=3,展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為J；=；.

19.為了解某校高二年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級(jí)組織了一次階段測(cè)試.已知此次

考試共有450名學(xué)生參加，考試成績(jī)的頻率分布直方圖如下.

⑴求。的值；

(2)估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)；

(3)求這次數(shù)學(xué)考試的及格率(不低于60分視作及格).

【正確答案】(1)0.024

(2)67.6

(3)70%

【分析】(1)由頻率分布直方圖小矩形面積之和為1即可計(jì)算：

(2)根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算即可；

(3)用頻率估計(jì)概率即可.

【詳解】(1)由(0.002+0.008+0.02+0.026+α+0.016+0.004)X10=1,

解得α=0.024；

(2)這次數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

35×0.02+45×().08+55×0.2+65×0.26+

75×0.24+85×0.16+95x0.04=67.6；

(3)由頻率分布直方圖得這次數(shù)學(xué)考試的及格率為：

P=I-(0.002+0.008+0.02)X10=70%.

20.一個(gè)袋子中有大小、質(zhì)地都相同僅顏色不同的8個(gè)小球，其中5個(gè)是紅球,3個(gè)是黃球.規(guī)

定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分.現(xiàn)隨機(jī)從袋中摸出3個(gè)球，記這三個(gè)球的

得分之和為隨機(jī)變量X.求：

(I)X的所有可能的取值(直接列出，不需要說(shuō)明理由)；

(2)X的分布；

⑶X的期望E[x]和方差O[x]（結(jié)果保留三位小數(shù)）.

【正確答案】（1）X=3,4,5,6

3456

Q）X

1030151

P

56565656

(3)E(X]=4.125,D[X]≈0.502

【分析】（1）根據(jù)取出小球分類(lèi)即可得到X的值；

（2）根據(jù)離散型分布列的步驟求解即可：

（3）利用方差與期望之間的關(guān)系求解可得.

【詳解】（1）取出的小球有3紅、2紅1黃、1紅2黃、3黃，共4種情況,

所以X=3,4,5,6

（2）因?yàn)镹X=%詈=MP（X=4）=