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第一章空間向量與立體幾何(壓軸題專練)一、單選題1.在長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)P在底面ABCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足,則下列結(jié)論不正確的是(
)A.若點(diǎn)M滿足,則B.點(diǎn)P到平面的距離范圍為C.若點(diǎn)M滿足,則不存在點(diǎn)P使得D.當(dāng)BP=3時(shí),四面體的外接球體積為【答案】C【分析】對(duì)于A,根據(jù)題意找到點(diǎn)M,結(jié)合P的所在區(qū)域直接求解;對(duì)于B,根據(jù)點(diǎn)面距離的解法找出最值臨界情況進(jìn)而得到范圍;對(duì)于C,找出一個(gè)點(diǎn)使得即可判斷;對(duì)于D,BP=3時(shí),P與F重合,根據(jù)相關(guān)的垂直關(guān)系,放入長(zhǎng)方體即可求解.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),MP與底面ABCD所成的角,又點(diǎn)P所在區(qū)域?yàn)橐訟為圓心,1為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)部部分(包含邊界弧長(zhǎng)),所以,故A正確;對(duì)于B,設(shè),E、F分別在AD、AB上,當(dāng)點(diǎn)P位于AE上時(shí),此時(shí)點(diǎn)P到平面的距離最大,最大距離,當(dāng)P與點(diǎn)F重合時(shí),此時(shí)點(diǎn)P到平面的距離最小,最小距離為FK,因?yàn)?,所以,所以,故點(diǎn)P到平面的距離取值范圍為,故B正確;對(duì)于C,不妨設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合,此時(shí),,,由余弦定理得,則,故存在點(diǎn)P使得,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)BP=3時(shí),P與F重合,放入長(zhǎng)、寬、高分別為3,4,3的長(zhǎng)方體,則四面體的外接球半徑為,所以外接球體積為,故D正確.
故選:C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查立體幾何的綜合問題.要善于通過觀察幾何圖形求解答案,通過定義法求解點(diǎn)面距離,通過余弦定理等求角,通過補(bǔ)形法求解外接球半徑.2.如圖,已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為4和6,側(cè)棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界),且AP與平面所成角的正切值為,則所有滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】先將正三棱臺(tái)側(cè)棱延長(zhǎng)補(bǔ)成正三棱錐,求出點(diǎn)到平面的距離即可確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,進(jìn)而可得出答案.【詳解】依題意,延長(zhǎng)正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn),取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則有,所以的延長(zhǎng)線必過點(diǎn)且,過點(diǎn)作,則四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,如圖所示:
在中,,即,解得,所以,所以為邊長(zhǎng)為6等邊三角形,所以,,所以,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的等邊三角形且為中點(diǎn),所以,,在中,由余弦定理變形得,,在中,由余弦定理變形得,,解得,所以,所以,由平面,可得平面,又平面,所以,由,,,平面,可得平面,因?yàn)锳P與平面所成角的正切值為,所以,解得,,所以點(diǎn)在平面的軌跡為以為原點(diǎn)的圓被四邊形所截的弧,設(shè)的長(zhǎng)度為,則,所以所有滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:將正三棱臺(tái)側(cè)棱延長(zhǎng)補(bǔ)成正三棱錐,求出點(diǎn)到平面的距離即可確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,是解決本題的關(guān)鍵.3.如圖,棱長(zhǎng)為2的正方體中,P為線段上動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)).①三棱錐中,點(diǎn)P到面的距離為定值②過點(diǎn)P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為③直線與面所成角的正弦值的范圍為④當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí),三棱錐的外接球表面積為以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,對(duì)于①③用空間向量求解;對(duì)于②可證明三角形為截面多邊形,求其面積即可;對(duì)于④設(shè)球心,由求解球心坐標(biāo)即可.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為軸建系如圖:,,,設(shè),則,所以設(shè)面的一個(gè)法向量為,則令得,對(duì)于①:到平面的距離為,故①正確;對(duì)于②:連接,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,,又面,面,面,同理可證面,又,所以面面,所以過點(diǎn)P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形為,它是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,故面積為,故②正確;對(duì)于③:設(shè)直線與面所成角為,則,,,所以直線與面所成角的正弦值的范圍為,故③正確;對(duì)于④:當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí),設(shè)三棱錐的外接球球心,,,解得,所以外接球半徑滿足:,三棱錐的外接球表面積為,故④正確;綜上:①②③④均正確.故選:D【點(diǎn)睛】幾何體外接球球心的求法:(1)將幾何體置入長(zhǎng)方體中找球心;(2)利用幾何法找到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)即為球心;(3)設(shè)球心坐標(biāo),根據(jù)到各頂點(diǎn)的距離相等解方程組得到球心坐標(biāo).4.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美,寓意獨(dú)特的幾何體,圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體,其中上、下底面為全等的正方形,所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長(zhǎng)方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體.已知,,,過直線作平面,則十面體外接球被平面所截的截面圓面積的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)給定的幾何體,確定出球心O的位置,求出球半徑,再建立空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)O到直線距離,進(jìn)而求出最小截面圓半徑作答.【詳解】依題意,四邊形是正方形,令正方形與正方形中心分別為,連接,因?yàn)檎叫闻c正方形在同一平面內(nèi),且有相同中心,因此它們有相同的外接圓,從而十面體與長(zhǎng)方體的外接球相同,球心O是線段的中點(diǎn),如圖,取中點(diǎn)M,連接,因?yàn)?,則,顯然,又平面,則平面,而平面,平面,即有,平面,則平面,平面與平面有公共點(diǎn),顯然平面與平面為同一平面,有,而,,在直角梯形中,過作于I,,球O的半徑,過D作平面,以點(diǎn)D為原點(diǎn),射線分別為軸非負(fù)半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,由已知得,即,,,則點(diǎn)到直線的距離有:,球O被過直線的平面所截的截面圓最小時(shí),球心O到平面的距離最大,即為點(diǎn)到直線的距離,截得的最小截面圓半徑為,而,則,所以截得的截面圓面積的最小值是.故選:C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí),關(guān)鍵是確定球心的位置,再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.5.如圖,在正方體中,在棱上,,平行于的直線在正方形內(nèi),點(diǎn)到直線的距離記為,記二面角為為,已知初始狀態(tài)下,,則(
)A.當(dāng)增大時(shí),先增大后減小 B.當(dāng)增大時(shí),先減小后增大C.當(dāng)增大時(shí),先增大后減小 D.當(dāng)增大時(shí),先減小后增大【答案】C【分析】由題設(shè),以為原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出面的法向量與面的法向量為的夾角,對(duì)于AB,令,則,分析函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷;對(duì)于CD,令時(shí),化簡(jiǎn)整理得到,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷余弦函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得解.【詳解】由題設(shè),以為原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,設(shè)直線與交于,則,則,,,設(shè)平面的法向量為,,,令,則設(shè)平面的法向量為,又,,令,則利用空間向量夾角公式得對(duì)于AB,令,則顯然函數(shù)在時(shí)為減函數(shù),即減小,則增大,故AB錯(cuò)誤;對(duì)于CD,當(dāng)時(shí),則令,求導(dǎo),令,得故當(dāng)時(shí),,函數(shù)單減,即單減,增大;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單增,即單增,減??;故當(dāng)增大時(shí),先增大后減小故選:C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題考查面面角的求法,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即余弦函數(shù)的性質(zhì),利用空間向量求立體幾何常考查的夾角:設(shè)直線的方向向量分別為,平面的法向量分別為,則①兩直線所成的角為(),;②直線與平面所成的角為(),;③二面角的大小為(),6.在棱長(zhǎng)為3的正方體中,為棱的中點(diǎn),為線段上的點(diǎn),且,若點(diǎn)分別是線段,上的動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】連接,易知為線段與的交點(diǎn),即為線段上靠近D的三等分點(diǎn),將周長(zhǎng)的最小值問題轉(zhuǎn)化到平面上幾何知識(shí)連接兩點(diǎn)間的線中線段最短與平面幾何中對(duì)稱問題處理,最后由余弦定理求得的長(zhǎng)度即可.【詳解】連接,易知為線段與的交點(diǎn),即為線段上的點(diǎn),由勾股定理可知,則,分別作點(diǎn)關(guān)于線段,的對(duì)稱點(diǎn),,且由對(duì)稱關(guān)系有垂直關(guān)系且顯然為等邊三角形,即,由等邊三角形對(duì)稱問題可求得,據(jù)余弦定理得,由平面幾何知識(shí)連接兩點(diǎn)間的線中線段最短,得周長(zhǎng)的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查空間中三角形周長(zhǎng)的最值,涉及空間中直線與對(duì)稱點(diǎn)的算法,屬于難題.7.如圖,在圓錐中,,是上的動(dòng)點(diǎn),是的直徑,,是的兩個(gè)三等分點(diǎn),,記二面角,的平面角分別為,,若,則的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè)底面圓的半徑為,,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角與夾角的余弦值.結(jié)合即可求得的取值范圍,即可得的最大值.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為,,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則由可得,,是的兩個(gè)三等分點(diǎn)則所以設(shè)平面的法向量為則,代入可得化簡(jiǎn)可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知,二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿足設(shè)二面角的法向量為則代入可得化簡(jiǎn)可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知,二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿足由二面角的范圍可知結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知即化簡(jiǎn)可得,且所以所以的最大值是故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量,即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜,屬于難題.二、多選題8.如圖,在棱長(zhǎng)為6的正方體中,分別為的中點(diǎn),點(diǎn)是正方形面內(nèi)(包含邊界)動(dòng)點(diǎn),則(
)
A.與所成角為B.平面截正方體所得截面的面積為C.平面D.若,則三棱錐的體積最大值是【答案】BCD【分析】A選項(xiàng),如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量可判斷選項(xiàng);做出截面求得截面面積可判斷B;利用線線平行可得線面平行判斷C,求得P的軌跡方程可求得三棱錐的體積最大值判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,,∴,,,對(duì)A選項(xiàng),,則直線與所成角為,故A錯(cuò)誤;對(duì)B選項(xiàng),由平面在兩平行平面上的交線互相平行,取的中點(diǎn)的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,延長(zhǎng)一定與交于一點(diǎn),所以四點(diǎn)共面,同理可證四點(diǎn)共面,則過點(diǎn)作正方體的截面,截面為正六邊形,邊長(zhǎng)為,則正六邊形的面積為,故B正確.由正方體,可得,∵分別為的中點(diǎn),∴,∴平面平面,∴平面,故C正確;如圖,面,又面,故,同理,
又,根據(jù)題意可得,設(shè),又,∴,整理得,∴在正方形面內(nèi)(包括邊界),是以為圓心,半徑的圓上的點(diǎn),
令,可得,∴當(dāng)為圓與線段的交點(diǎn)時(shí),到底面的距離最大,最大距離為,∴三棱錐的體積最大值是,故D正確.故選:BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,用向量的方法研究點(diǎn)線面的位置關(guān)系及數(shù)量計(jì)算.9.如圖,圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為是底面直徑,點(diǎn)在圓上且,點(diǎn)在母線,點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則(
)A.存在唯一的點(diǎn),使得B.若,則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為4C.若,則四面體的外接球的表面積為D.若,則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)A:作E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,利用對(duì)稱性與三點(diǎn)共線距離最短求解;對(duì)選項(xiàng)BD:建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)F滿足的條件判斷其軌跡,求其長(zhǎng)度;對(duì)選項(xiàng)C:證明AE中點(diǎn)Q為四面體的外接球的球心即可.【詳解】設(shè)E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,則,所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),故存在唯一的點(diǎn),使得,故A正確;由題意知,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則設(shè),則,對(duì)選項(xiàng)B:當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為上底面圓的一條弦MN,到MN的距離為1,所以,故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為,所以B錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng)D:當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,其軌跡長(zhǎng)為,故D正確;對(duì)選項(xiàng)C:在中,,為直角三角形,其外心為與的交點(diǎn),且,而所以,所以Q為四面體的外接球的球心,球半徑為,所以球的表面積為,故C正確.故選:ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對(duì)立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題采用幾何法分析難度時(shí)可以用坐標(biāo)法去研究,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程可以方便的判斷出軌跡的形狀,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界),則(
)A.存在點(diǎn)P,使得B.若,則的最小值為C.若,則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為D.若,直線與直線所成角的余弦值的最大值為【答案】BD【分析】A選項(xiàng),建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判定即可;B選項(xiàng),找出動(dòng)點(diǎn)在正方體底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡,利用點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值求解即可;C選項(xiàng),根據(jù)立體幾何中線面垂直推出線線垂直,可找出動(dòng)點(diǎn)在正方體底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段,即可求解;D選項(xiàng):建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,利用可得出點(diǎn),再利用空間向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):如圖1,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,則,,若,則,解得,不合題意,錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng):如圖2,若,連接,則點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,此時(shí)點(diǎn)的軌跡為,又,,,,故正確;對(duì)于C選項(xiàng):如圖3,連接,,,,,為正方形,則,又平面,平面,,,平面,平面,平面,,同理可證:,又,平面,平面,平面平面,故點(diǎn)在正方體底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段,又正方體的棱長(zhǎng)為2,,故錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng):如圖4,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,連接,,,,則,,,,設(shè),,則,,當(dāng),有,則,此時(shí),又,,當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí),故正確.故答案選:BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:立體幾何中線面垂直的判定定理,動(dòng)點(diǎn)在立體幾何中的軌跡問題,以及利用空間向量法解決立體幾何的問題,屬于難題.11.在正方體中,,點(diǎn)P滿足,其中,則下列結(jié)論正確的是(
)A.當(dāng)平面時(shí),與所成夾角可能為B.當(dāng)時(shí),的最小值為C.若與平面所成角為,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)時(shí),正方體經(jīng)過點(diǎn)?P?C的截面面積的取值范圍為【答案】AC【分析】A選項(xiàng),建立空間直角坐標(biāo)系,得到,求出平面的一個(gè)法向量,由,求出,再根據(jù)列出方程,求出或1,得到A正確;B選項(xiàng),先根據(jù),得到點(diǎn)在棱上,將平面與平面沿著展成平面圖形,結(jié)合余弦定理求出答案;C選項(xiàng),先得到為與平面所成角,根據(jù)所成角的大小得到,從而得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心,以1為半徑的個(gè)圓,求出軌跡長(zhǎng)度;D選項(xiàng),先確定點(diǎn)在上,作出輔助線得到平行四邊形即為正方體過點(diǎn)?P?C的截面,設(shè),求出點(diǎn)到直線的距離,配方后得到其最大值與最小值,從而得到截面的最大值與最小值,得到取值范圍.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,所以,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,令,則,即平面的一個(gè)法向量為,若平面,則,即,故,故,其中,令,解得:或1,故與可能是,A正確;B選項(xiàng),因?yàn)椋庶c(diǎn)在棱上,如圖,將平面與平面沿著展成平面圖形,線段即為的最小值,利用余弦定理可得:,所以,B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),因?yàn)椤推矫?,連接,則即為與平面所成角,若與平面所成角為,則,所以,即點(diǎn)的軌跡是以為圓心,以1為半徑的個(gè)圓,于是點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為,C正確;D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),點(diǎn)在上,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,則,所以平行四邊形即為正方體過點(diǎn)?P?C的截面,設(shè),所以,則,,所以點(diǎn)到直線的距離為,于是當(dāng)時(shí),,的面積取得最小值,此時(shí)截面面積最小為,當(dāng)或1時(shí),,的面積取得最大值,此時(shí)截面面積最大為,故截面面積的取值范圍為,D錯(cuò)誤.故選:AC【點(diǎn)睛】立體幾何中截面的處理思路:(1)直接連接法:有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上,連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線,找截面就是找交線的過程;(2)作平行線法:過直線與直線外一點(diǎn)作截面,若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行,可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線;(3)作延長(zhǎng)線找交點(diǎn)法:若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn),可通過作延長(zhǎng)線的方法先找到交點(diǎn),然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線;(4)輔助平面法:若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中,則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.12.如圖,點(diǎn)是正四面體底面的中心,過點(diǎn)且平行于平面的直線分別交,于點(diǎn),,是棱上的點(diǎn),平面與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),則(
)A.若平面,則B.存在點(diǎn)與直線,使C.存在點(diǎn)與直線,使平面D.【答案】ACD【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可判斷A;由空間向量數(shù)量積可判斷B;當(dāng)直線平行于直線,時(shí),通過線面垂直的判定定理可判斷C,由共面向量定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A,平面,平面與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),平面平面,又平面,平面,,點(diǎn)在面上,過點(diǎn)的直線交,于點(diǎn),,平面,又平面,平面平面,,,故A正確;對(duì)于B,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)直線平行于直線,為線段上靠近的三等分點(diǎn),即,此時(shí)平面,以下給出證明:在正四面體中,設(shè)各棱長(zhǎng)為,,,,均為正三角形,點(diǎn)為的中心,,由正三角形中的性質(zhì),易得,在中,,,,由余弦定理得,,,則,同理,,又,平面,平面,平面,存在點(diǎn)S與直線MN,使平面,故C正確;對(duì)于D,設(shè)為的中點(diǎn),則,又∵,,三點(diǎn)共線,∴,∵,,三點(diǎn)共線,∴,∵,,三點(diǎn)共線,∴,設(shè),,,則,∵,,,四點(diǎn)共面,∴,又∵,∴,∴,即,故D正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理,考查了空間向量數(shù)量積和共面向量定理,解題的關(guān)鍵是熟悉利用空間向量的共面定理,考查了轉(zhuǎn)化能力與探究能力,屬于難題.三、填空題13.斜三棱柱中,平面平面,若,,,在三棱柱內(nèi)放置兩個(gè)半徑相等的球,使這兩個(gè)球相切,且每個(gè)球都與三棱柱的三個(gè)側(cè)面及一個(gè)底面相切,則三棱柱的高為.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件,探求兩個(gè)球的球心在平面上的投影確定的直線平行于直線,再建立空間直角坐標(biāo)系,求出球的半徑即可作答.【詳解】在斜三棱柱中,與平面相切的球的球心為,與平面相切的球的球心為,因?yàn)榍?、球與平面都相切,令切點(diǎn)分別這,有,又球、球與平面都相切,則平面,又平面,于是平面,而平面,平面平面,因此,且,在平面內(nèi)過點(diǎn)作,在平面過點(diǎn)作,因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,則平面,以點(diǎn)作原點(diǎn),射線的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
在中,,,則,的方向向量,的方向向量,由,得的方向向量,設(shè)平面的法向量,則,令,得,設(shè)平面的法向量,則,令,得,令球的半徑為,設(shè)點(diǎn),則,由,得,顯然點(diǎn)到平面的距離等于等腰底邊上的高,即有,由,得,代入,解得,,線段在軸上的投影為,顯然三棱柱的高等于點(diǎn)到平面的距離,到平面的距離與在軸上的投影的和,所以三棱柱的高為.故答案為:【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求點(diǎn)到平面的距離可以利用幾何法,作出點(diǎn)到平面的垂線段求解;也可以用向量法,求出平面的法向量,再求出這一點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)確定的向量在法向量的投影即可.14.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,四面體ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,.則該四面體外接球的表面積是.【答案】/【分析】根據(jù)題意,畫出圖形,作出輔助線,找到球心,利用半徑列出方程,求出半徑,進(jìn)而去除四面體外接球的表面積.【詳解】如圖所示,設(shè)長(zhǎng)方體底面四邊形為正方形,邊長(zhǎng)為2,高為3,根據(jù)圖形得到為直角三角形,AC⊥CD,所以四面體外接球的球心在平面ADC上的投影為斜邊AD的中點(diǎn)M,其中,設(shè)外接球球心為N,則MN⊥平面ADC,過點(diǎn)B作BH⊥平面ADC,垂足為H,則HMx軸,且HM=1過點(diǎn)N作NFHM,交BH于點(diǎn)F,則NF=HM=1,設(shè)外接球半徑為r,連接NB,NA,則NB=NA=r,設(shè)MN=x,則HF=x,所以BF=3-x,由勾股定理得:,,所以,解得:,所以,所以該四面體外接球的表面積為
故答案為:【點(diǎn)睛】對(duì)于立體幾何的外接球問題,通常處理方法為,找到球心在某個(gè)特殊平面上的投影,進(jìn)而找到球心的位置,設(shè)出未知數(shù),根據(jù)半徑相等列出方程,求出半徑,從而求出表面積或體積.15.在正三棱柱中,,點(diǎn)P滿足,其中,,則下列說法中,正確的有(請(qǐng)?zhí)钊胨姓_說法的序號(hào))①當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)為定值②當(dāng)時(shí),三棱錐的體積為定值③當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得④當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得平面【答案】②④【分析】①結(jié)合得到P在線段上,結(jié)合圖形可知不同位置下周長(zhǎng)不同;②由線面平行得到點(diǎn)到平面距離不變,故體積為定值;③結(jié)合圖形得到不同位置下有,判斷出③錯(cuò)誤;④結(jié)合圖形得到有唯一的點(diǎn)P,使得線面垂直.【詳解】由題意得:,,,所以P為正方形內(nèi)一點(diǎn),①,當(dāng)時(shí),,即,,所以P在線段上,所以周長(zhǎng)為,如圖1所示,當(dāng)點(diǎn)P在處時(shí),,故①錯(cuò)誤;②,如圖2,當(dāng)時(shí),即,即,,所以P在上,,因?yàn)椤蜝C,平面,平面,所以點(diǎn)P到平面距離不變,即h不變,故②正確;③,當(dāng)時(shí),即,如圖3,M為中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn),P是MN上一動(dòng)點(diǎn),易知當(dāng)時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí),由于△ABC為等邊三角形,N為BC中點(diǎn),所以AN⊥BC,又⊥BC,,所以BN⊥平面,因?yàn)槠矫?,則,當(dāng)時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),可證明出⊥平面,而平面,則,即,故③錯(cuò)誤;④,當(dāng)時(shí),即,如圖4所示,D為的中點(diǎn),E為的中點(diǎn),則P為DE上一動(dòng)點(diǎn),易知,若平面,只需即可,取的中點(diǎn)F,連接,又因?yàn)槠矫?,所以,若,只需平面,即即可,如圖5,易知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí),故只有一個(gè)點(diǎn)P符合要求,使得平面,故④正確.故選:②④【點(diǎn)睛】立體幾何的壓軸題,通常情況下要畫出圖形,利用線面平行,線面垂直及特殊點(diǎn),特殊值進(jìn)行排除選項(xiàng),或者用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化等思路進(jìn)行解決.16.正方體的棱長(zhǎng)為,平面,平面,則正方體在平面內(nèi)的正投影面積為.【答案】【分析】由題設(shè)知:面面,且正方體在平面內(nèi)的正投影面積為菱形面積與△、△、△、△在平面上的投影面積之和,構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,應(yīng)用向量法求△、△、△、△與面的夾角余弦值,進(jìn)而求它們?cè)诿嫔系耐队懊娣e,即可求正方體在平面內(nèi)的正投影面積.【詳解】∵平面,平面,知:面面.∴正方體在平面內(nèi)的正投影面積為如上圖所示的菱形面積與△、△、△、△在平面上的投影面積之和,又正方體的棱長(zhǎng)為,則,可構(gòu)造如下圖示,空間直角坐標(biāo)系:∴,則有,若面的一個(gè)法向量為,則,可得,而面面,它們的一個(gè)法向量為,∴,即面與面、面夾角余弦值為.同理,面面,它們的一個(gè)法向量為,∴,即面與面、面夾角余弦值為.∵△、△、△、△的面積均為,∴正方體在平面內(nèi)的正投影的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù)正方體的性質(zhì),結(jié)合正投影的定義可知正方體在平面內(nèi)的正投影面積為如上圖所示的菱形面積與△、△、△、△在平面上的投影面積之和,應(yīng)用向量法求各面與面的夾角,進(jìn)而求投影面積.四、解答題17.我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.如圖,在菱形中,,將沿翻折,使點(diǎn)A到點(diǎn)P處.E,F(xiàn),G分別為,,的中點(diǎn),且是與的公垂線.
(1)證明:三棱錐為正四面體;(2)若點(diǎn)M,N分別在,上,且為與的公垂線.①求的值;②記四面體的內(nèi)切球半徑為r,證明:.【答案】(1)證明過程見解析(2)①10,②證明過程見解析【分析】(1)作出輔助線,證明出線面垂直,得到⊥,由三線合一得到,進(jìn)而得到六條邊均相等,證明出結(jié)論;(2)①設(shè)出邊長(zhǎng),由余弦定理得到,設(shè)出,表達(dá)出,利用列出方程,求出,得到答案;②取中點(diǎn),令,則到平面的距離為,表達(dá)出,再利用四棱錐內(nèi)切球半徑得到,其中,進(jìn)而得到不等式,求出答案.【詳解】(1)連接,因?yàn)榱庑沃?,,所以和為等邊三角形,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以⊥,因?yàn)槭桥c的公垂線,所以⊥,因?yàn)椋移矫?,所以⊥平面,因?yàn)槠矫?,所以⊥,由三線合一得,又,所以三棱錐為正四面體,
(2)不妨設(shè),則,,由余弦定理得,設(shè),所以,因?yàn)?,所以,故,其中,,,即,解得,故?/p>
②取中點(diǎn),令,則到平面的距離為,,
設(shè)四面體的表面積為S,則,其中,而,,所以,即.【點(diǎn)睛】在解決平面圖形的翻折問題時(shí),應(yīng)找出其中變化的量和沒有變化的量,包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化,不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)生變化,解題時(shí)應(yīng)抓住不變量,利用解三角形知識(shí)或建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.18.如圖①所示,長(zhǎng)方形中,,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),將沿翻折到,連接,,得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值;(2)若棱的中點(diǎn)為,求的長(zhǎng);(3)設(shè)的大小為,若,求平面和平面夾角余弦值的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)作出輔助線,得到當(dāng)平面⊥平面時(shí),P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大,四棱錐的體積取得最大值,求出,從而得到體積最大值;(2)作出輔助線,證明出四邊形CNQM為平行四邊形,從而得到;(3)作出輔助線,得到∠PGD為的平面角,即,建立空間直角坐標(biāo)系,用含的關(guān)系式表達(dá)出平面PAM和平面PBC的法向量,利用空間向量夾角余弦公式得到,結(jié)合的取值范圍求出余弦值的最小值【詳解】(1)取AM的中點(diǎn)G,連接PG,因?yàn)镻A=PM,則PG⊥AM,當(dāng)平面⊥平面時(shí),P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大,四棱錐的體積取得最大值,此時(shí)PG⊥平面,且,底面為梯形,面積為,則四棱錐的體積最大值為(2)取AP中點(diǎn)Q,連接NQ,MQ,則因?yàn)镹為PB中點(diǎn),所以NQ為△PAB的中位線,所以NQ∥AB且,因?yàn)镸為CD的中點(diǎn),四邊形ABCD為矩形,所以CM∥AB且,所以CM∥NQ且CM=NQ,故四邊形CNQM為平行四邊形,所以.(3)連接DG,因?yàn)镈A=DM,所以DG⊥AM,所以∠PGD為的平面角,即,過點(diǎn)D作DZ⊥平面ABCD,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DZ所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,過P作PH⊥DG于點(diǎn)H,由題意得PH⊥平面ABCM,設(shè),因?yàn)椋?,所以,所以,所以,設(shè)平面PAM的法向量為,則,令,則,設(shè)平面PBC的法向量為,因?yàn)椋瑒t令,可得:,設(shè)兩平面夾角為,則令,,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),有最小值,所以平面和平面夾角余弦值的最小值為【點(diǎn)睛】求解二面角的大小或最值,利用空間向量求解,可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,簡(jiǎn)潔明了,事半功倍.19.如圖,在三棱錐中,,,記二面角的平面角為.(1)若,,求三棱錐的體積;(2)若M為BC的中點(diǎn),
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