高二數(shù)學(xué)期末押題卷02（測(cè)試范圍：選修一+選修二第四章）（解析版）

高二數(shù)學(xué)期末押題卷02考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分測(cè)試范圍：選修一+選修二第四章一．選擇題（共8小題，滿分48分，每小題6分）1．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一條拋物線Γ：y2＝2x，其焦點(diǎn)為F，在Γ上任取一點(diǎn)P，滿足．當(dāng)△POF的面積取得最大值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B．或 C．（2，2） D．（2，2）或（2，﹣2）【分析】由拋物線的幾何性質(zhì)可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：由拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，該拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則|PF|＝m+，又．∴m≤2，當(dāng)△POF的面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，﹣2）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．2．（6分）若直線2x+y﹣4＝0，x+ky﹣3＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則此四邊形的面積為（）A． B． C． D．5【分析】圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，而x軸與y軸垂直，所以直線2x+y﹣4＝0與x+ky﹣3＝0垂直，再利用兩直線A1x+B1y+C1＝0與A2x+B2y+C2＝0垂直的充要條件A1A2+B1B2＝0，列方程即可得k，即可得出結(jié)果【解答】解：圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，因?yàn)閤軸與y軸垂直，所以2x+y﹣4＝0與x+ky﹣3＝0垂直直線A1x+B1y+C1＝0與直線A2x+B2y+C2＝0垂直的充要條件是A1A2+B1B2＝0由2×1+1×k＝0，解得k＝﹣2，直線2x+y﹣4＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（2，0），（0，4），x+ky﹣3＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，﹣），（3，0），兩直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣，∴四邊形的面積為＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線垂直的充要條件，如果利用斜率還需要討論斜率是否存在，屬于中檔題．3．（6分）有兩條不同的直線m，n與兩個(gè)不同的平面α，β，下列結(jié)論中正確的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β B．m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥n C．m∥n，n?α，則m∥α D．m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n【分析】對(duì)于A，只有在滿足n?α?xí)r，可得n⊥β；對(duì)于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，由n∥β，可得m⊥n；對(duì)于C，m∥α或m在α內(nèi)；對(duì)于D，m，n相交、平行或異面．【解答】解：對(duì)于A，由α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，只有在滿足n?α?xí)r，可得n⊥β，所以A不正確；對(duì)于B，由m⊥α，α∥β，可得m⊥β，又由n∥β，所以可得m⊥n，所以B正確；對(duì)于C，由m∥n，n?α，則m∥α或m在α內(nèi)，所以C不正確；對(duì)于D，由m∥α，n∥β且α∥β，則m，n相交、平行或異面，所以D不正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．（6分）已知k∈R，直線l1：x+ky＝0過(guò)定點(diǎn)P，直線l2：kx﹣y﹣2k+2＝0過(guò)定點(diǎn)Q，兩直線交于點(diǎn)M，則|MP|+|MQ|的最大值是（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】直線l1：x+ky＝0過(guò)定點(diǎn)P（0，0），由kx﹣y﹣2k+2＝0化為k（x﹣2）+（2﹣y）＝0，可得直線l2：kx﹣y﹣2k+2＝0過(guò)定點(diǎn)Q（2，2）．可以判定兩條直線相互垂直．利用2（|MP|2+|MQ|2）≥（|MP|+|MQ|）2，即可得出．【解答】解：直線l1：x+ky＝0過(guò)定點(diǎn)P（0，0），由kx﹣y﹣2k+2＝0化為k（x﹣2）+（2﹣y）＝0，令，解得．直線l2：kx﹣y﹣2k+2＝0過(guò)定點(diǎn)Q（2，2）．∴|PQ|2＝22+22＝8．當(dāng)k≠0時(shí)，兩條直線的斜率滿足×k＝﹣1，此時(shí)兩條直線相互垂直；當(dāng)k＝0時(shí)，兩條直線分別化為：x＝0，y﹣2＝0，此時(shí)兩條直線相互垂直．綜上可得：兩條直線相互垂直．∴|MP|2+|MQ|2＝|PQ|2＝8．∴16＝2（|MP|2+|MQ|2）≥（|MP|+|MQ|）2，解得|MP|+|MQ|≤4，當(dāng)且僅當(dāng)|MP|＝|MQ|＝2時(shí)取得等號(hào)．則|MP|+|MQ|的最大值是4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線系的應(yīng)用、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5．（6分）已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面．給出下列命題：①若α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，則b⊥α或b⊥β；②若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b；③若α∩β＝a，α∩γ＝b，a∥b，則β∥γ；④“若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β”是隨機(jī)事件；⑤若a，b是異面直線，則存在平面α過(guò)直線a且垂直于直線b．其中正確的命題是（）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．②④【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【解答】解：若α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，b與α，β可能垂直也可能不垂直，①錯(cuò)；由面面平行的性質(zhì)定理知②正確；三棱柱的兩個(gè)側(cè)面與第三個(gè)側(cè)面的交線相互平行，但這兩個(gè)側(cè)面相交，③錯(cuò)；若α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能垂直也可能不垂直，“若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β”是隨機(jī)事件，④正確；若存在平面α過(guò)直線a且垂直于直線b，則a⊥b，但已知中a，b不一定垂直，⑤錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與直線以及直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．（6分）已知拋物線x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，1）到其焦點(diǎn)的距離為p，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OA|＝（）A．2 B． C．4 D．5【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得準(zhǔn)線的方程，進(jìn)而利用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求得點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，求出A的坐標(biāo)，然后求解|OA|即可．【解答】解：依題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝﹣，∵拋物線x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，1）到其焦點(diǎn)的距離為p，∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為1+＝p，解得p＝2．所以拋物線x2＝4y，此時(shí)A（±2，1），所以|OA|＝故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的定義的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)拋物線基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．屬中檔題．7．（6分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在平面PAC內(nèi)，且NE⊥平面PAC，則點(diǎn)N到平面PAB的距離為（）A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，證得DF⊥平面PAC，取PF的中點(diǎn)N，連接NE，證得NE⊥平面PAC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，證得GF⊥平面PAB，從而得到NQ⊥平面PAB，得到NQ為點(diǎn)N到平面PAB的距離，結(jié)合，即可求解．【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且DF?平面ABCD，所以DF⊥PA，又因?yàn)镻A?AC＝A，且PA，AC?平面PAC，所以DF⊥平面PAC，取PF的中點(diǎn)N，連接NE，因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以NE∥DF，所以NE⊥平面PAC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以FG⊥AB，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且GF?平面ABCD，所以GF⊥PA，又因?yàn)锳B?PA＝A，且AB，PA?平面PAB，所以GF⊥平面PAB，取PG的中點(diǎn)Q，連接NQ，因?yàn)镹為PF的中點(diǎn)，所以NQ∥GF，所以NQ⊥平面PAB，所以NQ為點(diǎn)N到平面PAB的距離，在矩形ABCD中，因?yàn)椋訟C＝2，因?yàn)锳D2＝AF?AC，所以，又由△AGF∽△ABC，可得，解得，又由，所以點(diǎn)N到平面PAB的距離為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離，解題關(guān)鍵是利用直線與平面的位置關(guān)系找到點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題．8．（6分）已知橢圓C：+＝1（b2＜6）上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線2x﹣3y﹣1＝0對(duì)稱(chēng)，且線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣，則b2的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)E（x0，﹣），kMN＝﹣．把中點(diǎn)E（x0，﹣）代入直線2x﹣3y﹣1＝0，可得x0．把點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入橢圓方程可得：+＝1，+＝1，相減化簡(jiǎn)整理即可得出解得b2，【解答】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)E（x0，﹣），kMN＝﹣．把中點(diǎn)E（x0，﹣）代入直線2x﹣3y﹣1＝0，可得2x0﹣3×（﹣）﹣1＝0，解得x0＝﹣．把點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入橢圓方程可得：+＝1，+＝1，相減可得+＝0，∴×（﹣）﹣＝0，解得b2＝3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題，滿分24分，每小題6分）（多選）9．（6分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱AA1＝1，P為上底面A1B1C1D1的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則下列結(jié)論中正確的是（）A．若PD＝3，則滿足條件的P點(diǎn)不唯一 B．若PD＝，則點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧 C．若PD∥平面ACB1，則DP的最大值為 D．若PD∥平面ACB1，且PD＝，則平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面圖形的面積為【分析】作出正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的圖形，結(jié)合圖形逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案．【解答】解：作出正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的圖形，如圖所示：對(duì)于A：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱AA1＝1，∴B1D1＝2，B1D＝＝3，∴B1與P重合時(shí)，PD＝3，此時(shí)P點(diǎn)唯一，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：如圖，以D1為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），∵PD＝，∴PD＝＝＝，∴x2+y2＝2＜8，故點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧，故B正確；對(duì)于C：連接A1D，C1D，可得平面C1A1D∥平面B1AC，則當(dāng)P與點(diǎn)A1或與點(diǎn)C1重合時(shí)，DP有最大值＝＝，故C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)C知，平面BDP即為平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為×＝，則面積為，故D正確，故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何綜合，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）10．（6分）已知曲線C：mx2+ny2＝1，下列結(jié)論正確的是（）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上 B．若m＞0＞n，則C是雙曲線，其焦點(diǎn)在x軸上 C．若m＝n，則C是圓 D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【分析】根據(jù)各選項(xiàng)條件化方程為標(biāo)準(zhǔn)方程判斷．【解答】解：若m＞n＞0時(shí)，方程為，其中，曲線為橢圓，焦點(diǎn)在y軸，A正確；m＞0＞n時(shí)，方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，B正確；m＝n＝0時(shí)，方程不表示任何曲線，C錯(cuò)；m＝0，n＞0時(shí)方程可化為，表示兩條直線，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線和橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（6分）給出下列命題，其中正確的命題有（）A．若{，，}可以作為空間的一個(gè)基底，與共線，≠，則{，，}也可以作為空間的一個(gè)基底 B．已知向量∥，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 C．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面 D．已知{，，}是空間的一個(gè)基底，若＝+，則{，，}也是空間的一個(gè)基底【分析】直接利用向量的基底的定義，向量的共線，共面向量的充要條件判定A、B、C、D的結(jié)果．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：若{，，}可以作為空間的一個(gè)基底，與共線，≠，則{，，}也可以作為空間的一個(gè)基底，真命題．對(duì)于選項(xiàng)B：已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，真命題．對(duì)于選項(xiàng)C：已知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面，真命題．對(duì)于選項(xiàng)D：已知{，，}是空間的一個(gè)基底，即，，不共面，由即共面，故與，不共面，則{，，}也是空間的一個(gè)基底，真命題．故選：ABCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的基底，向量的共線，共面向量的充要條件，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（6分）已知雙曲線C：（0＜k＜1），則（）A．雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上 B．雙曲線C的焦距等于 C．雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于 D．雙曲線C的離心率的取值范圍為【分析】通過(guò)k的范圍，判斷雙曲線的焦點(diǎn)位置，焦距的長(zhǎng)，焦點(diǎn)到其漸近線的距離，離心率的范圍，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：雙曲線C：（0＜k＜1），可得9﹣k＞0，k﹣1＜0，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，所以A正確；雙曲線的焦距為：2＝2，所以B不正確；雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于b＝，所以C正確；雙曲線的離心率為：＝∈．所以D正確；故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）過(guò)點(diǎn)（﹣1，2）與（3，5）的直線的一般式方程為3x﹣4y+11＝0．【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出直線方程．【解答】解：可得直線的斜率為，所以直線方程為，整理得3x﹣4y+11＝0．故答案為：3x﹣4y+11＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的方程的求法，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（5分）用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截這個(gè)圓錐，截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑之比是1：4，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)10cm．求此圓錐的母線長(zhǎng)cm．【分析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r、R，此圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，截得小圓錐的母線長(zhǎng)為l．根據(jù)圓錐平行于底的截面性質(zhì)，結(jié)合題意建立關(guān)系式算出L＝4l且L﹣l＝10cm，由此算出L長(zhǎng)，即得此圓錐的母線長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r、R，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，截得小圓錐的母線長(zhǎng)為l，∵圓臺(tái)的上、下底面互相平行∴，可得L＝4l∵圓臺(tái)的母線長(zhǎng)10cm，可得L﹣l＝10cm∴＝10cm，解得L＝cm故答案為：cm【點(diǎn)評(píng)】本題給出圓臺(tái)上下底面半徑之比和母線之長(zhǎng)，求圓臺(tái)所在圓錐的母線之長(zhǎng)．著重考查了圓錐的平行截面的性質(zhì)、圓臺(tái)定義及應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）點(diǎn)M為拋物線y2＝8x上的一點(diǎn)且在x軸的上方，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，以Fx為始邊，F(xiàn)M為終邊的角∠x(chóng)FM＝60°，則|FM|＝8．【分析】由題意得MF|＝2|FA|即|FM|＝2（a﹣2）且|MF|＝聯(lián)立可得a＝6，進(jìn)而由拋物線的定義得到|FM|的長(zhǎng)為8．【解答】解：由題意得F（2，0），設(shè)點(diǎn)M為（a，b）過(guò)點(diǎn)M作MA垂直于x軸，垂直為A，∴|MF|＝2|FA|即|FM|＝2（a﹣），|MF|＝即|MF|＝，所以2（a﹣2）＝，整理得b2＝3（a﹣2）2…①又∵M(jìn)是拋物線y2＝8x上一點(diǎn)，∴b2＝8a…②有①②可得a＝6或a＝（舍去）所以|MF|＝2（6﹣2）＝8所以|FM|的長(zhǎng)為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用拋物線的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的平面幾何知識(shí)．16．（5分）已知三棱錐A﹣BCD中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝，且BD⊥CD，若點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的投影恰好為點(diǎn)D，則此三棱錐外接球的表面積為11π．【分析】三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它也外接于球，對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，然后解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的投影恰好為點(diǎn)D，∴AD⊥平面BCD，故AD＝，且知AD，BD，CD兩兩垂直，故可將此三棱錐放入一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為，，的長(zhǎng)方體內(nèi)，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)亦為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，其外接球?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球．易得外接球半徑為，故外接球表面積為11π．故答案為：11π【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造球的內(nèi)接長(zhǎng)方體．是基礎(chǔ)題四．解答題（共5小題，滿分58分）17．（10分）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0．（1）求d的取值范圍．（2）數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和最大？說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意，由a3＝12，S12＞0，S13＜0．可得a1+2d＝12，a6+a7＞0，a7＜0．即可解出公差d的取值范圍．（2）根據(jù)題意，由S12＝＝6（a6+a7）＞0，S13＝＝13a7＜0，分析可得：a6＞0，a7＜0．即可得出．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}中，有a3＝12，S12＞0，S13＜0．則a1+2d＝12，S12＝＞0，S13＝＜0，變形可得a1+2d＝12，a6+a7＞0，a7＜0．即a1+2d＝12，2a1+11d＞0，a7＝a1+6d＜0．解可得：﹣＜d＜﹣3．故公差d的取值范圍是（﹣，﹣3）；（2）根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和最大，理由：由S12＝＝6（a6+a7）＞0，S13＝＝13a7＜0．可得：a6＞0，a7＜0．故數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，涉及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．18．（12分）已知一圓形紙片的圓心為O，直徑AB＝2，圓周上有C、D兩點(diǎn)．如圖，OC⊥AB，，點(diǎn)P是上動(dòng)點(diǎn)．沿AB將紙片折為直二面角，并連結(jié)PO，PD，PC，CD．（1）當(dāng)AB∥平面PCD時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，三棱錐P﹣COD體積最大，并求出此時(shí)點(diǎn)O到平面PCD的距離．【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)得到AB∥PD，即可得到，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到OC⊥平面POD，則VP﹣COD＝VC﹣DOP，即可得到當(dāng)OD⊥OP時(shí)，三棱錐P﹣COD的體積最大，再利用等體積法求出點(diǎn)O到平面PCD的距離．【解答】解：（1）因?yàn)锳B∥平面PCD，AB?平面OPD，平面OPD∩平面PCD＝PD，所以AB∥PD，又，所以，所以，又OD＝OP＝1，所以；（2）當(dāng)OD⊥OP時(shí)，三棱錐P﹣COD的體積最大，因?yàn)镺C⊥AB，二面角C﹣AB﹣D為直二面角，平面ABC∩平面POD＝AB，OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面POD，OD，OP?平面POD，所以O(shè)C⊥OD、OC⊥OP，又，所以當(dāng)OD⊥OP，sin∠DOP＝1時(shí)，三棱錐P﹣COD的體積最大，此時(shí)，此時(shí)，即△PCD是等邊三角形，邊長(zhǎng)，∴，設(shè)所求距離為h，則，即，解得，故當(dāng)OD⊥OP時(shí)，此時(shí)點(diǎn)O到平面PCD的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行和等體積法的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（12分）已知是橢圓上的兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F的直線與橢圓E交于另一個(gè)點(diǎn)B，P為直線x＝5上的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP分別與橢圓E交于C（異于點(diǎn)A），D（異于點(diǎn)B）兩點(diǎn)，證明：直線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．【分析】（1）把點(diǎn)M，N坐標(biāo)代入橢圓方程可得a，b的方程，求解即可；（2）由已知可求得直線AF的方程可求B的坐標(biāo)，設(shè)P（5，t），直線AP的方程為y＝x+2，直線BP的方程為y＝x﹣，C（x1，y1），D（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立方程要求得C，D的坐標(biāo)，再證明＝，可證結(jié)論．【解答】解：（1）∵是橢圓上的兩點(diǎn)．∴+＝1①，+＝1②，由①②解得a2＝5，b2＝4，∴橢圓E的方程為+＝1；（2）證明：由（1）可知A（0，2），F(xiàn)（1，0），則直線AF的方程為y＝﹣2x+2，由，消去y得24x2﹣40x＝0，解得x＝0或x＝，可得B（，﹣），設(shè)P（5，t），直線AP的方程為y＝x+2，直線BP的方程為y＝x﹣，C（x1，y1），D（x2，y2），由，消去y得（t2﹣4t+24）x2+20（t﹣2）x＝0，可得C（，），由，消去y得（9t2+24t+96）x2﹣（30t2+160t+160）x+25t2+200t＝0，∴＝，可得D（，），∴＝，＝，∴＝，∴C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴直線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查證直線過(guò)定點(diǎn)，考查方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．20．（12分）如圖1，在等腰梯形ABCD中，M，N分別是AD，AE的中點(diǎn)，AE＝BE＝BC＝CD＝4，，將△ADE沿著DE折起，使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，平面PDE⊥平面BCDE，如圖2．（1）當(dāng)時(shí)，證明：PC∥平面MNF；（2）若平面MNF與平面BCDE夾角的余弦值為，求λ的值．【分析】（1）要證明線面平行，轉(zhuǎn)化為證明平面MNF∥平面PBC；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)平面的法向量，并表示向量夾角的余弦值，即可求λ的值．【解答】（1）證明：在等腰梯形ABCD中，M，N分別是AD，AE的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以F是BE的中點(diǎn)，因?yàn)镕，N分別是BE，PE中點(diǎn)，所以NF∥PB，因?yàn)镹F?平面PBC，PB?平面PBC，所以NF∥平面PBC，因?yàn)镸，N分別是PD，PE的中點(diǎn)，所MN∥DE，因?yàn)锽E∥DC，且BE＝DC，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以DE∥BC，所以NN∥BC，因?yàn)镸N?平面PBC，BC?平面PBC，所以MN∥平面PBC，因?yàn)镸N，NF?平面MNF，且MN∩NF＝N，所以平面MNF∥平面PBC，因?yàn)镻C?平面PBC，所以PC∥平面MNF；解：（2）在等腰梯形ABC