高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用】十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（解析版）

高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第五章十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）【人教A版（2019）】題型1題型1變化率問(wèn)題1．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┤艉瘮?shù)f(x)=x2+x，則函數(shù)f(x)從x=-A．6 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據(jù)條件，直接求出f(-1)=0，f(3)=12，再利用平均變化率的定義即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=x2+x，所以f(-1)=故函數(shù)f(x)從x=-1到x=3故選：B.2．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）如果質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的位移S（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）之間的函數(shù)關(guān)系為st=2t，那么該質(zhì)點(diǎn)在t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為：（A．23 B．-23 C．2【解題思路】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可.【解答過(guò)程】Δs所以limΔ故選：D.3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）某賽車比賽中，一賽車的位移s（單位：m）與比賽時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系s=10t+5t(1)當(dāng)t=20，Δt=0.1時(shí)，求Δs與(2)求當(dāng)t=20時(shí)的瞬時(shí)速度.【解題思路】（1）代入計(jì)算出Δs=21.05，進(jìn)而計(jì)算出Δ（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到ΔsΔt=210+5【解答過(guò)程】（1）Δ=10Δs（2）由（1）可知Δs當(dāng)Δt趨于0時(shí)，ΔsΔ所以賽車在t=20時(shí)的瞬時(shí)速度為210m/s.4．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知函數(shù)y=fx(1)當(dāng)x從1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？(2)當(dāng)x從-1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？(3)該函數(shù)變化的快慢有何特點(diǎn)？求該函數(shù)在x=1，x=3處的瞬時(shí)變化率．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的平均變化率計(jì)算即可解決（1）（2），由瞬時(shí)變化率的定義求（3）.【解答過(guò)程】（1）Δy=f(2)-f(1)=-2，Δ故函數(shù)值y改變了-2，此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是-2.（2）Δy=f(1)-f(-1)=-4，Δ函數(shù)值y改變了-4，此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是-2.（3）這個(gè)函數(shù)的變化是均勻，變化率為定值.∵lim∴故函數(shù)的瞬時(shí)變化率為定值-2，該函數(shù)在x=1，x=3處的瞬時(shí)變化率都為-2.題型2題型2利用導(dǎo)數(shù)的定義解題1．（2023下·天津·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)是f'x，若f'xA．12 B．1 C．2 D．【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成12Δ【解答過(guò)程】因?yàn)閒所以lim故選：B.2．（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）定義在R上的函數(shù)y=fx在區(qū)間2,2+ΔxΔx>0內(nèi)的平均變化率為ΔyΔx=ΔxA．-1 B．1 C．3 D．9【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得f'2【解答過(guò)程】由導(dǎo)數(shù)的定義可得f'故選：B.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax2-43ax+b，f【解題思路】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出f'(1)，再由f'1=1可求出a【解答過(guò)程】解：∵f=limΔx→0∴a=3又f1=a-43故a=32，4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝{-1x【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義f'(x0)=limΔx→0【解答過(guò)程】當(dāng)x=4時(shí)，Δy=-1=Δx∴Δy∴l(xiāng)im∴f當(dāng)x=-1時(shí)，ΔyΔx由導(dǎo)數(shù)的定義，得f'∴f'題型3題型3求曲線切線的斜率（傾斜角）1．（2022·江西上饒·統(tǒng)考一模）設(shè)fx為可導(dǎo)函數(shù)，且lim△x→0f1-f1-2△x△xA．2 B．-1 C．1 D．-【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義進(jìn)行求解.【解答過(guò)程】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)1,f1處的切線斜率為f因?yàn)椤鱴→0時(shí)，f1所以f'所以在點(diǎn)1,f1處的切線斜率為-故選：D.2．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)limΔx→0f2+Δx-f2-ΔxΔx=-2A．π4 B．π3 C．3π4【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得f'2【解答過(guò)程】因?yàn)閘imΔx→0所以f'2=-1，則曲線y=fx在點(diǎn)故所求切線的傾斜角為3π4故選：C.3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=fx在x=x0(1)f'(2)f'(3)f'【解題思路】分別設(shè)切線斜率為k1,k2,k【解答過(guò)程】（1）設(shè)該函數(shù)的圖象在x0,fx0處的切線斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由f'x0又k1=tan因?yàn)棣?∈0,（2）設(shè)該函數(shù)的圖象在x0,fx0處的切線斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由f'x0又k2=tan因?yàn)棣?∈0,（3）設(shè)該函數(shù)的圖象在x0,fx0處的切線斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由f'x0又k3=tan因?yàn)棣?∈0,4．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（1）運(yùn)用割線逼近切線的方法，分別求曲線y=x2在x=0，x=-2，（2）用割線逼近切線的方法，求曲線y=1x在【解題思路】（1）（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算即可．【解答過(guò)程】（1）由題意，各點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率．limΔlimΔlimΔ故y=x2在x=0，-2，3處的切線斜率分別為0，-4，（2）∵limΔ故曲線y=1x在x=1處切線的斜率為題型4題型4求（復(fù)合）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法1．（2023下·福建泉州·高二?？计谀┫铝星髮?dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．(3x)C．(cosx)【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，(3x)'B選項(xiàng)，(lgx)'C選項(xiàng)，(cosx)'D選項(xiàng)，(x2cosx故選：B.2．（2023下·上海普陀·高二?？计谀┫铝星髮?dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．lnx+3xC．excos2x【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)后判斷．【解答過(guò)程】lnx+3xx2exexcos2xln12+故選：C．3．（2023上·新疆昌吉·高二?？计谀┣笙铝泻瘮?shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=ln(2)y=sin(3)y=xln(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).【解題思路】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解作答.【解答過(guò)程】（1）函數(shù)y=ln(2x+1)，所以（2）函數(shù)y=sinxcos（3）函數(shù)y=xln(1+x（4）依題意，y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+64．（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx滿足f(1)求fx在x=(2)求fx的圖象在點(diǎn)π3【解題思路】（1）求導(dǎo)，再令x=π（2）由（1）求得fπ3【解答過(guò)程】（1）由fx得f'則f'所以f'（2）由（1）得fx則fπ所以fx的圖象在點(diǎn)π3,f即3x-y-題型5題型5已知切線（斜率）求參數(shù)1．（2023上·江蘇南京·高二?？计谀┤羟€y=x2+ax+b在點(diǎn)P(0,b)處的切線方程為x-y+1=0，則a，bA．1，1 B．-1，1 C．1，-1 D．-1，-1【解題思路】利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率，結(jié)合切點(diǎn)在切線上可得.【解答過(guò)程】解：因?yàn)閥'=2x+a∵曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線x-y+1=0∴a=1，又切點(diǎn)(0,b)在切線x-y+1=0上，∴0-b+1=0∴b=1．故選：A．2．（2023下·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知曲線y=ex+ax在點(diǎn)0,1處的切線與直線2x-y+3=0平行，則實(shí)數(shù)aA．-32 B．-12 C．【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閥=ex+ax則曲線y=ex+ax在點(diǎn)0,1又因?yàn)橹本€2x-y+3=0斜率為2，所以1+a=2，即a=1.故選：C.3．（2023上·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=x(1)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像上任意一點(diǎn)處的切線斜率為k，若k≥-3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a=-2，求曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)M(-1,f(-1))的切線方程.【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得當(dāng)x∈0,1時(shí)，f(2)設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將M-1,1代入切線方程計(jì)算即可【解答過(guò)程】（1）函數(shù)f(x)=x2(x-a)由題意可得當(dāng)x∈0,1時(shí)，3即有2a≤3x+函數(shù)y=3x+1x在(-∞,-1)和(1,+所以3(x+1x)>3(1+11所以a的取值范圍是-∞（2）函數(shù)f(x)=x2(x+2)設(shè)切點(diǎn)為m,n，則n=m3+2m2，f即有切線方程為y-n=3將M-1,1代入可得1-整理可得(m+1)2(2m+1)=0，解得m=-1或即有所求切線的方程為y-1=-x+1或y-1=-即y=-x或y=-54．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考期末）已知ab≠0，曲線f(x)=3xa-x2在(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)<tan【解題思路】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得a,b.（2）化簡(jiǎn)f(x)<tanx【解答過(guò)程】（1）由題可知f(1)=3a-1=又f'(x)=3解得a=3b=-2，即a=3,b=-2（2）f(x)=3x3-x要證f(x)<tanx，只需證3sin令g(x)=3sin則g'令h(x)=sinx-xcos所以h(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)=0，即g所以g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，則g(x)>g(0)=0，即當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)<tan題型6題型6導(dǎo)數(shù)中函數(shù)圖象的應(yīng)用1．（2023下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P1,y0處的切線是l，則

A．1 B．2 C．0 D．-1【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出切線l的方程，從而可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則可得f(1)，求出直線的斜率可得f'(1)【解答過(guò)程】由圖象可得切線過(guò)點(diǎn)(2,0),(0,2)，所以切線l的方程為x2+y所以切線的斜率為-1，所以f因?yàn)辄c(diǎn)P1,y0在切線上，所以y所以f1故選：C.2．（2023下·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（

）

A．f'(2)<fC．f(3)-f(2)<f'(3)<【解題思路】由題意可知f'2為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)A處的切線的斜率，f'3為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)B處的切線的斜率，f(3)-f(2)=【解答過(guò)程】f'2為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)f'3為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)f(3)-f(2)=f(3)-f(2)3-2表示直線由圖可知0<f故選：D.

3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，在圖中作線段，分別表示f(2)，f(2+h)，f(2+h)-f(2)，【解題思路】根據(jù)題意在圖中作出線段即可.【解答過(guò)程】如圖所示：線段AC表示f(2)，線段BE表示f(2+h)，線段DE表示f(2+線段AB表示h.4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G為函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)．在哪些點(diǎn)處，曲線的切線斜率為0？在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為正？在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為負(fù)？在哪一點(diǎn)處，切線的斜率最大？在哪一點(diǎn)處，切線的斜率最?。俊窘忸}思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)的圖象判斷即可．【解答過(guò)程】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合圖象可知，在E，F(xiàn)處曲線的切線的斜率是0，在A，B，C處曲線的切線的斜率是正，在D，G處的曲線的切線的斜率是負(fù)，在B處的切線的斜率最大，在D處的切線的斜率最小．題型7題型7利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高二?？计谀┖瘮?shù)f(x)=12xA．(-1,1) B．(-∞,1) C．(0,1) D【解題思路】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后通分，進(jìn)而令導(dǎo)函數(shù)小于0，最后求得單調(diào)遞減區(qū)間.【解答過(guò)程】函數(shù)fx=1求導(dǎo)得f'令f'∵x>0，∴0<x<1，因此函數(shù)fx=1故選：C.2．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=lnx-x-a2a∈RA．12,+∞C．1,+∞ D．【解題思路】分析可知，存在x∈1,+∞，使得f'x>0，由參變量分離法可得a>x-12x，求出函數(shù)【解答過(guò)程】因?yàn)閒x=ln因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間1,+∞上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在x∈1,+即1x-2x+2a>0，可得a>x-1因?yàn)楹瘮?shù)y=x、y=-12x在1,+∞上均為增函數(shù)，則函數(shù)g當(dāng)x≥1時(shí)，gxmin=g故選：B.3．（2023下·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=1(1)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-23,1(2)若函數(shù)y=f(x)在[2，3]單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-23,1，可得-（2）由函數(shù)y=f(x)在[2，3]單調(diào)遞減，可得f'(x)≤0在[2，3]【解答過(guò)程】（1）由題意得f'因?yàn)閒(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-23,1，即f故-23,1是(x-1)(x+a+1)=0當(dāng)a=-13時(shí)，f'(x)=(x-1)(x+2等號(hào)僅在x=-23,1時(shí)取得，即f(x)故a=-1（2）函數(shù)y=f(x)在[2，3]單調(diào)遞減，即f'即(x-1)(x+a+1)≤0在[2，3]上恒成立，此時(shí)即a≤-x-1在[2，3]上恒成立，而(-x-1)min經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=-4時(shí),f'(x)≤0即等號(hào)僅在x=3,1時(shí)取得，此時(shí)函數(shù)y=f(x)在[2，故a≤-4.4．（2023下·天津?yàn)I海新·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=x(1)當(dāng)c=3時(shí)，求函數(shù)fx在點(diǎn)1,f(2)求函數(shù)fx(3)設(shè)函數(shù)gx=fx-x3?【解題思路】（1）將c=3代入函數(shù)中求導(dǎo)，求斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程即可；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，列表分析即可；（3）先寫(xiě)出函數(shù)gx的表達(dá)式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出即可【解答過(guò)程】（1）當(dāng)c=3時(shí)，則fx此時(shí)f'所以f'1=0，又所以切點(diǎn)為：1,2所以此時(shí)切線方程為y-2=0×x-1（2）因?yàn)閒x從而f'x---11,+f+0-0+f遞增有極大值遞減有極小值遞增所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間是-∞,-13和（3）函數(shù)gx有g(shù)'設(shè)h當(dāng)函數(shù)gx在區(qū)間x∈等價(jià)于hx=-x由函數(shù)hx開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要h2即-2實(shí)數(shù)c的取值范圍11,+∞題型8題型8利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值1．（2023下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=ax+1xa∈RA．函數(shù)fx在x=1B．函數(shù)fx在區(qū)間-1,1C．函數(shù)f'D．函數(shù)f'x在區(qū)間【解題思路】先由f'-1=0【解答過(guò)程】fx的定義域?yàn)?-由fx=ax+1因?yàn)閒'-1=0，所以f所以fx=x+1由f'x>0，得x<-1或x>1，由f'x所以fx在(-∞,-1)和(1,+∞)所以fx在x=-1時(shí)取得極大值，在x=1所以AB錯(cuò)誤，令gx=f'x當(dāng)x<0時(shí)，g'x<0，當(dāng)x>0所以gx=f'x所以C錯(cuò)誤，D正確，故選：D.2．（2023下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=alnx+1A．函數(shù)fxB．當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx在0,+C．當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx的極小值為D．當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx的極小值的最大值大于【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，舉反例可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷B；求得函數(shù)極值判斷C；根據(jù)函數(shù)極小值的表達(dá)式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值判斷D.【解答過(guò)程】由fx=aln當(dāng)a=0時(shí)，f'x=-1x2<0當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)0<x<1a時(shí)，f'x<0當(dāng)x>1a時(shí)，f'x>0，f由B的分析可知，x=1a時(shí)，函數(shù)fx取極小值，極小值為f令g(x)=x1-lnx-1,x>0當(dāng)0<x<1時(shí)，g'x>0，g當(dāng)x>1時(shí)，g'x<0，g故gx≤g(1)=0，即當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx的極小值的最大值小于等于0故選：C.3．（2023下·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=12(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a【解題思路】（1）先求函數(shù)fx（2）由條件可知f'x≥0在【解答過(guò)程】（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+當(dāng)a=1時(shí)，fx求導(dǎo)得f'整理得：f'令f'x=0可得，x=2當(dāng)0<x<2時(shí)，f'x<0，函數(shù)f當(dāng)x>2時(shí)，f'x>0，函數(shù)f所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)fx取極小值，極小值為f函數(shù)fx（2）由已知x∈1,+∞時(shí)，所以x-a-2即a≤x-2x恒成立，則令函數(shù)gx由g'x=1+2x從而a≤gx經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)fx所以a的取值范圍是-∞4．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=13x3+(1)求a的值；(2)求函數(shù)fx的極值【解題思路】（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義，求出a的值；（2）由求極值的步驟，求出極大值和極小值.【解答過(guò)程】（1）由fx=1因?yàn)榍€y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線平行于直線y=0，即所以12+2×1+a=0，解得（2）由（1）知fx=1令f'x=x+3x-1令f'x=故fx的單調(diào)遞增區(qū)間是-∞,-3和1,+由極值的定義知極大值為f-3極小值為f1題型9題型9利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值1．（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=2f'1A．2ln2-2 B．2ln2+2 C．【解題思路】求導(dǎo)，令x=1求得f'1【解答過(guò)程】函數(shù)fxd的定義域?yàn)?,+由fx=2f則f'1=2所以fx=-2ln當(dāng)0<x<12時(shí)，f'x>0所以函數(shù)fx在0,12所以fx故選：A.2．（2023下·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)fx=ax+lnx-aA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性，從而確定g(a)，然后再利用導(dǎo)數(shù)確定g(a)的最大值.【解答過(guò)程】因?yàn)閒x=ax+lnx-a當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，所以當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)<0得0<x<a，此時(shí)令f'(x)>0得x>a，此時(shí)所以當(dāng)x=a時(shí)，f(x)取得最小值，即g(a)=f(a)=1+lng'令g'(a)>0得0<a<1，此時(shí)g(a)單調(diào)遞增，令g'(a)<0得所以當(dāng)a=1時(shí)，g(a)取得最大值，即g(a)故選：A.3．（2023下·遼寧阜新·高二校考期末）設(shè)函數(shù)fx(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)g(x)=f(x)-2x在區(qū)間12,3【解題思路】（1）用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間即可；（2）求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，再求最值即可.【解答過(guò)程】（1）由題意可得f'x=x-令f'x>0，即x故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞，遞減區(qū)間為0,1（2）因?yàn)間(x)=f(x)-2x=1故g'x=x-令g'x>0故gx在0,1+2單調(diào)遞減，在故最小值為g1+又因?yàn)間1g3故最大值為g14．（2023下·安徽亳州·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fx(1)若a=0，b=1，求函數(shù)斜率為1的切線方程；(2)若ba=e，討論f【解題思路】（1）依題意可得f(x)=xlnx-x+1，對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)為(x（2）若ba=e，則f(x)=xlnx-x-ax+ae，對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，分別討論當(dāng)a≤1、【解答過(guò)程】（1）已知fx=xln當(dāng)a=0，b=1時(shí)，函數(shù)f(x)=xln可得f'不妨設(shè)切點(diǎn)為(x0,因?yàn)榍芯€斜率為1，所以lnx0=1所以f(x此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為(e則曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,1)處的切線方程為即x-y-e（2）若ba=e此時(shí)f(x)=xlnx-x-ax+ae可得f'(x)=1+lnx-1-a=ln當(dāng)ea≤e，即a≤1此時(shí)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，則f(x)當(dāng)e<ea當(dāng)e≤x<ea時(shí)，f當(dāng)ea<x≤e2時(shí)，所以f(x)又f(e)=elne當(dāng)fe>fe2，即所以當(dāng)ee-1<a<2當(dāng)fe≤fe2，即所以當(dāng)1<a≤ee-1當(dāng)ea≥e2，即a≥2時(shí)，則f(x)綜上，當(dāng)a>ee-1時(shí)，函數(shù)f(x)當(dāng)a≤ee-1時(shí)，函數(shù)f(x)題型10題型10導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．（2023下·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）如圖，某單位在精準(zhǔn)扶貧活動(dòng)中，給結(jié)對(duì)幫扶的貧困家庭贈(zèng)送兩種經(jīng)濟(jì)作物M、N種子，并在三角形地塊OAB劃出一部分來(lái)種植M種子，一部分種植N種子，記OA長(zhǎng)為70米，記OB長(zhǎng)為50米，三角形地塊OAB邊OA上的高為40米，記△OAB位于直線x=tt>0左側(cè)的圖形的面積為ft，△OAB位于直線x=tt>0左側(cè)的地塊用來(lái)種植M種子，每個(gè)平方米盈利300t元，剩下的地塊用來(lái)種植N

(1)求函數(shù)ft(2)設(shè)該農(nóng)場(chǎng)種植兩種經(jīng)濟(jì)作物M、N的盈利總和為S元，求S的最大值.【解題思路】（1）根據(jù)題意，先得到直線AB的方程，然后再將ft（2）根據(jù)題意，先得到S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，然后分別求得每一段的最大值，比較即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镺B長(zhǎng)為50米，OA邊上的高為40米，所以B30,40，則直線OB的方程為y=43x，因?yàn)镺A的長(zhǎng)為70米，所以A70,0，所以直線AB的方程為y=當(dāng)30<t≤70時(shí)，ft當(dāng)t>70時(shí)，ft所以ft（2）由題意可知，S=記g當(dāng)0<t≤30時(shí)，對(duì)稱軸t=5，即gt在0,5單調(diào)遞增，在5,30單調(diào)遞減，此時(shí)g當(dāng)30<t≤70時(shí)，S=300-30t所以，當(dāng)t=5時(shí)，S的最大值為42500元.2．（2023下·山東日照·高二統(tǒng)考期末）某公園有一個(gè)矩形地塊ABCD（如圖所示），邊AB長(zhǎng)2千米，AD長(zhǎng)4千米．地塊的一角是水塘（陰影部分），已知邊緣曲線AC是以A為頂點(diǎn)，以AD所在直線為對(duì)稱軸的拋物線的一部分，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)曲線AC上某一點(diǎn)P（異于A，C兩點(diǎn)）鋪設(shè)一條直線隔離帶MN，點(diǎn)M,N分別在邊AB，BC上，隔離帶占地面積忽略不計(jì)且不能穿過(guò)水塘．設(shè)點(diǎn)P到邊AD的距離為t（單位：千米），△BMN的面積為S（單位：平方千米）．

(1)請(qǐng)以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出S關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)是否存在點(diǎn)P，使隔離出來(lái)的△BMN的面積S超過(guò)2平方千米？并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）由題意設(shè)拋物線方程為y=ax2，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求出a，則可求得拋物線的方程，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線MN的方程，從而可求出M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出（2）利用導(dǎo)數(shù)求出S=12t3【解答過(guò)程】（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(2由題意設(shè)拋物線方程為y=ax2，代入點(diǎn)C(2,4)，得所以拋物線方程為y=2x由題意知直線MN為拋物線的切線，因?yàn)辄c(diǎn)P到邊AD的距離為t(0<t<2)，所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為由y=2x2，得y'=4x，所以直線所以直線MN的方程為y-2t2=4t(x-t)令y=0，得x=t2，所以令x=2，得y=42t-2所以S=1即S=

（2）因?yàn)镾=1所以S'因?yàn)?<t<2，所以t-2所以當(dāng)0<t<223時(shí)，S'>0所以S=12t3-2所以當(dāng)t=223時(shí)，S所以不存在點(diǎn)P，使隔離出來(lái)的△BMN的面積S超過(guò)2平方千米.3．（2023下·北京西城·高二統(tǒng)考期末）某種型號(hào)輪船每小時(shí)的運(yùn)輸成本Q（單位：元）由可變部分和固定部分組成．其中，可變部分成本與航行速度的立方成正比，且當(dāng)速度為10km/h