2023-2024學(xué)年天津市寧河區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市寧河區(qū)高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題（每小題5分，共45分）

X2V2

1.橢圓一+乙=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7,則P點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）

259

A.5B.3C.4D.7

2.已知等差數(shù)列｛α,,｝滿足%+&=18,則其前10項(xiàng)之和為（）

A.90B.180C.99D.81

3.雙曲線或—F=1的漸近線方程是（）

4

A.X±y∕2y=0B.y∕2x±?=0C.X+2y-0D.2x+y—0

4.如圖,在三棱錐P-ZBC中，點(diǎn)N為棱ZP的中點(diǎn),點(diǎn)M在棱BC上,且滿足CA/=25〃，

設(shè)方=1,而=3,定=乙，則礪=（）

D.Q----bH-C

233

5.設(shè)αeR,則“°=一2”是“直線/∕αx+2y-I=O與直線，2：x+（a+l）y-。2=0”

平行的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.即不充分也

不必要條件

6.記等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S4=3,S8=9,則S∣2=（）

A.12B.18C.21D.27

7.已知拋物線的準(zhǔn)線是圓/+/-4=0與圓/+丁2+χ-3=0的公共弦所在的直線，則

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=4xB.y2=-4xC.X2=4yD.x2=-4y

8.在公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，%,4，生依次成等比數(shù)列，前7項(xiàng)和為49,則數(shù)列｛%｝

的通項(xiàng)?！ǖ扔冢ǎ?/p>

A.nB./7+1C.2拉—1D.2〃+1

χ2y2

9.設(shè)片,κ為橢圓G：=+J=I（Q>6>0）與雙曲線G的公共的左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝?/p>

ab

象限內(nèi)交于點(diǎn)M,aMF內(nèi)是以線段孫為底邊的等腰三角形，且IMal=2.若橢圓G的

^34^

離心率e∈，則雙曲線C,離心率取值范圍是（）

L79」2

A.號(hào)印B.[3,+∞）C.（2,4]D.[3,4]

_43_

二、填空題（每小題5分，共計(jì)30分）

10.已知拋物線C:/=2勿（尸〉0）上一點(diǎn)（見8）到其焦點(diǎn)的距離為10.拋物線C的方程

為；準(zhǔn)線方程為.

II.已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,?！?]=1---,則4023=-

Qn

12.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是片,工，過鳥作橢圓長軸的垂線，交橢圓于點(diǎn)P.若AF∣PFz

為等腰直角三角形，則該橢圓的離心率是.

13.數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,若a“=--—,則S2023=__________.

J1n（n+1）

14.在長方體Z6CD—Z4CQ∣中，Z8=4,NO=3,44∣=5,點(diǎn)E為NB的中點(diǎn)，則點(diǎn)

B到平面AEC的距離為.

15.若直線^=2丫+6與曲線歹=3—√4X-X2有公共點(diǎn)，則6的取值范圍是.

三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過

程或演算步驟，請(qǐng)把解題過程寫在答案紙上.）

16.已知圓C的圓心在直線2x—y—2=0上，且與直線/:3x+4y—28=0相切于點(diǎn)

尸(4,4).

(1)求圓C的方程；

(2)求過點(diǎn)0(6,-15)與圓C相切的直線方程.

17.已知｛%｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S,("∈N*),｛4｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比

,

大于O,b2+b3=l2,b3=a4-2a1,5l1=11?4.

(1)求｛%,｝和也｝的通項(xiàng)公式：

(2)求數(shù)歹∣J｛α,也｝的前n項(xiàng)和(n∈N?).

18.如圖，在四棱錐P-NBCO中，底面488是邊長為4的正方形，APAD是等邊三

角形，Cz)，平面尸4。，E,F,G,。分別是尸C,PZ),8C,/。的中點(diǎn).

(I)求證：尸。J.平面488；

(2)求平面EFG與平面/8CZ)的夾角的大??；

(3)線段尸Z上是否存在點(diǎn)"，使得直線GM與平面ERG所成角為一，若存在，求線段

3

RW的長；若不存在，說明理由.

X2/

19.已知點(diǎn)F為橢圓7+Fl(α>b>0)的右焦點(diǎn)，/為橢圓的左頂點(diǎn)，橢圓的離心率

為Y3,連接橢圓的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

2

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)/作斜率為4的直線交橢圓于另一點(diǎn)8,

①求弦?麗的取值范圍；

4√3

②若∣Z8∣==-,求人的值.

20.已知數(shù)列｛q,｝和數(shù)列｛〃,｝,滿足〃”+1-(〃+l)“="(〃+D(〃eN*),且4=1,

（1）證明數(shù)列［%］為等差數(shù)列，并求｛"｝的通項(xiàng)公式;

In.

、…口111111/

(2)證明：一∑-HrHr+…H彳<------------￡N

2v

a1a；a；*39n+3

答案和解析

1-5BADBC；6-9CACD

,c2CC/T202330√469

10.1Ox—8y,y——211.212.?y2—1?3.tz∩-,=------14.----------

2702732024469

15.—2*?∕5-1≤Z?≤3

16.【解】

4

(1)過點(diǎn)尸(4,4)與直線/:3x+4y-28=0垂直的直線機(jī)的斜率為左=§,

4

所以直線機(jī)的方程為y—4=§(x—4),即4x—3y—4=0.

4x-3y-4=0

解得C(1,0).

2x—y—2=O

所以尸二7(4-I)2+(4-O)2=5.

故圓C的方程為：(x-l)2+y2=25?

(2)①若過點(diǎn)。(6,-15)的直線斜率不存在，即直線是x=6,與圓相切，符合題意;

②若過點(diǎn)。(6,-15)的直線斜率存在，設(shè)直線方程為y+15=左(x-6),

即依一、一6左一15二0,

若直線與圓C相切，則有、，6左一151=5,

√F+1

4

解得左=一一.

3

4

此時(shí)直線的方程為—y-7=0,即4x+3y+21=0.

綜上，切線的方程為x=6或4x+3y+21=0.

17.【解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛2,｝的公差為"，等比數(shù)列｛2｝的公比為q?

由已知a+a=12,得α(α+∕)=12,而乙=2,所以d+q-6=0.

又因?yàn)閝〉0,解得q=2.

所以，bn=2".

由4=%-2。］，可得3d-q=8①,

由Su=Il4,可得％+5d=16②，

聯(lián)立①②，解得q=l,d=3,

由此可得%=3〃一2.

所以，｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3〃-2,｛"｝的通項(xiàng)公式為"=2".

(2)設(shè)數(shù)列｛外,也｝的前八項(xiàng)和為Tn,

由cιιι=3/7—2?有=1X2+4X2~+7X23+L+(3〃-2)X2",

2^=1×22+4×23+7×24+L+(3M-5)×2Λ+(3Π-2)×2"+',

上述兩式相減，得一［=1X2+3X22+3X23+L+3X2”-(3〃-2)χ2"∣

12x(1-2"T),,

=2+——^^一(3〃-2)×2,,+l=-(3?-5)2n+2-10.

得看=(3〃—5)2*+10.

所以，數(shù)列｛々/“｝的前〃項(xiàng)和為(3〃-5)2"+2+10.

18.【解】

(1)證明：因?yàn)椤魇琙z)是正三角形，。是力。的中點(diǎn)，所以PO_L/r).

又因?yàn)镃oL平面尸/。,PoU平面尸，所以尸LCO.

ΛD∩CD^D,AD,CZ)U平面ABCD,所以「。，面ABCD.

(2)以。點(diǎn)為原點(diǎn)分別以CM、OG、OP所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.

則

(9(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2√3),F(-l,2,√3)

F(-l,0,√3),^F=(0,-2,0),FG=(l,2,-√3)

?EF-m=0-2y=0

設(shè)平面EFG的法向量為而=(XJ,z),所以《—，即4

?EGm=Qx+2y-GZ=0

令z=l,則比=(√i,0,l)

又平面Z8C3的法向量方=(0,0,1),

?m?n?1

所以IeoS〈沌萬〉I=?

222

I所阿λ∕(√3)+1X1

TT

所以平面EFG與平面ABCD所成角為一.

3

Tl

(3)假設(shè)線段上存在點(diǎn)M,使得直線GM與平面EbG所成角為一，則直線GAl與平

3

Tr

面E/G法向量成所成的夾角為一，

6

設(shè)同7=2萬,4e[0,1],m=Λ(2,0,-2√3),WΛ0,2√3-2√3Λ),

所以的=(2λ,-4,2√3(1-λ)),

TT-----?/?

所以cos—=|CoS〈GM,玩〉∣=—l=，

62√4Λ2-6Λ÷7

整理得4/P—64+7=l,A>0,可知存在.

19.【解】

(1)由e=*=3?,得3α2=4d,

a2

3

再由—力2=/=—/,解得Q=26,

4

由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4可得,x2αX26=4,即=2,

2

a=2b

解方程組1，解得α=2,b=l,

ab=2

所以橢圓的方程為土+V=I；

4-

(2)①由(1)可得c=6,所以根據(jù)題意可得力(一2,0),F(Ji,0),設(shè)點(diǎn)8(再,必)，

則成=(-2-百,0),麗=6,K)

無初=(―2—我(x∣-6)=—(2+底J+(26+3)

由題意得一2<玉<2,所以一1≤-(2+√3)x1+(2√3+3)<7+4√3,

-l≤∕L4?Fβ≤7+4√3,即萬?麗的取值范圍為[-l,7+4√i):

②由①可知Z(-2,0),8(XQJ,

由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為A,則直線/的方程為y=左(x+2),

y=k(x+2)

于是4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組《γ2消去y并整理得

-+y2-I

14?

(1+4/)/+16左2χ+06左2_4)=0,Δ=(16?2)2-4(l+4?2)(16Ar2-4)>0,

16?2-42-8F，2-8左24k

所以一2X1得X]從而y=k+2=

左公i左

1+421+4J+4%2Z1+42

?、22

2-8∕C24√1+k4√3

所以I/81=2

1+4∕C2[l+4k)1+4Λ2~9~

f-J

兩邊平方可得”1+K,=—整理得16r—19左2-26=O,即(左2—2)(1642+13)=0,