第二章 直線和圓的方程 章末測試（提升）（解析版）

直線和圓的方程章末測試（提升）單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)1．（2023山東）過點，且與兩坐標軸同時相切的圓的方程是（

）A．或B．C．D．【答案】A【解析】由題意可得，圓心到兩坐標軸的距離相等，且為半徑，所以圓心一定在直線或上；當圓心在上時，不妨設(shè)圓心坐標為，半徑為，則，且圓心到的距離為，即解得或，所以圓心為時，半徑，圓的方程為；圓心為時，半徑為，圓的方程為；當圓心在上時，不妨設(shè)圓心坐標為，半徑為，且，即，此時方程無解；所以圓的方程為或.如下圖所示：

故選：A2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）若兩條直線：，：與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由題意直線平行，且與圓的四個交點構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.3．（2022·高二課時練習）已知從點發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點的坐標為，圓的圓心坐標為，設(shè)是x軸上一點，因為反射光線恰好平分圓的圓周，所以反射光線經(jīng)過點，由反射的性質(zhì)可知：，于是，所以反射光線所在的直線方程為：，故選：A.4．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】設(shè)，因為，所以，因為，所以相當于圓上的點到點距離，所以的最大值為圓心到點距離與圓的半徑的和，即.故選：C.

5．（2023春·河南漯河·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點為直線上任意一點，過點作圓的切線，切點分別為，則直線必過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，，

根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，則，由于為圓的切線，則有，，則點、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為,，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立可得直線AB：，又由，則有AB：，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點.故選：B.6．（2023·湖南益陽·安化縣第二中學?？既＃┲本€與曲線恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【解析】是斜率為的直線，曲線是以原點為圓心為半徑的圓的右半圓，畫出它們的圖象如圖，當直線與圓相切時，（舍去），當直線過時，,由圖可以看出：當時，直線與半圓有兩個公共點，故選：

7．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學?？奸_學考試）若M、N為圓上任意兩點，P為直線上一個動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，設(shè)PA、PB是過點P圓的兩切線，且A、B為切點，如圖，顯然，當PM，PN為兩切線時取等號；因為PA、PB是過點P圓的兩切線，所以，，由圓的對稱性易得，顯然是銳角，在中，，又，所以，所以，∴．故選：B．.8．（2023·全國·高三專題練習）已知，點P為直線上的一點，點Q為圓上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，令，則，則M.如圖，當三點共線時，且垂直于直線時，有最小值，為，即直線到點M距離，為.故選：D二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022·高二課時練習）設(shè)有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點C．經(jīng)過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為【答案】ABD【解析】A選項，圓心為，一定在直線上，A正確；B選項，將代入得：，其中，方程無解，即所有圓均不經(jīng)過點，B正確；C選項，將代入得：，其中，故經(jīng)過點的圓有兩個，故C錯誤；D選項，所有圓的半徑為2，面積為，故D正確.故選：ABD.10．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線經(jīng)過原點，則B．若直線在兩坐標軸上的截距之和為0，且，則C．若直線與圓相切，則D．若直線是圓與圓的公共弦所在直線，則【答案】BC【解析】直線，對于A，直線經(jīng)過原點，則，即，故A錯誤；對于B，設(shè)直線在軸上的截距分別為，即直線過，且，則且，又，則且，則，則，故B正確；圓的圓心，半徑為，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，則，則，故C正確；圓與圓的公共弦所在直線為，即，直線，由題意，兩線重合，則，得，又，即，解得，故D錯誤.故選：BC.11．（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點為圓上一動點，為坐標原點，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．直線的斜率范圍為D．以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，又，所以，即點在圓外，所以，故A正確；，當且僅當在線段與圓的交點時取等號，故B錯誤；設(shè)直線，根據(jù)題意可得點到直線的距離，解得，故C正確；設(shè)的中點為，則，又，所以以為直徑圓的方程，顯然圓與圓相交，所以公共弦方程為，故D錯誤．

故選：AC．12．（2023春·甘肅慶陽·高二校考期末）點P在圓上，點Q在圓上，則（

）A．的最小值為2B．的最大值為7C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓相交弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】由已知，半徑為，圓的標準方程為，故，半徑，∴圓心距，又在圓上，在圓上，則的最小值為，最大值為，故A錯誤、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯誤.故選：BC.

三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2023福建）已知圓：，過點的直線與圓交于點，，線段的中點為，則點的軌跡方程為.【答案】【解析】由圓：方程變形為標準式，進而得出，所以點在圓內(nèi)部，又因為為線段的中點，連接，由垂徑定理得，設(shè)點的坐標，得，，所以，得，整理得，所以點的軌跡方程為，故答案為：

14．（2023春·重慶沙坪壩）已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為B，設(shè)B坐標為，則，解得，故B，因為，可得，當P，B，A三點共線，即P點為時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.15．（2023春·廣東陽江·高二統(tǒng)考期末）已知圓，過點的直線被該圓所截的弦長的最小值為.【答案】【解析】將圓的一般方程化為設(shè)圓心為，直線過點，與圓交于，兩點，則，半徑，

設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，當直線與所在的直線垂直時最大，此時最小，這時，所以最小的弦長，故答案為：.16．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學?？茧A段練習）經(jīng)過點的直線l與圓交與P，Q兩點，如果，則直線l的方程為．【答案】或【解析】圓的圓心，半徑，因為圓截直線所得弦長為，則圓到直線的距離，因為直線過點，則當直線斜率不存在時，直線，顯然圓心到直線距離為1，因此直線：符合題意；當直線斜率存在時，設(shè)其方程為，即，于是，解得，方程為，所以直線l的方程為或.故答案為：或

四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓，直線.(1)證明：直線和圓恒有兩個交點；(2)若直線和圓交于兩點，求的最小值及此時直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時直線方程為【解析】（1）直線，即，聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過定點.圓，圓心坐標為，半徑，因為，所以點在圓內(nèi)部，則直線與圓恒有兩個交點.（2）直線經(jīng)過圓內(nèi)定點，圓心，記圓心到直線的距離為d.因為，所以當d最大時，取得最小值，所以當直線時，被圓截得的弦最短，此時，因為，所以直線的斜率為，又直線過點，所以當取得最小值時，直線的方程為，即，綜上：最小值為，此時直線方程為.

18．（2023春·江蘇揚州·高二江蘇省江都中學?？奸_學考試）在平面直角坐標系中，圓C的方程為，．(1)當時，過原點O作直線l與圓C相切，求直線l的方程；(2)對于，若圓C上存在點M，使，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【解析】（1）當時，圓C的方程為，圓心，半徑，①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，滿足條件；②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由直線l與圓C相切，則，解得，所以l的方程為，即，綜上得，直線l的方程為或；（2）圓心，，則線段的中垂線的方程為，即，要使得，則M在線段的中垂線上，所以存在點M既要在上，又要在圓C上，所以直線與圓C有公共點，所以，解得，所以．

19．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）已知圓過兩點，，且圓心P在直線上．(1)求圓P的方程；(2)過點的直線交圓于兩點，當時，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）依題意圓心P在直線上，可設(shè)圓P的方程為，因為圓P過兩點，，所以，解得，所以圓P的方程為.（2）由（1）可知，圓心，半徑，當直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到直線的距離為1，此時滿足題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，當時，圓心到直線的距離，即有，解得，此時直線的方程為，即為.綜上，直線的方程為或.20．（2022秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學?？茧A段練習）已知直線的方程為，若在軸上的截距為，且．(1)求直線和的交點坐標；(2)已知直線經(jīng)過與的交點，且在軸上截距是在軸上的截距的2倍，求的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）由直線的方程為，，可得直線的斜率為2，又在軸上的截距為，即過點，所以直線方程：，即，聯(lián)立方程，得：，故交點為；（2）依據(jù)題意直線在軸上截距是在軸上的截距的2倍，且直線經(jīng)過與的交點當直線過原點時，方程為：，當直線不過原點時，設(shè)方程為，則，解得，故方程為：，即綜上所述：的方程為或.21．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考階段練習）已知圓(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線方程；(2)從圓C外一點向該圓引一條切線，切點為M，且有為坐標原點，點P的軌跡方程.【答案】(1)或或；(2)【解析】（1）圓的圓心為，半徑為2，①設(shè)圓C的切線在x軸、y軸上的截距